随机利率下双重风险模型的最优红利

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英文标题：
《Optimal Dividends in the Dual Risk Model under a Stochastic Interest
  Rate》
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作者：
Zailei Cheng
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Optimal dividend strategy in dual risk model is well studied in the literatures. But to the best of our knowledge, all the previous works assumes deterministic interest rate. In this paper, we study the optimal dividends strategy in dual risk model, under a stochastic interest rate, assuming the discounting factor follows a geometric Brownian motion or exponential L\\\'evy process. We will show that closed form solutions can be obtained.
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中文摘要：
已有文献对双重风险模型下的最优股利策略进行了深入研究。但据我们所知，之前的所有工作都假设利率是确定性的。在本文中，我们研究了双重风险模型中，在随机利率条件下，假设贴现因子服从几何布朗运动或指数Levy过程的最优股息策略。我们将证明可以得到闭式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Dividends_in_the_Dual_Risk_Model_under_a_Stochastic_Interest_Rate.pdf (357.4 KB)

2022-5-31 20:37:18 上传

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关键词：风险模型 Mathematical Quantitative mathematica Literatures

随机利率下双重风险模型中的最优股利再分配。本文对双重风险模型中的最优股利策略进行了深入的研究。但据我们所知，之前的所有工作都假设利率是决定性的。本文研究了在随机利率下，假设贴现因子服从几何布朗运动或指数L′evyprocess，双风险模型的最优分割策略。我们将证明可以得到闭式解。1、简介在一个有股息支付的经典风险模型中，保险公司的盈余可以写为：XDt=x+ct- St公司- Dt（1.1）这里x是初始盈余，c>0是保险费率，St=PNti=1yi是复合泊松过程，可以解释为索赔总额。速率λ>0的Ntisa Poisson过程，是p.d.f.p（x）的i.i.d.随机变量。{Dt}是一个分红过程。另一方面，双重风险模型[2]与石油公司和高科技公司等公司的财富过程有关。这种情况下的盈余可以写为：XDt=x- ct+St- Dt（1.2）日期：2021 07月12日。关键词和短语。双重风险模型，最优股利，随机利率，障碍策略，阈值策略。2在这里x是初始盈余，c>0是费用率，St=PNti=1yi是复合泊松过程，可以解释为发明或发现的未来收益值。{Dt}是一个股息率过程。最优股利问题是由布鲁诺·德费内蒂于1957年提出的。他表示，公司将寻求找到一种策略，以最大化破产前预期贴现股息的累计价值。近年来，关于双重风险模型中的最优股利问题已经发表了许多论文。

Avanzi[2]将障碍策略应用于双重风险模型，得到了最优分红策略。D、 姚[13]通过在双重风险模型中构建两类次优模型来研究最优股息问题，一类是不发行股票的普通双重模型，另一类假设，通过发行新股票，公司永远不会破产。Cheung和Drekic[3]通过推导总贴现股息矩的积分微分方程以及破产时间的拉普拉斯变换，研究了双重风险模型中的股息矩。D、 Peng[11]考虑了具有指数分布观测时间和常数dividendbarrier策略的双风险模型。Fahim和Zhu[7]最近的一项工作是对双重风险模型中的最优股息进行渐近分析。在本文中，我们假设在复合泊松过程中，跳跃Yi的大小服从指数分布，即p（x）=βe-βx，β>0。截至破产时间的预期贴现股息累计值变为：VD（x）=E“ZτDe-δtdDt#（1.3）δ是确定性利率，e-δ称为贴现因子，其中τD=inf{t:XDt<0}是破产时间。人们寻求股息支付策略{D*t} 因此V（x）=supD∈ψ{VD（x）}=VD*（x） （1.4）双重风险模型3中的最优股息容许策略ψ集由非负、非递减、自适应的c\'adl\'ag过程组成。V（x）被称为最优分红问题的值函数[12]。为了研究这类最优控制问题，Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程是必不可少的。HJB方程的解是具有最优红利的值函数。

HJB方程可以通过动态规划原理获得【1，12】。人们研究了经典风险模型以及确定性利率下的双风险模型中的最优股息[2，12，9，10，1]。最近，J.Eisenberg[5]发表了一篇关于经典风险模型（即带漂移的布朗运动）的离散近似下的最优红利的论文。该模型中的利率也遵循随机的带漂移的布朗运动。他们找到了三限制红利和无限制红利最优策略的值函数的显式表达式。在我准备这篇论文的时候，我注意到J.Eisenberg和P.Kr¨uhner最近的一篇论文使用了指数L'evy模型中的最优股息思想[6]。在本文中，我们将研究随机利率下双重风险模型中的最优股息。2、几何布朗运动作为贴现因子，我们假设随机利率服从一个带漂移的布朗运动。所以贴现因子现在变成了几何布朗运动：exp{-r- mt公司- δBt}其中r>0，m>0，δ≥ 0，我们在本节中假设m>δ。给定一个策略D，回报函数，即截至破产时间的预期4 ZAILEI Cheng贴现股息的累积值，由以下公式得出：VD（x，r）=E“ZτDe-r-mt公司-δBtdDt#2.1。限制性股息。在这种情况下，我们只考虑有界的分红策略。i、 e.滴滴涕=Utdt，Ut∈ [0，ξ]，其中ξ>0是一个常数。我们滥用符号，使用Vu表示VD。引理1。

返回函数VU（x，r）是有界的。证据VU（x，r）=E“ZτUe-r-mt公司-δBtUtdt#≤ EZ∞e-r-mt公司-δBtξdt= ξe-rE公司Z∞e-mt公司-δBtdt= ξe-rZ公司∞e-mtE[电子]-δBt]dt=ξe-rZ公司∞e-（m）-δ/2）tdt=ξe-rm- δ/2（2.1.1）值函数V（x，r）=supU∈ψ{VU（x，r）}。对应于该问题的HJB方程如下所示：-cVx+mVr+δVrr+λZ∞[V（x+y，r）-V（x，r）]p（y）dy+sup0≤u≤ξu{e-r-Vx}=0（2.1.2）引理2。从Ut获得的Vξ（x，r）≡ ξ解HJB方程，如果ξαm-δ≤ 1，其中α=-(θ+λ-βc-βξ)-√(θ+λ-βc-βξ）+4θβ（c+ξ）2（c+ξ），θ=m-δ双重风险模型中的最优股息为5Proof。我们设置：τξ，0x：=inf{t≥ 0：x- （c+ξ）t+St=0}（2.1.3）相应的返回函数为：Vξ（x，r）=ξE“Zτξ，0xe-r-mt公司-δBtdt#=ξE“Zτξ，0xE[E-r-mt公司-δBt]dt#=ξe-rm-δE[1- e-（m）-δ） τξ，0x]（2.1.4）现在假设m（x）=E[E-θτξ，0x]，θ=m-δ> 0，m（x）满意度：-（c+ξ）m（x）+λZ∞[米（x+y）-m（x）]p（y）dy- θm（x）=0（2.1.5）我们猜想解类似于m（x）=Aeαx，α<0。因为如果x=0，破产是即时的，所以m（0）=1，即A=1。代入（2.1.5）我们得到：（p（y）=βe-βy）（c+ξ）α+（θ+λ）- βc- βξ)α - θβ=0（2.1.6）求解（2.1.6），α=-(θ+λ-βc-βξ)-√（θ+λ）-βc-βξ）+4θβ（c+ξ）2（c+ξ）<0Vξ（x，r）=ξe-rm-δ(1 - eαx）（2.1.7）Vξx（x，r）=-ξe-rm-Δαeαx>0（2.1.8），尤其是Vξx（r，x）≤ e-rif公司-ξαm-δ≤ 这意味着Vξ（r，x）解HJB方程，如果-ξαm-δ≤ 1.引理3。V（x，r）=e-rF（x）=e-rF（x）x>^xe-rF（x）x≤ ^x6 ZAILEI Cheng求解HJB方程，如果-ξαm-δ> 1，其中F（x）=Aerx+ξm-δ和F（x）=B（esx- esx）ris方程的负解：（c+ξ）x+m+λ-δ- β（c+ξ）x个- β（m-δ） =0，分别是函数的正解和负解：cx+（m+λ-δ- βc）x- β（m-δ） =0A=-ξ(β - r） β（m-δ） ×s（β- s） es^x- s（β- s） es^x（s- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^xe-r^xB=ξ(-r） β（m）-δ)×(β - s） （β- s） （s）- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^x^x=s- SLN（s）- r） （β- s） s（s）- r） （β- s） 证明。

如果-ξαm-δ> 1，根据（2.1.7），我们推测V（x，r）=e-rF（x）。替换为（2.1.2），-cF（x）-（m+λ-δ） F（x）+λZ∞F（x+y）p（y）dy+sup0≤u≤ξu（1-F（x））=0（2.1.9）根据Schmidli【12】第99页，我们需要求解以下两个方程：-cF（x）-（m+λ-δ） F（x）+λZ∞F（x+y）p（y）dy+ξ（1-F（x））=0（2.1.10）- cF（x）- （m+λ-δ） F（x）+λ[Z^x-xF（x+y）p（y）dy+Z∞^x-xF（x+y）p（y）dy]=0（2.1.11）双重风险模型中的最优股息7^x是f（x）的阈值=F（x）x>^xF（x）x≤ ^x（2.1.12）在（2.1.11）中，我们写λR∞F（x+y）p（y）dy=λ[R^x-xF（x+y）p（y）dy+R∞^x-xF（x+y）p（y）dy]因为F（x+y）中的跳跃大小y。首先我们解（2.1.10），像（2.1.5）一样继续，我们推测：F（x）=Aerx+ξm-δ（2.1.13）注意r<0，因为根据（2.1.1），VU（x，r）是有界的。ξm-δ是非齐次方程（2.1.10）的特定解。将（2.1.13）代入（2.1.10），我们得到rto为方程的负解：（c+ξ）x+[m+λ-δ- β（c+ξ）]x- β（m-δ） =0（2.1.14），接下来我们求解（2.1.11）。将（2.1.13）替换为（2.1.11），我们得到：- cF（x）- （m+λ-δ） F（x）+λZ^x-xF（x+y）p（y）dy+λAββ- re（r-β） ^x+βx+λξm-δe-β（^x-x） =0（2.1.15）注意，通过变量的变化，R^x-xF（x+y）p（y）dy可以写成r^xxF（u）p（u-x） 杜。也可以通过应用运算符（ddx-β） ，我们可以去掉包括eβx在内的项。

然后（2.1.15）变成：cF（x）+（m+λ-δ- βc）F（x）- β（m-δ） F（x）=0（2.1.16），注意F（0）=0，F（x）=B（esx- esx）（2.1.17）8 ZAILEI CHENGsand分别是函数的正解和负解：cx+（m+λ-δ- βc）x- β（m-δ） =0（2.1.18）现在我们需要确定常数A，B，^x。将（2.1.17）替换回（2.1.15），我们得到：（λ+m-δ+cs）Besx- （λ+m-δ+cs）Besx=λβBβ- 塞克斯-λβBβ- 塞克斯-λβBe-(β-s） ^xβ- seβx+λβBe-(β-s） ^xβ- seβx+λβBe-(β-r） ^xβ- reβx+λξe-β^xm-δeβx（2.1.19），因为上述表达式适用于所有0≤ x个≤ ^x，eβx的系数之和必须为零。B（es^xβ- s-es^xβ- s） =Aer^xβ- r+ξβ（m-δ） （2.1.20）同样通过连续性条件，F（^x）=F（^x）B（es^x- es^x）=Aer^x+ξm-δ（2.1.21）通过求解（2.1.20）和（2.1.21），我们得到：A=-ξ(β - r） β（m）-δ） ×s（β- s） es^x- s（β- s） es^x（s- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^xe-r^x（2.1.22）B=ξ(-r） β（m）-δ)×(β - s） （β- s） （s）- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^x（2.1.23）为了计算^x，由于Vξ（x，r）在^x达到最大值，我们需要最大化a和B。在双重风险模型9中，通过查看（2.1.23），我们发现最大化B等于最小化（s- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^x，so^x=s- SLN（s）- r） （β- s） s（s）- r） （β- s） （2.1.24）当最大化A时，我们解决A. ^x=0，经过简单但繁琐的计算，我们得到s（s- r） （β- s） es^x- s（s）- r） （β- s） es^x=0。它还给出了^x=s- SLN（s）- r） （β- s） s（s）- r） （β- s） （2.1.25）相反，^x的计算证明我们对A和B的计算是正确的。因此，值函数：V（x，r）=e-rF（x）=e-rF（x）x>^xe-rF（x）x≤ ^x（2.1.26）求解HJB方程。接下来，让我们提供一个验证定理来证明：定理4。最优策略U*= {U*t} 智能开关单元*t（x）=ξI{XU*t> ^x}（2.1.27）这种策略被称为阈值策略[12，9]。证据假设U是任意容许策略，τUbe是{XUt}的破产时间。

自e起-rF（x）满意度（2.1.2），根据It^o的公式：10 ZAILEI CHENGFigure 1。双重风险模型中阈值策略的图示，x轴表示时间演化。y轴由三个分量组成，红线是阈值^x，实线是曲线，虚线是累积股息。当股息高于阈值时，我们支付的股息最高。当盈余低于阈值时，我们不支付股息。e-r-m（t∧τU）-δBt∧τUF（XUt∧τU）=e-rF（x）+Zt∧τUe-r-太太-δBsF（XUs）(-c- u） ds+λZt∧τUe-r-太太-δBsZ∞[F（XUs+y）- F（XUs）]p（y）dyds-Zt公司∧τUe-r-太太-δBs（m-δ） F（XUs）ds+δZt∧τUe-r-太太-δBsF（XUs）dBs≤ e-rF（x）-Zt公司∧τUe-r-太太-δBsUsds+δZt∧τUe-r-太太-δBsF（XUs）dbs当U=U时等式成立*因为F有界且rt[E[E-r-太太-δBs]]ds<∞, 所以上面最后一个随机积分是一个鞅，它的期望值Eqa0。然后我们可以得到：双重风险模型11E[e]中的最优股息-r-m（t∧τU）-δBt∧τUF（XUt∧τU）]≤ e-rF（x）- E“Zt∧τUe-r-太太-δBsUsds#（2.1.28）如果τU<t，F（XUt∧τU）=F（0）=0。自F（x）起≤ξm-δ、 我们有：E[E-r-m（t∧τU）-δBt∧τUF（XUt∧τU）]=E[E-r-mt公司-δBtF（XUt）I[τU>t]]≤ E【E】-r-mt公司-δBtF（XUt）]≤ E【E】-r-mt公司-δBt]ξm-δ=e-r-（m）-δ） tξm-δ那么我们有：limt→∞E【E】-r-m（t∧τU）-δBt∧τUF（XUt∧τU）]=0根据（2.1.28），e-rF（x）≥ VU（x，r）U任意=VU*（x，r）U=U*所以我们得出结论：V（x，r）≥ VU公司*（x，r）=e-rF（x）≥ supU公司∈ψVU（x，r）=V（x，r）2.2。无限制股息。这里我们考虑Dt∈ ψ无限制。值函数V（x，r）=supD∈ψ{VD（x，r）}。12 ZAILEI Cheng这是一个奇异控制问题，参见[8]中的第8章，相应的Jb方程如下所示：max{-cVx+λZ∞[V（x+y，r）- V（x，r）]p（y）dy+mVr+δVrr；e-r- Vx}=0（2.2.1）假设应用了带参数b的屏障策略[2]，这意味着如果Xt<b，则不支付股息，如果Xt>b，则立即支付超额。图2。

双重风险模型中屏障策略的图示，x轴表示时间演化。y轴由三部分组成，红线为屏障b，实线为盈余，虚线为累计股息。当额外收入高于阈值时，我们支付超出部分的盈余。当盈余低于阈值时，我们不支付股息。引理5。V（x，r）=e-rK（esx- esx）x≤ bx公司- b+F（b，b）x>b求解HJB方程，其中s分别是方程的正解和负解：cx+（m+λ-δ- βc）x- β（m-δ） =0双重风险模型中的最优股息13K=λβ×（cs+m-δ） esb公司- （cs+m-δ） esbF（x，b）=λβ×esx- esx（cs+m-δ） esb公司- （cs+m-δ） esb，0≤ x个≤ bb=s- SLN（cs+m-δ） s（cs+m-δ） 证明。

我们试试安萨兹：V（x，r）=e-rF（x，b）（2.2.2）当x=0，soF（0，b）=0（2.2.3）时，破产立即发生。首先，我们考虑x>b的情况，在这种情况下，e-r- Vx=0（2.2.4）F（x，b）=x- b+F（b，b）（2.2.5）然后我们考虑0<x的情况≤ b、 在这种情况下，-cVx+λZ∞[v（x+y，r）- v（x，r）]p（y）dy+mVr+δVrr=0（2.2.6）将（2.2.2）代入（2.2.6），得到：cF（x，b）+（m+λ-δ） F（x，b）- λZb-xF（x+y，b）p（y）dy- λZ∞b-x[x+y- b+F（b，b）]p（y）dy=0（2.2.7）注意：Z∞ap（y）（y）-a） dy=Z∞a（1- P（y））dy（2.2.8）14 ZAILEI cheng其中P（y）是P（y）的c.d.f。然后（2.2.7）可以重写为ascF（x，b）+（m+λ-δ） F（x，b）- λZbxF（u，b）p（u- x） 杜邦- λZ∞b-x[1- P（y）]dy-λF（b，b）[1- P（b- x） ]=0（2.2.9）替换p（y）=βe-βyand P（y）=1- e-βy，应用运算符（ddx- β） ，（2.2.9）变为：cF（x，b）+（m+λ-δ- βc）F（x，b）- β（m-δ） F（x，b）=0（2.2.10）F（x，b）=K（esx- esx）（2.2.11）s，分别是方程的正解和负解：cx+（m+λ-δ- βc）x- β（m-δ） =0（2.2.12）将（2.2.11）替换回（2.2.9）并设置x=b，我们得到k=λβ×（cs+m-δ） esb公司- （cs+m-δ） esb（2.2.13）SoF（x，b）=λβ×esx- esx（cs+m-δ） esb公司- （cs+m-δ） esb，0≤ x个≤ b（2.2.14）F（x，b）在b处最大，因此Fb=0b=s- SLN（cs+m-δ） s（cs+m-δ） （2.2.15）综上所述，价值函数：双重风险模型中的最优股息15V（x，r）=e-rK（esx- esx）x≤ bx公司- b+F（b，b）x>b（2.2.16）求解HJB方程。接下来，我们需要证明一个验证定理：定理6。最优策略D*支付任何大于b的资本，即D*t=最大值{sup0≤s≤τ∧tXs公司- b、 0}，其中Xs=x- cs+Standτ表示策略D下的破坏时间*.证据如果x>b，证明很明显，因为V（x，r）=e-r【x】-b+F（b，b）]。