相对性能考虑下的均衡定价

定理证明的第一部分，即代表性代理的优化，通过与单代理案例中使用的参数类似的参数，参见定理3。2和备注3.3。我们可以省略它。 E MPR的存在。这里我们证明θ*= 通过（4.8）定义的（θS，θR）实际上是一个MPR。自θ*∈ hBMO和定理3.5的条件成立，设（π）*,a） a∈MPRθ下的无约束纳什均衡*, 让（eYa，eZa）成为每个代理a的最小风险B SDE的解决方案∈ 答：我们现在的目标是证明这一点*,a、 2=0。让我们介绍一下（bYw，bZw）：=Pawa（eYa，eZa）和bπw:=Pacaπ*,a=cPaπ*,a、 来自外稃4。8，bπwandbYware风险偏好由GWS和b在θ下编码的单个公司的最优策略和风险*没有交易限制。同时，我们定义了π*,w=（π）*,w、 1，0）作为一个代理w的最优策略，该代理w的优先权由gwand指定，并且只能投资于S（MPRθS）。通过θR的构造，我们得到zgwt、 eZwt- ζwt= -θ*t、 式中ζwt=π*,w、 1tσt.引理3.4得出π*,wis也是具有偏好的代理的最佳策略，并且在给定MPRθ的情况下，可以投资S和B*. 通过引理3.4中的唯一性，我们得到了bπw=π*,w、 这尤其意味着π*,a、 2=bπw，2=π*,w、 2=0。因此，我们证明了与θ相关的纳什均衡*满足零净供应条件，进而构造θ*是EMPR。 EMPR的不唯一性。假设θ=（θS，θR）也是EMPR和let（π）*,a、 θa∈Abe是相关的纳什均衡，根据EMPR的定义，其零净供应条件为Paπ*,a、 θ，2=0是令人满意的。也让（eYa，θ，eZa，θ）成为每个阶段的最小风险BSDE的解决方案∈ A.如上所述，我们定义（bYw，θ，bZw，θ）：=Pawa（eYa，θ，eZa，θ）和bπw，θ：=Pacaπ*,a、 θ=cPaπ*,a、 θ。

通过引理4.8，我们得到（bYw，θ，bZw，θ）和bπw，θ对于在给定MPRθ下在S和b中交易的单代理经济是最优的。因此，利用优化器和FOC条件之间的特征，我们得到了GWZt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= -θ-gwzt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= -θRt，其中bπw，θ，2=0，因为θ是EMPR。根据引理4.7，第一个方程保证（bYw，θ，bZw，θ）和Bπw，θ对于在S交易的具有偏好的代理是最优的。通过构造（eYw，eZw）和π*,w（对于MPRθ*), 引理4.7中提到的唯一性，我们有（bYw，θ，bZw，θ）=（eYw，eZw）和bπw=π*,w、 因此，我们从第二个FOC方程-θRt=gwzt、 bZw，θt- bπw，θ，1tσt= gwzt、 eZwt- π*,w、 1tσt= -因此EMPRθ是唯一的*.从定理4.5我们指出θ*只是代表代理人经济的MPR，因为代表代理人在不完整的市场中交易，无法交易风险（Rt）-recal l（2.1）。尽管如此，θ*是唯一一个导致代理商完全市场的MPR，其形成的纳什均衡满足零净供应条件。我们在结束这一评论时补充说，完整市场的代表性代理方法会导致代理均衡（见[HPDR10，KXZ15]和其中的参考文献）。备注4.9。在[Rüs13]中，风险度量的“加权最小卷积”是通过^ρiγ（X）：=inf（NXi=1γiρi（Xi）；十、XN∈ Lp，NXi=1Xi=X）（参见pa ge 271，方程式（11.25））中的γ=（γi）∈ RN>0，对于一些p≥ 1.注意，在我们的上下文中，如果没有驱动程序论证中的膨胀权重，聚合将不起作用。这可以在定理4.5的步骤2中看到。原因是，G是作为参数插入的策略的Ga和由权重乘以的策略的附加项的总和。

对于作为单一策略的聚合，这种调整是必要的。4.2熵风险度量的EMPE捷径在前面的子部分中，我们通过风险度量的inf卷积，给出了一般偏好下均衡风险市场价格的存在性和唯一性的结果。在熵风险度量的特殊情况下，一般计算要简单得多，并且更容易的路径允许在没有代表性的情况下计算EMPeRθRis（如果存在）。尽管上面导出的代表性代理的BSDE将出现在以下计算中，但仅通过这些计算无法表明计算的θ确实是anEMPR。正如第3.3.4节所暗示的，这条较短的路径位于BSDE（3.2）与（3.15）给出的最小驱动力的直线ar组合中。根据第3.3.5节的计算，我们发现市场清算条件要求0=Xa∈π*,a、 2t=Xa∈A1+eλaeZa，2t+γaθRtκRt<=> θRt=-帕∈AeZa，2t（1+eλa）Pa∈AγA（1+eλA）=-帕∈AwaeZa，2tγR，如果我们定义γR=Pa∈Awaγa，其中wa=1/（λ（1+eλa））和∧=Pa∈A1/（1+eλa）。注意，这里我们不需要规范化族w=（wa），以便∈Awa=1，因为我们不考虑综合风险度量。w的任何重标度∧′都会给出相同的θR。为了与一般情况保持一致，我们用这种方式表示它。现在，用（3.15）给出的最小驱动因素中的上述值替换θrb项，我们发现每个代理的最佳风险过程解决了BSDE，驱动因素为byeGa（t，eZAt）=-γaθSt-eZa，1tθSt+γReZa，2tXb∈AwbeZb，2t-γa2γRXb∈AwbeZb，2t.

（4.10）具有这些驱动因素的BSDE形成一个由N个二次增长的耦合BSDE组成的系统，通常很难解决，请参见[ET15]、[Esp10]、[FDR1 1]或更近的[Fre14，KP16]。幸运的是，我们可以利用（4.10）的结构，为流程（bYw，bZw）=Pa找到一个更简单的BSDE∈阿瓦（eYa，eZa）。很容易看出BYWT=-帕∈Awa（Ha+nHD/N）=-Hw，如（4.5）所示。将BSDE（3.2）与（4.10）中表示的驱动因素线性组合，我们发现-dbYwt=h-γRθSt-bZw，1tθSt+2γRbZw，2tidt- hbZwt、dWti和BYWT=-嗯。（4.11）这与例4.6中的BSDE完全相同。假设Hwandθ是有界的，则该BSDE属于二次增长BSDE的标准类，且（bYw，bZw）的存在唯一性得到了保证。这允许我们计算θRas-bZw，2/γRand反过来，我们可以使用（3.15）中给出的驱动力最终求解B SDE，给出每个代理的最小风险过程。备注4.10（风险容忍度和绩效回报率之间没有权衡）。每个代理人的个人偏好由参数γa和λa规定，即风险承受能力和绩效系数。人们可能会问，这些参数之间是否存在参数关系，比如一个具有（γa，λa）的n代理和另一个具有（γb，λb）的代理会表现出相同的行为，并具有相同的时间策略。实际上，在MOST公式中，这两个参数似乎是耦合的。然而，我们可以看到，终端条件hw与风险容忍度参数γ·无关，因此通过改变任何一种固定因子a的λa和γao∈ A、 一个人不可能得到同样的结果。5熵风险度量案例的进一步结果在本节中，我们将进一步研究熵案例。我们介绍了一种结构，该结构允许使用上一节中开发的理论，并且可以设计假设3。1是正确的。

本节的最终目的是了解关注率λ如何影响价格和风险。本节的前两部分验证了假设3.1成立，第三部分说明了随着参数变化，聚合风险和衍生产品价格的行为。我们现在对第2节中产生的随机变量的结构做进一步的假设（见下文）。也就是说，我们假设∈ 对于某些确定性函数h·，A和导数h的形式为ha=ha（ST，RT）和HD=HD（ST，RT）（5.1）。衍生工具和捐赠基金的这种结构被解释为每个代理人在到期日T一次性收到一笔款项。为了简化分析，我们将假设整个Black-Scholes市场（即uS，σSare常数）。对于我们在这里得到的结果来说，这样的假设并不是绝对必要的，但我们希望把重点放在定性分析上，而不是模糊的数学技术上。尽管本节剩余部分，下一个假设仍然成立。假设5.1。让假设2.1保持不变。让我们∈ (0, ∞) 和uR，uS∈ R（也就是θS∈ R） 。对于任何一个∈ A功能hD，哈∈ Cb（R；R）是严格正的，它们的导数是一个统一的线性连续的w.R.t.非金融风险和(xhD）（x，x）6=0表示任何（x，x）∈R×R.关于所涉及映射的严格正性的假设，或xhD6=0是证明假设3.1确实适用于我们给出的示例的关键。对Ha和Hd形式的假设将BSDE简化为马尔可夫情形，使我们能够访问许多现有的B SDE正则性结果，我们将在下面的全部范围内使用这些结果。有可能（这有待于未来的研究）保持在非马尔可夫环境下的一般阿尔夫特可测量HDT和HAD，并使用非马尔可夫BSDE和路径依赖PDE之间的链接（参见[EKTZ14]）。

实际上，关于非马尔可夫环境下BSDE解的一般Malliavin可微性的工具可以在[AIdR10]或[DR11，MPR14]中找到。我们记得，在下面的例子中，我们的目标是分析参数λ·n、γ·对风险过程（单一和代表性因素）、衍生过程和EMPeR的影响。备注5.2（关于本节的注释）。在本节中，我们主要研究代表性BSDE（见示例4.6或（4.11））和衍生产品价格BSDE（3.21）。为了避免在代表代理人的BSDE中出现符号重叠，我们放弃了波浪符号和定义（Yw，Zw）作为上述BSDE的解决方案；不要与（4.3）混淆，它在这里不起作用。竞争价格的解决方案用（B，κ）表示。5.1考虑到关于二次增长的BSDE的现有文献，BSDE（4.11）的总风险分析并不困难。记录所有θS∈ s∞还有YwT∈ L∞（因为它是有界随机变量的加权和）。我们很快回忆起，D1，2是一阶Malliavin可微过程的空间，注意到Malliavin导数算子，我们将读者引向附录A.1，以获得进一步的Malliavincalculu参考。定理5.3。BSDE（4.11）有一个独特的解决方案（Yw，Zw）∈ （S）∞∩ D1,2）×（HBMO∩ D1,2）。此外，还存在一个严格的负函数uw∈ C0,1（[0，T]×R，R）使得对于任何T∈ [0，T]Ywt=uw（T，St，Rt）和Zw，2t=(（t，St，Rt）b，P-a.s。。i） 对于任何r，u∈ [0，t]，t∈ [0，T]它认为dwruywt=DWRrYwtP-a.s.和DWRuZwt=DWRrZwtP Leb-a.e。特别是对于任何t，DWRtYt=ZwtP-a.s∈ [0，T]。ii）存在一个常数C>0，使得| Zw，2t |≤ C代表任何t∈ [0，T]，即Zw，2∈ s∞和旭∈ Cb。此外，θR∈ s∞.iii）工艺DWR·ZWBE延伸至HBMO。证据让我们∈ A和0≤ U≤ T≤ T

SDE（2.1）和（2.2）的存在性和唯一性来自命题A.3。假设我们有YwT∈ L∞θS∈ s∞这允许引用[IDR10]中的定理2.6，因此（Yw，Zw）∈ s∞×HBMO。此外，考虑到YwT<0，二次BSDE的严格比较原则（参见[MY10，属性（5）]）很容易得出任何t的YwT<0∈ [0，T]因此uw<0。命题A.3 e确保Hd和Ha，以及Hw的收益是有界Malliavin导数的Malliavin可微的。进一步结合θS∈ R、 （4.11）的Malliavin可微性源自[IDR10]中的定理2.9。在假设5.1下，[IDR10]（或[DR11]第4章）中的结果以及[AIdR10]中的定理7.6给出了YW的马尔可夫性质和（二次）BSDE的参数可微性结果。 自uw以来∈ C0，1通过直接应用M alliavin微分，我们得到了0≤ U≤ T≤ TDWRuYwt=DWRuuw（t、St、Rt）= (xuw）（t，St，Rt）（DWRuRt）=(xuw）（t，St，Rt）b=DWRtYwt。因此，对于任何0，DWRtYwt=DWRuYwt=zwt≤ U≤ T≤ T P-a.s。。 ii的证明）：现在定义概率度量Q（相当于P）asdQdP=E-ZT*（θSs，-Zw，2sγR），dWs+！。（5.2）由于θS，测量值Q已被很好地定义∈ s∞Zw，2∈ HBMO。然后是0≤ U≤ T≤ 我们有（在[IDR10]中的定理2.9]）DWRuYwt=DWRuYwt+ZTt[-θSsDWRuZw，1s+γRZw，2sDWRuZw，2s]ds-ZTthDWRuZws，dWsi（5.3）=> DWRuYwt=EQ[DWRuYwt | Ft]。命题A.3中的结果和定义为| DWRuYwt |<C.BSDE的路径正则性结果及其常用表示公式（见[IDR10]）得出（DWRtYt）=（Zt）∈ s∞; 空间的有界性xuwfollows的方式很明显。因此，θR∈ s∞自从Zw，2∈ s∞和（4.9）保持不变。 iii）的证明：现在使用θS，Zw，2∈ s∞, 我们将[IDR10]中的定理2.6应用于（5.3），得到了DWR·Zw∈ HBMO。

DWRZWD的BMO范数仅限于某些re-al-constantsand T，γR，supukDWRuYwTkL∞和k（θS，Zw，2）kS∞×S∞（再次参见[IDR10]中的定理2.6）。在下一个结果中，我们展示了映射x7→ (（t，x，x）是利普希茨。用RandeR表示（2.1）的解，R=rand R=err；分别用（Y，Z）和（eY，eZ）表示深入过程中BSDE（4.11）的解。提议5.4。对于任何（t，x）∈ [0，T]×R映射R x7→ (xuw）（t，x，x）在t和x上是一致连续的。尤其是过程DWRZwis是P-a.s有界的。证据让0≤ U≤ T≤ T和定义δDY:=DWRYw- DWReYw，δDZi:=DWRZw，i- DWReZw，ifor i∈ {1,2}和（直观地）δDZ:=（δDZ，δDZ）。然后，根据Qfrom（5.2）下的（5.3）wr ittten，我们得到δDuYt=δDuYt-ZTthδDuZs，dWQsi+ZTtγR（Zw，2s）-eZw，2s）DWRuZw，2sds。现在定义processet:=expZtγRDWRuZw，2sds, T∈ [0，T]与（et）∈ 惠普，p>1，（5.4），其中（et）的可积性来自引理A.1。接下来，根据第5.3条的结果，我们可以看到δDuYt=δDtYt=Zw，2t-eZw，2t。将它的公式应用于（etδD·Yt），使用刚刚提到的恒等式，并取u=t=0时的Q条件期望|(xuw）（0，s，r）- (xuw）（0，s，er）|=b |（Zw，2）-eZw，2）|=|bEQ[eTδDYT]|≤ C | r- 呃|。最后一行是命题a.3与EQ[epT]结合的结果(p>1）是由于DWRZw的BMO性质而确定的，2参见引理A.1。常数C独立于u，r，eran和s。虽然DWRZw，2i在P下是BMO m可积的，但在q下可积性仍然存在；这与[IDR10]中引理3.1证明的最后一步相同（参见引用著作的Alsolema 2.2和备注2.7）。通过BSDE解的马尔可夫性质，将上述结果推广到整个时间间隔[0，t]。

这与马尔科夫类型的BSDE和某些类准线性抛物型偏微分方程之间的密切联系有关（例如参见[EPQ97]第4节）。最后，从x7的Lipschitz性质得到了DWRZW的有界性→ (xuw）（·，·，x）和DWRR的有界性，见第A.3，ii）点。5.2 EMPR和导数的BSDEWe接下来表明假设5.1意味着假设3.1适用于具有熵风险的模型。定理5.5（市场完成）。衍生工具HDS完善了市场，即对于任何t，κR6=0 P-a.s∈ [0，T]。此外，κR∈ s∞s gn（κRt）=sgn（bxhD）适用于任何t∈ [0，T]。在证明上述结果之前，我们需要一个中间结果。回想一下，BSDE（3.21）描述了冰过程Bθ的动力学，即HD∈ L∞θ∈ s∞×（HBMO）∩ D1,2）（根据假设5.1和定理5.3）。提议5.6。这对（B，κ）属于gs到（S）∞∩D1,2）×（HBMO∩D1,2）及其Malliavin导数满足0≤ U≤ T≤ T动力学dWrubθT=DWRuHD-ZTtκRsDWRuθRs+Dθs，DWRuκθsEds-ZTthDWRuκθs，dWsi。（5.5）对于任何0，表示DWRtBθt=κRtholds P-a.s≤ T≤ T证据让0≤ U≤ T≤ T请注意，BSDE（3.21）是一个具有线性驱动程序和边界终端条件的B SDE。解的存在性和唯一性来自[EPQ97]的结果。此外，[IDR10]中使用的估计技术得出（B，κ）∈ s∞×HBMO（见[IDR10]中的定理em2.6]）。（B，κ）的Malliavin可微性源于[EPQ97]中的命题5.3，以及自（θS，θR）以来的注释∈ R×（S）∞∩ D1,2）（见定理5.3）。引用的结果和命题A.3对DWRBθ的收益率（5.5）。此外，根据[IDR10]中的定理2.9，我们得到了limutDWRuBθt=κrt0≤ U≤ T≤ TP Leb-a.e。。现在我们证明了关于B和κ的一个更好的结果，即对于任何0≤ T≤ 而不仅仅是P Leb-a.e。。

这是通过显示（u，t）7来实现的→ DWRuBθ是连续的。注意，地图不是7→ u的DWRuBθt≤ t由（5.5）给出，因此它在时间上是连续的(T∈ [u，T]）。现在请注意，命题5.4和命题A.3给出了DWRZw，2is bounded和DWRuZw，2t=DWRrZw，2t=DWRZw，2t=DWRZw，2t表示任何0≤ u、 r≤ T≤ T这些性质也适用于θRvia恒等式-γRθR=Zw，2。使用度量Pθ（在（2.3）中介绍），DWRθS=0和恒等式-γRθR=Zw，2，可以重写（5.5）为dwrubθt=DWRuHD+γRZTtκRsDWRuZw，2sds-ZTthDWRuκθs，dWθsi。（5.6）编写与上述相同的BSDE，但对于参数v（而不是u），我们有dwrvbθt=DWRvHD+γRZTtκRsDWRvZw，2sds-ZTthDWRvκθs，dWθsi=DWRuHD+γRZTtκRsDWRuZw，2sds-ZTthDWRvκθs，dWθsi，其中我们使用命题A.3的结果。由于（5.6）的解是唯一的，并且上述BSDE的参数与（5.6）完全相同，因此我们必须得出结论，对于任何t∈ [0，T]和for0≤ u、 r≤ 它从t7的连续性中保持DWRuBθt=DWRrBθt→ DWR·Bθt遵循（u，t）7的连续性→ DWRuBθtin表示它的时间参数，因此表示DWRtBθt=κRtholds P-a.s.对于任何0≤ T≤ T现在我们可以证明定理5.5。定理5.5的证明。我们的过程与命题5.4的证明过程相同。ar公式如下：定义过程（et），如（5.4）所示；将其公式应用于（etDWR·Bθt）并在Pθ下写出结果方程（就像（5.6））；以Pθ条件期望为例。在这一点上，勒贝格积分仍然存在于动力学中：DWRuBθt=（et）-1EθeTDWRuHD+γRZTtes（κRs- DWRuBθs）DWRuZw，2sds | Ft= （et）-1EθheTDWRuHD | Fti，其中从第一行到第二行，我们使用命题5.6，即κRs=DWRsBθs=DWRuBθsP-a.s.对于任何0≤ U≤ s≤ T回顾HD=HD（ST，RT）和（2.1）给出的R的动力学，我们可以看到（根据链式规则）DWRuHD=bxhD。