相对性能考虑下的均衡定价

图6.5将每个代理的风险感知描述为λa，λb变化。Agenta在λ波段的风险增加，在λa波段的风险减少。从（比如a）的角度，并考虑（1.1）或（2.7），后一种行为（Ya随λa降低）的可能解释如下。如果a更重视她的相关绩效问题，那么她会权衡增值税这个词- Vbt比随机捐赠的对冲或个人表现的优化更重要，交易方式更像b。这样做的最终结果似乎是能力。511.522.533.540.511.522.533.54-9-8.-7.-6风险容忍度γA综合风险wrt风险容忍度风险容忍度γbYw000。20.40.60.8100.20.40.60.81-6.77-6.76-6.75-6.74-6.73-6.72-6.71-6.7-6.69-6.68关注率λa综合风险加权关注率关注率λBYW0图6.4：综合风险Y是（γa，γb）（左）和（λa，λb）（右）的函数。00.20.40.60.8100.20.40.60.81-7.6-7.4-7.2-7.-6.8-6.6代理人的关注率λaRisk a wrt关注率关注率λbYa000。20.40.60.8100.20.40.60.81-7.8-7.6-7.4-7.2-7.-6.8代理人b的关注率λaRisk wrt关注率关注率λByb0图6.5：风险Ya（左）和Yb（右）作为（λa，λb）的函数。抵消更多绩效风险（作为围绕平均值的一个函数）和抵消捐赠风险的能力。随着Yado随λa的增加而减少，前者显然具有更大的权重。对第一种行为（Ya随λb增加）的解释似乎更直接。随着λ的增加，代理人b减少了对衍生工具的交易，以减少对其相关绩效的担忧，这会影响代理人a，尤其是其对冲Ha的能力。6.3引入衍生工具的影响我们现在了解在该模型市场引入衍生工具的影响。

图6.6显示了代表代理人和代理人a在无衍生产品可用时以及市场可用时，与λa和λB有关的风险。我们在右边的图中观察到，添加导数不会改变聚合风险。如果将其视为代表性代理人的风险，这一点很明显：在施工过程中，零净供应条件意味着她必须在衍生产品中保持零头寸，并且hencedoes不会从其存在中获益（将第3.3.2节的代理人与例4.6进行比较）。然而，对于单个年龄段的nt（左图），导数的可用性总是导致a00。20.40.60.8100.20.40.60.81-7.6-7.4-7.2-7.-6.8-6.6-6.4-6.2-6.-5.8代理的关注率λaRisk a wrt关注率关注率λbYa00。20.40.60.8100.20.40.60.81-6.77-6.76-6.75-6.74-6.73-6.72-6.71-6.7-6.69-6.68关注率λa聚合风险wrt关注率关注率λBYW图6.6：左：当衍生工具不可用时（曲面）和当衍生工具可用时（倾斜曲面），作为关注率的函数（λa，λb）。右图：总风险Yw的相同图（两个曲面相等）。降低风险。我们观察到，在没有衍生工具的情况下，代理a的风险并不取决于关注率。

我们可以应用第3节和第4节的方法，发现在这种情况下，药剂的最佳组合由π给出*,i、 1t=1- λaλbγiθS+eZi，1tσSSt+λi1- λaλbγjθS+eZj，j 6=i的1tσsst∈ {a，b}，而最小风险方程由BSDEdeYit=-H-γiθS-eZi，1tθS+2γi埃齐，2岁idt+heZit，dWti with Eyit=-你好（ST，RT）。这从分析上表明，问题的价值Ya既不取决于λ，也不取决于λb，而最优策略则不取决于λb，正如[FDR11]中命题4.1所观察到的那样。贪吃地玩游戏会导致灾难。上述研究考虑的是一个单期模型（连续时间）交易，直到水平=1个月。现在想象一下，随着时间的推移，这种交易周期会重复，并假设代理人的禀赋或财务和外部风险的动态不会发生重大变化。在代理人的偏好水平上，除了关注率之外，他们不会随着时间而改变。具体地说，我们假设他们的风险容忍度，以及（1.1）中用于评估其风险的熵测度ρ，始终是固定的；然而，他们对相对绩效的关注率λ·可能会有所不同。这可以解释一些羊群行为或其他行为机制：在每个时段之后，每个部门都可以审查每个人的绩效结果，将这些信息带入下一个时段，并相应地更新他们的关注率。图6.5显示了反复玩这个游戏的结果。事实上，每一个代理都会因其关注率λ的单边增加而受益，而随着另一方关注率的增加，他们的境况会变得更糟。

因此，随着交易周期的重复，他们有增加λ的动机，最终导致假设2.3被违反为（λa，λb）→ (1, 1).值得注意的是，这种向模型奇异性的漂移（λa，λb）=（1，1）并未被风险评估所捕获。图6.4和图6.5显示Yw、YA和YB是内边界的。在投资策略层面，衍生品的交易活动放缓但持续。外部风险的分担效率较低，因为代理人越来越担心输给另一方，但不会消失。然而，对股票的投资呈爆炸式增长（见图6.2）。我们强调，这种行为只有在衍生产品进入市场后才会出现。事实上，如图6.6所示，当衍生产品不可用时，A中的代理只关心其在市场上的战略相对表现，他们就没有动机拥有越来越高的关注率。表面的特殊形状（λa，λb）7→ Yi，风险随λi而降低，随λj而增加，仅当导数可用时才出现。在这种情况下，除了间接的（社会的）互动之外，代理人还处于直接互动（通过交易）：每个代理人现在都直接比另一个代理人获利。最终结果是股票市场的潜在不稳定。7结论在这项工作中，我们分析了代理人之间某种形式的社会互动对均衡定价机制的影响。具体而言，我们考虑了引入（市场完成）衍生品的定价，以允许市场参与者分担与外部和不可交易风险因素相关的风险。

这里的社会互动表现为对相对绩效的关注。从理论角度来看，我们已经展示了如何解决一般风险度量和年限nts的问题，前提是假设衍生品符合市场。这涉及到求解二次BSDE的耦合系统。由于代理人的担忧率不一致，通常的错误卷积技术无法聚合代理人的风险，因此我们进一步开发了它，并引入了加权错误卷积变量。然后，我们专注于熵风险度量的特殊情况，并能够确定足够的条件来设计完成市场的衍生品。在一个市场模型中，两个代理人代表着外部风险的相反比例，我们探讨了社会互动对金融创新带来的好处的影响。我们发现，在个体代理人的层面上，衍生品的引入总是会降低风险。然而，这种风险降低的特殊分布意味着这两个机构都有更关心其相对绩效的动机。在全球层面，虽然这只会减少衍生品交易量，但这会导致之前存在的金融资产交易量激增。在实践中，认为代理人规模较小，股票价格动态与他们的行为无关的假设无法成立。因此，尽管股票价格基本上独立于外部风险，但引入衍生工具可能会导致原本稳定的股票市场出现意外后果。我们强调，这种现象并没有被风险度量所捕获。

因此，在评估新政策（此处为衍生工具的引入）的可能收益时，不应仅使用风险度量的绩效。这也强调了系统观点的重要性：从个人投资者的角度研究问题表明，衍生工具的可用性总是有益的，但在全球层面上，情况有很大的细微差别。动态中可能会出现强烈的不希望出现的内生现象，这主要是由于各种因素之间的相互作用及其适应新政策的可能性。随机分析：符号、空间和基本结果空间和符号我们为p>1、q定义以下空间≥ 1，n，m，d，k∈ N:C0，N（[0，T]×Rd，Rk）是赋予k·k的连续函数空间∞-在空间变量中n次连续可微的范数；C0，n包含C0，n的所有有界函数；对于与时间无关的函数，第一个上标0被删除；Lp（Ft，Rd），t∈ [0，T]是d维Ft可测随机变量X的空间，其范数kXkLp=E[|X | p]1/p<∞; L∞指基本边界随机变量的子集；Sp（[0，T]×Rd）是满足kY kSp=E[supt]的d维可测F-适应过程的空间∈[0，T]| Yt | p]1/p<∞; s∞本质有界过程的Sp（Rd）子集；Hp（[0，T]×Rd）是满足kZkHp=E的d维可测F-适应过程Z的空间[RT | Zs | dsp/2]1/p<∞; 对于概率测度Q，我们将hbmo（Q）表示为过程的空间Z∈ 任何p的Hp（Q）≥ 2使得对于某些常数KBMO>0supτ∈T[0，T]情商ZTτ| Zs | dsFτ∞≤ KBMO<∞,其中T[0，T]是所有停止时间τ的集合∈ [0，T]。如果Z∈ HBMO（Q），THNRHDZ∈ HBMO（Q）适用于任何有边界的适应过程H。HBMO中的过程具有非常方便的性质。

对于参考度量值P，我们直接将HBMO代入HBMO（P）。有关BMO空间及其与BSDE关系的更多信息，请参见[IDR10]中的第2.3节或[Tou13]中的第10.1节；为了便于参考，我们在下一个结果中陈述了其中一些。引理A.1。让Z∈ HBMO和定义Φ·：=R·ZsdWs。然后我们得到：1）随机指数E（ΦT）是一致可积的。2） 存在一个r>1的数，使得E（ΦT）∈ Lr。这个性质来源于反向埃尔德不等式。具有这一性质的最大r可以用Φ·的BMO范数显式表示。kE（ΦT）krlr也存在一个上界，它只依赖于T，r和Φ的BMO范数。A.1 Malliavin演算基础我们简要介绍了随机变分演算的主要符号，也称为Alliavin演算。有关更多详细信息，请参阅[Nua06]，以了解其在BSDEswe中的应用，请参阅[Imk08]。设S为ξ=F形式的随机变量空间（ZTh1，isdWs）1≤我≤n、 ··（ZThd，isdWds）1≤我≤N,F在哪里∈ C∞b（Rn×d），h，··，hn∈ L（[0，T]；Rd），n∈ N.为了简化符号，假设所有符号都被写成行向量。对于ξ∈ S、 我们定义D=（D，··，Dd）：S→ L(Ohm ×[0，T]）dbyDiθξ=nXj=1Fxi，jZHTDWT，ZThntdWt嗨，jθ，0≤ θ ≤ T、 一,≤ 我≤ d、 对k来说呢∈ N通过D（k）=（Di···Dik）1进行k次迭代≤i、 ····，ik≤d、 为了k∈ N、 p≥ 1设Dk，pbe关于标准ξkpk，p=EhkξkpLp+kXi=1k | D（k）]ξ| kp（Hp）ii的S闭式。D（k）是空间Dk，p上的一个闭线性算子∈ D1,2是Ft可测的，那么θ的dθξ=0∈ （t，t）。进一步表示Dk，∞= ∩p> 1Dk，p.我们还需要用Malliavin演算来计算rm值光滑随机过程。为了k∈ N、 p≥ 1，由Lk，p（Rm）表示，[0，T]×上的Rm值的一组渐进可测过程u=（u，···，um）Ohm 这样我）为Lebesgue-a.a。

T∈ [0，T]，u（T，·）∈ （Dk，p）m；ii）[0，T]×Ohm  （t，ω）7→ D（k）u（t，ω）∈ （L（[0，T]1+k））d×n表示一个逐步可测量的版本；iii）kukpk，p=kukpHp+Pki=1k Diu kp（Hp）1+i<∞.请注意，Jensen不等式给出了所有p≥ 2EhZTZT | DuXt | du dt圆周率≤ Tp/2-1ZTkDuXkpHpdu。我们回顾了[Imk08]中关于其积分的Malliavin微分规则的一个结果，该结果在Malliavin微积分应用于随机分析时有用。定理A.2（在[Imk08]中的定理2.3.4]）。让（Xt）t∈[0，T]∈ Hbe是一个适应的过程和定义：=RTXRDWRT∈ [0，T]。然后，X∈ L1,2如果且仅当Mt∈ D1,2对于任何t∈ [0，T]。此外，对于任何0≤ s、 t≤ T我们有DsMt=Xs{s≤t} （s）+{s≤t} （s）RtsDsXrdWr。A.2基本Malliavin演算结果对于与布朗运动WS有关的SDEsWith，我们表示m alliavin微分算子DWRand DWS，见附录A.1。提案A.3。让假设5.1保持不变。然后SDE（2.1）和（2.2）有一个唯一的解R，S∈SPP≥ 2）R，S∈ D1,2。我们有DWSuRt=DWRuSt=0f或任何t，u∈ [0，T]a s以及dwrurt={u≤t} b和DWSuSt={u≤t} σSSt，t，u∈ [0，T]；（A.1）ii）对于任何联合可测函数ψ：[0，T]×R×R→ R即Lipschitz（在secon d空间变量中），它包含thatDWRuψ（t，St，Rt）= DWRrψ（t，St，Rt）u、 r∈ [0，t]，t∈ [0，T]。（A.2）此外，DWRψ（·S·，R·）∈ s∞.这最后一个不平等现象背后的原因是，在BSDE框架内，获得先验估计场的常用工具对LHS有很大的影响，而对RHS则相对容易。iii）房屋署∈ L1,2∩ s∞对于任何一个∈ A（回忆（5.1）），任何0都存在M>0≤ r、 u≤ Tand任意ζ∈ A.∪ {D} 使DWRuHζ=DWRrHζ和0<| DWR·Hζ|≤ M.iv）让ζ∈ A.∪ {D} 让r∈ R.映射r7→ （DWRuHζ）是Lipschitz连续的均匀分布吗∈ [0，T]用于任何s∈ (0, +∞).证据自始至终让ζ∈ A.∪ {D} 。

SDE的一般结果来源于[IDR10]第2节、标准Mal liavin calc ulus、S是几何布朗运动和uR的事实∈ C（[0，T]，R）。i）恒等式DWSuRt=DWRuSt=0的证明是微不足道的。我们证明（A.2）：假设ψ是可微的，那么对于u，r∈ [0，t]DWRuψ（t，St，Rt）= (xψ）（t，St，Rt）b=DWRrψ（t，St，Rt）,我们使用的地方（A.1）。现在，molli fication的标准近似值提供了这两个结果。iii）英国《金融时报》可测量报酬HD、HAI的形式非常具体，很明显，对于0≤ U≤ T和ζ∈ A.∪ {D} DWRuHζ=DWRuhζ（ST，RT）=(hζ）（ST，RT），（0，{u≤T}b）= b(DWR·Hζ的有界性源于Hζ导数的一致有界性∈ Cb。然后我们可以得出结论，如果xhζ6=0然后得出DWR·Hζ6=0，此外，恒等式dwruhζ=DWRrHζ来自（A.2）。我们现在以最后陈述的证据结束。拿s∈ (0, +∞) 还有letr呃∈ R是R的两个初始条件（见（2.1）），我们分别表示相应的SDE解R和R。我们还将Hζ和Hζ分别表示为随机变量，具体取决于R。由于（2.1）的线性形式，Rt-eRt=r- 对于任何t∈ [0，T]。|DWRuHζ的性质- DWRueHζ|遵循xhζ和（A.3）。假设hζ（在空间中）是有界导数的两次连续可微的，因此，对于某些K≥ 0(xhζ（ST，RT）- (xhζ（ST，eRT）≤ K | RT-eRT |=K | r- 呃|。因此对于某些常数C≥ 0独立于数据u，s，rand erone根据要求d，| DWRuHζ- 德鲁厄ζ|≤ C | r- 呃|。参考文献s[Abe90]A.B.Abel，《习惯形成下的资产价格与攀比》，美国经济评论80（1990），第2期，38-42页。[Abe99]A.B.Abe l.一般均衡中的风险溢价和期限溢价，货币经济学杂志，第43期（1999年）。

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