相对性能考虑下的均衡定价

股票价格遵循一个非均衡扩散过程，不受代理人需求的影响。相比之下，衍生品是由代理人从一个不合理的终端进行交易的，其定价应确保供需平衡。我们让读者查阅附录A，全面了解符号和随机设置。2.1风险的市场来源和贯穿本文的基础∈ [0，T]。在我们的模型中，有两个独立的随机性来源，由标准过滤概率空间上的二维标准布朗运动W=（WS，WR）表示(Ohm, （Ft）Tt=0，P），其中（Ft）是由W生成的过滤，并由P-null集增加。布朗运动驱动着外部和不可交易风险过程（Rt），它被认为是一个温度过程或一个预测指标。为了便于分析，我们假设（Rt）遵循布朗运动，漂移是一个随机过程uR：Ohm×[0，T]→ 兰德常数波动率b>0，即dRt=uRtdt+bdWRt，R=R∈ R.（2.1）布朗运动wst根据St=ustdt+σstdwst，（2.2）=ustdt+hσt，dWti和σt:=（σStSt，0）驱动股价过程（St）∈ R、 S=S>0。在这项工作中，我们假设随机过程uR，uS，σS：Ohm ×[0，T]→ R是（Ft）自适应的，σS>0。风险的市场价格：财务和外部我们记得（参见[HM07]）在平方可积变量集合L（P）上的y线性定价方案，与P有关，可以用二维可预测过程θ来识别，使得指数过程（eθt）定义为θt:=e-Z·hθs，dWsit=exp-Zthθs，dWsi-Zt |θs | ds, T∈ [0，T]，（2.3）是一个均匀可积鞅。

这确保了通过密度EθTagainst P定义的测度Pθ确实是一个概率测度（定价测度），然后随机终端支付X的当前价格由Eθ[X]给出，其中Eθ表示对Pθ的预期。对于任何这样的θ，我们引入Pθ-布朗运动wθt=Wt+Ztθsds，t∈ [0，T]。向量θ的第一分量θ：=（θS，θr）是金融风险的市场价格。在不存在套利的假设下，S必须是Pθ下的鞅，从S的外生给定动力学来看，θ必然由θSt=uSt/σSt给出。另一方面，θRon的过程未知。它是外部风险的市场价格，将由市场清算条件（或恒定净供应条件，见下文）内生得出。代理人的捐赠和衍生工具的收益∈ 当时的收入取决于财务和外部风险因素。虽然代理人能够在金融市场进行交易，以对冲其部分金融风险，但基础风险仍然源自代理人在可交易风险过程R中对n的敞口。在市场外部引入了到期时回报为HDT的衍生工具。通过衍生品HD交易，经纪人现在有了一种降低基差风险的方法。我们给出了S和R动力学中出现的禀赋、激励回报和系数的一般条件（符号见附录A）。在这项工作的其余部分，以下假设代表所有结果。假设2.1（基于pr问题数据的长期假设）。过程uR，uS，σ和θS:=uS/σ是有界的（属于S∞).

随机变量hd和Ha，a∈ A、 是有界的（属于L）∞（英国《金融时报》）。衍生产品的价格、市场交易和代理人的策略假设没有套利机会，HDD的价格过程（Bθt）由其在Pθ下的预期收益给出；换句话说，Bθ·=EθHD | F·. Sinc e HDis有界，将Pθ-鞅写成Pθ-布朗运动Wθ的随机积分（用鞅表示定理）产生一个二维平方可积自适应过程κθ：=（κS，κR），使得∈ [0，T]BθT=Eθ[HD]+Zthκθs，dWθsi=Eθ[HD]+Zthκθs，dWsi+ZtDκθs，θsEds。（2.4）注意我们有（B，κ）∈ s∞×HBMO（Pθ）。我们用πa，1t和πa，2t表示单位数agenta∈ A在t时持有股票和衍生工具∈ [0，T]分别。使用自我融资策略πa:=（πa，1，πa，2）以R为单位计算，她从交易到时间t的收益∈ [0，T]，在定价测度Pθ下，衍生工具的价格（BθT）由VAT=Vt（πa）=Ztπa，1sdSs+Ztπa，2sdBθs=ZtDπa，1sσs+πa，2sκθs，θsEds+Zthπa，1sσs+πa，2sκθs，dWsi给出。我们要求交易策略与价格πa是可积的∈ L（S，Bθ），Pθ（即eθ[hv·（πa）iT]<∞) , 因此，收益过程是Pθ下的平方可积鞅。2.2偏好、风险最小化和均衡代理人的风险度量nts使用由倒向随机微分方程（BSDE）导出的动态凸时间一致性风险度量ρa·评估其风险。这意味着（ξa）处的风险ρ∈ A时间t∈ [0，T]具有Yat给出的FT-可测随机位置ξais，其中（Ya，Za）是BSDE的解-dYat=ga（t，Zat）dt- hZat，dWti，终端条件YaT=-ξa.驾驶员对代理人的风险进行编码。我们假设Ga具有以下性质：假设2.2。地图ga:[0，T]×R→ R是一个确定的连续函数。

它对空间变量z 7的限制→ ga（·，z）是连续可微的，严格凸的，并达到其最小值。对于任何固定的（t，θ）∈ [0，T]×R，地图z 7→ ga（t，z）- hz，θi是严格凸的，并且在其梯度消失的点处达到唯一的最小值。考虑到这一点，我们可以定义：[0，T]×R→ R、 （t，θ）7→ Za（t，θ），其中Za（t，θ）是方程的唯一解zga（t，Z）=θ。（2.5）上述B SDE给出的代理人风险度量是强时间一致、凸和平移不变（或货币）的。我们没有给出BSDEs描述的风险等级的很多细节，相反，我们让感兴趣的读者参考[BE05、Gia06、BE09]。为了方便起见，我们回顾了在这项工作中起作用的风险度量的相关属性：i）翻译不变性：对于任何∈ R和任意t∈ [0，T]它认为ρat（ξa+m）=ρat（ξa）- Mii）过程的时间一致性ρat（ξa）: 对于任何t，t+s∈ [0，T]认为ρat（ξa）=ρat（ρat+s（ξa））；和iii）凸性：对于任何t∈ [0，T]对于ξa，^ξa和α∈ [0,1]我们有ραξa+（1）- α） ^ξa≤ αρat（ξa）+（1）- α） ρat（^ξa）。个体优化问题代理人a在到期时的位置ξaat由其在一段时间内的最终收入Ha和交易收益Vat之和[0，T]决定。然而，代理人将其交易收益VaT=VT（πa）与所有其他代理人的平均收益进行比较。

因此，我们定义了感知总财富ξa（πa，π）-a） N时代的每一个国家∈ 时间t=t时市场中的A等于ξA=哈+1.- λaVT（πa）+ λaVT（πa）-N- 1Xb∈A\\{A}VT（πb）= Ha+VT（πa）-eλaXb∈A\\{A}VT（πb），其中λA:=λaN- 1和λa∈ [0,1]是代理a的关注率（或嫉妒因子）∈ A（与（1.1）相比）。我们对集中率λ·做出以下假设，其合理性将在第3.3.5节稍后明确。假设2.3（性能问题率）。我们有λa∈ [0,1]针对每个代理和QA∈AλA<1。如我们在第3.3.5节中所示，λa>1的情况并不一定难以解决，但对这种情况的分析超出了本文的范围。为了便于注释，我们引入R（N）-1） -值向量π-a:=（πb）b6=a和¨V-at:=Xb∈A\\{A}Vt（πb）=Vt（¨π）-a） 在哪里-a:=Xb∈A\\{A}πb.（2.6）根据BSDE，与自我融资策略相关的风险为πA-dYat=ga（t，Zat）dt- hZat、dWti和YaT=-ξa（πa，π）-a） =-Ha+VT（πa）-eλaVT（¨π）-（a）.（2.7）现在，我们为公共关系问题引入一个可采性的概念。定义2.4（可采性）。让我们∈ A、 π-a=（πb）b∈A\\{A}对于其他代理来说是可积的策略。如果Eθ[hv·（πa）iT]<∞, 式中，hV·（πa）i表示Vt（πa）T∈[0，T]和BSDE（2.7）有一个独特的解决方案。代理a的可接受交易策略集∈ A由Aθ（π）表示-a） 。我们指出，在完全普遍的情况下，每个公司都可能有自己的交易限制，如[ET15]或[FDR11]。

在这里，我们假设代理人没有交易约束，除了他们的策略可与价格积分，并导致明确的风险。每个特工∈ A解决了以下风险最小化问题{Ya（πA，π-a） |πa∈ Aθ（π）-a） 哦。请注意，代理a的风险和选择的策略先验地取决于分配者的策略π-a、 这种相互依赖性是我们模型的一个永恒特征。为了便于陈述，我们尽可能地将其隐式化，并将解决方案写入BSDE，将代理a的风险作为（Ya，Za）而不是Ya（πa，π）-a） ，Za（πa，π）-（a）. 如果情况需要，我们将使用后者。竞争均衡、风险均衡市场价格和内生交易我们用n表示∈ R市场上衍生产品的单位数量。虽然每个衍生单位在时间T时支付HD，但代理商可以自由购买和承保HD的任何金额的合同，因此n不一定是整数。我们认为n=0的情况很重要，在这种情况下，一个代理人的所有竞争信息都由另一个年龄段的代理人承担，这基本上意味着代理人彼此分担风险（参见[BE05，BE09]或[HM07]）。在[HPDR10]的基础上进行构建，可以实现更大的灵活性，因为n6=0是可能的。在任何情况下，超过[0，T]时，只有我们集合A中的代理人（交易目标如上所述）在市场中活跃，因此存在的衍生品总数随时间保持不变。我们假设每个代理独立地寻求最小化其风险度量，而不与其他代理合作，所以我们对纳什均衡感兴趣。定义2.5（平衡和e平衡MPR（EMPR））。

对于给定的市场风险价格（MPR）θ=（θS，θR），我们称之为π*= (π*,a） a∈a平衡如果，对于所有a∈ A，π*,A.∈ Aθ（π）*,-a） 如果，pr i或时间t=0，另一个代理a，情况n6=0是可能的/∈ A在竞争市场上，然后s t阻止了她的活动，例如，amight的目标是根据自己的特定标准购买m>0个单元，在这种情况下，n=-m<0。对于任何可容许的策略，πait认为Ya（π*,a、 π*,-（a）≤ Ya（πa，π）*,-a） ，即考虑到其他代理的策略，个体最优。我们称之为θ均衡MPR（EMPR）和θ需求外部风险市场价格（EMPR）if1。θ=（θS，θR）使Pθ成为真概率测度（等价地，来自（2.3）的Eθ是一个统一可积鞅）；2.存在唯一的平衡π*对于θ；3. π*满足衍生产品HD的市场清算条件（或固定供应条件）（其中LEB表示Lebesgue度量）：Xa∈π*,a、 2t=Xa∈π*,a、 2=NP Leb- a、 e.（2.8）3单主体优化和无约束均衡在本节和下一节中，我们研究了问题的可解性以及BSDE引起的一般风险度量的均衡结构。寻找外部风险的均衡市场价格本质上是固定供应约束下的优化。因此，在研究是否存在这种均衡MPR（推迟到第4节）之前，我们首先定义一个任意MPRθ∈ HBMOand在没有固定供应约束的情况下，求解给定MPR的代理系统的行为。

为此，我们首先解决个体代理人的行为，考虑到其他代理人选择了他们的策略（所谓的最佳反应问题），然后解决代理人系统的灰平衡。3.1一种试剂的最佳响应在本小节中，除了MPRθ固定外，我们假设给定策略π-a=（πb）b∈A\\{A}其他代理，对于固定代理A∈ A、 我们研究了单个代理的投资问题，其偏好由ga编码。优化剩余风险为了解决代理A的优化问题，我们首先从[HPDR10]重新调用∈ [0，T]，选择的策略必须最小化剩余风险：风险度量的可加性（写入VT=（VT- Vt）+Vt并使用平移不变性）thatYat=ρatHa+增值税-eλa′V-在= ρatHa+（增值税）- 增值税）-eλa（`V-在-\'V-在）-增值税-eλa′V-在.这建议将以下变量变化应用于（2.7）（使用（2.6）），eYat:=Yat+增值税-eλa′V-在,eZat:=Zat+ζat，其中ζat=πa，1tσt+πa，2tκθt-eλaπ-a、 1tσt+’π-a、 2tκθt∈ R.（3.1）如果从上下文中不清楚这些策略，我们也会写出ζa=ζa（π）=ζa（πa，π）-a） 。计算得出（eYa，eZa）的BSDE，由-deYat=egat、 πat，π-在，埃扎特dt- heZat，dWti，终端条件为：-Ha，（3.2）其中司机ega：Ohm ×[0，T]×R×（R）N-1×R→ R定义为a（t，πat，π-at，za）：=gat、 za- ζat- hζat，θti（3.3）=gat、 za-πa，1t-eλa′π-a、 1tσt+πa，2t-eλa′π-a、 2tκθt(3.4)-Dπa，1t-eλa′π-a、 1tσt+πa，2t-eλa′π-a、 2tκθt，θtE。每个代理人∈ A通过选择投资策略πA，寻求最小化（3.2）的解决方案Eeya∈ Aθ（π）-a） 换句话说，她的目标是解决minπa∈Aθ（π）-a） eYa（πa，π-a） 。（3.5）在解决个体优化之前，我们假设衍生产品确实完成了市场。

然后必须对其进行事后验证（一旦计算出解决方案），并根据具体模型逐案验证。假设3.1。假设κRt6=0，对于任何t∈ [0，T]，P-a.s。单代理剩余风险的逐点最小化在（3.2）中，策略πa仅出现在驱动ega中。BSD的比较定理表明，为了在πa上最小化Eya（πa），对于每个固定ω，t，π，只需在πat上最小化驱动函数ega-阿坦扎。我们定义了随机映射∏a（ω，t，π）这样的点态极小化子-at，z）：=arg最小πa∈Rega（ω，t，πa，π）-at，z），（ω，t，π-在，z）∈ Ohm ×[0，T]×（R）N-1×R，andeGa（t，π）-at，za）：=egat、 πa（t，π）-a、 za），π-在，扎作为司机。在假设2.2下，逐点极小化问题有一个唯一的极小化子，其特征是ega的一阶条件（FOC），即。πaega（t，πa，π-at，za）=0。回想一下σ=（σSS，0）。使用（3.4），FOC等效为πa，1ega（t，πa，π-a、 za）=0<=>(zga）（t，za- ζa），-σ- hσ，θi=0<=> 加兹（t，za）- ζa）=-θS（3.6）πa，2ega（t，πa，π-a、 za）=0<=>(zga）（t，za- ζa），-κθ- hκθ，θi=0<=> -θSκS+gaz（t，za）- ζa）κR=-κSθS- κRθR<=> 加兹（t，za）- ζa）=-θR，（3.7），其中我们使用（3.6）在假设3.1下得到（3.7）。有了Zafrom（2.5），FOC系统（3.6）-（3.7）相当于za- ζat=Za（t，-θt）。（3.1）中ζ的表达式和基本重新排列允许重新写入za- ζat=Za（t，-θt）as∏a，1（t，π）-在，za）-eλa′π-a、 1t=za，1- Za，1（t，-θt）σSSt-za，2岁- Za，2（t，-θt）κRtκStσSSt，πa，2（t，π）-在，za）-eλa′π-a、 2t=za，2- Za，2（t，-θt）κRt（3.8）z- ζat=Za（t，-θt）转化为（3.3）得到了最小化（随机）驱动力A（t，π）的表达式-在，za=gat、 Za（t，-θt）+ hZa（t，-θt），θti- hza，θti=：eGa（t，za）。（3.9）由于GAI在这一点上是通用的，因此过程Za（t，-θt）不精确。

尽管如此，还是确定了∏A的总体结构和最小驱动力。我们强调两件重要的事。首先，EGA是一个具有随机系数的明确驱动因素。第二，Ega不依赖于allonπ-a、 这意味着当最优策略π*,a（见下文）取决于其他代理的策略，而最小化的风险则不是。在[HPDR10]中，作者没有获得最小化驱动程序的这种通用形式。单代理优化公司是一个强大的驱动力，从那时起泽加=-θ ∈ HBMO，我们有一个独特的解决方案来解决B SDE的驱动和终端条件-提供了过程（ω，t）7→eGa（t，0）=gat、 Za（t，-θt）+ hZa（t，-θt），θti是可积的，我们假设。然后，让（eYa，eZa）成为BSDE（3.2）和驱动程序（3.9）的解决方案，并定义策略π*,a·：=a（·，π）-a·，eZa·）。我们现在证明，上述方法确实可以解决个人风险最小化问题，换句话说，这就是所谓的最佳反应。定理3.2（一个代理的最优性）。假设风险的市场价格θ=（θS，θR）∈ HBMOandlet假设3.1保持。安排一名特工∈ A和b的一组可积策略πbf∈ A\\{A}。进一步假设o预测由（3.9），|eGa（·，0）|∈ HBMO和oπ*,a·=πa（·，π）-a·，eZa·）是可以接受的。然后使用驱动程序（3.9）和终端条件进行BSDE-哈哈，这是一个独特的解决方案（eYa，eZa）∈ s∞×HBMO。此外，Eyai是agenta和π的优化问题（3.5）（即风险最小化）的值*,ais是唯一的最优策略。证据考虑增益结构（3.9）和可积性假设，证明了s中B SDE解（eYa，eZa）的存在唯一性∞这很简单。我们首先使用比较定理证明了Eya的极小性，从而证明了π的最优性*,a、 让我们∈ [0，T]。采取任何策略πa∈ Aθ（π）-a） 。