基于信念的金融随机跳跃分析框架

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英文标题：
《A Framework for Analyzing Stochastic Jumps in Finance based on Belief
  and Knowledge》
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作者：
Takanori Adachi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a formal language IE that is a variant of the language PAL developed in [van Benthem 2011] by adding a belief operator and a common belief operator,specializing to stochastic analysis. A constant symbol in the language denotes a stochastic process so that we can represent several financial events as formulae in the language, which is expected to be clues of analyzing the moments that some stochastic jumps such as financial crises occur based on knowledge and belief of individuals or those shared within groups of individuals. In order to represent beliefs, we use sigma-complete Boolean algebras as generalized sigma-algebras. We use the representation for constructing a model in which the interpretations of the formulae written in the language IE reside. The model also uses some new categories for integrating several components appeared in the theory into one.
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中文摘要：
我们介绍了一种形式语言IE，它是[van Benthem 2011]中开发的PAL语言的变体，通过添加一个信念算子和一个公共信念算子，专门用于随机分析。该语言中的常量符号表示一个随机过程，因此我们可以用该语言中的公式来表示多个金融事件，这有望成为分析某些随机跳跃（如金融危机）发生的时刻的线索，这些随机跳跃是基于个人的知识和信念或个人群体中共享的知识和信念。为了表示信念，我们使用sigma完全布尔代数作为广义sigma代数。我们使用这种表示法来构建一个模型，其中对用IE语言编写的公式进行了解释。该模型还使用了一些新的类别，将理论中出现的几个组成部分整合为一个。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Framework_for_Analyzing_Stochastic_Jumps_in_Finance_based_on_Belief_and_Knowledge.pdf (182.75 KB)

2022-5-9 14:28:14 上传

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关键词：分析框架 Mathematical Constructing Quantitative Presentation

基于BELI EF和K KnowledgetAKANORI ADACHIAbstract的金融业快速增长分析框架。我们介绍了一种形式语言IE，它是[vB11]中开发的PAL语言的变体，通过添加一个信念运算符和一个公共信念运算符，专门用于随机分析。语言中的常数符号表示一个随机过程，因此我们可以用语言中的公式表示多个财务事件，这是分析某些随机跳跃的线索，例如基于个人或个人群体中共享的知识和信念发生的财务危机。为了表示信念，我们使用σ-完全布尔代数作为广义σ-代数。我们用这个表述构建了一个模型，其中公式的解释是用语言编写的。该模型还使用了一些新的类别，将理论中出现的几个组件集成到一个中。1.引言当预测金融信用风险事件的时间时，如果我们能用结构性方法预测它们，而不是仅仅用简化的方式分析它们，那会更好，因为结构性方法可以向我们展示事件发生的机制以及它们的时间。然而，到目前为止，结构方法似乎还不能很好地预测风险事件，就像我们不能很好地预测地震一样。但与地震相比，这是一个很好的借口吗？金融风险事件和自然灾害之间的主要区别之一是，前者是由人类投机活动的集合触发的，而其他风险事件则独立于此。为了处理人类的猜测，我们已经有了一个代表人类偏好的效用函数理论。

但是，由于偏好可能是个人信仰累积的结果，所以要表达人类的信仰及其变化实在太简单了。日期：2022年4月25日。杰尔分类。C02，D81，D83。关键词和短语。随机过程，随机跳跃，认知逻辑，多克斯逻辑，信念算子，决策理论。这项工作得到了JSPS KAKENHI授权号26330026.2 T.Adachi的支持。如果我们试图一个接一个地处理这些信念，我们需要一种处理它们的技术和分析它们的理论。如今，我们已经并将拥有一种更好的利用高速计算机系统处理大数据的技术，这将有助于解决前一个问题。这就是理论。在本文中，我们将通过提供一种能够描述金融现象的语言，以及一种基于测度理论概率理论解释金融现象的模型，提出一个发展这种理论的框架，以便我们可以将其应用于我们开发的数学金融中的许多资产。试图让语言处理知识和信仰并不是什么新鲜事。实际上，它们是从一本开创性的书[Hin6 2]开始，在认知逻辑和多克斯逻辑理论中作为模态算子发展起来的。这些理论提供了语言的模型，其中一些是基于概率解释的。

然而，这里使用的概率理论并非基于测度理论，也不适用于现代随机理论（如数学金融理论）的应用。本文对该语言进行了扩展，使其能够处理随机过程，并借助范畴论给出了一个基于测度论概率论的模型。让我们看一个公式的例子，我们可以用我们的语言来表示。（1.1）（Bj（X（ν）≥ p） )∧ （Bk（X（ν）≤ p） ）式中，X是代表某个股票价值变动的随机过程，ν是表示“现在”的内置常数，p是特定价格，j和k是代理。我们将该公式解读为“代理人j认为股票的当前价值大于或等于p，而代理人k认为股票的当前价值小于或等于p”。如果公式为真，j和k之间可能会发生交易，也就是说，代理人j可能会以p的价格向代理人k出售一定数量的股票。在本文中，我们将提供一个模型来评估公式。下面是计算公式f。（1.2）i，ω，t |=0.05（Bj（X（ν）≥ p） )∧ （Bk（X（ν）≤ p） ）这意味着“状态ω和时间t e的代理（观察者）i评估（1.1）95%的有效性”。这里是另一个例子。（1.3）i，ω，t |=0.1CBG（V（ν+1）≥ l)其中，V是代表某个企业价值的随机过程，l 是它的责任，而G是（相关方的）一组代理人。基于信念和知识的随机跳跃3这表示“状态ω和时间t的代理i评估G中的一个共同信念，即企业在t+1的v值大于或等于l 90%的确定度”。

当人们的共同信念崩溃时，这可能是一个信用风险事件的起点。在这两个例子中，我们都有线索来分析基于信念的某些跳跃发生的时刻，这可能是微观经济学或信用风险理论的一个新视角。在第2节中，我们将介绍一种正式的语言IE，它可以描述我们对金融市场感兴趣的情况，包括（1.2）和（1.3）。为了解释用这种语言写的公式，我们需要了解我们的环境中有哪些知识和信仰。第三节利用σ-完备布尔代数给出了一个解决方案。在第4节介绍了几个类别作为准备之后，我们在第5节对IE进行了解释。对于那些不太熟悉语言理论和分类理论的人，请分别参考[vB11]和[Mac97]。2.语言IELet不能是时间最少为0的时域。本文中的所有讨论都是关于过滤的可测空间（2.1）(Ohm, G、 G={Gt}t∈T） 这就满足了G=Wt∈TGt。定义2.1。让我成为一个非空的有限个体或代理人。对于集合a，IE公式a由以下BNF符号归纳定义。ν：：=m≤ m||||||∧ ψ| Ki|CKG|Bi|CBG|∈ 一、 G 一、 和ψ和ψ是公式。公式m≤ 错误地称为原始公式，IE（a）是a上所有IE公式的集合。现在我们逐一解释四个模态o peratorsKi、CKG、bian和cbgo的预期含义。Ki k（我知道），CKGа（а是G组的共同知识），Biа（我相信а），CBGа（а是G组的共同信念）。IE代表不平等。Backus Naur FormTerms将在定义2.2.4 T中定义。在详细介绍该理论之前，我们将提供语言理论的关键。这里的重点是清楚地区分句法和语义。

语法只是一个符号序列，没有说明任何意义，而语义学是关于一个现实世界，在这个现实世界中，由语法决定的序列是完整的。下面是一个解释情况的图表。语义语法SemanticsLIE///o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/oIE（L）J·Kh//L{X，…，Xk}//∪φ//J~nKh{X，Y}//cX≤ 赛//{X≤Y}~n//o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o//1.- J~nKh{~n，ψ}///o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o/o∧ ψ//J k Kh∧ Jψkh例如，一个随机过程X被映射到一个常数symbolcx，它是X的名称，符号序列φ被解释为值1- J~nkh使用（已计算的）解释J~nKhof~n。首先，作为语言IE的一个组成部分，我们看到定义2.1中出现的术语的句法和语义。下面是它的语法。定义2.2。设X为G-适应过程，r∈ R、 f:Rk→R是预先定义的可测量函数。然后，一个术语m可归纳为：m:：=cr |ν| cX（m）| cf（m，…，mk）。然后，其语义如下所示。定义2.3。项m的值是一个随机过程jmkd，由（1）JcrK（t）：=r，（2）JνK（t）：=t，（3）JcX（m）K（t）：=X（JmK（t）），（4）Jcf（m，…，mk）K（t）：=f（JmK（t），JmkK（t））。为了给出所有IE公式的语义，我们需要考虑知识和信念以及它们的模型域。基于信念和知识的随机跳跃5我们有时只为ca写a。我们允许以下缩写作为IE公式的语法建议。m=m≡ （m）≤ m）∧ （m）≤ m） ，m6=m≡ （m=m），m<m≡ （m）≤ m）∧ （m6=m），m≥ M≡ （m<m），m>m≡ （m）≤ m） ，~n∨ ψ ≡ not((notφ) ∧ (notψ)),φ → ψ ≡ (notφ) ∨ ψ,φ <-> ψ ≡ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ).集合ie（A）就像A生成的自由代数。

从这个意义上说，下面的函子IE:Set→ 布景可以变成单子。SetIE//SetAf//IE（A）IE（f）φB//IE（B）IE（f）（~n）式中，IE（f）（~n）是B上的IE公式，我们用cf（a）替换cain~n形式的所有出现。如何表达知识和信念。1.知识和信念。在这一小节中，我们需要一个额外的假设，即Ohm 现在是最后一天。但是，这个要求只是为了解释我们下面描述的动机，一般来说并不必要。让F G是G的次σ代数Ohm 是一个有限集，σ-代数定义了Ohm 这些类的形式是[ω]F:=\\{A∈ F |ω∈ A} 从中我们可以恢复原始的σ-代数。然后，我们将这种情况解读为“根据知识F，我们无法区分两个（基本）事件ω和ωOhm 因此，如果我们说我们知道ω态的某些东西，那就意味着我们认识到它在ω态的所有ω′中都是正确的。换句话说，这些集合越小，我们就越肯定知道它。因此，我们将σ-代数视为知识的表示。现在让我们来谈谈信仰问题。柏拉图说，知识=正当的真实信念。这句谚语表明，当知识F表示信仰时，不同的等价类[ω]和[ω]F之间的明确界限需要模糊。因为Ohm 可通过其特征功能识别：（3.1）A：Ohm → {0，1}，我们可以把σ-代数看作一组特征函数。现在，让我们尝试概括（3.1）的范围，以引入模糊。候选对象是σ-完备布尔代数。3.2. σ-完全B-oolean代数。在这一小节中，我们将回顾布尔代数。欲了解更多详情，请参阅[Sik69]。定义3.1。

布尔代数是一种结构（B，0，1，∧, ∨, ，其中B是一个集合，0，1∈ B∧ 和∨ 是B上的二元运算，是B上的一元运算，满足以下条件，称为布尔la ws。（1） x∧ x=x，x∨ x=x，（2）x∧ y=y∧ x、 x∨ y=y∨ x、 （3）x∧ （y）∧ z） =（x）∧ y）∧ z、 x∨ （y）∨ z） =（x）∨ y）∨ z、 （4）x∧ （十）∨ y） =x∨ （十）∧ y） =x，（5）x∧ （y）∨ z） =（x）∧ y）∨ （十）∧ z） ，x∨ （y）∧ z） =（x）∨ y）∧ （十）∨ z） ，（6）x∨ 0=x，x∧ 1=x，（7）x∧ 0=0，x∨ 1=1，（8）x∧ -x=0，x∨ -x=1，（9）x=x，（10）x∧ y） =-x∨ -y，-x∨ y） =-x∧ 很容易证明，对于每对元素x，y∈ 对于aBoolean代数，我们有（3.2）x∧ y=x<=> 十、∨ y=y。我们用x来表示这种情况≤ y、 然后，结构（B，≤) 成了一个有序的集合。基于信念和知识的随机跳跃7定义3.2。一个布尔代数（B，0，1，∧, ∨, 如果所有指数集I和J都带有| I |，| J |的，则称为σ-完备≤ ,存在B^i的元素∈伊克西安∈Ixisuch that ^i∈（一）∪J） xi=（^i）∈Ixi）∧ （^i）∈Jxi）和_i∈（一）∪J） xi=（_i）∈Ixi）∨ （_i）∈Jxi）。我们现在有一些σ-完全布尔代数的例子。（1） 2={0，1}是一个标准布尔运算的σ-完备布尔代数，其中0和1分别代表false和true。（2） 一套Ohm, 任意σ-代数G 2.Ohm是一个σ-完备布尔代数，其集合运算类似于a，B∈ G、 0:=,1 := Ohm,A.∧ B:=A∩ B、 A∨ B:=A∪ B、 -A:=Ohm - A.（3）让(Ohm, G、 u）成为测量空间。然后，商setG/~u是σ-完全布尔代数，其中~u是定义的G上的等效值~uT<=> u（S）△T=0表示S，T∈ G.（4）让Ohm b是一个集合，b是一个σ-完备布尔代数。然后，函数spaceBOhm通过以逐点方式扩展布尔运算，成为σ-完备布尔代数。我们将使用次σ-完备布尔代数F BOhm作为广义或模糊的σ-代数。定义3.3。

σBA的分类定义为：8 T.ADACHI（1）对象：=所有非退化σ-完备布尔代数，（2）σBA（A，B）：=从A到B的所有布尔结构保持函数，即满足（A）f（0）=0，（B）f（Vi）的函数f∈Ixi）=Vi∈如果（xi），（c）f（Wi）∈Ixi=Wi∈如果（xi），（d）f（x）=f（x）。提议3.4。b:b→ 2.做一支箭。然后，（1）b-1（1）是B的超级过滤器，（2）B-1（0）是B的素理想，（3）2是σB的初始目标。也就是说，对于每个目标B∈ σBA，只有一支箭！B:2→ B.3.3。广义σ-代数的一个分支。现在我们开始介绍锚定的一个重要概念。设B是σ-完备布尔代数，F BOhm是一个子代数（次σ-完全布尔代数）。我们认为这个F是广义的σ-alg-ebra。定义3.5。【锚定】（1）来自B的一个ch或一个信念是一个保留顺序的箭头a:B→ 2使得a（0）=0和a（1）=1。对于非空子集a，我们用AB.（2）写出B中所有锚的集合 AB，F/A:={u∈ 2.Ohm| K∈ FA.∈ A[u=Ao k] 哦。Ohmk//u文学士（3） 暂时∈ AB，F/a:=F/{a}。提议3.6。让A，A 阿贝非空子集。（1） 如果 A、 然后F/A F/A.（2）F/AB={1ABo k | k∈ F和ω ∈ Ohm[k（ω）=0Bor 1B]}。对于给定的（模糊的）信息 BOhm, 我们认为布尔代数是知识的一种表示，而如果0=1，我们认为布尔代数是退化的。基于信念和知识的随机跳跃9是信念的一种表现形式，你可以通过选择∈ AB.定义3.7。

类别χF:=χF(Ohm) 定义为：（1）对象：=σBA的对象B的所有三元组（B，F，a），次σ-完全布尔代数F BOhm, 还有一个主播a:B→ 在σBA中，（2）χF（（B，F，a），（B，F，a））：={u∈ σBA（B，B）|uF Fand a=ao u} 其中uF:={uo f | f∈ F} 。日分a&&▼▼▼▼▼▼OhmFf&&◆◆◆◆◆◆注意χF（（2，F，！），（2，F，！）最多有一个元素，且χF（（2，F，！），（2，F，！）6=  我 F.在定义χF中的箭头时，我们使用一个箭头u:B→ B为了对两个uF进行限制 Fand a=ao u、 但第二个等式意味着，由aonce u确定的ais是根据第一个等式确定的，这可能过于严格。以下是对χF的另一个箭头定义，用于消除限制：χF（（B，F，a），（B，F，a））：={//未采用的版本（u，v）∈ σBA（B，B）×σBA（B，B）|uF Fand a=ao v} 。日分Bva&&▼▼▼▼▼▼OhmFf&&◆◆◆◆◆◆然而，这个版本的χf将无法使下面的对应B成为函子，所以我们不讨论这个扩展版本。定义3.8。[类别σAlgOhm] σAlg范畴Ohm定义为：（1）对象：=所有σ-代数Ohm（2） σAlgOhm（F，F）只有一个a箭头，如果F F、 否则就空了。定义3.9。[知识函子K]函子K由下图定义。10 T.ADACHIχFK//σAlgOhm日分（B，F，a）u//F/ABK（美国）Ohmf==f！！B（B，F，a）//F/ABDe定义3.10。【信念函子B】函子B由下图定义。χFB//σAlgOhm日分A.（B，F，a）u//F/aB（u）Ohmf==f！！Ba>>（B、F、a）//强调有一种自然的转变→B代表自然包含箭头。4.更多类别[Ada14]中引入了以下类别，尽管类别χf(Ohm) 本文是一个扩展版本。定义4.1。