分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

第一个样本是非退化高斯白噪声。更准确地说，我们考虑高斯过程（Xt，1，Xt，2）t∈Z、 其中Cov（Xt，i，Xs，j）=0，Var（Xt，i）>0，对于所有t 6=s和i，j∈ {1, 2}.观察到，由于（Xt，1，Xt，2）和（Xs，1，Xs，2）的独立性，t6=s，对于所有k6=0和τ1，τ2，我们有γ1,2k（τ1，τ2）=0∈ [0, 1]. 很容易看出R1,2（ω；τ1，τ2）=cgaus（τ1，τ2；R1,2（ω））- τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2（S.3），其中R1,2（ω）表示传统的相干性，在这种情况下（二元i.i.d.序列）等于c1,20（c1,10c2,20）-1/2（对于所有ω）。通过采用（S.3），我们可以确定任何给定的传统相干性和τ1、τ2的固定组合的分位数相干性∈ (0, 1). 在C的顶部中间部分 皇家经济学会2018S8 J.Barunik和T.KleyFigure S.4这一转换是针对四对分位数水平和任何可能的传统相关性进行可视化的。观察分位数同调的有限范围很重要。例如，当τ1和τ2都接近0时，第一分量中的τ1-分位数和第二分量中的τ2-分位数之间从来没有强的正相关性。类似地，当一个分位数水平选择接近0，而另一个分位数水平选择接近1时，从来没有强的负相关性。这种观测并不特别适用于高斯情况，但适用于任何成对独立的二元随机变量序列。对应于完全正相关或完全负相关（在分位数水平上）情况的界限可以从连接性的Fr’echet/Hoe-ffing界限推导出来：在序列独立的情况下，分位数相关性以max{τ1+τ2为界- 1, 0} - τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2))≤ R1,2（ω；τ1，τ2）≤min{τ1，τ2}- τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2)).注意，这些界限适用于（Xt，i，Xt，j）的任何联合分布。

特别是，边界独立于相关性。图S.4的左上部分显示了本例的传统一致性。因为不存在序列相关性，所以所有的一致性都是直线。它们的水平与这两个成分之间的相关性相等。在图S.4的右上部分，当相关性为0.6时，显示了示例的分位数相关性（对应的相关性在左上角的图中用粗体线标记）。请注意，对于固定的τ1和τ2，分位数相干性的值对应于垂直灰线与相应图形相交的上中心图中的值。右边部分的数量差异不取决于频率，因为在这个例子中没有序列依赖性。在图S.4的中上部，重要的是要观察到，对于传统的相干度0（即，由于（Xt，1，Xt，2）是非相关的联合高斯，当分量是独立的时），分位数相干度在所有分位数级别都为零。在接下来的两个例子中，我们停留在高斯框架中，但引入了串行依赖。考虑一个二元稳定的VAR（1）过程Xt=（Xt，1，Xt，2）0，t∈ Z、 填充差异方程xt=AXt-1+εt，（S.4）带参数A∈ R2×2和i.i.d.，居中，二元，联合正态分布单位方差E（εtε0t）=I2的更新εt。在我们的第二个例子中，通过将每个成分与回归方程中滞后的其他成分联系起来，引入了序列相关性。换句话说，我们考虑了模型（S.4），其中矩阵A的对角线元素等于0，并且在反对角线上有一些值A。假设| a |<1产生一个稳定的过程。

如前所述，传统的光谱密度矩阵，在本例中为F（ω）：=（2π）-1.I2-0 aa 0E-iω-1.I2-0 aa 0eiω-1，|a |<1，唯一地决定了传统的相干性，并且由于高斯创新，也决定了分位数的相干性。图S.4中左图显示了当a取不同值时，该模型的传统相关性。如果我们现在确定一个频率【6=π/4】，那么该频率的传统相干性值唯一地决定了a.Inc的值 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S90。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.50.0 0.5 1.0传统相干度（Re）分位数相干度（Re）-1.-0.5 0 0.5 10.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0 0.5 1.0频率=2π52 512传统相干性（Re）分位数相干性（Re）0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0 0.5 1.0频率=2π52 512传统相干（Re）分位数相干（Re）0.05 | 0.05 0.05 | 0.950.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.51.0ω2π0.05 | 0.05 0.05 | 0.95图S.4。选定高斯过程的分位数和传统相干。图S.4我们用灰线标记了ω=2π52/512的频率和0.6的相干性值，并用粗体打印了相应的相干性（作为ω的函数）。请注意，在许多图片中的一致性[每个a对应一个]∈ (-1，1）]只有一个值为0。6以这个频率。

在中间一行的中心图中，我们展示了所考虑模型的传统相干性和分位数相干性之间的关系。对于分位数级别和a的所有值的四个组合∈ (-1，1）显示了相应的传统相干和分位数相干。值得注意的是，该关系仅针对一个频率[ω=2π52/512]显示。我们观察到分位数相干性的值范围是有限的，并且该范围取决于分位数级别和频率的组合。虽然这与第一个例子非常相似 英国皇家经济学会2018S10 J.Barunik和T.Kleyquantile相干性必须是有界的，因为Fr\'echet/Hoe fff界限，我们在这里还观察到（对于这个特定的模型和频率），传统相干性的值范围是有限的。这一事实在中左图中也很明显。为了在这个特定的频率上关联传统的和分位数的相干性，可以使用中心-中间图，如第一个示例所示。对于给定的频率，选择有效的传统相干性（中心图的x轴）和分位数水平的组合（图中的一条线），然后确定分位数相干性的值（如右图所示）。请注意（在本例中），对于给定的频率和分位数级别的组合，关系仍然是传统相干的函数，但不是内射的。在我们的最后一个例子中，我们考虑了高斯VAR（1）模型（S.4），在该模型中，我们现在允许额外的自由度，方法是让矩阵A的形式为对角线元素均等于b，并像以前一样将值A保持在反对角线上。因此，与前面的示例（其中要求b=0）相比，每个组件现在也可能取决于其自身的滞后值。

不难看出，|a+b |<1产生稳定的过程。在这种情况下，传统的光谱密度矩阵的形式为f（ω）：=（2π）-1.I2-b aa bE-iω-1.I2-b aa beiω-1，|a+b |<1。图S.4的左下部分显示了一组传统的相干性（作为ω的函数）。由于模型中的额外自由度，形状的多样性急剧增加。特别是，对于给定的频率，传统相干的值不再唯一地指定模型参数。我们用粗体标记了三个相干性（作为ω的函数），它们在ω=2π52/512处的值为0.6，以强调这一事实。相应的过程（对于固定的分位数级别组合）在该频率下具有不同的分位数相干值。从图S.4的中下部可以看出这一事实，图中描述了频率固定时传统相干度和分位数相干度之间的关系，分位数电平的两种组合以黑色和灰色显示。请注意一个重要事实，即这种关系（对于FixedFrequency）不再是传统相干性的函数。图的右下部分显示了三个模型参数（图的左下部分以粗体显示）和两个分位数级别组合的分位数相干曲线（作为ω的函数）。很明显，即使对于特定的固定频率，传统的相干性是一致的，但分位数相干性的值和形状可能会因基本过程而有所不同。

第三个例子说明了传统相干性与基于分位数的计数器部分之间的频率对比可能会失败，即使过程非常简单。从本节开头的理论讨论中，我们已经看到，对于高斯过程，当边际分布固定时，传统光谱和分位数光谱之间存在关系。这种关系是数量与频率（和分位数）之间的1:1关系。这三个例子说明，在特殊情况下，按频率进行比较是可能的，但在一般情况下并不成立。总之，我们建议将分位数互谱密度视为其自身依赖性的度量，因为基于分位数的量侧重于更一般类型的依赖性。我们进一步指出，分位数相干性可用于满足使关系成为可能的条件的示例中，但也可用于分析分位数向量自回归（QVAR）过程中的相关性 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S11，第S2节。QVAR过程具有更复杂的动力学性质，不能仅用二阶矩特征来描述。S4。分位数互谱密度估计量的渐近性质我们现在将陈述（2.4）和（2.5）中定义的CCR周期图R（ω；τ1，τ2）的渐近性质的结果。命题S4。1.假设（Xt）t∈Zis严格固定，满足假设4.1。进一步假设边际分布函数Fj，j=1，它们是连续的。然后，对于每一个固定ω6=0 mod 2π，In，R（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[0,1]2=>I（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[0,1]2in`∞Cd×d（[0,1]2）。

（S.5）Cd×d值极限过程I，指数为（τ1，τ2）∈ [0，1]2的形式为（ω；τ1，τ2）=12πD（ω；τ1）D（ω；τ2）0，其中D（ω；τ）=（Dj（ω；τ））j=1，。。。，d、 τ∈ [0, 1], ω ∈ R是一个中心的、Cd值的高斯过程，其协方差结构如下所示（Dj1（ω；τ1），Dj2（ω；τ2））=2πfj1，j2（ω；τ1，τ2）。此外，D（ω；τ）=D(-ω; τ） =D（ω+2π；τ），以及{D（ω；·）∶ω族∈ [0，π]}是独立进程的集合。特别是，对于任何固定的频率集合ω，弱收敛性（S.5）都是成立的。对于ω=0 mod 2π，CCR周期图的渐近行为如下：我们有djn，R（0；τ）=nτ+op（n1/2），其中余项的精确形式取决于Xj，0，Xj，n-1.因此，在提案S4的假设下。我们有In，R（0；τ1，τ2）=n（2π）-1τ1τ21d10d+op（1），其中1d:=（1，…，1）0∈ Rd.我们现在陈述一个结果，该结果量化了渐近估计f（ω；τ1，τ2）byGn，R（ω；τ1，τ2）的不确定性。定理S4。1.假设4.1和4.2成立。假设边际分布函数Fj，j=1，d是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，因此bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 然后，对于任何固定ω∈ R、 过程gn（ω；·，·）：=pnbn^Gn，R（ω；τ1，τ2）- f（ω；τ1，τ2）- B（k）n（ω；τ1，τ2）τ1,τ2∈[0,1]满意度（ω；·，·）=> H（ω；·，·）in`∞Cd×d（[0，1]2），（S.6），其中偏置矩阵B（k）的元素由nb（k）n（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=kX`=2b`n`！Zπ-πv`W（v）dvd`dω`fj1，j2（ω；τ1，τ2）（S.7）和fj1，j2（ω；τ1，τ2）在（2.2）中定义。过程H（ω；·，·）：=（Hj1，j2（ω；·，·））j1，j2=1，。。。，dc 英国皇家经济学会2018S12 J.Barunik和T。

Kleyin（S.6）是一个以Cd×d值为中心的高斯过程，以CoV为特征Hj1，j2（ω；u1，v1）, Hk1，k2（λ；u2，v2）= 2πZπ-πW2（α）dαfj1，k1（ω；u1，u2）fj2，k2(-ω; v1，v2）η（ω- λ） +fj1，k2（ω；u1，v2）fj2，k1(-ω; v1，u2）η（ω+λ）, （S.8）式中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}[cf.（Brillinger，1975，第148页）]是Kroneckerδ函数的2π周期延拓。族{H（ω；·，·，·），ω∈ [0，π]}是独立过程和H（ω；τ1，τ2）=H的集合(-ω; τ1，τ2）=H（ω+2π；τ1，τ2）。对结果发表几点评论是合乎规程的。与经典光谱分析形成鲜明对比的是，经典光谱分析需要高阶矩才能获得光谱密度的平滑度[cf.Brillinger（1975），第27页]，假设4.1保证分位数交叉光谱密度是ω的分析函数。因此，ω7的第k阶导数→ （S.7）中的fj1，j2（ω；τ1，τ2）在没有进一步假设的情况下存在。ω=0 mod 2π的情况不需要像命题S4那样单独处理。1，因为Ij1，j2n，R（0，τ1，τ2）被排除在（2.6）：^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）的定义中。假设W是p阶核；i、 e.对于一些p，满足esRπ-πvjW（v）dv=0，对于所有j<p和0<Rπ-πvpW（v）dv<∞. 例如，Epanechnikov核是p=2阶的核。然后，偏差为bpn级。因为方差是有序的（nbn）-1，如果bn，则均方误差最小 N-1/（2p+1）。这个最优带宽满足定理S4的假设。1.详细讨论了定理S4的作用。1可用于构造渐近有效的置信区间，并推迟到D部分。极限{H（ω；·，·，·），ω）的独立性∈ [0，π]}有两个重要的含义。一方面，弱收敛（S.6）对任何固定的频率集合ω都适用。

另一方面，如果将平滑的CCR周期图视为三个参数（ω、τ1、τ2）的函数，弱收敛将不再成立。这种收敛的局限性是由于不存在紧元素`∞Cd×d（[0，π]×[0，1]2），具有正确的有限维分布，这是在`∞Cd×d（[0，π]×[0，1]2）。固定j1，j2和τ1，τ2 CCR周期图^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）和由不可观测的二元时间序列确定的传统平滑交叉周期图I{Fj1（Xt，j1）≤ τ1}，I{Fj1（Xt，j2）≤ τ2}, t=0，N- 1，（S.9）是渐近等价的。定理S4。1因此表明，在分位数互谱密度估计的背景下，边缘分布的估计对极限分布没有影响（参见Kley等人（2016）评论3.5后的评论）。S5。关于区间估计的构造在本节中，我们收集了关于如何构造逐点置信带的详细信息。第4节和S4节包含关于新引入的分位数互谱量的点估计不确定性的渐近结果。在本节中，我们将介绍估计（实部和虚部）方差的最佳策略 英国皇家经济学会2018分位数相关性：在线补充S13限制结果，并描述如何构建渐近有效的逐点置信带。在所有三个小节中，以下评论都是相关的。假设我们已经确定了权重Wn，形成了一个d阶的核W。我们将选择abandwidth bn=o（n-1/（2d+1））。这种选择意味着，与方差相比，偏差（以某种形式出现在两个极限结果中）是渐进可忽略的：√nbnB（k）n（ω；τ1，τ2）=o（1）。S5。1.

证明定理S4无效的逐点置信带。1我们现在构造点态渐近（1- α） -fj1，j2（ωkn；τ1，τ2）实部和虚部的能级密度带，ωkn:=2πk/n，如下所示：C（1）r，n（ωkn；τ1，τ2）：=<Gj1，j2n，r（ωkn；τ1，τ2）±<σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），对于实部，和c（1）i，n（ωkn；τ1，τ2）：=~Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）±=σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），用于分位数交叉谱的虚部。这里，~Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）：=^Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）/Wkn，Wkn:=2πnn-1Xs=1Wn（ωkn）- ωsn），Φ表示标准正态分布的累积分布函数，1<σj1，j2（ωkn；τ1，τ2）2:= 0∨（Cov（H1,2，H1,2）如果j1=j2且τ1=τ2,12冠状病毒（H1,2，H1,2）+<Cov（H1,2，H2,1）否则=σj1，j2（ωkn；τ1，τ2）2:= 0∨（如果j1=j2且τ1=τ2,12，则为0）冠状病毒（H1,2，H1,2）- <冠状病毒（H1,2,H2,1）否则，其中Cov（Ha，b，Hc，d）表示Cov的估计值Hja，jb（ωkn；τa，τb）, Hjc，jd（ωkn；τc，τd）.在这里，受布里林格（1975）定理7.4.3的启发，我们使用2πn·Wknדn-1Xs=1Wn2π（k）-s） /nWn2π（k）-s） /n~Gja，jcn，R（τa，τc；2πs/n）~Gjb，jdn，R（τb，τd；-2πs/n）+n-1Xs=1Wn2π（k）- s） /nWn2π（k+s）/n~Gja，jdn，R（τa，τd；2πs/n）~Gjb，jcn，R（τb，τc；-2πs/n）#（s.10）σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）的定义是由以下事实驱动的：如果j1=j2，τ1=τ2，则R（ωkn；τ1，τ2）=0。此外，请注意，对于任何复值随机变量Z，对于复共轭Z，Var（<Z）=12Var（Z）+<Cov（Z，\'Z）; Var（=Z）=12Var（Z）- <冠状病毒（Z，\'Z）, （S.11）1注意，对于k=0，N- 1我们有Wkn:=2π/nPn-10=s6=kWn（2πs/n）。为了k∈ k<0的Z≥ n我们可以将其定义为n周期延拓。C 皇家经济学会2018S14 J.Barunik和T.Kleyand我们有H1,2=H2,1。S5。2.