可引出性和后验性：银行监管的视角

在Gneiting和Ranjan【2011】中可以找到其他具有这种精神但具有比较类型的测试。2风险度量的后验11由于ES只能与VaR一起识别，因此在制定ES的单侧测试时必须小心。Let（r*, R*) = Θ（X）。n表示所有（r，r）的*- R≤ EV（r、r、X）≤ R*- r+ν- F（r）1- ν（r*- r） 。这表明，与VaR情况类似，测试ES分量EV（r，r，X）的次校准零假设≤ 0相当于测试r*≤ r、 因此，（VaR，ES）的条件次校准测试是一种测试，即条件VaR和ES预测至少与其最佳条件预测一样大。第2.2.1节中所述的霍梅尔过程可在p值πm=1的情况下应用- Φ（T2，m），其中T2，m在（2.12）中定义。示例3。人们也可以设想一个预期的回溯测试框架，其精神类似于McNeil和Frey[2000]提出的回溯测试程序。假设，如上例所示，thatXt=ut+σtZt，其中utandσ皮重为Ft-1-可测量，Zt为i.i.d.，平均值为零，方差为1，条件τ-期望满足τ（Xt | Ft-1） =ut+σteτ（Zt），我们可以看到剩余量xt- eτ（Xt | Ft-1） σt=Zt- eτ（Zt）形成一个i.i.d.序列，该序列由随机变量组成，并带有ze roτ-期望值。这意味着V（eτ（Zt），Zt）和V givenat（2.6）是一个平均值为零的i.i.d.随机变量序列，可以使用自举法进行测试（如inEfron和Tibshirani【1993】第16.4节）。这里有必要用估计值代替真实波动率σtb。这类似于McNeil和Frey[2000]对ES的建议。

注意到（2.6）处期望值的识别函数是正1齐次的，我们得到EV（eτ（Zt），Zt）=EV（eτ（Xt），Xt）σ-1t=0。这种等式表明，对具有测试功能HT=σ的EXEC瓷砖进行条件校准测试是很自然的-（2.11）给出了测试统计数据。在inGiacomini和White【2006年，定理1】的假设下，这产生了一个有效的渐近检验。这些假设弱于模型假设Xt=ut+σtZt。在预期值的情况下，与VaR的情况一样，条件超校准测试评估了一个假设，即所有条件预期值估计值至少与真实条件预期值一样大。2.3可诱导性、预测优势和比较回溯测试假设函数Θ=（ρ，…，ρk）对于P.Let{Xt}t是可诱导的∈Nbe一系列负向原木回收，适用于过滤F={Ft}t∈Nas油井至过滤层*= {F*t} t型∈N、 设{Rt}t∈Nand{R*t} t型∈NbeΘ的两个预测序列，即F和F*-分别是可预测的。我们假设所有条件分布L（Xt | Ft-1） ，L（Xt | F*T-1） 所有无条件分布L（Xt）几乎肯定都属于顶部。我们参考预测{r*t} t型∈Nas是标准程序，而{Rt}t∈Nis内部模型。两次过滤F和F*承认内部模型和标准模型可能基于不同的信息集。例如，一个模型可能包含比另一个模型更多的风险因素，或者，可以使用某些专家意见来调整一个模型，但不调整另一个模型。2风险度量的后验12定义4。设S是Θ相对于P的一致得分函数。

然后，{Rt}t∈NS支配{R*t} t型∈N（平均）ifE（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt））≤ 0，对于所有t∈ N、 此外，{Rt}t∈条件S-支配{R*t} t型∈NifE（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）| F*T-（1）≤ 0，几乎可以肯定，对于所有t∈ N、 （2.15）就标准程序和内部程序的作用而言，条件优势的定义是不对称的。标准程序和信息F*它基于被视为预测能力的基准，这就是为什么我们选择F*T-1且不在Ft上-1、任何主导基准的方法都比该基准具有更好的预测能力。显然，条件S-优势意味着平均S-优势。Ehm等人【2016年，定义2】引入了一个预测序列优于另一个序列的概念，如果一个S-在所有一致评分函数S的平均值上支配另一个。支配地位的概念很强。也就是说，在Ehm et al.（2016）的数据示例中，几乎从未观察到一种预测主导另一种预测。这使得该概念难以在应用决策环境中使用。此外，目前，对支配地位概念的一个基本理论理解仍然难以捉摸。预测{Rt}t有几个原因∈n应优先于{R*t} t型∈如果前者主导后者。首先，将预测与Respect与描述的优势关系进行比较，与Respect与增加的信息集相一致。也就是说，如果F*T 对于所有t和{Rt}t∈N、 {R*t} t型∈在（2.8）中定义了与过滤相关的最佳条件预测，然后内部程序有条件地和平均地确定了标准程序【Holzmann和Eulert，2014，Theorem1】。

如果{Rt}t，情况也是如此∈Nis F公司*-条件最优与{R*t} t型∈Nis只是F*-可预测的【Holzmann-andEulert，201 4，推论2】；另见Tsyplakov【2014年】。其次，在k=1的情况下，对于大多数重要的泛函，包括VaR和expectiles，严格一致的评分函数在以下意义上是顺序敏感的或准确的。本质上，如果Θ（X）<r<r*或r*< r<Θ（X）对于一些随机变量X，则ne（S（Θ（X），X））<E（S（r，X））<E（S（r，X*, 十） ）；（2.16）详见Nau【1985】、Lambert【2012】。因此，如果风险度量预测{Rt}t∈Nare总是比{R*t} t型∈Nto最佳F*-条件预测，即Θ（L（Xt | F*t） ）<Rt<R*torΘ（L（Xt | F*t） ）>Rt>R*t对于所有t∈ N几乎肯定，然后{Rt}t∈条件支配{R*t} t型∈N、 对于ca se k中的订单敏感性通知，有不同的建议≥ 2.例如，请参见Lambert等人【2008年】，但这种情况在本案例中并不明显。（2.15）中条件S优势的条件可以等价地表示为asE（（S（Rt，Xt））- S（R*t、 Xt）ht）≤ 0，所有ht≥ 0，F*T-1-可测量，用于所有t∈ N、 很容易使用F的向量htof*-可预测的测试功能，以测试条件校准测试中建议的条件S优势。然而，我们致力于将标准程序与内部程序进行比较，并就首选哪种程序得出明确答案。如果E（S（Rt，Xt）-S（R*t、 Xt）ht，i）>0，但E（（S（Rt，Xt）-S（R*t、 Xt）ht，j）<0对于向量ht的风险度量13的不同组分ht，i，ht，j2回测，不能对任何一种方法给出明确的偏好。

因此，我们不再进一步追求这种方法。在对比回溯测试中，我们对无效假设感兴趣-: 内部模型的预测能力至少和标准模型一样好。H+：内部模型预测最多，标准模型预测最多。无效假设H-对正确模型的无效假设和估计过程进行了分析，但现在适应了比较环境。正如导言中所提到的，如果不能拒绝完全夸大，则认为通过回溯测试是反保守或侵略性的，因此在监管实践中可能存在问题。另一方面，如果我们不能拒绝H+，则无效假设H+是这样的，即通过了比较回溯检验。这意味着我们可以显式控制允许较低内部模型优于已建立标准模型的I型错误。在本文的其余部分中，我们假设极限λ：=limn→∞nnXt=1E（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt））∈ [-∞, +∞] （2.17）存在（但我们允许它取±∞). 很明显，平均S-优势意味着λ≤ 如果得分差异序列{S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）}t∈一阶平稳，然后λ≤ 0表示平均优势。在假设（2.17）下，我们可以比较风险度量估计值的任意两个序列及其预测性能。这是一个很弱的假设，因为它要求的只是平均预期得分差异最终具有相同的符号。它可能会被削弱，代价是我们选择避免的进一步技术性问题。如果（2.17）中的限值λ为非正，则内部程序至少与标准程序一样好，而内部程序最多可以预测λ≥ 订购风险度量程序是寻求条件决策的一种折衷。

一方面，它显然是一个弱于条件支配的概念，但另一方面，它在所有风险度量程序上产生了一个有意义的总顺序，给出了合理的scoringfunction选择；见第2.3.1节。因此，我们重新制定了我们的对比回溯检验假设-: λ≤ 0H+：λ≥ 0、检验统计nS：=nnXt=1（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）），对于足够大的n，在H下的期望值小于或等于z ero-, 而在H+下，它的期望值是非负的。H+或H的测试-基于适当重新缩放的版本nS是所谓的Diebold Marianotest；见Diebold和Mariano【1995年】。根据Giacomini和White【2006年，定理4】中详述的特定混合假设，nS系列- E类(nS）σn/√nis渐近标准正态与渐近方差的^σnan HAC估计，σn=var(√NnS）。因此，使用测试统计数据=n^σn/√n、 （2.18）2风险度量的回溯检验14如果我们在Φ（T）时拒绝零假设，则我们获得H+的渐近水平η-检验≤ η、 H的和-如果wereject，则无效假设为w he n 1- Φ（T）≤ η。基于H+和H的测试结果-, Fissler等人【2016】提出了以下三个区域方法。我们确定了重要级别η∈ （0，1），例如，η=0.05。如果H-在η级拒收，则在η级不会拒收H+。同样，如果在η级拒绝H+，则H-不会在η级被拒绝。因此，我们说内部程序位于红色区域，即它未通过比较回溯测试ifH-被拒绝。内部程序位于绿色区域，即，如果H+被拒绝，则通过回测。内部程序需要进一步研究，也就是说，如果没有H+，没有r H，则它属于黄色区域-可以拒绝。有关这些决定的错觉，请参见Fissler等人。

【2016年，图1】。国际清算银行（Bank for InternationalSettlements）[2013，p.103–10 8]中描述的传统VaR回测三区法与此处描述的Fissler等人[2016]的三区法之间存在一个重要差异。在for mer方法中，区域产生于改变假设检验的置信水平，而在后一种方法中，置信水平是先验确定的，区域产生于不同的情况，其中有足够的证据清楚地判定一种程序优于另一种程序，而无明确证据。2.3.1评分函数的选择基于（2.2）、（2.3）和（2.4），对于VaR、expectiles和（VaR、ES）的严格一致的评分函数，有很多选择。在VaRα的情况下，标准的选择是在（2.2）中取G（r）=r，从而得出经典的对称分段线性损耗，见下文（2.19），也称为linlin、铰链、tick或pinballloss；参见Koe-nker[2 005]，了解其在分位数回归中的相关性。在期望值的情况下，可以推断自然选项e取φ（r）=rin（2.3），这简化了平均值的平方误差函数（直到等价）。这也是Newey和Powell[1987]提出的预期回归得分函数。最近才发现（VaR，ES）的一致评分函数；s ee Acerbi和Szekely【2014年】，Fissler和Ziegel【2016年】。因此，函数G，Gin（2.4）没有自然的经典选择。如果对于所有的r=（r，…，rk）和所有的xS（cr，cx）=cbS（r，x），对于所有的c>0，则称为b阶正齐次函数S（或b齐次函数）。Efron【1991】认为，在回归等估计问题中，得分函数的一个重要性质是正齐次的。

巴顿（Patton）[2011]强调了scoringfunction对预测排名的正同质性的重要性。正齐次s-c环函数也是有利的，因为它们被称为“单位一致”；例如，参见Acerbi和Szekely【2014年】。也就是说，如果r和x以美元表示，r=$10，S=$5，那么对于正齐次评分函数S，分数（r，x）=S（$10，$5）=（$）bS（10，5）w将有单位（美元）b。特别是，将单位从，例如，美元更改为百万美元，不会改变该评分函数所认可的预测值，因此，比较回溯测试的结果也将保持不变。关于同质性deg-reeb的选择，Patton【2006】表明，在波动性预测的情况下，对于Diebold-Mariano检验的有效性，b=0需要比b更大的选择更弱的动量条件，而Diebold-Mariano检验在比较回溯检验中使用d。关于Diebold-Mariano检验的威力，Patton和Sheppard【2009】发现b=0选项的波动性预测的最佳总体威力。附录C给出了本文感兴趣的风险度量15的ris k度量2回测的正同质评分函数的特征结果。注意，我们只允许预测r>0或r=（r，r）且r>0。由于我们对损失的风险度量很感兴趣，这不是真正的限制；另见第3.2节。对于同质性b的某些阶，本文中的利息风险度量没有严格一致的评分函数。特别是，通常无法实现有吸引力的选择b=0。然而，对于比较回溯测试，我们对预期分数的绝对值不感兴趣，而只对预期分数的差异感兴趣。

因此，有一个评分函数，使得所得分数差异是均匀的是很有必要的。附录c中的结果表明，VaR、expe c tiles和（VaR、ES）存在b=0级的同质得分差异。下面的示例列出了排序函数，随后将在模拟研究和实际数据分析中使用。示例4。对于我们在第3.2节中研究的VaR的比较回溯测试，我们考虑通过在（2.2）中选择G（r）=r获得的经典1同质选择，从而得出评分函数（r，x）=（1- α-{x>r}）r+{x>r}x.（2.19）在上述参数的指导下，我们也可以通过选择g（r）=log r，r>0来考虑0-同质分数差异，从而得出分数（r，x）=（1-α-{x>r}）log r+{x>r}log x，r>0。（2.20）示例5。选择φ（r）=rin（2.3）可得到严格一致的评分函数（r，x）=-{x>r}（1- 2τ）（x- r） +（1- τ） r（r- 2x）（2.21）表示τ-期望值eτ。除了这个2-齐次选择之外，在第3.2节中，我们还研究了通过选择φ（r）=-log（r），r>0，因此我们得到评分函数（r，x）={x>r}（1- 2τ）logxr+1-xr公司+ （1）- τ）日志r- 1+xr. （2.22）示例6。对于（VaRν，ESν），我们考虑通过在第3.2节中选择（2.4）中的（G（x）=0，G（x）=x1/2，x>0进行比较回溯测试得到的（1/2）-齐次评分函数。它由（r，r，x）={x>r}x给出-R√r+（1- ν） r+r√r、 （2.23）对于其他风险度量，我们还通过选择G（x）=0，G（x）=log x，x>0来考虑0-齐次备选方案，从而产生评分函数（r，r，x）={x>r}x-rr+（1- ν）rr（右后）- 1+对数（r）. （2.24）Acerbi和Szekely【2014】提出了一类依赖于参数W>0的r（VaRν，ESν）的2-齐次评分函数。

当P类分布被限制为仅包含分布F且其ν（F）<W VaRν（F）时，这是严格一致的。在实践中，通常不可能说W的大小适合涵盖所有可能的应用。因此，我们准备使用上述严格一致的sco环函数的齐次选择，以及更一般地，定理C.3.3数值说明163数值说明3中的m的齐次选择。1风险度量预测在本节中，我们讨论了对本文讨论的三种风险度量（即VaR、expectile和ES）进行条件预测的一些估计程序。由于变量在银行业的广泛使用，存在大量方法来生成其点预测；参见，例如，Kuester等人【2006年】的广泛综述。相比之下，风险度量环境中预期值的估计和预测是一个相对较新的主题；例如，参见Kuan等人【2009年】。然而，在许多情况下，预期值可以采用与VaR预测类似的方法。为了便于说明，我们考虑以下风险度量预测框架。假设取反的日志序列返回{Xt}t∈Ncan可建模为d asXt=ut+σtZt，（3.1），其中{Zt}t∈Nis是一个具有零均值和单位方差的i.i.d.随机变量序列，且utandσtar可相对于σ代数Ft测量-1，表示有关进程{Xt}t的信息∈可导航到时间t- 1、为了捕捉金融时间序列的典型时间动态，一种可能性是假设条件平均值ut遵循ARMA过程，而条件方差σt根据GARCH模型规范。让ρ表示我们考虑的任何风险度量。