相对性能考虑下的均衡定价

（3.21）产量（πa）的（3.19）和（3.21）的ν次之差- νBθt=-（Ha+νHD）+ZTthega（s，πas，eZas（πa））+νhκθs，θsiids-ZTtheZas（πa）- νκθs，dWsi<=> Yt（πa）=-（Ha+νHD）-ZTthZs（ˇπa），dWsi+ZTthegas、 ˇπas+（0，ν），Zs（ˇπa）+νκθs+ νhκθs，θsiids。鉴于（3.4），我们可以操纵驱动程序EGA中的术语，并获得EGA·, ˇπa+（0，ν），Za（ˇπa）+νκθ+ νDκθ，θE=ga·, （Za（πa）+νκθ）- ˇπa，1σ- （ˇπa，2+ν）κθ+eλaπ-a、 1σ+π-a、 2κθ- ˇπa，1hσ，θi- （ˇπa，2+ν）Dκθ，θE+EλaD′π-a、 1σ+π-a、 2κθ，θE+νDκθ，θE=ega·, ˇπa，Za（ˇπa）.鉴于BSDE（3.19）的假定唯一性，断言如下。第二步：假设（Y（ˇπa），Z（ˇπa））解（3.20）和π*,πa7的最小化策略→eYa（πa），然后操纵Y（πa）=eYa（πa）- νBθ，我们有（ˇπa）=eYa（πa）- νBθ≥eYa（π）*,（a）- νBθ=Y（ˇπ）*,a） ，因此是π*,a:=π*,A.-（0，ν）对于具有终端条件的BSDE（3.19）是最佳的-（Ha+νHD）。这个引理直观地表示，在t=0时，一个代理a拥有一部分νa=πa，2-= πa，HD的2个单位，实际上可以被认为是赋予了ˇHa=Ha+νaHD。然后我们只看相对投资组合Gπa，2=πa，2- νa，它计算导数Bog ht，并且仅从t=0开始出售：优化问题是等价的。这个论点可以推广到所有其他代理人。我们注意到，这种减少是可能的，因为我们在这项工作中没有考虑交易约束，所以策略πa，2和πa，2是同样可容许的。在接下来的工作中，我们假设每个代理在t=t处接收派生HD的一部分N/N。

通过这样做，定义2.5中的市场清算条件转变为XA∈AπA，2t=0p Leb- a、 我们称之为零净供应条件。为清楚起见，我们召回了a特工∈ A现在通过求解B SDE（2.7）提供的动力学，以终端条件Yat=-Ha+nNHD+Va，θT（πa）-eλaXb∈A\\{A}Vb，θT（πb）（3.22）存在将净供应量减少到零的多种可能性，包括向一个代理赋予衍生品总量H或向每个代理赋予衍生品的初始部分V a。为了简单起见，我们明智地选择了n/n。（而不是（2.7）中的内容）。此外，通过将变量（3.1）的变化应用于带终端条件（3.22）的BSDE（2.7），我们达到-deYat=ega（t，πat，π-at，eZat）dt- 赫扎特、德瓦蒂、埃亚特：-Ha+nNHD, （3.23）通过变量（3.1）的变化，由（3.4）给出的（和（eYa，eZa）与（Ya，Za）相关。在零净供应条件下，可以直接重新编译第3.3节的结果。它不会改变策略或驱动因素，只需要更新相关BSD的终端条件-哈托-（Ha+nNHD）如（3.23）所示。4外部风险的均衡市场价格在上一节中，我们看到了如何计算给定市场价格风险θ=（θS，θR）的纳什均衡，而不受交易的全局约束（市场清算条件）。在本节中，我们通过找到外部风险的均衡市场价格（EMPeR）θR来解决定义2.5所提出的均衡问题。文献中包含了许多关于复杂市场均衡的结果，这些结果将竞争均衡与代表性代理的优化问题联系起来，这就是我们在这里使用的方法。

代表代理人的偏好通常由个体代理人偏好的加权平均值给出，权重取决于代表代理人支持的竞争均衡，见[Neg60]。这种依赖性导致复杂的定点问题，导致平衡分析和计算相当繁琐。关于平移不变偏好下风险分担的许多结果，尤其是[BE05，JST06，FK 08]，表明当偏好s是平移不变的，那么所有权重都相等。这是[HPDR10]的一个有效策略，如果∈ A、 λA=0或λA=λ∈ [0,1]。在一个没有业绩担忧的市场中，[HPDR10，BE09]表明，风险度量的不正常演变为代表性代理提供了一个合适的风险度量，对于条件风险度量，它对应于驱动因素的不正常卷积。考虑到绩效因素，我们使用了加权扩张的线性卷积，并且在定理4.5中，我们证明了将我们的代表代理人的风险降到最低相当于在我们的市场上找到竞争均衡。4.1根据上述结果，并考虑到[rüs13]（见下文备注4.9），我们通过为一组正权重w=（wa）a定义一个新的风险度量ρw，来处理由固定供应条件和额外未知θr（见3.3.4和3.3.6中的示例）引起的额外的相互依赖性∈AsatisfyingPa∈Awa=1，我们定义ρw（X）=inf（Xa∈AwaρaXa（Xa）∈ （L）∞)N:Xa∈AwaXa=X）对于任何X∈ L∞.

（4.1）对于由BSDE引起的风险度量，[BE05]表明，由风险度量（ρa）的内卷积定义的度量∈Ais再次由BSDE诱发，其驱动因素只是BSDE驱动因素GAA对风险度量（ρa）a的卷积∈A.对于权重集w=（wa）A∈A、 我们将驱动程序GWA定义为驱动程序s gafor（t，z）的加权扩展inf卷积∈ [0，T]×R，gw（T，z）=W（ga）a∈A.（t，z）=inf（Xa）∈阿瓦加（t，za）（za）∈ （R） 纳什。t、 Xa∈Awaza=z），（4.2）其中（ga）a∈A.是标准的inf卷积。引理4.1（gw的性质）。地图gw:[0，T]×R→ 由（4.2）定义的R是一个确定性连续函数，具有三次凸性和连续可微性。此外，这是一个无法解决的问题zgw（t，Z）=-对于一个zA=（zA）这样的pawaza=Z，一个人有gw（t，Z）=Pawaga（t，zA）当且仅当存在∈ 就这么说吧∈ A.zga（t，za）=-θ. 在这种情况下，我们必须zgw（t，z）=-θ.证据加权inf卷积将遗传算法的性质转化为gw，特别是连续性、严格凸性和可微性。我们不展示这些，因为它们来自已知参数的简单拟合，参见[BE05、BE09、HPDR10]。由于函数被最小化（zA=（zA）7→Pawaga（za））是凸的，定义约束的函数（zA7→Pawaza）也是凸的，因为最小化定义等同于找到相关拉格朗日函数L（zA，θ）=Pawaga（zA）+θ（Pawaza）的临界点- z） 。因此，对于a zA=（zA）这样的pawaza=z，当且仅当存在θ时，zA是一个极小值∈ 尽管如此∈ A.zga（t，za）=-θ.

然后zgw（t，z）=-θ其中θ是与z相关的拉格朗日乘数。通过ρw测量的随机终端财富ξw的风险由ρw（ξw）给出：=Yw，其中（Yw，Zw）是BSDE的解-dYwt=gw（t，Zwt）dt- hZwt，dWti，终端条件为YwT=-ξw.（4.3）因为重量（wa）a∈Aare需要满足pWa=1的要求，风险度量ρ与B SDE相关，上述驱动因素是货币风险度量。平移不变性和单调性源于驱动程序gw独立于y的因素。凸性源于gw的凸性，而gw又通过包络定理源于ga的凸性。备注4.2。注意，（4.2）可以重写w（t，z）=inf（Xa）∈阿瓦加t、 扎瓦Xa∈Aza=z）。这样，在Terminology f rom[BE09]（第137页）中，gwis被视为wa扩展驱动器ga的通常w加权错误卷积。更多关于扩张风险度量的信息，请参见[BE09]中的3.4号提案。例4.3（熵风险度量）。对于熵代理，即驱动程序ga（za）=| za | 2γa，一个得到gw（z）=| z | 2γR，γR:=Xa∈Awaγa.（4.4）交易和代表机构的风险头寸定义了累计风险度量ρ和相关驱动因素gw后，我们现在为偏好由gw描述的代表机构引入策略π和相关交易收益V·（πw）=R·πw，1tdSt+R·πw，2TDBTF。

根据（4.1）的直接计算，我们将终端增益ξw:=Xa分配给代表性代理∈Awaξa=Xa∈阿华Ha+nNHD+增值税-eλa′V-在=Xa∈Awa（Ha+nNHD）+Xa∈阿华（1+eλa）增值税-eλaXb∈AVbT=Xa∈Awa（Ha+nNHD）+Xa∈阿瓦特（1+eλa）-eλaXb∈Awbeλb= Hw+VT（πw），其中ca:=wa（1+eλa）-PB∈Awbeλb，πw=Pa∈Acaπais代表代理人的投资组合，VT（πw）=Pa∈AcaVT（πa）是代表代理人的财富过程，hw:=Xa∈Awa（Ha+nNHD）=nNHD+Xa∈AwaHa（4.5）被定义为代表代理人的终端捐赠。现在我们选择权重（wa）a∈a任何a的ca=c∈ A代表一些c∈ (0, +∞), i、 e.wa:=所有a的∧（1+eλa）∈ A、 式中∧：=Xa∈A1+eλa.（4.6）直接验证yieldsPawa=1，此外，对于所有a∈ A、 ca=c:=∧-λXb∈注意πw，2=Pa∈Acaπa，2=cPa∈AπA，2。换句话说，个体代理人（即Pa）的零净供应条件∈AπA，2=0）相当于不投资HD的代表代理人（即πw，2=0）。从现在起，权重w族是固定的，由（4.6）给出。代表代理人剩余风险的逐点最小化我们现在表明，由聚合风险和代表代理人构成的方法，作为上述激励，允许将风险的均衡市场价格确定为代表代理人风险最小化的副产品。该风险由BSDE（4.3）的解决方案给出，终端条件ywt=-ξw=-Hw-VT（πw），对于mπw=（πw，1，0）的容许策略πwof。R值策略过程ssπwis被认为是可接受的（πw∈ Aw）如果Eθ[hv·（πw）iT]<∞ BSDE（4.3）有一个独特的解决方案。

在第3节之后，我们将介绍剩余风险流程Ywt:=Ywt+VWT，并根据EZWT:=Zwt+πw，1tσt+0.这对（eYw，eZw）满足BSDE的终端条件EYWT=-Hwand随机驱动器egw，定义为（ω，t，πwt，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×R，byegw（T，πwt，z）：=gwt、 z- ζwt- hζwt，θti，其中ζw=πw，1σ+0（与（3.1）-（3.4）相比）。由于eYw=Yw，代表性代理则等价地致力于求解min{eYw（πw）|πw∈ 啊。按照第3节中用于单一代理的方法，我们首先着眼于按点最小化驱动程序EGW。我们将∏w，1（t，z）定义为min的优化器egw（t，（p，0），z）|p∈ R, 设置∏w，2（t，z）=0，以加强零净供应条件。因为gww是严格凸的，所以函数egw也是严格凸的，最小值的特征是一阶条件gwz的解t、 z- πw，1（t，z）σt= -θSt.我们用egw（t，z）=egw表示最小化（随机）驱动程序t、 πw（t，z），z. （4.7）备注4.4（分离假设下优化驱动器（4.7）的结构）。在这里，不同于在固定MPRθ=（θS，θR）下交易S和B的单个代理的优化，我们没有（3.9）中所述的良好结构，在gw上具有所有通用性（因此在ga上）。假设对于某些g1，w，g2，w:[0，T]×R→ R我们有gw（t，z）=g1，w（t，z）+g2，w（t，z），那么一阶条件将转化为g1，wzt、 z- πw，1（t，z）σSSt= -θSt。

用Zw表示，1（t，-θSt）Z中的解∈ R到方程g1，wzt、 Z= -θSt，r∏w，1的结构为∏w，1（t，z）=z- Zw，1（t，-θSt）σs代表优化驱动器的结构t、 （Zw，1（t，-θSt），z）+ Zw，1（t，-θSt）θSt- zθSt=g1，wt、 Zw，1（t，-θSt）+ Zw，1（t，-θSt）θSt- zθSt+g2，w（t，z）。例4.6中讨论了属于这一类别的熵驱动因素的特殊情况。代表性代理的最优性和外部风险的均衡市场价格我们假设具有驱动力的BSDE定义在（4.7）和终端条件下-HW在S中有一种独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO。确定策略π*,wbyπ*,wt:=πw，1（ω，t，eZwt），0.与第3节中的单个代理一样，下面的定理断言π*,代表代理人的最佳策略和风险最小化。此外，该定理将均衡市场风险价格（EMPR）θ=（θS，θR）（重新定义2.5）重新定义为代表性代理优化问题的解。回想一下（4.6）中给出的权重w族。定理4.5。假设o带drivereGw（4.7）和AndyWt的BSDE=-HW在S中有一个独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO，o比较定理适用于具有drivereGw，oπ的BSDE*,w·=πw，1（ω，·eZw·），0可与价格S和B积分，则代表代理人和π的风险最小*,wis是将风险降至最低的独特最佳策略。如果，对于过程θ*= （θS，θR），其中θR由GWZ定义t、 eZwt- π*,w、 1tσt= -θRt，（4.8）定理3.5的条件成立，那么θ*是A中代理的唯一EMPR。此外，最小化聚合风险与单个最小化风险（eYa）A相关联∈A通过标识Y=PawaeYa（同样适用于foreZ）。此外，试剂的Na-sh平衡满足π*,w=cPaπ*,a、 例4.6（熵情况）。

在熵的情况下，我们发现gw（z）=| z | 2γR，所以我们有zw，1（t，-θSt）=-γRθSt.最小化的驱动器为negw（t，z）=-γR（θSt）- zθSt+2γR（z），如第3.3小节所示。这个驱动是二次正则的，并且是终端条件-有界的。从[Kob00，IDR10]可以看出，S中有一个独特的解决方案（eYw，eZw）∞×HBMO和适用的比较结果（见[Kob00，MY10]）。最优策略为π*,w、 1=eZw，1+γRθSσS和π*,w、 2=0。WitheZw∈ HBMOandθsbound，π*,w、 1可与S积分。这证明了定理的前三个假设。此外，使用（4.8）和sinceeZw∈ HBMOandθis bo unded，我们发现θR=-eZw，2γRandθ*= （θS，θR）∈ HBMO。（4.9）在注释3.3之后，π的最优性*,wand（eYw，eZw）对于具有GWS描述的优先权的代理人w，以与单个代理人a的最优性完全相同的方式获得∈ 定理3.2中的A。因此，我们只证明定理4.5中与EMPRθ有关的主张*.然而，首先，我们陈述了一个与引理3.4对应的例子，当B不可能交易时。引理4.7。在定理M4.5的假设下，设bπw=（bπw，1，0）为可容许策略，且（bYw，bZw）为相关风险过程，即。带驱动程序egw（t，bπwt，·）和终端条件的BSDE解决方案-嗯。假设FOC适用于这些过程，即gwz（t，bZwt-bζwt）=-θstbζwt=bπw，1tσt.然后（bYw，bZw）=（eYw，eZw）和bπw=π*,w、 证据。回顾gw的性质（见引理4.1）和∏w，1的定义，条件gwz（t，bZwt- bπw，1tσt）=-θstm表示bπw，1t=πw，1（t，bZwt）。我们得到了egw（t，bπwt，bZwt）=egw（t，bZwt）（回忆（4.7））。通过假设具有drivereGw（t，·）和终端条件的BSDE解的唯一性-我们有（bYw，bZw）=（eYw，eZw）。因此，通过FOC解的唯一性，bπw，1t=πw，1（t，bZwt）=πw，1（t，eZwt）=π*,w、 1t。

因为两种策略的第二个分量都等于zero，所以我们得到了bπw=π*,w、 下一个结果将用于定理4.5的证明，该结果表明，对单个优化问题的解决方案进行聚合将导致聚合偏好G的最优，并用代理的BSDE的加权和确定聚合的BSDE。引理4.8。让θ∈ 假设定理3.5中的条件s。那么让我们（π）*,a） a∈Abe表示与θ相关的无约束纳什均衡，并将（eYa，eZa）表示为每个代理a的最小风险BS DE的解∈ A（带驱动器（3.9）的BSDE（3.2））。定义（bYw，bZw）：=Pawa（eYa，eZa）和bπw:=Pacaπ*,a=cPaπ*,a、 然后（bYw，bZw）和bπ是单一代理的最小风险和最优策略，其偏好由gw给出，可以投资（S，b）（无交易约束）。证据首先，我们将要获得的个人风险BSDE（bYw、bZw）及其BSDE相加。我们有BYWT=-帕瓦哈=-Hwand alsodbYwt=-Xa∈阿旺加t、 埃扎特- ζat（π）*)- hζat（π）*), θtiodt+Xa∈阿瓦赫扎特，dWti=-Xa∈阿瓦加t、 埃扎特- ζat（π）*)-Dbζwt，θtEdt+hbZwt，dWti，其中bζw=bπw，1σ+bπw，2κ=Pawaζa（π*). 我们注意到，一方面，Xawa（eZat- ζat（π）*)) =沙瓦扎特-Xacaπ*,a、 1σt+Xacaπ*,a、 2κt=bZwt-bζwt，另一方面，对于所有a∈ A、 通过eπA和（eYa，eZa）的最优性zgat、 埃扎特- ζat= -因此，我们通过引理4.1知道gw（t，bZwt-bζwt）=Pawaga（t，eZat- ζat）。这意味着dbywt=-gw（t，bZwt）-bζwt）- hbζwt，θtidt+hbZwt，dWti=-egw（t，bπwt，bZwt）dt+hbZwt，dWti。其次，通过引理4.1，我们也知道zgwt、 bZwt-bζwt= -θt.因此，根据Le mma 3.4，我们得出（bYw，bZw）是具有gwfrom（3.9），terminal condition（终端条件）给出的偏好的代理的最小风险BSD的解决方案-Hw在给定的MPRθ和bπ下交易S和b是最优策略。定理4.5的证明。