相对性能考虑下的均衡定价

首先，从gaas的定义来看，我们自然得到了（t，za）=egat、 πa（t，π）-at，za），π-在，扎≤ ega（t，πat，π）-at，za）对于所有的t和za，也就是说，eGa（·，·）≤ ega（·，πa·，π-a·，·）。第二，eGais af fi，因此Lipschitz，采用Lipschitz高效的流程-θ ∈ HBMO。因此，根据比较理论，对于任何t∈ [0，T]特别是对于T=0，thateYat=eYat（π*,a、 π-（a）≤eYat（πa，π）-a） 。这适用于任何πa∈Aθ（π）-a） 这证明了Ofea=ρa的极小性ξa（π）*,a、 π-（a）因此π的最优性*,a、 我们现在讨论优化器π的唯一性*,a、 设πabe为可容许策略，并设（eYa（πa），eZa（πa））为相应的风险，即用策略πa求解BSDE（3.2）。我们计算差Eyat（πa）-eYat（π）*,a） ，在Lebesgue积分中加和减t、 πat、 π-at，eZat（πa）, π-at，eZat（πa）=eGa（t，eZat（πa）），并使用eGa的精确形式：eYat（πa）-eYat（π）*,a） =ZTthegas、 πas，π-as，eZas（πa）-eGas、 eZas（π）*,（a）身份证-ZTt[eZas（πa）-eZas（π）*,a） ]dWs=ZTthegas、 πas，π-as，eZas（πa）- egas、 πas、 π-as，eZas（πa）, π-as，eZas（πa）ids（3.10）-ZTt[eZas（πa）-eZas（π）*,a） [dWθs.由∏aas a极小值构成，（3.10）中的差总是正的。特别是，取pθ-期望w.r.t.F意味着（πa）-eYat（π）*,（a）≥ 0代表所有t∈ [0，T]。假设πais是一个非最优策略。TheneYa（πa）=eYa（π*,a） t=0的LHS消失了。在Pθ-期望下，RHS上的随机积分也消失，我们可以得出结论，（3.10）中的被积函数是zero Pθ 因此，我们得到eYa（πa）=eYa（π*,a） henceeZa（πa）=eZa（π*,a） 。通过极小值的唯一性，我们得到了πa·=πa·, π-a·，eZa·（πa）= πa·, π-a·，eZa·（π）*,（a）=π*,a·。备注3.3。

而定理3.2则是系统a中单个主体a与其他策略π的最优响应-在固定的情况下，很明显，它可以更一般地描述一个代理人的最优投资，该代理人的偏好由ga（相当于ρa·）描述，他在资产和B中进行交易，该资产和B具有给定的MPRθ（人们可以考虑使a={a}，或使λa=0）。按照同样的方法，结果可以推广到更高数量的资产，价格过程是外生的。这同样适用于交易较少资产的代理，通过将res p ectivecomponents设置为零——见定理4.5。现在，我们通过F OC陈述了最优策略的特征化。引理3.4。在定理3.2的假设下，假设bπabe是一个可容许策略，且（bYa，bZa）是相关的风险过程，用驱动程序ega（t，bπat，π）求解BSDE-在、·）和终端条件下-哈假设它们满足sens中的FOC（3.6）-（3.7）要求zga（t，bZat-bζat）=-θtwbζat=bπa，1tσt+bπa，2tκθt-eλaπ-a、 1tσt+’π-a、 2tκθt.然后（bYa，bZa）=（eYa，eZa）和bπa=π*,a、 证据。根据对遗传算法的假设，zga（t，bZat）-bζat）=-θt表示bzat-bζat=Za（t，-θt），或相当于bπt=a（t，π-在，bZat）。因此e ega（t，bπat，π-at，bZat）=eGa（t，bZat）-重新呼叫（3.3）。具有drivereGa（t，·）和终端条件的BSDE解的唯一性-哈，我们有（bYa，bZa）=（eYa，eZa）。因此，通过FOC解的唯一性，bπat=a（t，π-at，bZat）=∏a（t，π）-at，eZat）=π*,在3.2无约束纳什均衡解决了一个agent的优化问题，现在我们来看纳什均衡的存在性和唯一性，仍然是MPRθ∈ HBMO在本节开头固定，但仍然没有固定的供应限制。假设π*= (π*,a） a∈这是一个纳什均衡。安排一名特工∈ A.

从定理3.2给出的最优策略的唯一性来看，1μs有π*,at=a（t，π）*,-at，eZat），t∈ [0，T]，其中（eYa，eZa）是具有终端条件的BSDE的解决方案- （3.9）中给出了had和drivelage。因此，从∏a的表征（3.8）中，我们得出∈ A和t∈ [0，T]，π*,a、 1t-eλa′π*,-a、 1t=eZa，1t- Za，1（t，-θt）σSSt-eZa，2t- Za，2（t，-θt）κRtκStσSSt=：Ja，1t，π*,a、 2t-eλa′π*,-a、 2t=eZa，2t- Za，2（t，-θt）κRt=：Ja，2t。（3.11）注意，对于任何∈ A、 这个过程（eYa，eZa）不依赖于π*,-阿诺π*,a、 看来两者都不是-汉诺威有。因此，Jatis也独立于未知π*t、 这只存在于（3.11）的LHS中。相反，假设我们可以解π*在方程（3.11）中，π*在价格上是可积的。然后，由于π*,at=a（t，π）*,-根据（3.8），定理3.2保证π*,ais是对π的最佳反应*,-a、 因此我们有一个纳什均衡。纳什均衡π的存在唯一性*等价于方程（3.11）解的存在唯一性。确定矩阵和∈ RN×NbyAN=1.-λN-1.-λNN-1., （3.12）也就是说，第j行有条目-eλj=-λj/（N）- 1） ，除了第j个1。方程（3.11）可以写成π*,·,i=J·，i，（3.13）式中π*,·,i=（π）*,a、 i）a∈a和J·，i=（Ja，i）a∈A、 因为我∈ {1, 2}.定理3.5。假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMO，假设3.1和假设2.3成立∈ A、 Jais可积于价格和| eGa（·，0）| 1/2∈ HBMO。然后存在唯一的纳什均衡π*= (π*,a） a∈A与（3.13）的唯一解给出的MPRθ有关。证据ANisdet（AN）=1的行列式-Xi<jeλieλj- 2Xi<j<keλieλjeλk- 3Xi<j<k<leλieλjeλkeλl- . . . - （N）- 1） NYi=1eλi，其中和从A={1，…，N}上经过指数i，j，k，l。

如果λa=1表示所有a∈ A、 然后det（AN）=1-PNk=2k-1（N）-1） kNk= 所以矩阵是不可逆的。行列式严格来说是一种符号，对于a的某些子集上的和和和积，我们用集合{1，2，…，N}识别a，其中N∈ N是代理的固定数量。在每个λa（a）中递减∈ A） 因此也在λA中。因此，如果λA∈ [0,1]对于所有∈ A和产品QA∈AλA<1，则至少一个因子必须严格小于1，行列式必须严格为正（即det（an）>0）。ANfollows的可逆性。这保证了一个人可以为每一个i求解系统（3.11）（或者，等价地，（3.13））∈ {1,2}得到（π）*,·,i） 。π的可积性*根据每个分量π*,ais是可积Ja的线性组合。最后，π的纳什最优性*在核心方程（3.11）的确定中进行了论证。我们现在可以对假设2.3进行评论。如果λb=0表示所有b∈ A\\{A}，则λA的可逆独立性，即特别是λA=1。这表明λa∈ [0,1]对于所有a∈ A不是必须的，只是一个充分的条件。最后，如果我们考虑λa>1，那么qaλa<1不足以满足AN的可逆性，例如，在N=3的情况下，取λa=λb=2和λc=0。从现在起，我们假设age nts的优化问题有一个解，因此有必要讨论均衡市场风险价格（EMPR）的概念。备注3.6。注意，在这一点上，由于θ是外生的，我们还没有一个耦合的BSDE系统。每一个∈ A、 我们得到值过程（eYa，eZa）作为BSDE的解，其中终端条件-Haand drivereGa不依赖于策略，只接受sezaas论点。然后利用这些过程求解策略π的纳什均衡*, andso（eYa，eZa）a∈Ais是纳什均衡的价值过程。

这一特性（在求解最优值时，BSDES没有耦合），以及优化器π的求解*纳什均衡的形式归结为求解一个线性系统（其解的存在性和唯一性等价于矩阵的可逆性），这是问题结构的结果，即对相对性能的关注形式。特别是，它不依赖于单个风险度量的特定形式ρa（或等效的e，驱动因素ga）。在第4节晚些时候，发现EMPR导致了多维二次BSDE。3.3一个例子：熵风险度量案例我们现在说明定理3.2对于特定风险度量的方法和结果，并为我们在第5节和第6节中研究的模型奠定基础。我们给出了一系列例子，以增加复杂性的顺序，展示了随着特征的增加，最优策略的结构是如何变化的。如上所述，这些例子还没有考虑市场条件，而是假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMOI已给出。尽管如此，它们给出了NEXT部分的一个例子，其中导出了风险的均衡市场价格。每个年龄段∈ A正在使用熵风险度量ρafor评估她的风险，driverga:R→ R如果给定byga（z）：=2γa | z |，其中γa>0表示代理a的风险承受能力，1/γais表示代理a的风险规避。这种选择与指数效用有关，我们有（参见[Car09]、[FK11]、[HIM05]或[REK00]）ρa（ξ）=Ya=γaln e[e-ξ/γa]=γaln- Uγa（ξ）Uγa（ξ）=E[-E-ξ/γa]，因此，等效地，这些试剂使其预期（指数）效用最大化。在下文中，最优策略是使用到目前为止描述的技术计算的，因此我们省略了c计算。

他们归结为从（2.5）中找到地图，然后将其注入（3.8）和（3.9）中以获得。我们用π表示整个*,a（为a）∈ A） 最优纳什均衡策略。3.3.1对于单个代理的参考案例，为了进行比较，我们首先给出了单个代理的最优策略，该代理可以以（任意和外源给定的）风险市场价格θ=（θS，θR）流动交易价格S和价格B的衍生产品。她旨在通过终端捐赠和交易收益ξa=Ha+VaT（πa），将风险降至最低。在这里，其他代理不起作用。由于gazi（z）=zi/γa，很容易发现Za（t，-θt）=(-γaθSt，-γaθRt）=-γaθt.将其注入（3.9）中产生最小驱动力eGa，eGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。然后，最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和Driverga，而最优策略则由π给出*,a、 1=eZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSSandπ*,a、 2=eZa，2+γaθRκR。这一结果是预期的，并且与规范的数学金融结果一致。最优策略的特殊结构源自这样一个事实，即当κS6=0时，第二种资产与第一种资产相关，并且二维价格（S，B）的波动矩阵倒置，σss0κSκR.a面临的市场是完整的，剩余风险最小化的驱动因素是a，我们有明确的解决方案a=Eθ-哈-γaZT |θu | du= -EE-θT·Ha+γaZT |θu | du.最小风险指标与Ha有关：价格趋势（θ6=0）导致持续风险降低，市场的完整性导致对Ha的依赖性。备注3.7。注意ega（t，0）=-γa |θt |。

因此，由于θ∈ HBMO，我们在定理3.2和3.5中假设| eGa（t，0）| 1/2∈ HBMOI对风险最小化BSDE的良好定位感到满意。3.3.2单一代理人不能在衍生产品中交易的参考案例也很有启发性，并且在以后的研究中会很有用，因为该单一代理人不能在衍生产品中交易，因此面临一个不完整的市场。我们首先在（3.4）上施加πa，2=0，然后在πa，1上进行优化（见备注3.3）。计算后的最小驱动程序iseGa（t，z）=-γa（θSt）- zθSt+2γa（z），t∈ [0，T]。请注意，变量ZB中的Egais af fine保留了z中的二次项。然后，最小风险由Ya=Eyaw给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和上述Driverga，而最优策略是π*,a、 1=eZa，1+γaθSσS和π*,a、 2=0.3.3.3如果多个代理没有相对性能关系，则返回到全套代理a，并将λa=0用于所有代理a∈ A.这是[HPDR10]中介绍的设置。我们将代理人a的风险最小化驱动因素定义为beeGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）求解具有终端条件的BSDE-has和最小化driverga，而最优策略由πλ=0，a，1:=eZa，1+γaθSσSS给出-eZa，2+γaθRκRκSσS和πλ=0，a，2:=eZa，2+γaθRκR.（3.14）观察到，在这种情况下，a遵循的策略πλ=0并不直接依赖于其他代理的策略；它的结构与单一代理人的情况相同。

然而，当衍生工具的价格动态不是固定的，而是从均衡中出现时，随后，其他代理的策略将通过θRandκ间接出现。3.3.4如果想要在纯风险交易的特殊情况下考虑衍生工具的内生交易，那么在零净供应中没有相对性能问题的多个代理的情况下，如果在（2.8）中取n=0，那么外部风险的市场价格θr必须是内生计算的，而不是像我们到目前为止所做的那样任意固定。不难看出，将（3.14）中的最后一个等式在一段时间内求和∈ 施加零净供给条件，Paπλ=0，A，2=0，这要求θR=-PaeZa，2/Paγa。然而，通过求解一个包含θR的N个BSDE系统，可以发现z·，2s。用上述方程组中的表达式替换θRby，可以得到一个一般难以求解的二次BSDE完全耦合系统。我们使用第4.3.3.5节中的替代工具解决了这个pr问题。在一般情况下：性能相关的多个代理在一般情况下（不假设λa=0表示所有a），我们得到的最小驱动为stilleGa（t，za）=-γa |θt|- hza，θti，t∈ [0，T]。（3.15）最小风险由Ya=eYa给出，其中（eYa，eZa）是带终端条件的BSDE的解决方案-Ha和Driverga，而最优策略π*= (π*,a） a∈a由π给出*,a、 一,-eλaXb∈A\\{A}π*,b、 1=eZa，1+γaθSσSS-eZa，2+γaθRκRκSσSS，（3.16）π*,a、 二,-eλaXb∈A\\{A}π*,b、 2=eZa，2+γaθRκR。

（3.17）命题3.5.3.3.6保证了系统（3.16）和（3.17）g ivenθ的一般可逆性。一般情况下：如果一个变量施加（2.8）n=0，则表示PB∈A\\{A}π*,b、 2=-π*,a、 2，则导数投资的线性系统（3.17）大大简化，其解由π显式给出*,a、 2=1+eλaeZa，2+γaθRκrf代表所有a∈ A.（3.18）注意（3.18）中衍生工具的最优投资策略的结构是如何与（3.14）的结构相同的，按系数（1+eλA）缩小-1.在第6节中，我们研究了一个带有两个代理的模型，并将对股票投资进行明确计算（即系统的反转（3.16））。3.4净供应量归零我们现在给出一个辅助结果，以简化条件（2.8）。我们展示了他们的初始持有量πa，2-= πa，26=0在游戏开始前/开始时可以简化为πa，2-= πa，2=0。这使得我们可以在n=0的情况下应用（2.8），这将在以后的计算中被证明是至关重要的。n=0的r递减是基于风险度量的单调性和以下引理，从一个代理a的角度陈述∈ A.结果基于Lemm a3。9英寸[HPDR10]。为了避免符号重载，我们省略了对π的显式依赖-这是一个小节。引理3.8。对于给定的MPRθ和容许策略sπ-a=（πb）b∈考虑剩余风险BSDE的动态-deYat（πa）=egat、 πat，eZat（πa）dt- heZat（πa），dWti（3.19）与使用容许策略πa的代理a的偏好相关。进一步假设（3.19）对于任何给定的FT可测有界终端条件Eyt具有唯一解。让我们∈ R

然后，o如果πa:=（πa，1，πa，2）将终端条件下的解（πa）最小化到（3.19）-哈，那么πa:=（πa，1，πa，2）- ν） 最适合终端条件-（Ha+νHD）；o如果πa:=（πa，1，πa，2）最小化终端条件下的解（πa）-（Ha+νHD），那么bπa:=（πa，1，πa，2+ν）对于终端条件是最优的-哈证据我们只证明第一个断言，因为第二个断言是等价的。让我们∈ [0，T]。假设π*,A.∈ Aθ（π）-a） 最适合（3.19）witheYaT:=-哈，也就是说，对于任何πa∈ Aθ1 haseYa（π*,（a）≤eYa（πa）。定义further，对于任何πa∈ Aθ，πA:=πA- （0，ν）=（πa，1，πa，2）- ν） 和π*,a:=π*,A.- (0, ν).来证明你（ˇπ）*,（a）≤ Ya（ˇπa）对于Yasolves（3.19）中的任何ˇπa，YaT=-（Ha+νHD）我们首先展示了具有不同终端条件的基站之间的一致性结果。第二步是最优性。第一步：我们证明了这个过程（Y（πa），Z（πa））：=（eYa（πa）- νBθ，eZa（πa）- νκθ）解BSDEYt（ˇπa）=-（Ha+νHD）+ZTtega（s，ˇπas，Zs（ˇπa））ds-ZTthZs（ˇπa），dWsi。（3.20）为此，我们将（2.4）重新表述为BSDE:Bθt=HD-ZTthκθs，θsids-ZTthκθs，dWsi。