半静态交易策略下的超套期保值美式期权

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英文标题：
《Super-hedging American Options with Semi-static Trading Strategies under
  Model Uncertainty》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider the super-hedging price of an American option in a discrete-time market in which stocks are available for dynamic trading and European options are available for static trading. We show that the super-hedging price $\\pi$ is given by the supremum over the prices of the American option under randomized models. That is, $\\pi=\\sup_{(c_i,Q_i)_i}\\sum_ic_i\\phi^{Q_i}$, where $c_i \\in \\mathbb{R}_+$ and the martingale measure $Q^i$ are chosen such that $\\sum_i c_i=1$ and $\\sum_i c_iQ_i$ prices the European options correctly, and $\\phi^{Q_i}$ is the price of the American option under the model $Q_i$. Our result generalizes the example given in ArXiv:1604.02274 that the highest model based price can be considered as a randomization over models.
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中文摘要：
我们考虑离散时间市场中美式期权的超级套期保值价格，其中股票可用于动态交易，欧式期权可用于静态交易。我们证明了在随机模型下，超套期保值价格$\\pi$由美式期权价格的上确界给出。也就是说，$\\pi=\\sup_{（c_i，Q_i）i}\\sum_ic_i\\phi^{Q_i}$，其中$c_i\\in\\mathbb{R}{u+$和鞅测度$Q^i$的选择应确保$\\sum_i c_i=1$和$\\sum_i c_iQ_$i$正确地为欧洲期权定价，而$\\phi Q{i$i$i是美国期权模型下的价格。我们的结果推广了ArXiv:1604.02274中给出的例子，即基于模型的最高价格可以被视为模型的随机化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Super-hedging_American_Options_with_Semi-static_Trading_Strategies_under_Model_U.pdf (360.6 KB)

2022-5-11 05:32:58 上传

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关键词：交易策略 套期保值 美式期权 Mathematical Quantitative

模型不确定性下具有半静态交易策略的超套期保值美式期权。我们考虑离散时间市场中美式期权的超级套期保值价格，其中股票可用于动态交易，欧式期权可用于静态交易。我们证明了在随机模型下，超套期保值价格π由美式期权价格的上确界给出。也就是说，π=sup（ci，Qi）iPiciφQi，其中ci∈ R+和鞅测度qia的选择应确保Pici=1和Piciqi正确定价欧式期权，φQi是模型Qi下美式期权的价格。我们的结果概括了Hobson&Neuberger（2016）中给出的例子，即基于模型的最高价格可以被视为模型的随机化。1.简介最近，Bayraktar等人（2015年）和Neuberger（2007年）（最终出版为Hobson&Neuberger（2017年））使用非常不同的技术计算了允许使用半静态交易策略的美国期权的超级套期保值价格。在Bayraktar等人（2015年）中，作者表明超级套期保值价格（套期保值者的价格）可以严格大于基于模型的最高价格supQφQ（自然价格），而在Hobson&Neuberger（2017年）中，作者表明这两个价格是相等的。差异的原因在于，在Bayraktar等人（2015年）中，套期保值者和自然拥有相同的信息/过滤，而在Hobson&Neuberger（2017年）中，自然拥有更多的信息（即自然的过滤大于套期保值者的过滤）。因此，两篇论文中对最高模型价格的定义是不同的（尽管超高价格是相同的）。

参见Hobson&Neuberger（2016）对这两个结果的另一个比较。Hobson&Neuberger（2016）也给出了一个例子，其中基于模型的最高价格可以被视为对模型的随机化。本文证明了超套期保值价格π由美式期权基于随机模型的价格上确界给出。也就是说，π=sup（ci，Qi）iPiciφQi，其中ci∈ R+和鞅测度qia的选择应确保Pici=1和Piciqi正确定价欧式期权，φQi是模型Qi下美式期权的价格。我们的结果在Bayraktar等人（2015）中给出了超级套期保值二元性的另一种表现，并与Hobson&Neuberger（2017）的主要结果建立了联系。此外，从我们的结果来看，我们比Hobson&Neuberger（2017）的结果有所改进。正如我们的结果所示，在自然定价中，只有随机模型（见定义3.2）是相关的，所有关键词和短语都是相关的。美式期权，超级对冲，模型不确定性，半静态交易策略，随机模型。E.Bayraktar得到了国家科学基金会DMS-1613170和SUSAN的部分资助。史密斯椅子。Hobson&Neuberger（2017）提出的其他模型是多余的。我们的结果还推广了Hobson&Neuberger（2016）中提供的例子，即基于模型的最高价格可以被视为对模型的随机化。在我们写了这篇笔记之后，邓和谭写了一篇相关的论文，邓和谭（2016），其中他们展示了超级套期保值价格等于一个合适的鞅测度族上某些相关收益的期望值的上确界。他们的方法是通过美式期权的执行时间来扩大概率空间。相比之下，本文中的主要结果不需要增加空间。

我们还要提到，尽管两篇论文都使用了术语“随机化”，但它的含义完全不同。在Deng&Tan（2016）中，随机化指的是扩大的空间，而在我们的论文中，随机化指的是在原始空间中混合鞅测度。Bayraktar&Zhou（2016a）、Bayraktar&Zhou（2016b）考虑了使用美式期权对冲路径相关期权的相关问题。论文的结构如下。在下一节中，我们将提供设置和主要结果。在第3节中，我们对Bayraktar等人（2015年）、Hobson&Neuberger（2017年）和本文中的结果进行了讨论。最后，我们为第4.2节中的主要结果提供了证据。设置和主要结果使用Bouchard&Nutz（2015）和Bayraktar等人（2015）中的设置。让我们∈ N成为时间的地平线，让Ohm做一个波兰人的空间。对于t∈ {0，1，…，T}，让Ohmt:=Ohmt-fold Cartesian产品，按照惯例Ohm她是单身汉。我们用ftb表示B的普遍完备性(Ohmt） 然后写(Ohm, F） 因为(OhmT、 （英国《金融时报》）。表示F:=（英尺）t=0，T.让P(Ohm) 是所有概率测度的集合(Ohm, B(Ohm)). 对于每个t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 我们得到了一个唯一的凸集Pt（ω） P(Ohm) 概率测度。我们假设，对于每个t，图PTI是解析的，这确保PTA接受一个普遍可测量的选择器，即一个普遍可测量的内核Pt：OhmT→ P(Ohmt） 使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ohmt、 LetP:={P . . .  PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，（2.1）其中每个PTI都是一个普遍可测量的Pt选择器 . . .  PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。P（dω），A∈ Ohm.让St：OhmT→ Rdbe Borel Measured，它代表了d维股票S在t时刻的价格，该股票可以在市场上动态交易。设g=（g。

，ge）：Ohm → Rebe Borelmeasureable，代表只能在开始时以0价交易的欧洲期权。假设NA（P）保持不变，即所有（H，H）∈ H×Re，（H·S）T+hg≥ 0便士- q、 s.意味着（H·s）T+hg=0 P- q、 其中H是F-可预测过程的集合，（H·s）T:=PT-1t=0Ht（St+1- hg表示h和g的内积。然后从（Bouchard&Nutz 2015，FTAP）开始，表示所有P∈ P、 有人说，如果一个集合对所有的P都是P-null，那么它就是P极的∈ P.A属性被称为保持P-准肯定（q.s.），如果它位于P-极集合之外。Q∈ Q这样P Q、 其中Q:={Q鞅测度：EQ[g]=0，和P∈ P、 s.t.Q P} 。对于t=0，T和ω∈ Ohmt、 定义（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q P、 为了一些P∈ Pt（ω）和EQ[St+1（ω，·）- St（ω）]=0}。到（Bouchard&Nutz 2015，引理4.8），存在一个普遍可测量的选择器Qt，比如Qt（·）∈ 在{Qt6=}. 使用这些选择器，我们定义了t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 Mt（ω）：={Qt . . .  QT-1:Qi（ω，·）∈ 在{Qi（ω，·）6=}, i=t，T- 1} ，与（2.1）类似，但从时间t开始，而不是从时间0开始。特别是M=M，其中M:={Q鞅测度：P∈ P、 s.t.Q P}。我们假设mt的图是解析的，t=0，T- 1.图（Mt）解析性的一般有效条件见（Bayraktar等人2015，命题1.1）。设T是F-停止时间的集合，tt是不小于T的F-停止时间的集合。表示| |·| |为欧几里德范数。让我们考虑一个有报酬的美式选择。我们假设Φ：{0，…，T}Ohm → R是F适应的。我们将超级套期保值价格定义为π（Φ）：=infnx∈ R:（H，H）∈ H×Re，s.t.x+（~H（t）·s）t+hg≥ Φt，P- q、 s.，t=0，到（2.2），其中H:={H=（H，H（0），…，H（T）） HT+2}，和!Hs（t）：=Hs{s<t}+Hs（t）1{s≥t} ，s=0，T.在这里表示H=（H，H（0）。

. . , H（T））∈ H、 H代表套期保值者在行使美式期权之前使用的策略，H（t）代表套期保值者在t时间行使美式期权之后将使用的策略。我们在本文中做出以下长期假设。假设2.1。（1） 对于t∈ {1，…，T}和（ω，P）∈ OhmT×P(OhmT-t） ，映射（ω，P）7→ supτ∈TtEP[Φτ（ωt，·）]是上半解析的，其中ω是ω到时间t的路径。（2）supQ∈MEQ[| | g | |]<∞ 和supQ∈MEQ[max0≤T≤T |ΦT |]<∞.备注2.1。如果Φ是下半连续的，且t=0时从下有界，T，则假设2.1（1）是满足的。参见（Bayraktar等人，2015年，命题3.1）。下面是来自（Bayraktar等人2015，定理3.1）的超级套期保值结果。也就是说，Q满足等式[St+1 | | Ft]<∞ 对于t=0，…，等式[St+1 | Ft]=St，Q-a.s，T- 引理2.1。让假设2.1保持不变。那么π（Φ）=infh∈ResupQ∈Msupτ∈TEQ[Φτ- hg]，（2.3）此外，还存在（H*, H*) ∈ H×Re，使得π（Φ）+（H*· S） T+h*G≥ Φτ，P- q、 s。，τ ∈ T在本文中，我们将得到（2.3）的另一种表示，即超对冲对偶。下面是我们的主要结果。定理2.1。让假设2.1保持不变。然后π（Φ）=sup（ci，Qi）ixisisupτ∈TEQi[Φτ]，（2.4），其中上确界是整个有限序列（ci，Qi）i，因此对于每个i，ci∈ (0, ∞), 气∈ M、 Pici=1和Piciqi∈ 问题：备注2.2。让我们把超级套期保值价格的对偶称为“自然赋予的价格”。我们可以解释（2.4）如下。自然将模型（Qi）i随机化 M（不是 Q） 在这种情况下，套期保值者似乎认为欧洲期权g的定价是正确的。此外，真正的状态在一开始只向大自然而不是对冲者揭示。3.Bayraktar等人（2015年）、Hobson&Neuberger（2016年）、Hobson&Neuberger（2017年）和Bayraktar等人定理2.1的结果比较。

Hobson&Neuberger（2016）指出，超级定价（对冲价格）可以严格高于基于模型的最高价格（自然价格）。也就是说，π（Φ）>supQ是可能的∈Qsupτ∈TEQ[Φτ]。（3.1）也就是说，超级套期保值价格和最高模型价格之间似乎存在双重差距。在（3.1）中，套期保值者和自然具有相同的权力，因为两者都使用过滤（信息）F。因此，为了使自然价格（最高模型价格）等于套期保值者的价格，一种直观的方法是通过向自然提供更多信息来增强自然的权力。定理2.1指出，除了信息F，如果大自然也可以使用可能模型（Qi）i的初始分布信息，那么套期保值者的价格和大自然的价格将是相同的。与Hobson&Neuberger（2017）相反，只要模型与套期保值者一致（注意套期保值者只知道股票产生的信息），自然就可以拥有各种信息。更准确地说，Hobson&Neuberger（2017）的作者称过滤概率空间M=(Ohm, F=（英尺）t=0，T、 Q）如果空间(Ohm, F） 支持一个随机过程S（和随机向量g），S是（Q，F）-鞅，等式[g]=0。然后，Hobson&Neuberger（2017）指出，基于s生成的过滤，套期保值者的价格等于基于所有一致模型（即supMφM（Φ），其中φM（Φ）是基于模型M的美式期权价格）的自然价格（最高模型价格）。由于他们的证明方法，他们只对套期保值者进行标准过滤，而欧式期权被指定为看涨期权（或看跌期权，或其他等价形式）。

让我们指出，Hobson&Neuberger（2017）的第二个结果是，对所有概率空间的搜索可以简化为对更简单模型类的搜索（参见（Hobson&Neuberger2017，第2.4节））。在本文中，我们表明，从Bayraktar等人（2015年）开始，使用（不太传统的）最小-最大值，我们可以通过一个更简单的证明获得Hobson&Neuberger（2017）的结果，并在因子中得到一个更强的结果：我们在下面（作为我们主要结果的应用）证明，只有非常小的扩展子类（我们称之为随机模型）与代表超边际价格相关。我们需要一些准备来描述我们的概括。首先，作为（Hobson&Neuberger 2017，定义1）的一部分，让我们首先提供以下定义。下面我们所说的“嵌入”是指Ohm 可以看作是OhmFt可以被视为Ft的亚西格玛代数（参见定义3.2中的示例）定义3.1。我们说过滤概率空间(Ohm, F=（英尺）T=0，T、 Q）如果（1）过滤空间(Ohm, F） 可以嵌入(Ohm, F） 。（2） （嵌入后）S是（Q，F）-鞅，等式[g]=0。（3） （嵌入后）对于任何A∈ 英国《金融时报》，如果支持的话∈PP（A）=0，然后Q（A）=0。表示所有此类模型的集合。备注3.1。在这里，套期保值者的过滤系数为F，这不一定是s产生的标准过滤系数。根据定义3.1（1），自然可以有更大的过滤系数3.2。我们打电话(Ohm, F=（英尺）T=0，T、 Q）随机模型，如果存在n∈ N、 （ci）i=1，N (0, ∞) 当pni=1ci=1，（Qi）i=1，N Pni=1ciEQi[g]=0的M，这样（1）Ohm= Ohm ×{1，…，n}，（2）英尺=英尺 B（{0，…，n}）。（3） 因为我∈ {1，…，n}，事务内核Q（·，i）=Qi（·），和Q（{i}）=ci。表示MRA是所有随机模型的集合。备注3.2。

不难看出，奥巴马 明尼苏达州。Hobson&Neuberger（2016）在一个例子中展示了这一点。它首先观察到（3.1），然后表明，当模型扩大到一致模型时，不存在二元性差距。Hobson&Neuberger（2017）的作者似乎最初并不知道Bayraktar等人（2015），而是使用非常不同的技术独立得出了他们的结果。然后，他们写了Hobson&Neuberger（2016）的文章，澄清了最初看起来可能是矛盾的，因为他们没有观察到二元性差距。推论3.1。由（2.2）定义的超级套期保值价格由π（Φ）=supM给出∈MnφM（Φ）=supM∈MrφM（Φ），其中φM（Φ）是模型M下美式期权的价格。也就是说，对于M=(Ohm, F、 Q）∈Mn，φM（Φ）：=supτF-停止时间eq[Φτ]。证据很容易证明π（Φ）≥ 苏普∈MnφM（Φ）≥ 苏普∈根据定理2.1，我们得到π（Φ）=supM∈MrφM（Φ）。4.定理2.1的证明在不丧失一般性的情况下，我们假设这些欧式期权中的任何一项都不能被股票和其他欧式期权复制。也就是说，对于任何（H，H）∈ H×Re，如果（H·S）T+hg=0p- q、 然后h=0。（4.1）否则，我们可以在新市场上工作，去掉多余的欧式期权，显然超级对冲价格π是相同的。此外，（2.4）中的上确界序列集（ci，Qi）将保持不变。我们会证明的∈ResupQ∈Msupτ∈TEQ[Φτ- hg]=sup（ci，Qi）Xicisupτ∈特奇[Φτ]。为此，表示M=（Qα）α∈I.LetA:={（cα）α∈I:cα∈ R、 只有非常多的cα6=0}。设d:A×a7→ R、 d（c，c）：=Xα∈I | cα- cα|，c=（cα）α∈一、 c=（cα）α∈我∈ A.很容易看出d定义了一个度量，因此（A，d）是Hausdorff拓扑向量空间。LetX:=（（cα）α）∈我∈ A:cα≥ 0，Xαcα=1）。显然，我们有∈ResupQ∈Msupτ∈TEQ[Φτ- hg]=infh∈Resupc∈X“Xαcαsupτ∈TEQα[Φτ- hg]\\。

（4.2）现在，如果（4.2）右边的inf和sup可以在不改变值的情况下交换，那么我们就得到了infh∈ResupQ∈Msupτ∈TEQ[Φτ- hg]=supc∈Xinfh∈Re“Xαcαsupτ∈TEQα[Φτ- hg]#=sup（ci，Qi）Xicisupτ∈TEQi[Φτ]，其中对于第二个等式，我们使用ifPαEQα[g]6=0的事实，然后我们可以将sup-inf中的值推到-∞ 通过正确选择h。在剩下的证明中，我们将展示（4.2）右侧的sup和inf可以交换。由于我们没有下集Rean和X的紧性，我们将应用极小极大定理（Ha 1981，定理2）（我们将其作为定理A.1作为附录提供）。设f:X×Re7→ R、 f（c，h）：=Xαcαsupτ∈TEQα[Φτ- hg]。对于c来说，很容易看出这一点∈ X和h∈ 关于地图C7→ f（c，h）和h7→ f（c，h）是线性的。c，c∈ X和h∈ Re，f（c，h）- f（c，h）≤Xα| cα- cα|supτ∈TEQα[Φτ]- hEQα[g]≤ ChXα| cα- cα|，其中ch:=supQ∈MEQmax0≤T≤T |ΦT|+ ||h | | supQ∈MEQ | | g | |∞根据假设2.1（2）。因此，地图C7→ f（c，h）是连续的。类似地，对于任何h，h∈ 雷纳德c∈ 十、 | f（c，h）- f（c，h）|≤XαcαEQα|（h）- h） g|≤ ||H- h | | supQ∈MEQ | | g | |，这意味着映射h7→ f（c，h）是连续的。我们声称0∈ Reis是凸集{EQ[g]：Q的内点∈ M} 。如果不是，那么就存在一个非零向量h*∈ Re，这样h*等式[g]≤ 任何Q都是0∈ M.然后（Bouchard&Nutz 2015，超级边缘定理），h的超级对冲价格*g仅使用库存S不会大于0。此外，还会存在H∈ 使（H·S）T≥ H*g、 P-q.s。。那么NA（P）意味着（H·S）T- H*g=0，P-q.s。。这与（4.1）相矛盾，因为h*6= 0.设B（r）是一个闭合球，半径r以原点为中心，其中r>0的选择使得B（r） {EQ[g]：Q∈ M} 。表示L:=1+supQ∈MEQ[max0≤T≤TΦT]<∞. 设J:=\'B（3L/r）。因为不管怎么说∈ J、 存在Qh∈ M使得| | EQh[g]| |=r和hEQh[g]=-3L。