相对性能考虑下的均衡定价

自从bxhDis要么总是正的，要么总是负的，因为κRt=DWRtBθtP-a.s∈ [0，T]，因此，对于所有T∈ [0，T]。更确切地说，取决于b的符号xhD，κRis P-a.s.要么总是阳性，要么总是阴性，给出sgn（κR·）=sgn（bxhD）.5.3参数分析可以在理论层面证明过程yw，Bθ和θR的一些可预测行为与问题参数的关系：n，γR，λa和γa∈ A.定理5.7。设θ为EMPR。求解BSDE（4.11）的过程（Yw，Zw）与λa可微∈ A、 n和γR（见（4.4）和（4.6））。给一个绅士找个工作∈ A.如果差异γR- γa和EθhXb∈AwbHb- Hai（5.7）是正的（分别是负的）对于任何t，eλAywt为负（分别为正）∈ [0，T]。对于任何一个∈ A我们有P-A.sγRYwt<0，γaYwt<0T∈ [0，T）。此外，P-a.snYwt<0，sgn(nθRt）=sgn（bxhD）T∈ [0，T]和nBθt<0T∈ [0，T）。部分结果在某种程度上是可以预期的。引入更多衍生品会导致整体风险降低，随着更多衍生品进入市场，衍生品的价值就会降低（perunit）。如果γRis被解释为代表性代理的风险承受能力，那么随着γRis的增加，我们的风险就会降低（YWreduces）因为它表明单剂的风险耐受性增加（即γa）。上述定理的主要信息是，一个代理人的绩效问题对总风险的影响基本上取决于该代理人相对于其他代理人在风险承受能力和个人禀赋方面的定位。

如果代理人的风险承受能力γA高于集团的风险承受能力γA，且其捐赠头寸在集团捐赠头寸中占主导地位，则代理人关注率的增加会导致总风险的增加。在证明上述结果之前，我们注意到条件（5.7）在某些条件下是简单的；以下推论总结了此类简化。所有结果都是通过直接操纵所涉及的量得出的。推论5.8。让定理5.7的条件成立。如果γa=所有a的γ∈ A、 然后γR- γa=γ帕瓦- 1.= 0.如果N=2，那么wa+wb=1<=> wb=1- 瓦恩斯Xc∈AwcHc- Ha=-wb（Ha）- Hb）和Xc∈AwcHc- Hb=wa（Ha）- 血红蛋白）。类似的γR- γa=-wb（γa）- γb）和γR- γb=wa（γa- γb）。更重要的是，它认为λaYwt= -sgnλbYwt任何t的P-a.s∈ [0，T]。（5.8）对于任何正随机变量X（X>0 P-a.s.），对于任何西格玛场F，都有EP[X | F]>0。由于测量变化是针对三次正密度函数进行的，因此新条件期望的性质仍然严格。定理5.7的证明。让我们∈ A和t∈ [0，T]。[DR11]中的定理3.1.9（另请参见[IDR10]中的定理2.8）确保了BSDE（4.11）关于γR、γa、λa和n的可微性。 YwinγR的导数：应用γRto BSDE（4.11）并将其写入（5.2）中定义的概率测量Q下，得到了动力学γRYwt=0+ZTt-（θSs）-2γRZw，2sds-ZTthγRZws，dWQsi。考虑Q-条件期望，注意勒贝格积分项对于任何t都是严格负的∈ [0，T），我们有对于任何t，γRYwt<0∈ [0，T）。 Ywinγa的导数：本例与前一例相同，由（4.4）定义的γRis和权重w·（见（4.6））独立于γ·。γR:=Xa∈Awa-aimpliesγaγR=wa>0，最终γaYw=γRYw·γa（γR）。

声明如下。 Ywineλa的导数：我们只计算关于toeλa阶的导数，以表示简化的计算aseλa:=λa/（N）- 1). 计算所涉及的导数会导致eλa1+eλa=-（λwa），eλa∧=（wa），eλawa=（wa）λ（wa）- 1), eλawb=（wa）λwb，eλaγR=eλaXb∈Awbγb=（wa）λ（γR）- γa）和eλaHw=（wa）λXb∈AwbHb- 哈.将上述结果与BSDE结合起来eλaywun在Q-测度下（就像前面的两个步骤一样）产生eλaYwt=-（wa）λEQhXb∈AwbHb- 哈+ （γR）- γa）ZTt（θSs）+2γRZw，2sdsFti。因为Q相当于P，下面的陈述如下。 Ywin n的导数：应用nto BSDE（4.11）并根据（5.2）中定义的概率测量值Q将其写入，得出动态nYwt=nYwT-ZTthnZws，dWQsi=> nYwt=EQ[nYwT | Ft]=-EQ[HD | Ft]NXa∈Awa<0，最后一个符号来自YwTand HD的定义。 θRin n的导数：Zw，2的分析，以及θrw对n和γr的分析（5.3）。给出陈述（4.9），申请nto BSDE（5.3）并将其写在（5.2）中定义的概率度量Q下，得出动态nDWRuYwt=nDWRuYwT-ZTthnDWRuZws、dWQsi+ZTtγRDWRuZw，2snZw，2sds<=> nZw，2t=nDWRuYwT-ZTthnDWRuZws、dWQsi+ZTtγRDWRuZw，2snZw，2sds<=> nZw，2t=（et）-1EQheTnDWRuYwT | Fti，其中（et）如（5.4）所示，并且说明与后面的类似。现在请注意，在终端条件YT=-帕∈Awa（Ha+nHD/N）我们有nDWRtYwT=-NXa∈阿华！DWRtHD=-NXa∈阿华！b(xhD（ST，RT）。假设5.1，我们可以得出以下结论：sgn（Zw，2t）=-sgn（b）xhD），因此，从（4.9）开始(nθRt）=sgn（bxhD）。 n中Bθ的导数：我们使用与命题5.6中使用的类似的正义，因此我们不给出所有细节。

召回（3.21），应用对方程进行n-算子，并进行通常的测量变化（Pθ）以获得nBθt=0-ZTtκRsnθRsds-ZTthnκθs，dWθsi=> nBθt=-Eθ[ZTtκRsnθRsds]。根据之前的结果，我们得到了sgn(nθRt）=sgn（bxhD）从定理5.5我们得到了sgn（κRt）=sgn（b）xhD）。这很容易理解nBθt<0。不幸的是，上述条件不允许对γR7的行为产生类似的结果→ θRor（γR，n，λ）7→哎呀。这种结果所需的条件限制性太强，没有任何用处。尽管如此，我们将在第6节通过数值模拟对其进行研究。6研究一个具有两个代理的特定模型在本节中，我们研究了一个由两个代理组成的模型经济，使用熵风险度量，并对外部非金融风险进行了相反的暴露。我们特别关注相对性能关注率对均衡相关过程的影响。与第3节、第4节和第5节相比，该模型足够简单，可以扩展可处理性，但仍然足够通用，可以产生丰富的结果和解释。特别是，我们明确地描述了平衡的结构。通过数值模拟，我们可以探索个体数量（如最优投资组合π）的相关性*a）将各种参数的风险降至最低，从而补充定理5.7.6.1中的结果。特殊模型和数值方法我们考虑由两个代理组成的程式化市场。我们认为，具有一定外部风险R敞口的一组更大的N个代理可以分为两组：高R值的代理和低R值的代理，我们可以将第4节中使用的加权聚合技术应用于每组。因此，我们的两名代理人可以被视为每个集团的代表代理人。

外部风险过程被认为是影响两个代理人的温度，他们也可以进入股票市场。温度和库存模型我们研究一个月的周期（T=1），我们研究T=1个月的每个周期一个，其中温度遵循具有恒定系数的SDE（2.1）：Rt=r+uRt+b WRt，对于库存，我们采用标准的Black-Scholes模型：DSST=uSdt+σSdWSt，其中温度过程的系数为r=18，ur=2，b=4，S=50，uS=-0.2和σS=0.25（因此θS=uS/σS=-0.8）用于股票价格过程。代理人的参数、禀赋和衍生定义I（x）：=πarctan（x）+∈ [0, 1]. 代理人的禀赋Ha和Hb被带到beHa=5+IRT- 24· 15，Hb=5+I16- RT·15+5 I装货单- 40.代理a的利润来自较高的温度，代理b的利润来自较低的温度。衍生工具有一个不依赖于股票的回报hds，由hd=I（RT）给出- 20） ，从而允许纯粹转移外部风险。所有函数都满足假设2.1和5.1。鉴于两家公司对RTA和HD设计的风险敞口相反，代理a将作为卖方，代理b将作为买方，从而为衍生产品建立可行的市场。我们始终假设衍生产品的总供应量为零，n=0，即一个代理拥有的每一个衍生产品单元都由另一个代理承保。代理商的风险容忍系数固定在γa=γb=1，除非我们正在分析与之相关的一些行为。类似地，除非另有规定，否则关注率固定为λa=λb=0.25，除非我们分析与之相关的一些行为。数值模拟过程包括时间离散和蒙特卡罗模拟。我们直接使用正向过程的ex-plicit解决方案；所有BSDE均采用数值求解。

关于时间离散化，我们使用标准的后向欧拉格式（见[BT04]），并使用[LdRS15]第5.4.2节所述的控制变量技术来补充时间离散化过程。反向归纳步骤中条件期望的近似是通过基函数的投影进行的，参见[GT14]中使用的最小二乘蒙特卡罗方法。我们遵循第3节和第4节。首先，我们求解代表代理的BS DE（4.1 1）。这意味着（4.9）EMPeR过程是θR。一旦得到了它，我们求解微分方程（3.21）的价格Bθ的BS DE，在这个过程中得到（κS，κR）。最后，我们为每个代理a求解带有驱动程序（3.15）的BSDE（3.23）∈ 并计算出最优策略π*,a=（π）*,a、 1，π*,a、 2）通过（3.16）和d（3.17）。我们注意到，在两个代理的情况下，系统（3.16）很容易反转。除图6.1中使用30个时间步长的曲线图外，以下所有曲线图均使用20万条模拟路径以及20个时间步长的统一时间离散网格进行计算。6.2模型中的行为分析图6.1显示了交易期间nts年龄段行为的实现。我们可以看到，导数的价格像温度一样移动，尤其是它从来都不是常数（在温度变化的时间间隔内）。这意味着，通过向代理人提供R的全部风险敞口，或相当于WR的风险敞口，衍生工具确实完成了市场——假设3.1得到满足。代理人b在衍生工具中总是多头，而a总是空头（后一种情况与前一种情况不同，因为她的地位与b相反）。事实上，这两个机构只做空股票是由于其下降趋势（θS<0）和捐赠基金几乎不依赖于S的事实：观察到的主要是对股票的最佳投资。

然而，由于股票价格较低，代理人b的捐赠较高，因此他不会像代理人a那样做空股票，以对冲这种风险。0.2 0.4 0.6 0.8 1303540455055股票价格0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05投资于S（nb股票）时间πa，1和πb，1 ag。啊。b0 0.2 0.4 0.6 0.8 1161718192温度和价格B时间0.2 0.4 0.6 0.8 10.30.40.50.60.7温度。德。价格0.20.40.60.81-7.-6.-5.-4.-3.-2投资于B（nb股票）时间πa，2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1234567πB，2 AG。啊。图6.1：几个过程的示例路径。左上角的股价；右上角的温度和衍生产品价格；对于每个代理人，左下角的股票投资策略和右下角的衍生品投资策略。这里λa=0.25，λb=0.0。交易活动衍生工具的最佳投资策略见第3.3.6节，由π给出*,a、 2=1+λaeZa，2+γaθRκRandπ*,b、 2=1+λbeZb，2+γbθRκR。股票中的最优投资策略通过反转Afrom（3.12）很容易实现。这就产生了π*,a、 1π*,b、 一,=1.- λaλbλa1- λaλbλb1- λaλb1- λaλbeZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSSeZb，1+γbθSσSS-eZb，2+γbθRκRκSσSS.备注6.1（关于平衡结构）。鉴于第3.3节所述的例子，股票投资的最优策略结构清晰可见。

每个代理使用权重计算自己的策略，就像没有相对性能问题一样（与第3.3.3节比较）1.-λaλb，λa1-λaλb一段时间λb1-λaλb，1-λaλb对于b.这些权重可以从方程（3.16）中理解，其中A={A，b}：每个代理人的最佳收益是根据其自然策略加上λ，投资于股票。λ通常是另一方的策略。假设每个代理w最初计划使用π（0），i，1=eZi，1+γiθSσSS计算她的最佳位置-eZi，2+γiθRκRκSσSS，i∈ {a，b}，它们依次显示另一个将要使用的策略，以便它们可以更新这些策略，产生一系列策略π（1），a，1，π（1），b，1，π（2），a，1，π（2），b，1，π（3），a，1。对于每个代理（从a的更新开始）。因为他们会根据方程（3.16）更新策略，我们观察到代理b的模仿部分、代理a的模仿部分、代理t b的模仿部分等。对相应的序列求和，代理a最终会根据toPn（λaλb）nπ（0）、a、1+λaPn（λaλb）nπ（0）、b、1和s进行投资。衍生品的最优投资结构有很大不同，基本上是从内生交易条件出发。如果向一名特工展示了另一名特工决定采取的策略，她就不能单方面改变自己的策略。由此产生了温度θR–见下文。现在，我们来看看各个投资组合相对于相对业绩关注率的表现。两种股票在t=0时的交易活动强度（π）*,a、 1）和导数（π）*,a、 2）作为关注率λa和λb的映射，可在图6.2中找到。

试剂b的位置在某种意义上是相似的：对于股票来说，表面看起来非常相似；对于导数而言，情况正好相反（由于零净供应条件）。为了便于阅读，我们只绘制了代理a.00.20.40.60.8100.20.40.60.81的位置-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50关注率λ库存中的交易活动wrt关注率- 试剂Acocern速率λbπa，1000.20.40.60.8100.20.40.60.81-11-10-9-8.-7.-6.-5关注率λ衍生产品的催化活性wrt关注率- agenta aConcern rateλbπa，20图6.2：agenta持有的股票（左）和衍生品（右）的初始数量πa，1和πa，2，作为（λa，λb）的函数。为了可视化，左图上的轴被颠倒了。图6.2中观察到的行为符合一个直观的想法，即代理越关注（高λi）其相对性能ViT- VjT，j6=i∈ {a，b}（回想一下（1.1）），他们越会以中和这种风险来源的方式进行投资。这是通过采用尽可能接近其他代理的交易策略来实现的。对于股票，我们从备注6.1中的公式中可以看出，当λaλb<1时，瞄准b模仿a等的过程会导致一个确定的位置。但体积与λa和λb同时增大，并爆炸为（λa，λb）→ (1, 1). 在我们的例子中，他们都会（做空）卖出很多股票。请注意，这是可能的，因为股票被假定为具有原始价格和完全流动性。对于衍生品，它们不能相互模仿，也不能将自己定位在同一个方向，因为零净供给条件意味着代理人必须持有完全相反的位置。代理人b在交易衍生产品时的收益将恰好是代理人a的损失。

对于一个非常关心的代理人来说，减少业绩差异的唯一方法是减少（参与）衍生品交易。然后，市场清仓条件迫使另一个年龄段的人也减少交易量（以交易量计）。从备注6.1中公式中的系数1/（1+λi）可以看出这一点，并在图6.2（右侧）中得到证实，其中，代理人a（被确定为卖方）最终出售的衍生工具单位减少，因为两种关注率都有所增加。由于代理之间的市场清算条件，不可能发生爆炸。图6.3显示了衍生品价格Bθ对关注率λa，λB的相反依赖性，这是定理5.7未捕捉到的行为。人们可以通过记住图6来理解这种影响。2.更高的λ意味着age nt A希望少交易，而她是卖家，这会推高价格。对称地，更高的λb使agen t b希望减少交易，并且，由于她是买家，这会导致价格下降。00.20.40.60.8100.20.40.60.810.40.450.50.550.60.65关注率λ衍生wrt关注率的概率关注率λbB00。511.522.533.540.511.522.533.540.510.5150.520.5250.53风险承受能力衍生产品的风险承受能力风险承受能力γBB0图6.3：衍生产品的初始价格Bθ，左边是（λa，λB）的映射，右边是（γa，γB）的映射。综合风险图6.4证实了定理5.7的分析结果。首先请注意，γa=γb=1和socondition（5.7）是简单的（见推论5.8）。正如预测的那样，风险容忍度的增加导致agg回收风险的降低（见图6.4，左图）。右图显示了（5.8）中所述的交叉行为。每个代理的风险OREM 5.7没有将每个代理的风险评估行为描述为风险率λ·的函数。