随机波动率的均值修正和高阶矩

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英文标题：
《Mean-correction and Higher Order Moments for a Stochastic Volatility
  Model with Correlated Errors》
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作者：
Sujay Mukhoti, Pritam Ranjan
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In an efficient stock market, the log-returns and their time-dependent variances are often jointly modelled by stochastic volatility models (SVMs). Many SVMs assume that errors in log-return and latent volatility process are uncorrelated, which is unrealistic. It turns out that if a non-zero correlation is included in the SVM (e.g., Shephard (2005)), then the expected log-return at time t conditional on the past returns is non-zero, which is not a desirable feature of an efficient stock market. In this paper, we propose a mean-correction for such an SVM for discrete-time returns with non-zero correlation. We also find closed form analytical expressions for higher moments of log-return and its lead-lag correlations with the volatility process. We compare the performance of the proposed and classical SVMs on S&P 500 index returns obtained from NYSE.
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中文摘要：
在一个有效的股票市场中，对数收益率及其随时间变化的方差通常由随机波动率模型（SVM）联合建模。许多支持向量机假设对数收益率和潜在波动率过程中的误差是不相关的，这是不现实的。事实证明，如果支持向量机中包含非零相关性（例如Shephard（2005）），那么在t时刻以过去收益为条件的预期对数收益率是非零的，这不是有效股票市场的理想特征。在本文中，我们提出了一种非零相关离散时间收益率支持向量机的均值校正方法。我们还找到了对数收益的高阶矩及其与波动过程的超前-滞后关系的封闭式解析表达式。我们比较了所提出的支持向量机和经典支持向量机在纽约证券交易所获得的标准普尔500指数收益率上的性能。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Mean-correction_and_Higher_Order_Moments_for_a_Stochastic_Volatility_Model_with_.pdf (201.01 KB)

2022-5-11 07:13:20 上传

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关键词：波动率 Applications Multivariate epidemiology correlations

具有相关误差的aStochastic波动率模型的平均校正和高阶矩Ssujay Mukhoti和Pritam Ranjan运营管理和定量技术，印度印多尔管理研究所，M.P.，印度，453556(sujaym@iimidr.ac.in, pritamr@iimidr.ac.in)摘要在一个高效的股票市场中，对数收益率及其随时间变化的方差通常由随机波动率模型（SVM）联合建模。许多支持向量机假设对数收益率误差和潜在波动率过程不相关，这是不现实的。事实证明，如果SVM中包含非零相关性（例如Shephard（2005）），那么在时间t时，以过去回报为条件的预期对数回报率为非零，这不是一个高效股票市场的理想特征。本文针对非零相关离散时间收益率，提出了一种均值校正方法。我们还发现了高收益矩的封闭式解析表达式及其与波动过程的超前滞后关系。我们比较了所提出的支持向量机和经典支持向量机在纽约证券交易所获得的标准普尔500指数回归上的表现。关键词：杠杆效应，鞅差，偏度，波动不对称。1简介在过去几十年中，离散时间内股票价格运动的不同方面一直是众多研究途径的焦点。假设Pt表示股票的价格t，那么股票的连续复合收益或对数收益（以下简称为收益）定义为rt=log（Pt/Pt）-1). 如果一只股票的价格包含关于它的所有可用信息，那么股票市场就是有效的。在这样的市场中，投资股票所涉及的风险是通过rt的标准偏差来衡量的，在金融文献中通常被称为股票的波动性。人们注意到，波动性随时间而变化（Engle 1982）。

随机波动性模型（SVM）是描述股票收益率时变波动性的一类流行模型（Shephard 2005）。虽然有很多支持向量机用于描述股票收益，但泰勒（1982）提出了一种最简单但最流行的离散时间支持向量机，其中收益过程是两个独立随机过程的非线性乘积，即：。一个i.i.d.误差过程t和一个潜在波动过程ht，进一步建模为AR（1）。也就是说，rt=exphttht=α+φ（ht-1.- α） +σηt，t=1，2，（1） 其中α=E（ht）是长期波动率，φ是平稳性参数，σ测量波动过程ht的可变性，而和η是不相关的i.i.d.N（0，1）误差。此后，该模型将被称为SV M。如（1）所示，金融文献中使用的许多新一代支持向量机都假设和η是独立的N（0，1）个误差。然而，在现实中，和η皮重往往是相关的（Harvey&Siddique 1999）。尽管具有非零corr（t，ηt）的离散时间支持向量机已经开发出来并正在使用，但它们假设ht+1（而不是（1）中的HTA）依赖于ηtvia AR（1）（参见Meyer&Yu（2000）和Berg，Meyer&Yu（2004））。本文主要研究（1）中提出的具有相关误差（表示为SV Mρ）的支持向量机。也就是说，（1）中的附加假设是corr（t，ηt）=ρ。结果表明，从有效市场的角度来看，在η和tin（1）之间引入非零相关性会对SVM的可接受性产生不利影响。特别是，给定过去数据的RTF的条件期望，E[rt | Ft-1] ，不是零，其中-1用r，…，生成的空间（σ-场）。。。，rt-1.

这种零条件的回报预期是有效市场假说（EMH）的必要条件（参见Yu（2005）的areview）。本文对具有相关误差的SV Mρ-模型（1）提出了一个均值修正，使得E[rt | Ft-1] 变为零，校正后的SVM将满足EMH。提出的平均校正模型用SV Mρu表示。此外，Black（1976）提到，通常情况下，价格下跌导致的波动增加量大于价格上涨导致的波动减少量。反过来，这表明正回报的波动率var（rt | rt>0）小于负回报的波动率var（rt | rt<0），从而导致回报率分布的偏态。此外，峰度量化了模型解释的碰撞过程中出现的极值比例。我们找到了高阶矩和潜在回报过程的超前-滞后相关性的封闭式表达式。这些描述性统计数据表明了过去/未来波动对当日回报的影响。本文的其余部分组织如下。第2节给出了主要结果：SV Mρu——无满足EMH的n-zero相关性的均值校正SVM，以及所提出模型的高阶矩和超前滞后相关性的封闭式解析表达式。对于标准普尔500指数的收益率，第3节对标准零相关性模型（1）和非零相关性模型进行了比较。最后，第4节概述了结束语和一些可能的未来方向。2.本节的主要结果，我们假设误差项和ηtin（1）不仅具有恒定的相关性ρ和i.i.d。

N（0，1）边缘，但它们也遵循二元非正态分布。建议的平均校正模型（SV Mρu）包含一个附加项u，即rt=u+exphttht=α+φ（ht-1.- α） +σηt，t=1，2。T.（2）定理1确定了u的值，对于该值，建议的平均值修正模型（2）给出了零条件期望E[rt | Ft-1] 从而满足EMH。在本节后面部分，我们推导了高阶矩的闭合形式表达式，即rt的方差、偏度和峰度，以及RTA和ht±k之间的超前-滞后相关性。SV Mρuin（2）的定理1带有|φ|≤ 1，σ>0和-∞ < α < ∞, 如果（t，ηt）遵循具有相关ρ的标准二元正态分布，则平均项u=-ρσexpα+σ8(1 - φ)（3） 给出E[rt | Ft-1] =0，反之亦然。条件期望收益率E[rt | Ft]的证明-1] =0给出- u=E经验htt= E经验α+φ（ht）-1.- α） +σηtt= expnαo×E“exp（φσ∞Xj=1φj-1ηt-j） #×Ehexpnση到ti。（4） 由于（t，ηt）遵循具有相关ρ的标准二元正态分布，因此由N（ρηt，1）给出了t |ηt的条件分布- ρ). 这种条件正态分布和正态分布的矩母函数（mgf）将（4）中的第三项简化为hexpnση到ti=Eηxpnση到ρηti=ρσexpσ, （5） 第二个任期是∞Yj=1E经验σφjηt-J= exp（σ）∞Xj=1φ2j）=expσφ8(1 - φ). （6） 因此，u的最终表达式如下（4）-（6）。Yu（2005）试图计算E[rt | Ft-1] ，但最终的表达似乎不正确。注意，提出的均值修正（定理2.1）使模型（2）在股票市场中可用，因为它现在满足EMH（具体来说，E[rt | Ft-1] = 0) .

此外，上述定理的证明禁止使用重尾分布（如t分布）作为波动率误差分布（Wang，Chan&Choy，2011），因为其矩生成函数不存在，从而导致预期收益的存在。在第3节中，我们讨论了该模型在纽约证券交易所（NYSE）标准普尔500指数2006年3月1日至2月30日期间观察到的指数收益率的使用。2.1高阶矩对于收益率分布的其他关键特征，我们估计了高阶矩，特别是以Ft为条件的方差、偏度和峰度-1.定理2对于（2）中的SV Mρu，如果定理2.1成立，则返回条件的方差为Ft-1由V（rt | Ft）给出-1） =expα +σ2(1 - φ)1 + ρσ-ρσexp-σ4(1 - φ). （7） 方差定义后的证明，V（rt | Ft-1） =E[rt | Ft-1] - 0=Eexp{ht}t- u=exp{α}×E“exp（σ∞Xj=1φjηt-j） #×Eexp{σηt}t- u=expα +σφ2(1 - φ)（1+ρσ）expσ- u（如（4）-（6）所示）。最后的结果是用定理2.1中的u值代替。条件均值和方差的表达式是发现偏度和峰度统计数据的最关键组成部分。对于SV Mρuin（2），在与定理2.2相同的条件下，偏度条件为Ft-1的测量单位为u/（V ar（rt | Ft-1） ）3/2，其中u=3ρσexp3α+9σ8(1 - φ)3+9σρ+ρσexp-3σ4(1 - φ)-1 + ρσ经验-σ2(1 - φ). （8） （8）的证明从u=E[rt | Ft]开始-1] ，并在定理2.1和2.2中以完全相同的曼涅拉斯进行。类似地，峰度的闭式表达式也可以是u/（V ar（rt | Ft-1） ），其中u=exp2α +2σ(1 - φ)×ρσ（1+σρ）exp-5σ4(1 - φ)+3 + 24ρσ+ 16ρσ-ρσexp-3σ(1 - φ)-9ρσ1 +ρσ经验-3σ4(1 - φ).

（9） 正如所料，这里发现的所有四种描述性统计数据在很大程度上取决于corr（t，ηt）=ρ。仔细检查这些统计数据，我们发现ρ=0（即泰勒1982年提出的经典SVM）给出了u=0，u=0，var（rt | Ft-1） =expα +σ2(1 - φ)u=3 exp2α +2σ(1 - φ).请注意，此处发现的简化表达式与Ghysels、Harvey&Renault（1996）报告的表达式一致，因此提出的模型SV Mρu（2）是经典模型SV Min（1）的推广。接下来，我们研究条件反射（在Ft上）-1） 当前回报与过去、当前和未来波动之间的依赖性。2.2超前-滞后相关性在本节中，我们希望估计thr ee数量：（1）当前收益率和当前波动率之间的相关性，corr（rt，ht | Ft-1） ，（2）当前收益对未来波动性的潜在影响，corr（rt，ht+k | Ft-1） 和（c）过去波动性对当前收益率的影响，corr（rt，ht）-k |英尺-1). 尽管对此类数量的经验估计并不罕见，例如在Bollerslev、Litvinova&Tauchen（200 6），我们的目标是在SV Mρu规范下，为这些描述性度量找到封闭的分析表达式。自var（rt | Ft-1） 由（7）和var（ht | Ft）给出-1) = σ/(1 - φ） ，我们只需要找到条件协方差的表达式。首先，我们记得在提议的模型下，条件平均值是E（rt | Ft）-1） =0和E（ht | Ft-1) = α. 现在，如果我们假设corr（rt，ht | Ft-1） =σrh，thencov（rt，ht+1）=E[rt（ht- α） ]=E[rt（φ（ht）- α） +σηt+1）]=φE[rt（ht- α） ]=φσrh，这进一步意味着cov（rt，ht+k）=φkσrhk≥ 1.

通过应用关键的数学技术（即期望、正常mgf和ht=α+σP的展开式的性质∞j=1ηt-jφj）用于证明第2.1节的结果，可以很容易地证明σrh=cov（rt，ht | Ft-1） =ρσexpα+σ8(1 - φ)×1 +σ4(1 - φ),冠状病毒（rt，ht）-k |英尺-1） =σrh·φk·σ4(1 - φ)1 +σ4(1 - φ).显然，超前（cov（rt，ht+k））和滞后（cov（rt，ht-k） ）协方差小于同期协方差cov（rt，ht-k |英尺-1). 同期相关性可以解释为波动性变化对未来收益的feedbac k影响，而收益率变化对未来波动性的影响被称为杠杆效应。Bekaert&Wu（2000）发现波动反馈效应比杠杆效应更强。我们在上面推导的闭式表达式为SV Mρu规范下的上述发现提供了理论证明。此外，Bollerslev等人（2006年）在经验上观察到，与滞后h的滞后相关性小于我们在理论上建立的与领先h的领先相关性。进一步注意，如果ρ=corr（t，ηt）=0，所有这些协方差和相关性都消失。接下来，我们比较了三种随机波动模型的优度：SV M（经典-零相关性）、SV Mρ（相关性ρ）和SV Mρu（相关性ρ校正的均值），以获得真实的收益数据。本文比较了三种模型（SV M、SV Mρ、SV Mρu）在2002年4月1日至2006年3月30日期间从纽约证券交易所获得的标准普尔500指数（S&P500）的指数收益率。我们选择这段时间是为了避免“2000-2002年网络泡沫”和“2008年其他人崩溃”期间的极端行为。

图1显示了100个8个交易日（少于总日历日）的收益时间图。2002年4月2日2003年4月1日2004年4月1日2005年3月30日2006年-0.15-0.05 0.05 0.15图1:2002年4月1日至2006年3月30日期间标准普尔500指数回报的时间图从图1可以推断，在2003年9月2日至2004年6月期间，波动性相对较高，而在2004年10月至2005年4月期间，波动性相对较低。观察到的收益的一些描述性统计如下：我们遵循Meyer&Yu（2000），并使用在另一个G ibbs采样器（JAGS）中实现的相同马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法来拟合经典模型均值=0.0 014，方差=0.0005，偏斜度=0.0329，峰度=10.9813。SV M.为了验证另外两个模型SV Mρ和SV Mρu，我们稍微修改了JAGScode，以包括corr（t，ηt）=ρ和u（在定理2.1中推导）。为了实现SV Min JAGS，层次模型结构以byrt |（ht，ht）为特征-1.h、 h；α, φ, σ) ~ N（0，exp{ht}），和ht|（ht-1.h、 h；α, φ, σ) ~ Nα+φ（ht）-1.- α), σ.对于SV Mρ，rtchanges侵权|（ht，…，h；α，φ，σ）的条件分布的均值和方差~ Nρeht/2σ（ht- α - φ（ht）-1.- α） ），eht（1）- ρ),HTC的条件分布保持不变。类似地，平均校正模型SV Mρu的实现的特点是更新|（ht，…，h；α，φ，σ）的条件分布的平均值和方差~ Nu+ρeht/2σ（ht- α - φ（ht）-1.- α） ），eht（1）- ρ).感兴趣的参数是（α，φ，ρ，σ）=Θ（比如）。我们对α、φ和σ使用了与Meyer&Yu（2000）中相同的先验知识（包括超参数），并使用了一个非信息统一(-1，1）优先于相关参数。Θ和H={ht，ht的后部-1, ...} 给定数据{rt，rt-1, ...} 是通过JAGS获得的。

我们将链的总长度设置为180000，其中30000是磨合，并从剩余的150000个后续实现（每50个实现变薄一次）中使用（即总共3000个实现）来获得参数的插件估计。细化过程有助于防止取样过程中的链式依赖。图2显示了三个模型（SV M、SV Mρ和SV Mρu）的Θ后分布密度图。我们没有包括追踪图，因为所有参数都很好地收敛，并且图中没有显示任何东西。通过后验均值和方差获得参数的插件估计值（总结见表1）。表1显示SV M、SV Mρ和SV Mρu中参数的后验估计值相似。此外，φ的近似统一估计表明存在强波动性聚集。相关参数ρ的估计值很小，但为正，这是表1：三个模型的Θ=（α，φ，σ，ρ）插入估计值。括号中的数字表示后验实现的标准偏差。参数SV MSV MρSV Mρμα-7.88-7.87-7.88（0.1837）（0.2077）（0.192）φ0.96 0.97 0.96（0.016）（0.014）（0.014）σ0.20.177 0.18（0.04）（0.034）（0.038）ρ0.1185 0.105（0.1362）（0.1278），类似于French、Schwert&Stambaugh（1987）和Campbell&Hentschel（1992）的发现。这可能表明当前收益率对未来波动性没有显著影响。图2显示了SV M、SV Mρ和SV Mρu参数的后验分布在其kurto sis中是不同的。可以注意到的一个普遍模式是，与除α以外的其他两种模型下的参数相比，SV模型下参数的后验分布更细。