可引出性和后验性：银行监管的视角

对于权利要求书（2.3），使用在证明花岗质岩石【2011年，定理10】中得出的分数差异的构成是有用的。此外，对于分布在P′中的所有X，需要G（X）{X>0}或φ（X）{X>0}的可积性是足够的。如果我们严格按照（r，r）进行预测∈ R×（0，∞) 在（2.4）中，Gonly必须定义为（0，∞) 在这个域上必须是严格递增和严格凹的。与可诱导性密切相关的是可识别性的概念。事实上，对于k=1，在一些附加假设下，可识别性意味着可获取性；参见Steinwart et a l【2014年】。对于k≥ 2、目前还不清楚这样一个普遍的结果是否成立；参见Fissler和Ziegel【2016年】。定义2。如果存在函数v:Rk×R，则风险度量向量Θ被称为与P的响应可识别→ Rkuch thatE（V（r，X））=0<=> r=Θ（X），对于所有在P中分布的X，识别函数不是唯一定义的。事实上，可以将函数的任何识别函数乘以一个仅依赖于预测r的函数，并在可逆k×k矩阵的s步中取值，以获得相同函数的另一个识别函数。α的VaRα∈ （0，1）可根据PV类识别 具有唯一数量且具有识别函数V（r，x）=1的Pof分布-α-{x>r}，（2.5）τ的τ-期望值∈ （0，1）可通过使用识别函数v（r，x）=1来识别-τ-{x>r}|（r- x） ，（2.6）和（VaRν，ESν）表示ν级∈ （0，1）具有识别功能V（r，r，x）=1- ν-{x>r}r- R-1.-ν{x>r}（r- x） 哦！（2.7）关于P∩ PV。2风险度量的回溯测试62.2校准和传统回溯测试使用以下符号。假设Θ=（ρ，…，ρk）是一个可识别的函数，函数V相对于P。

设{Xt}t∈Nbe一系列与过滤F={Ft}t相适应的否定对数回归∈Nand{Rt}t∈NaΘ的预测序列，即Ft-1-可测量。因此，预测是基于{Xt}t的信息∈可在时间t导航- 1由西格玛代数Ft表示-1、LetL（Xt | Ft-1） 表示给定信息Ft的条件定律XT-1、我们假设所有条件分布为L（Xt | Ft-1） 所有无条件分布L（Xt）几乎肯定都属于P。受Davis（2016）富有洞察力的论文启发，我们给出以下定义。定义3。预测序列{Rt}t∈Nis校准为所有t的平均ifE（V（Rt，Xt））=0∈ N如果E（V（Rt，Xt））的平均值为Θ，则为超级校准值≥ 0组件方面，对于所有t∈ N、 预测序列{Rt}t∈Nis有条件校准ΘifE（V（Rt，Xt）| Ft-1） =0，几乎可以肯定，对于所有t∈ N对于Θif E（V（Rt，Xt）| Ft，它是有条件超级校准的-（1）≥ 对于所有t∈ N、 子校准的定义类似。如果知道条件分布L（Xt | Ft-1） 并努力在Ft中对Θba sedon的信息进行最佳预测-1，使用Θ（L（Xt | Ft-1） ）（2.8）作为预测因子，我们将其称为Θ的最优F条件预测。出于同样的原因，我们称Θ（Xt）=Θ（L（Xt））为最佳无条件预测。回想一下，我们在使用Θ作为随机变量空间或概率分布空间上的函数定义时，随意滥用了符号。校准在以下意义上表征了最佳预测。最佳无条件预测是唯一一种经过平均校准的确定性预测。然而，可能存在其他平均校准为Θ的fo重铸，这些重铸不具有确定性，因此与最佳非条件预测不同。

同样，最优条件预测是唯一的F-可预测的条件校准预测，几乎可以确保e等价性。很明显，条件校准意味着根据条件预测的塔性能对平均值进行校准，但通常情况下，这种说法是错误的。她介绍的校准概念类似于Str¨a hland Ziegel【2015】中介绍的概率预测交叉校准概念。我们引入了超校准和次校准的概念，因为它们通常与对手头风险测量的过高或过低估计有关。然而，这取决于规格识别功能，因此必须小心。我们给出了第2.2.2节中VaR、expectiles和（VaR，ES）的正确解释的详细信息。为了简单起见，本文重点讨论了一步ahe ad预测。显然，多步预测同样重要。在某些情况下，相同的理论和概念可以从前者转移到后者。2风险度量的回溯测试7继Fissler等人[2 016]之后，我们将任何认为“风险度量程序正确”类型的无效假设的回溯测试称为传统回溯测试。传统的回溯测试类似于优度测试，也就是说，如果可以拒绝相应的空假设，它们可以证明考虑中的风险度量程序正在做出正确的预测。尽管有如此多误导性的术语，即如果不拒绝无效假设，传统的回溯测试就会通过，但这并不意味着在这种情况下，我们可以确保无效假设是正确的（有预先规定的很小的错误概率），因为这需要我们明确控制测试的权力。

这几乎是不可能做到的，因为备选方案太广泛；另见国际清算银行【2013年，第103-105页】。正如Fis sleret al.（2016）所言，这些问题可能会使监管框架中传统回溯测试的使用受到质疑。然而，正如拟合优度检验在统计学中具有既定作用一样，它们可能对模型验证有用。检验无效假设：预测序列{Rt}t∈Nis平均校准为Θ。（2.9）相当于执行传统的回溯测试。我们在这里描述了如何构建平均校准测试，但我们没有实施这些测试，因为条件校准的更强概念在动态风险管理环境中似乎更合适。在第3.3节的数据示例中，对于更灵活的模型，不能拒绝条件校准的零假设，这表明平均校准的测试非常复杂。然而，在某些情况下，很难实现平均校准，因此可能需要进行以下测试。给定一系列观测值{Xt}t=1，。。。，nand预测{Rt}t=1，。。。，n、 我们定义Vn：=（1/n）Pnt=1V（Rt，Xt）。设∑nbe渐近协方差矩阵∑n=cov的异方差自相关一致（HAC）估计量(√n Vn）（参见Andrews【1991】）。那么，我们可以希望√n^∑-在识别函数和数据生成过程的适当假设下，1/2NVN为渐近标准正态。Fork=1，Giacomini和White【2006年，Theo-rem 4】定义了有效的混合假设，但该结果的多变量一般化仍有待解决。

Giacomini和White【2006年，定理4】表明，fork=1，测试与备选方案| E一致越南| ≥ 对于所有n个足够大的值，δ>0，对于任何δ>0的值。条件校准是一个比平均校准更强的概念，在动态风险管理背景下，它显得更自然。传统的条件校准回溯测试考虑了无效假设：预测序列{Rt}t∈Nis有条件校准Θ。（2.10）要求E（V（Rt，Xt）| Ft-1） =0，几乎可以肯定，等于表示E（h′tV（Rt，Xt））=0表示allFt-1-可测Rk值函数ht。继Giacomini和White[2006]之后，我们考虑了一个F-可预测序列{ht}t∈Nof q×k矩阵调用测试函数构造Wald型测试统计量：T=nnnXt=1htV（Rt，Xt）′BOhm-1nnnXt=1htV（Rt，Xt）, （2.11）其中bOhmn=nnXt=1（htV（Rt，Xt））（htV（Rt，Xt））’是q向量htV（Rt，Xt）方差的协方差估计量。理想情况下，参数q应选择为htgenerate Ft的行-1、在应用中，测试函数的选择是基于这样一个原则，即它们应该代表在时间点t可用的最重要信息- 1、在我们的风险度量8模拟研究的回溯测试中，我们在q=1或q=2时获得了良好的结果；有关更多详细信息，请参阅第3.2.2节。我们称这种类型的传统回溯测试为条件校准测试。在ht=1的情况下，我们将这些测试称为简单的条件校准测试。Giacomini和White【2006】中的定理1指出，在完全假设（2.10）下，Td→ χqas n→ ∞, 根据对数据生成过程的某些假设∈Nand测试函数序列{ht}t∈N、 这个渐近结果正好是一个水平η检验，当T>χq，1时，它拒绝hw-η、 其中χq，1-η表示1- ηχqd分布的分位数。

Giacomini a和White【2006年，定理3】提供了如下条件：→ χqas n→ ∞ 对于多步预测，Giacomini和White（2006）的Theorem2考虑了测试与全球备选方案的一致性。Gacomini和White[20 06]的定理根据分数差和非识别函数重新表述，但它们的证明完全依赖于htV（Rt，Xt）的鞅差性质，因此可以在我们的上下文中应用。VaRα和ESν的常用回测与测试函数ht规格选择的条件校准测试密切相关。事实上，在VaRα的情况下，选择ht=1，VaRα的条件校准测试与基于VaR超标数量s的VaRα的标准回溯测试密切相关【国际清算银行，2013年，第103–108页】。在ESν的情况下，（VaRν，ESν）的条件校准测试与Mc Neil和Frey[2000]基于Exceedance r esiduals的ESν回溯测试相关。我们在下面的示例1、2和3中给出了进一步的细节。Davis【2016】的校准ris k度量（或统计）概念与我们的校准预测序列概念密切相关。Davis【2016】考虑了针对哪类esof模型校准的风险度量。也就是说，他试图描述最大的一类数据基因评级过程，例如，VN将a.s.归零为n→ ∞ 如果{Rt}t∈Nis风险度量的一系列最佳条件预测。事实证明，对于分位数，只需要最小的假设，而假设需要更强才能处理平均值。我们的工作重点是更多的统计数据。

选择F-可预测测试功能对时间点t的可用信息进行编码-1，我们研究是否以及如何能够测试序列为{Rt}t的有限样本∈Nis有条件校准。2.2.1单侧校准测试在某些情况下，评估超校准或次校准可能是有意义的。例如，【国际清算银行，2013年，第103–108页】中描述的VaRα标准回测是一种条件上校准测试。这是因为就监管机构而言，VaRα的过度估计不是一个问题。应始终允许持有比最低要求更多的资本。假设我们希望检验条件超校准的假设，即E[V（Rt，Xt）| Ft-1]≥ 0分量，对于所有t。也就是说，在k-var-iate风险度量的情况下，我们对H=Tki=1H0，i感兴趣，其中h0，i:E[Vi（Rt，Xt）| Ft-1]≥ 0表示所有t，i=1，k、 对于风险度量的每个组成部分i，将hi，t=（hi，t，1，…，hi，t，qi）设为Ft-1-可测（qi×1）-非负测试函数的向量。如果hi，t，1，hi，t，QI生成Ft-1然后H0，i=Tqil=1H0，i，l, 其中0，i，l: E[Vi（Rt，Xt）hi，t，l] ≥ 0表示所有t，i=1，Kl = 1.qi。2风险度量的回溯测试9我们将所有测试函数组合成一个（q×k）矩阵HTQ=Pki=1qi，该矩阵具有以下结构：ht=h1，t0···00 h2，t···0。。。。。。。。。。。。0 0···香港，t.设置Zt=htV（Rt，Xt），上述条件超校准假设也可以表示为H=Tqm=1H0，mwith H0，m:E（Zt，m）≥ 所有t均为0。m=1，q、 根据Giacomini和White[2006，Theore ms 1和3]的证明，在Hgiven at（2.10）下，T=（T2,1，…，T2，q）′=√N-1b级Ohm-1/2nnXt=1Ztd→ N（0，Iq），N→ ∞, （2.12）其中IQ表示（q×q）单位矩阵。

因此，我们可以得到H0，mw的渐近检验，其p值由πm=Φ给出√N-1（b）Ohmn）-1/2mmPnt=1Zt，m, m=1，q、 也就是说，πmis获得比观察到的结果更极端结果的（渐近）概率，假设hy pothesis H0为零，mis true。设π（1），π（q）是有序的p值。经典的Bonferroni多重检验程序拒绝了全局零假设Hif，即p值π（1）<η/q中的最小值，其中η是（全局）检验的期望水平。作为另一种选择，继Hommel【1983】之后，我们通过拒绝至少一个m的全局假设Hif来获得η级检验，我们有π（m）≤mηq Cq，Cq=qXr=11/r，m=1，q、 （2.13）Hommel的拒绝规则的优点是允许检测许多组件中影响较小、少数组件中影响较大的情况。也可以使用这种情况下的其他测试程序。2.2.2示例示例1。Christo Offersen【1998年】将一系列VaRα预测称为对F ifE[{Xt>Rt}| Ft有效-1] =1- α、 几乎可以肯定，t=1，2。此要求与{Rt}t的条件校准要求相同∈Nby（2.5）。事实上，Kuester等人【2006年】（另见Christo Offersen【1998年】、E ngle和Manganelli【2004年】）的dynamicquantile测试与条件校准测试类似。与它们的测试类似，很自然地考虑r测试函数sht=（1，V（rt-1，xt-1） ，···，V（rt-p、 xt公司-p） ，rt）′表示p≥ 这也符合Giaco mini和White[2006]的建议，他们使用ht=（1，V（rt-1，xt-1） ）’。巴塞尔文件【国际清算银行，2013年，第103–108页】中规定的VaRα的标准后验检验使用了检验统计量β=nXt=1{Xt>Rt}，这是时间点t的超出估计VaRα（表示为Rt）的数量。

在条件校准VaRα预测ts的零假设（2.10）下，对于一步预测，β是风险度量10的二项随机回溯测试，参数为n和1-α；见Rosenblatt[1 952]，Diebold等人[1998]，Davis[20 16]。值得注意的是，这个结果在{Xt}t基本上没有假设的情况下成立∈Nor{Rt}t∈N、 然而，当从一步超前预测转向多步超前预测时，情况变得更加复杂，人们必须求助于上文所述的一般极限定理来测试β是否具有平均值N（1- α） 。该测试是对ht=1的条件超级校准的测试，因为对于VaRα，我们使用（2.5）T：=nXt=1htV（Rt，Xt）=nXt=1（{Xt≤ Rt}- α） =nXt=1（{Xt>Rt}- （1）- α） ）=-（β-n（1-α） ，因此，检验β的平均les s或e等于n（1）的无效假设- α） 等于测试Thasmean大于或等于零。该无效假设表示，条件VaR预测值至少与真实条件VaR预测值一样大。假设银行有动机陈述倾向于低于真实值的VaR估计值，从监管者的角度来看，一个更为谨慎的零假设将是与条件VaR预测最多与真实条件VaR一样大的单侧假设相反的假设，即条件s ub校准测试。对于提前一步的预测，或者与本节中提出的理论不同，可以利用以下事实：超标指标{Xt>Rt}，t=1，n在零假设的边界上，是成功概率为1的独立伯努利随机变量- α、 这样就可以进行比无症状测试更精确的测试。示例2。我们考虑一些ν的风险度量向量Θ（X）=（ρ（X），ρ（X））=（VaRν（X），ESν（X））∈ （0，1）。

让r1，tand r2，t分别预测VaRν（Xt）和ESν（Xt）。假设Xt=ut+σtZt，其中utandσ皮重Ft-1-可测量和Zt形成了一个独立且相同分布（i.i.d.）的随机变量序列，平均值为零，方差为1。对于回测ES，McNeil和Frey【2000】介绍了以下基于超越残差的测试统计：T=#{T:Xt>r1，T}nXt=1Xt- r2，tσt{Xt>r1，t}。（2.14）事实证明，McNeil和Frey[2000]的ES回溯测试与以下条件校准测试密切相关。对于相当大的n，我们有{t:xt>r1，t}/n≈ 1.- ν。因此，对于检验统计量Tin（2.14），我们得到≈nnXt=11- νxt- r2，tσt{xt>r1，t}=nnXt=1htV（r1，t，r2，t，xt），ht=σ-1t（（r2，t- r1，t）/（1- ν） ，1）。当考虑将McNeil和Frey【2000】的试验作为条件校准试验时，用估算值代替σtb是很自然的。估计的波动率σ仅为Ft的一部分-1-可测测试函数序列{ht}t∈n应该对Ft的相关信息进行编码-当然，只有当σt作为预测模型的一部分，在时间点t的信息下进行估计时，该测试才是合理的-1、Acerbi和Szekly【2014】最近提出的ES回溯测试与McNeil和Frey【2000】的测试具有相同的精神。Costanzino和Curra n【2015年】提出的ES回溯检验检验是否正确估计了VaRν水平以外的整个分布尾部。因此，严格地说，该测试不是对（VaRν，ESν）的点预测序列的准确性的测试，而是对明天损失分布的概率预测序列的准确性的测试，重点是左尾。