可引出性和后验性：银行监管的视角

考虑到b=0、x=0、r′=1和所有r、c的得分差异∈ （0，∞), WeAcquireφ（cr）- cφ（r）- cr（φ′（cr）- φ′（r））=φ（c）- cφ′（c）- cφ（1）+cφ′（1）。同样，在r=1时，相对于r的微分得到φ′（x）=cx-2对于s ome c>0，因此φ（x）=c-阻塞x+x的cx∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0，这会产生均匀的得分差异，顺序B=0。PC正齐次评分函数的特征44对于（VaRν，ESν），我们考虑由（r，r，x）={x>r}给出的评分函数类-G（r）+G（x）-G（r）（r）-x）+（1）-ν）G（r）-G（r）（r）-r） +克（r）, （C.3）如果Gis是一个递增函数，则Gis可二次微分，严格递增且严格凹，且G′=G；比较主pape r中的位置3。下一个结果给出了（VaRν，ESν）的正同质评分函数的特征。它包括巴顿和齐格尔[2016]中考虑的0-均质情况。定理6。（风险价值和预期短缺）1。让b∈ （0，1）。唯一的评分函数S:R×（0，∞) ×R→ 通过选择G（x）=（d{x）获得b阶正均匀的形式（C.3）的R≥ 0}- d′{x<0}）| x | b- candG（x）=cxb+c，x>0，常数为c∈ R、 d，d′≥ 0，c>0.2。让b∈ (- ∞, 0）。唯一的评分函数S:R×（0，∞) ×R→ 通过选择G（x）=-C和G（x）=-cxb+c，x>0，常数c∈ R、 c>0.3。不存在b=0或b的正齐次评分函数≥ 表（C.3）中的1。4。选择G（x）=d{x≥ 0}+d′{x<0}和G（x）=阻塞x+c，x>0，d，d′，c∈ R、 d′≤ d（c.3）中的c>0是获得严格一致的评分函数S的唯一方法，从而使得分差值R×（0，∞) ×R×（0，∞) ×R，（R，R，R′，R′，x）7→ S（r、r、x）- S（r′，r′，x）是b=0.5的正均质性。

对于b≥ 1，不存在形式（C.3）的评分函数，因此评分差异在b级上是正均一的。证明r=x=0∈ R、 c，R>0，我们从S（cr，cr，cx）=cbS（R，R，x）tha tG（0）得到- crG（cr）+G（cr）=cb（G（0）- rG（r）+G（r））。与大鼠的差异r=1 yieldsG′（c）=G′（1）cb-因此，对于b 6=1，我们得到G（x）=-cxb公司-1/（b）-1） +c，x>0。随着Gis的严格减少，我们必须使c>0。条件G>0表明，对于b<1，c=0，对于b，没有解≥ 1、那么forb∈ (-∞, 1） \\{0}，G（x）=-cxb/（（b- 1） b）+c，x>0，带c∈ R、 对于b=0，G（x）=阻塞x+c，x>0，c∈ R、 当x=0，R=R=1时，我们得到所有c>0时，G（c）=cb（G（1）+G（1））- G（c）。对于b 6=0，这意味着G（x）=dxb- c、 x>0，带d≥ 0，因为Ghas将递增。如果b∈ (-∞, 0），除非d=0，否则我们不能将Gto扩展为R上的递增函数。对于b=0，我们得到G（x）=G（x）- 阻塞x，x>0，这是不增加的，因此没有严格一致的评分函数，其同质性顺序b=0。x=r=-1且r=1，我们发现所有c>0(-c） =cb（G(-（1）- 2G（1）+G（1））+2cG（c）- G（c）。D小样本量的回测45这意味着对于b 6=0，G(-x） =d′xb- c、 x>0，带d′≤ b为0∈ （0，1）和d′≥ b为0∈ (-∞, 0）。同样，在案例b中∈ (-∞, 0），我们得到只有选择d′=0可以扩展到所有R上的递增函数。很容易检查所述函数是否产生B阶齐次评分函数∈ (-∞, 1） \\{0}。考虑r、c的得分差异∈ （0，∞), r′=1，r=r′=x=0，我们得到了条件-crG（cr）+G（cr）=cb(-rG（r）+G（r）+G（1）- G（1））- cG（c）+G（c）。与大鼠的差异r=1 yieldsG′（c）=G′（1）cb-2，因此b也没有解决方案≥ 对于b=0，我们得到G（x）=clog x+c，x>0，c>0和c∈ R

对于b=0和c∈ （0，∞), r=r∈ （0，∞), r′=r′=1，x=0，我们得到了函数方程G（cr）+G（cr）=G（c）+G（c）+G（r）+G（r）- G（1）- G（1）。当G+Gis严格增加时，该方程的唯一解为G（x）+G（x）=dlog x+d，x>0，d>0和d∈ R、 以G的形式插入，我们发现G（x）=（d- c） 日志x+d- c、 x>0。如果d=c，函数Gc只能扩展到所有R上的递增函数。对于c∈ （0，∞),r=x=-1，r′=r=r′=1，我们得到条件g(-c）- 2cG（c）- G（c）=G(-（1）- 2G（1）- G（1），表明G（x）=d′，对于某些d′，x<0∈ 带d′的R≤ D- c、 PD小样本大小的回测在本节中，我们总结了模拟研究的结果，其设置与主要文章第3.2.2节中报告的设置相同，但样本大小为250验证观察值，而不是5000。目的是评估用较小的样本量进行比较回溯测试的可行性。我们已经从等式（3.7）中指定的AR（1）-GARCH（1,1）过程中生成了1000个时间序列，并分析了VaRα以及VaRν、ESν对的提前条件预测。结果以等级箱线图的形式总结，基于对每个考虑的风险度量选择两个一致的评分函数；见图5和图6。1000个样本的中值通常与simulationstudy的排名结果一致，其中5000个样本的排名结果要大得多。特别是，与其他方法相比，使用数据生成过程知识的优化方法显示出明显的优势。错误规定的全参数方法（“此处为n-FP”和“t-FP”）的性能再次大大低于其他预测方法。然而，这些曲线图也揭示了很大程度的抽样可变性（在等级中）。

在许多情况下，生成的样本导致了不合理的方法等级，特别是outlyingpoints所示的方法等级。违反VaRα的百分比也存在过度的抽样可变性，VaRα在传统的回溯测试中用作测试统计量；比较图5底部面板中的方框图。D小样本量的回溯测试46可以获得不合理回溯测试结果的情况背后的主要罪魁祸首是估计窗口中的数据显示出与评估窗口相当不同的行为。当样本量不足时，即使基本过程是平稳的，获得非代表性样本的机会也很高。我们通过考虑本模拟研究中生成的1000个样本中的一个样本来说明这一点。图7显示了用250个验证观测值序列拟合模型a的整个时间序列。从图中可以看出，估值窗口不包含任何高波动期，与初始估值窗口相比，通常显示出较低的波动率。表6总结了该样本的传统和对比回溯测试结果，图7底部面板显示了透射光矩阵。对于该样本，最优预测排名最低，而误用的全参数方法“n-FP”在两个变量0中排名最高。99和对（VaR0.975，ES0.975）。违反VaR0的百分比。99表明所有方法都过度估计了该样本的真实条件VaR预测，最接近真实数据生成过程的方法会导致更大的过度估计。我们还注意到，这个特殊的样本导致传统和比较回溯测试的结果都被扭曲。

样本量的大r将缓解这种不具代表性的短样本现象，特别是在存在强或中度时间依赖的情况下。通过以下分析，可以进一步了解预测排名的稳定性。对于每对方法A和B，我们计算了在250次验证观察中，方法A的平均得分优于方法B的次数（1000次中），也就是说，我们计算了平均得分差异的sig nof为负值的次数。表7和表8分别给出了所考虑的风险度量、水平和评分函数的结果（百分比）。除了有关预测链稳定性的信息外，结果还提供了有关方法性能以及排序函数之间差异的信息。我们只列出了几个主要观察结果。对于两个水平的VaRα，在大约70%的案例中，与任何其他方法相比，最佳预测者是正确的。总的来说，0-同质分数（在（2.20）中给出）在确定最佳方法方面稍好一些。它在其他层面上明显优于表现不佳的“t-FP”方法。比较方法“A-FHS”和“A-EVT”，其中A代表所考虑的任何可能性，我们发现它们与其他方法的性能在α=0.9时非常相似，而EVT方法在α=0.99时更高。对于（VaRν，ESν），与70中的所有其他方法相比，最佳预测更为理想- 85%的案件都属于评分功能。在水平ν=0.975时，1/2同质分数（在（2.23）中给出）很好地反映了表现不佳的方法“t-FP”，而0同质sco re（在（2.24）中给出）很好地反映了“n-FP”方法的低预测能力。

关于FHS和EVT方法与相同可能性的比较，在ν=0.754的水平上，FHS方法明显优于EVT方法，而EVT在ν=0.975的水平上具有中等优势。D小样本尺寸的回测47n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10 VaR0等级。9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10 VaR0等级。99n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 0.05 0.10 0.15 0.20%-违反VaR0。9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06%-违反VaR0。99图5：顶部的两个面板显示了基于（2.19）（白色背景）和（2.20）（灰色背景）中使用s取芯函数计算的平均得分的VaRα各种预测方法的ra-NK箱线图。底部面板包含不同预测方法下VaRα违规百分比的箱线图。灰色虚线表示α，即风险度量级别。基本数据来自模拟研究，生成了1000个样本，样本大小为250，验证观察结果，以评估预测。详见D节。D小样本大小的回测48n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2（VaR0.754，ES0.754）n的等级-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10等级（VaR0.975，ES0.975）图6：基于（2.23）（白色背景）和（2.24）（灰色背景）中使用评分函数计算的平均分数，对（VaRν，ESν）的各种预测方法的等级进行箱线图。基本数据来自模拟研究，生成了1000个样本，样本大小为250验证观测，以评估预测。

详见D节。D小样本尺寸的反测试490 200 400 6000 2指数-FP optn-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975图7：顶部面板显示了第D节所述模拟研究中选定样本的时间序列图。垂直虚线表示500个点（灰色）的初始估计窗口和250个验证观察值（黑色）的序列之间的分割。验证观测的曲线表明有条件提前一步预测VaR0。99根据“n-FP”方法（虚线，浅灰色）和“opt”方法（do-T，深灰色）。bo ttom面板包含分别具有0齐次评分函数（2.20）和（2.24）的VaRα（左）和（VaRν，ESν）（右）的η=5%置信水平的相应转换光矩阵。D小样本量的回测50表6：第D.bρ（Xt | Ft）节模拟研究中所选样本的对比和传统回测结果摘要-1） 用d表示给定风险度量ρ的250次验证观测的平均预测值。对于这对（VaRν，ESν），只给出了ES预测的平均值。S（1）和S（2）分别对应于VaR的（2.19）和（2.20）中的评分函数，以及（VaR，ES）的（2.23）和（2.24）中的评分函数。条件校准试验（CCT）如主要条款第3.2.2节所述。双侧CCT p值的遗漏条目是由B的奇异性引起的Ohmn方程式（2.11）中的矩阵。双面C CT单面CCT方法bρ（Xt | Ft-1） %Viol。

S（1）（秩）S（2）（秩）simple general simple generalVaR0。99n FP 0.724 0.8 0.0077（1）-0.003 3（1）-0.723 0.348 0.639 0.958n-FHS 0.901 0.0 0 0.0090（6）-0.0018（3）-1.000 1.000n-EVT 0.899 0.0 0 0.0090（5）-0.0017（6）-1.000 1.000t-FP 0.753 0.4 0.0077（2）-0.0031（2）0.135 0.204 0.9 33 1.000t-FHS 0.896 0.0 0.0090（4）-0.0017（4）-1.000 1.000t-EVT 0.887 0.0 0 0.0089（3）-0.0017（5）-1.000 1.000st-FP 0.925 0.0 0 0.009 3（9）-0.0012（9）-1.000 1.000st-FHS 0.914 0.0 0.0091（8）-0.0014（8）-1.000 1.000st-EVT 0.902 0.0 0 0.0090（7）-0.0015（7）-1.000 1.000选择1.085 0.0 0109（10）0.0006（10）-1.000 1.000（VaR0.975，ES0.975）n-FP 0.728 0.0204（1）-0.0108（1）0.285 0.123 1.000 1.000n-FHS 0.949 0.0209（2）-0.0092（2）0.000 0.102 0.0 91 0.215n-EVT 0.954 0.0210（5）-0.0091（5）0.000 0.200 0.005 0.013t FP 1.135 0.0211（6）-0.0081（9）0.000 0.010 1.00 1.000t-FHS 0.943 0.0209（4）-0.0092（3）0.000 0.032 0.859 1.000t-EVT 0.947 0.0209（3）-0.0091（4）0.000 0.109 0.091 0.227st-FP 0.951 0.0213（9）-0.0082（8）0.000 0.05 0.013st-FHS 0.965 0.0211（8）-0.0086（7）0.000 0.107 0.091 0.208st-EVT 0.970 0.0211（7）-0.0086（6）0.000 0.103 0.91 0.203opt 1.147 0.0225（10）-0.0050（10）0.000 0.317 0.0 00 0.000D小样本量回测51表7：就250次验证观察的平均sco re而言，列中方法优于行中方法预测VaRα的次数百分比。数据的生成如第D节所述。

S（1）和S（2）分别将pond对应于（2.19）和（2.20）中的评分函数。变量0。9S（1）S（2）n-FP 0 48 49 35 52 53 63 56 57 70 0 49 24 49 50 59 54 71 n FHS 52 0 55 32 55 63 59 70 51 0 54 22 54 60 58 71 n EVT 51 46 0 32 50 51 60 55 57 69 51 46 0 22 51 59 55 57 72 T FP 65 68 68 0 73 75 76 76 78 78 0 82 81 84 T FHS 48 47 50 27 0 54 65 60 72 51 18 0 54 63 60 73 T EVT 47 45 27 46 0 62 60 60 49 49 46 46 46 46 0 61 56 72 ST FP 37 37 4025 35 38 0 42 42 66 41 40 41 19 37 0 44 43 67 ST FHS 44 41 45 25 40 43 58 0 51 67 46 42 45 19 40 44 56 0 49 70 ST EVT 43 42 24 39 40 58 0 68 46 42 42 42 19 40 41 57 51 0 71选择30 30 31 28 31 34 32 0 29 28 28 28 33 30 0 VAR0。99S（1）S（2）n-FP 0 79 82 90 79 80 81 78 80 83 0 84 87 92 83 86 84 87 n FHS 21 0 58 36 53 58 59 71 16 0 58 30 56 60 62 56 59 73 n EVT 18 42 0 31 46 54 47 54 70 13 42 0 27 45 55 57 57 70 T FP 10 64 69 0 65 70 64 74 8 70 70 70 72 75 70 78 T FHS 21 47 55 50 50 59 60 61 17 55 60 60 60 60 61 70 T EVT 20 42 30 41 0 53 43 40 45 26 40 50 42 51 71 ST FP 19 38 4330 40 47 0 42 50 70 14 38 43 25 40 48 0 39 49 69st FHS 22 47 53 36 48 58 0 60 71 16 44 51 30 50 58 61 0 60 71 ST EVT 20 41 46 31 39 40 40 0 70 14 41 42 26 39 49 50 70选择17 29 30 26 29 30 30 30 30 30 13 30 22 30 29 31 29 30 0D小样本量回测52表8：在预测（VaRν，ESν）的平均分数超过250验证观察值。da ta的生成如第D节所述。

S（1）和S（2）分别将pond对应于（2.23）和（2.24）中的评分函数。（VaR0.754，ES0.754）S（1）S（2）n-FP 0 86 65 67 84 63 88 85 67 88 0 86 65 57 81 62 83 64 85n FHS 14 0 28 40 55 30 64 62 37 74 14 0 37 54 62 61 41 74n EVT 35 72 0 60 73 77 76 59 84 35 0 52 69 73 59 81 T FP 33 60 0 69 41 70 45 78 43 48 0 72 50 71 77 T FHS 16 46 27 31 0 27 65 62 35 19 46 31 0 30 62 62 62 38 73t EVT 37 70 47 73 0 78 84 38 63 46 50 70 0 74 7359 80 ST FP 12 36 23 29 35 22 0 44 26 72 15 38 27 29 38 26 0 46 30 72 ST FHS 15 38 24 30 38 56 0 28 74 17 39 29 27 54 0 31 71 ST EVT 33 63 41 55 65 41 74 0 82 59 41 47 62 41 70 69 0 80 opt 12 26 16 22 16 16 28 26 18 0 15 26 20 20 20 20 20 0（VaR0.975，ES0.975）S（1）S（2）n-FP 0 82 80 53 81 81 81 80 81 85 84 86 86 86 84 86 89 n FHS 18 0 56 11 59 61 73 16 0 58 23 54 5861 57 59 74n EVT 20 44 0 10 53 57 61 55 60 72 14 42 0 22 45 53 55 49 58 72 T FP 47 89 90 0 94 95 96 96 95 16 77 78 0 79 80 81 77 80 84 T FHS 19 43 47 6 0 55 61 59 72 16 46 55 21 0 60 58 51 63 72 T EVT 19 41 43 0 45 50 55 71 14 47 20 0 52 53 73 ST FP 18 35 39 4 39 41 0 40 40 40 43 70 14 39 45 19 42 48 0 52 71 ST FHS 20 39 45 6 46 50 60 60 60 60 60 56 73 16 51 23 57 60 72 ST EVT 19 3940 4 41 45 57 44 0 71 14 42 20 37 47 48 40 0 73选择15 27 28 5 28 29 30 27 29 0 11 26 28 16 28 29 28 27 27 0