即时交换模型：一项分析研究

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英文标题：
《The Immediate Exchange model: an analytical investigation》
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作者：
Guy Katriel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study the Immediate Exchange model, recently introduced by Heinsalu and Patriarca [Eur. Phys. J. B 87: 170 (2014)], who showed by simulations that the wealth distribution in this model converges to a Gamma distribution with shape parameter $2$. Here we justify this conclusion analytically, in the infinite-population limit. An infinite-population version of the model is derived, describing the evolution of the wealth distribution in terms of iterations of a nonlinear operator on the space of probability densities. It is proved that the Gamma distributions with shape parameter $2$ are fixed points of this operator, and that, starting with an arbitrary wealth distribution, the process converges to one of these fixed points. We also discuss the mixed model introduced in the same paper, in which exchanges are either bidirectional or unidirectional with fixed probability. We prove that, although, as found by Heinsalu and Patriarca, the equilibrium distribution can be closely fit by Gamma distributions, the equilibrium distribution for this model is {\\it{not}} a Gamma distribution.
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中文摘要：
我们研究了Heinsalu和Patriarca[Eur.Phys.J.B 87:170（2014）]最近提出的即时交换模型，他们通过模拟表明，该模型中的财富分布收敛于形状参数为$2$的伽马分布。在这里，我们用解析的方法证明了这个结论，在无限的人口极限下。导出了该模型的无限人口版本，用概率密度空间上非线性算子的迭代来描述财富分布的演化。证明了形状参数为$2$的伽马分布是该算子的不动点，并且从任意财富分布开始，该过程收敛到其中一个不动点。我们还讨论了在同一篇文章中引入的混合模型，其中交换是双向的或单向的，具有固定的概率。我们证明，尽管正如海因萨鲁和帕特里亚卡所发现的，平衡分布可以用伽马分布紧密拟合，但这个模型的平衡分布是{it{not}}伽马分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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PDF下载：
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关键词：distribution Quantitative Applications QUANTITATIV equilibrium

即时交换模型：一项分析性研究Guy Katriel以色列卡米尔奥特布劳德学院数学系我们研究了Heinsalu和Patriarca[Eur.Phys.J.B 87:170（2014）]最近提出的即时交换模型，他们通过模拟表明，该模型中的财富分布收敛于形状参数为2的伽马分布。在这里，我们在有限的人口限制下分析证明了这一结论。导出了该模型的有限人口版本，描述了财富分布在概率密度空间上非线性算子迭代的演化。证明了形状参数为2的伽玛分布是该算子的固定点，并且从任意财富分布开始，过程收敛到其中一个固定点。我们还讨论了同一篇文章中介绍的混合模型，其中交换是双向的或单向的，概率固定。我们证明，尽管正如海因萨鲁和帕特里亚卡发现的那样，平衡分布可能与伽马分布密切相关，但该模型的平衡分布不是伽马分布。1简介动力交换模型描述了代理人群体之间的财富交换，近年来得到了广泛的研究（见综述[2,10,11,12]）。这些研究的中心问题是，考虑到代理人之间相互作用的微观规则，描述全球水平上出现的均衡财富分布。在最近的一篇论文[3]中，Heinsalu和Patriarca提出了一个动力学交换模型，他们称之为Imm介质交换模型。

在这个模型中，一对代理随机交互，由每个代理将其财富的随机部分转移给另一个代理组成的交互，其中这些部分独立且均匀分布在[0,1]中。因此，如果代理i，j在交互之前拥有财富xi，xj，则交互之后的财富为x′i=（1- i）xi+jxj，x′j=（1）- j）xj+ixi，（1）其中i，jare independent和i，j~ 统一（[0,1]）。基于对这一过程的模拟，Heinsalu和Patriarca得出结论，财富分布收敛于形状参数为2的伽马分布。在这里，我们通过推导即时交换模型的有限人口版本，严格证明了这一结论的合理性。在即时交换模型中，财富分布的时间演化是通过概率分布空间上的非线性算子迭代来描述的（第2节），并表明形状参数为2的GammaDistribution是该算子的固定点（第3节）。此外，我们证明，从一般的财富分布开始，算子的迭代收敛到这些均衡分布之一，由初始分布的平均财富决定，这是守恒的（第4节）。在第5节中，我们考虑了[3]中提出的另一个模型，即一个混合模型，其中的交互要么是直接交换模型中的双向交互，要么是定向市场模型[9]中的单向交互，每个案例都以一定的固定概率发生。

该模型也在有限人口限制下进行了研究，我们证明，尽管平衡分布可以通过伽马分布紧密拟合，如【3】中的数值模拟所示，但平衡分布实际上不是伽马分布。2即时交换模型的有限人口版本我们现在在欧佩兹、欧佩兹-鲁伊斯和卡尔贝特[7,8]的框架内制定即时交换模型的有限人口离散时间版本。财富的分布由概率密度pt（x）来描述，因此pt（x）dx是在t=0，1，2，….时财富在区间[x，x+dx]内的人口的分数。。。。假设在每个时间步（“天”），所有代理都随机配对，并根据规则（1）交换财富。假设t日发生相互作用之前的财富分布pt（x），我们推导出这些相互作用之后的概率密度pt+1（x），从而得出财富分布的时间演化。概率论的语言便于推导演化方程。让我们选择一个随机的om代理，让U是一个随机变量，代表这个代理在t天的交互发生之前的财富，并在交互发生后X它的财富。因此，U和X的分布分别由概率密度pt（X）和pt+1（X）给出。让V代表我们的焦点代理与之交互的代理的财富，这是一个随机变量，其分布也是pt（x）。然后wehaveX=U+V（2），其中，相互独立，且与U，V独立，且均匀分布在[0,1]上。因此，概率密度pt+1（x）将通过计算（2）给出的x的分布来求得。

我们使用下面的sim-pleresultLemma 1假设W是一个概率密度为p（x）的非负随机变量，而是一个概率密度为的随机变量~ 统一（[0,1]），W，独立。然后乘积W的概率密度由s[p]（x）=Z给出∞xp（u）udu。（3） 证明：P（W≤ x） =ZZxp（u）dud=Zxp（u）Zddu+Z∞xp（u）Zxuddu=Zxp（u）du+xZ∞xp（u）udu=>ddxP（W）≤ x） =Z∞xp（u）udu。■ 表示[0]上所有概率密度的集合，∞) 通过P，我们可以将（3）定义为一个算子S:P→ P.上述引理意味着U和dV的密度都是S[pt]。因此，X的pt+1的密度，通过（2）是两个独立且相同分布的随机变量U，V之和的密度，由卷积给出：pt+1（X）=（S[pt]* S[pt]（x）=ZxS[pt]（x）- v） S[pt]（v）dv，（4）或更明确地加密+1（x）=ZxZ∞十、-vpt（u）uduZ∞vpt（u′）u′du′dv（5）=ZxZ∞yZ∞十、-ypt（u）u·pt（v）VDVDY研究。换句话说，定义非线性算子T:P→ P字节[P]=S[p]* S[p]，（6）即时交换模型的财富分配的演化由pt+1=T[pt]，T=0,1,2。。。（7） 这是即时交换模型的有限人口公式。因此，平衡分布是函数方程T[p]=p的解，即isp=S[p]* S[p]。（8） 为了解这个方程，我们应用拉普拉斯变换[p]（s）=Z∞E-sxp（x）dxp到（8）的两个sid es，并设置^p=L[p]，获得^p（s）=（L[s[p]]（s））。注意到l[S[p]]（S）=sZs^p（S′）ds′，（9）我们得出结论，（8）的拉普拉斯变换版本是^p（S）=sZs^p（s′）ds′.

（10） 为了求解这个方程，我们设置g（s）=p^p（s），并得到（10）等价于g（s）=sZs（g（s′））ds′。将两边乘以s，然后微分，我们得到微分方程[sg（s）]\'=g（s），即g′（s）=sg（s）[g（s）- 1] ，一个可分离方程，通过求解得到：g（s）=1+Cs，因此^p（s）=（g（s））=（1+Cs）。逆拉普拉斯变换现在给出：p（x）=Cxe-xC。用w表示平均财富w=R∞xp（x）dx，我们有C=w，当w>0时，存在一个唯一的平衡分布，即时交换过程满足∞xp（x）dx=w，由pw（x）=wxe给出-wx。（11） 这是形状参数为2的伽马分布，正如在[3]的模拟中发现的那样。4收敛到平衡分布要充分解释[3]中的模拟结果，我们需要证明在迭代（7）中，从任意初始概率密度p开始，收敛到平衡分布（11）。由于该过程是财富保持的（见下面的引理2），w的值将由初始密度的平均富裕度确定：w=Z∞xp（x）dx。（12） 定理2设p（x）是[0]上的概率密度，∞) 满足（12），并且对于某些α>1，Mα（p）=Z∞p（x）xαdx<∞. （13） 然后，迭代（7）的累积概率函数收敛到（11）给出的pw（x）的值，即所有x≥ 0，limt→∞Zxpt（u）du=Zxpw（u）du。由于Theorem 2的证明采用了与Dragulescu-Yakovenko模型和DirectedRandom市场模型[4,5]的分析结果相同的技术，因此我们将简单介绍，并参考这些文件以了解详细信息，仅指出一般论点和一些需要进行与上述文件有所不同的计算的点。对于α≥ 1和w>0，我们定义Pα是满足（12）和（13）的所有概率密度的集合。

我们首先证明，由（6）定义的算子T将空间Pα映射到自身。引理2如果α≥ 1，w>0，p∈ Pα，当T[P]∈ Pα，w证明：假设P∈ Pα，w.交换积分顺序，并使用内质（x+u）α≤ 2α-1（xα+uα），我们有mα（p）=Z∞xαT[p]（x）dx=Z∞xαZxS[p]（x- v） p=v[Z]（DVD）∞xαZxZ∞十、-副总裁（u）uduZ∞vp（u′）u′du′dvdx=Z∞Z∞vp（u′）u′du′Z∞vxαZ∞十、-副总裁（u）ududxdv=Z∞Z∞vp（u′）u′du′Z∞（x+v）αZ∞xp（u）ududxdv≤ 2α-1Z∞Z∞vp（u′）u′du′Z∞（xα+vα）Z∞xp（u）ududxdv=2α-1Z∞Z∞vp（u′）u′du′Z∞p（u）uZuxαdxdudv+2α-1Z∞vαZ∞vp（u′）u′du′Z∞p（u）uzudxdv=α-1α+1Mα（p）Z∞Z∞vp（u′）u′du′dv+2α-1Z∞vαZ∞vp（u′）u′du′dv=α-1α+1Mα（p）+α-1α+1Mα（p）=αα+1Mα（p），因此T[p]满足（13）。设置α=1，上述不等式变成等式，我们得到th atM（T[p]）=M（p），因此T[p]满足（12）。■我们在集合Pα，w上定义了以下度量，其中我们现在假设α∈(1, 2).p、 q∈ Pα，w=> dα（p，q）。=sups>0 | L[p]（s）- L[q]（s）|sα。当1<α<2时，确保dα，w（p，q）的完整性，参见[4]，引理2。3.我们使用以下关键估计：引理3如果1<α<2，w>0，p，q∈ Pα，w，thendα（T[P]，T[q]）≤α+1·dα（p，q）。证明：回顾（9），我们有[T[p]]（s）=（L[s[p]]）=sZs^p（s′）ds′=^p（苏）杜,因此，由于| p（s）|，|q（s）|≤ 1 | L[T[p]]（s）- L[T[q]]（s）| sα=sαZ[^p（su）-^q（su）]duZ[^p（su）+^q（su）]du≤ 2.Zuα|^p（su）- ^q（su）|（su）αdu≤ 2dα（p，q）Zuαdu=α+1·dα（p，q），取s>0的上确界，得到结果。

■由于α>1意味着α+1<1，上述引理imp意味着T相对于度量dα收缩，并且，根据[4,5]中给出的参数，这意味着迭代Pt在度量dα中收敛于pW，而hencein在定理2的累积概率意义下，得出定理的证明。5混合模型我们现在讨论[3]中提出的另一个模型，它是上述即时交换模型与单向财富转移模型的“混合”。在单向模型中，当两个代理交互时，一个代理被随机分配为“输家”，另一个代理为“赢家”。失败者随机给胜利者一部分财富。因此，如果j是赢家，那么x′i=（1- ）xi，x′j=xj+xi，其中~ 统一（[0,1]）。MartinezMartinez和Liopez Ruiz[9]最近研究了这个模型，他们称之为定向随机市场。他们表明，在有限的人口限制下，财富分布的演化由pt+1=TD[pt]，（14）给出，其中TD[p]（x）=Zxpt（x）- u） Z∞uvpt（v）dvdu+Z∞徐普渡。（15） 在[5]中，我们发现相应的平衡分布是形状参数为pw（x）的伽马分布=√2wπxe-x2w，并证明了迭代（14）对平衡分布的收敛性。[3]中提出的混合模型结合了即时交换模型和定向随机市场模型，如下所示：对于固定参数u∈ [0,1]，当两个代理相互作用时，以概率u进行非定向货币转移（如在定向随机市场模型中），概率为1- u执行双向交换（如即时交换模式）。在[3]中，通过模拟对混合模型进行了研究，观察到再熔财富分布非常符合形状参数α=21的伽玛分布-2u.

然而，作者确实注意到了伽马分布的一些偏差。在u=0，u=1的极端情况下，模型分别简化为即时交换和定向随机市场模型，我们确实有形状参数α=21的均衡分布-2u，如上文和[5]中所述。然而，正如我们将在下面展示的那样∈ （0,1）平衡分布不是伽马分布。混合模型的财富分布演变将由pt+1=TM[pt]给出，其中TM[p]=uTD[p]+（1）- u）T[p]，其中T由（6）和（15）定义。为了找到平衡分布，我们需要解TM[p]=p，即isp=uTD[p]+（1- u）T[p]。（16） 在[5]中，我们证明了，设置^p（s）=L[p]（s），我们有L[TD[p]]（s）=2s·[^p（s）+1]·Zs^p（s′）ds′，在第3节中我们证明了L[T[p]]（s）=s·Zs^p（s′）ds′,因此，将Lap-lace变换应用于（16）的两侧，得到^p（s）=u·2s·[^p（s）+1]·Zs^p（s′）ds′+（1）- u)s·Zs^p（s′）ds′. （17） 为了求解函数方程（17），我们定义了h（s）=s·Zs^p（s′）ds′，使得p（s）=[sh（s）]sh′s）+h（s），（18）和（17）成为ssh′s）+h（s）=u·[sh′s）+h（s）+1]·h（s）+1- u）（h（s）），或在重排后，h′（s）=2- us·[h（s）- 1] h（s）2- uh（s）。（19） 这个可分离微分方程可以求解，但只能以隐式形式求解：（1）- h（s））2-u=Cs2-u·（h（s））。（20） （20）和（18）定义p（s），从中通过拉普拉斯反演获得平衡密度p（x）。然而，除了在u=0，1的情况下，不能以合理明确的形式求解h（s）的（20）。为了验证当u6=0，1时平衡分布不是伽马分布，我们证明平衡分布的矩不能等于伽马分布的矩。

在[6]中，关于包含储蓄倾向的动力学交换模型，也使用了同样的想法。我们计算了平衡分布p的整数阶矩，Mk（p）=R∞p（x）xkdx。到（18）时，我们得到了mk（p）=(-1） k^p（k）（0）=(-1） k（k+1）·h（k）（0）。（21）因此h（0）=1，h′（0）=-M（p）=-w、 通过依次区分（19）和发送→ 我们递归地计算导数h（k）（0），2≤ K≤ 通过（21）这些计算得出M（p）=w，M（p）=2- u·w，M（p）=3·4+u（2- u）·w，M（p）=5·u+8u+12（2- u）·w.用q（x）=βαΓ（α）xα表示-1e-xβ伽马分布的密度，其矩由mk（q）=βkk给出-1Yj=0（α+j）。如果我们希望M（q）=M（p），M（q）=M（p），我们需要取α=2-u1+u, β =1+u2-u·w.这个给定SM（q）=3·4+u（2- u）·w，M（q）=3·2u+13u+20（2- u）·w.当我们有Mk（p）=Mk（q），1≤ K≤ 3（对于前两种情况，这在设计上是正确的，而对于第三种情况，这是一个有趣的“巧合”），第四种情况已经不同（无u=0，1），证明平衡分布不是伽马分布。让我们注意到，通过将前两个矩相等，我们得到的伽马分布给出了形状参数α=2-u1+u，而[3]中的fitα=21-给药2u。如果你看这两个表达式的范围是u∈ [0,1]，可以看到它们的值非常接近。当然，这两个表达式都不能得到混合模型的真实平衡分布，因为如上所示，这种平衡分布不是伽马分布。参考文献[1]A.A.agulescu博士和V.M Yakovenko，《货币统计力学》，欧元。菲斯。J.B 17（2000），723-729。[2] A.Ghosh，A.S.Chakrabarti，A.K.Chandra，A.Chakraborti，动力学交换模型的主题和应用：Redux，F.Abergel等人。（编辑），《基于主体模型的经济物理学》，斯普林格，2014年。[3] E.Heinsalu，M.Patriarca，《即时交换的动力学模型》，欧元。菲斯。J