可引出性和后验性：银行监管的视角

在上述设置中，根据时间t之前的信息- 1，ρ的一步预测为ρ（Xt | Ft-1） =ut+σtρ（Z），（3.2），其中Z用于表示与Zt具有相同分布的一般随机变量。继McNeiland Frey【2000】和Diebold等人【2000】之后，可以对预测ρ（Xt | Ft）采用两阶段估计程序-1） 。在创新Ztin（3.1）分布的特定假设下，通过最大似然法估计第一u和σ皮重。第二阶段涉及ρ（Z）的估计，ρ（Z）是i.i.d.序列{Zt}t的风险度量∈N、 基于标准化残差样本{^zt=（xt- ^ut）/^σt}。（3.3）我们考虑以下三种方法来处理预测过程的第二阶段：全参数（FP）、过滤历史模拟（FHS）和基于极值理论（EVT）的半参数估计。3.1.1全参数估计在全参数方法下，假设创新序列{Zt}∈N.通常使用的概率分布示例包括正态分布、Student t分布和斜态tAn分布。另一种选择是使用准最大似然估计（MLE）程序，其中假设创新值符合标准正态分布。Bollerslev和Wool dridge（1992）的结果证明了这一点，即即使创新的分布不正常，也可以对utandσtwo进行一致的估计，前提是utandσtar的模型规格正确。Kuester等人（2006）指出，utandσtma的动力学规格在实践中可能很难正确。3数字插图17分布（例如，见Fernandez and Steel[1998]）。

Zt的假定分布参数（表示为FZ）可以基于（3.3）中的标准化残差{Zt}估计，例如使用最大似然法。如果Zt的模型与第一阶段用于估计过滤器的模型一致，则第二阶段无需额外估计，所有模型参数直接来自第一阶段的估计。固定分布用于计算给定风险度量的估计值。在Varα（Z）的ca-se中，这是由α分位数^F给出的-1Z（α），当aτ-表达式eτ（Z）可以按照附录B.1中的讨论进行计算时，我们给出了几种常见分布的期望值的分析表达式。由于我们只考虑连续分布FZ，因此ES可以计算为ν（Z）=E（Z | Z≥ VaRν（Z）），其中我们使用数值积分来评估条件期望。3.1.2过滤历史模拟该方法基于（3.3）中的标准化残差{zt}对风险度量进行非参数估计，可将其视为表示过滤后的时间序列；例如，见Christo Offersen【2003年，第5.6章】。特别地，我们抽取一个样本{^z*我1.≤ 我≤ N}从{^zt；1开始的大尺寸N（例如，N=10000）≤ t型≤ n} 然后将给定风险函数的经验估计作为ρ（Z）的估计。经验lα量化了VaR估计的VaRα（Z）。通过迭代最小化Nxi=1ωi（τ）（^Z），使用最小的对称加权平方s获得经验τ-期望值^eFHSτ（Z*我- eτ），ωi（τ）=τ{^z*i> eτ}+（1- τ） {^z*i<eτ}相对于eτ。假设残差超过正确的VaR估计值，则通过条件期望的经验版本估计ES:cESFHSν（Z）={i:i=1。

，N，^z*i> dVaRFHSα（Z）}NXi=1^Z*i{^z*i> dVaRFHSα（Z）}.3.1.3基于EVT的半参数估计风险自然与极端事件相关，因此风险度量估计依赖于对基础分布尾部的准确估计。然而，关于分布尾部的推断是出了名的困难，因为尾部区域通常没有足够的数据点，既不能对参数模型进行适当的调整，也不能得到可靠的经验估计。因此，除非相对于风险度量估计所需的风险水平有足够长的时间序列可用，否则第3.1.1节和第3.1.2节中概述的两种方法不太可能产生准确的预测。另一种方法是基于极值理论（EVT）的渐近结果进行估计。有关详细说明，请参阅Embrechts等人【1997年】。主要前提是，对于足够高的阈值u，随机变量Z的条件超额满足：Z- u | Z>u~ GP（βu，ξ），（3.4），其中GP（β，ξ）表示标度β>0且s hap e参数ξ的广义帕累托分布∈ R、 在应用中，通常将阈值设置为高阶统计量；i、 e。，对于某些k<n，u=z（k+1），其中3个数字图示18z（1）>z（2）>····>z（n）是从FZ开始的样本{z，…，zn}的降序统计量。这导致了以下基于EVT的VaRα（Z）和ESν（Z）估计（见McNeil和Frey【2000】）：dVaREVTα（Z）=u+βu^ξkαn^ξ- 1.,^ξ6=0，（3.5）和cesevtν（Z）=dVaREVTν（Z）1-^ξ+^β-^ξu（1-^ξ）dVaREVTν（Z）！，（3.6）由于（βu，ξ）是GP分布的参数估计，适用于超过u的部分。本着上述基于EVT的VaR和ES估计量的精神，我们推导了τ-期望值的估计量。

详情见附录B.2。在上面的讨论中，我们假设给出了阈值u或等效k，即upp e r阶统计量的数量，以确保（3.4）中的近似值的充分性。然而，在实践中，必须做出准确的选择来平衡偏差-变量权衡，因为u值太大会增加βuan和ξ参数估计值的可变性，而u值太大则会由于（3.4）的无效性而引入偏差。人们提出了各种技术来帮助选择阈值，例如基于均值过剩函数线性的gr aphical工具。由于这种方法需要在每一个时间步进行判断，在这一步上，有条件地预测风险措施，因此，它们对我们的目的是禁止的。因此，我们采用了inMcNeil和Frey[2000]所述的务实方法，并在样本中选取k=60，样本大小为n=500.3.2模拟研究在实践中，传统的后验测试可能是评估和随后在许多竞争预测过程中进行选择的最常用方法。虽然传统的回溯测试当然适合捕获预测程序的某些方面，但它没有提供关于不同程序在预测准确性方面的相对性能的信息，这似乎是预测方法的自然标准。

pr e sent模拟研究的目的是说明本文中所用的传统和比较回溯测试方法的使用，并强调两种类型的回溯测试传递的不同消息。3.2.1建立和预测方法数据{Xt}t∈用于分析的Zused由AR（1）-GARCH（1,1）过程生成：Xt=ut+t，ut=-0.05+0.3Xt-1，t=σtZt，σt=0.01+0.1t-1+0.85σt-1，（3.7）其中创新{Zt}t∈Z形成一个具有共同斜态t分布的独立随机变量序列（见示例B.6），形状参数ν=5，斜态参数γ=1.5。连铸工艺的质量由各种因素决定。在参数或半参数设置中，小样本中的潜在模式l误判以及估计不确定性可能对预测不利。非参数方法虽然不需要对基础模型进行假设，但也受抽样变量的影响，在处理极端或尾部事件时有很大的局限性。我们在模拟研究中考虑的预测程序旨在涵盖一系列模型和估计方法。We3数字插图19假设基础过程遵循s AR（1）-GARCH（1,1）动力学，具有创新性{Zt}t∈Z从以下三种分布中选择一种：非正态分布、学生t分布和倾斜t分布，作为示例B.6。

然后，我们考虑以下估计程序：o分别在正态、t和斜态t分布新息假设下，使用缩写为“n-FP”、“t-FP”和“s t-FP”的方法进行全参数估计（第3.1.1节）使用缩写为“n-FHS”、“t-FHS”和“st FHS”的方法进行过滤历史模拟（第3.1.2节）；o基于EVT的估算（第3.1.3节），方法缩写为“n-EVT”、“t-EVT”和“st-EVT”。除了上述方法外，我们还使用最佳预测（缩写为“opt”）补充结果，该预测使用了数据生成过程的知识。使用大小为500的movingwindow进行估计，并根据5000个验证观测值的样本外大小评估预测。3.2.2风险度量预测的回测Stable 1包含根据上一节所述程序提前一步进行预测的概述。特别是，我们报告了基于移动估计窗口序列的平均预测，这三个风险度量分别表示为DVARα、eτ和ESν。VaR的α水平是根据用于内部风险管理的ty pic al值（如α=0.90和α=0.95）以及标准巴塞尔VaR水平α=0.99来选择的。对于预测值和E S，水平的计算方式应确保风险度量预测符合标准正态模型。为了与之前使用的评估VaR预测质量的方法相联系（并对这些方法进行比较），我们计算了观测值超过VaRα预测的次数百分比，通常称为违规百分比。

基于列“%Viol”下报告的值在表1中，我们观察到，一些错误定义的模型实际上能够通过匹配风险度量水平（1）达到几乎准确的违规比例-α） 。例如，“n-EVT”和“t-EVT”方法在α=0.99时就是这种情况。虽然与风险度量密度水平的较大偏差确实表明了方法的严重不足（如“n-FP”和“t-FP”方法），但这些值也表明与（1-α） 单是水平不太可能为区分方法在预测方面的表现提供良好的基础。表2说明了第2.2节中介绍的传统回溯测试方法。测试统计Tin（2.11）和Tin（2.12）分别用于双面和单面条件校准测试。VaRα和τ-expectile的单侧测试是用Φ（T）给出的p值进行超级校准的测试。在（VaRν，ESν）的情况下，我们利用Hommel程序，将调整后的p值计算为∧π=q Cqmin{π（m）/m；m=1，2}，并在1处绘制，其中πm=1- Φ（T2，m）用于fsub校准的单侧测试；见（2.13）。（经典的Bonferroni多重试验程序得出了定性相似的结论。）对于简单的条件校准测试，我们将ht设置为1。在本次模拟研究中发现，对于一般条件校准测试，测试函数运行良好=（1，rt）′对于VaRα，^σ-1对于期望值eτ，^σ-1t（（r2，t- r1，t）/（1- ν） ，1）对于（VaRν，ESν）（3.8）3数字插图20，在双面试验的情况下，以及HT=（1，| rt |）\'）对于VaRα，σ-1对于预期eτ，1 | r1，t | 0 00 0 1^σ-1吨′对于（VaRν，ESν）（3.9），在单侧试验的情况下。

测试功能的选择很重要，因为它会影响测试的性能。例如，我们发现，如例1所示，包含识别函数的滞后值会导致tes拒绝所有模型，包括VaR0的最佳预测值。99在双面条件校准测试中。对这种现象的一种可能解释是，对于选定的测试函数，测试统计量的分布变得严重倾斜，使得收敛到渐近分布的速度变慢。另一个由裁判提出的因素可能是比赛的不稳定性Ohm-1由于识别函数滞后值的高度相关性，估计（2.11）。正如Giacomini和White（2006）所讨论的，选择组件太少或太多的测试函数也会直接影响测试的威力。正如预期的那样，表2中的数值结果表明，与相应的简单条件校准测试相比，基于一般条件校准测试的回溯测试决定更加保守，这取决于测试函数的合理选择。在进行双边测试时，这对于一维风险度量（VaR和expectiles）尤其明显。这两种ris k度量的双边条件校准测试表明，AR（1）-GARCH（1,1）滤波器拟合中使用的可能性的正确规格的重要性。即使在测试简单的条件校准时（VaR0.90除外），带有错误模型的完全参数化方法（此处为“n-FP”和“t-FP”）也无法通过传统的回测。

一般的条件测试至少在某些情况下能够检测出错误的可能性；例如，预测VaR0时。90并使用（对称）t分布代替真正不对称的基础模型，同样，对于τ=0.96561和τ=0.98761的τ-期望值。当不同的方法应用于过滤后的一系列创新时，通用条件双侧c校准测试还检测ris k测量预测第二阶段的差异。例如，在最高风险度量级别，基于E-VT的方法倾向于通过条件回溯测试，而不是其经验方法，有时甚至是参数（正确指定）方法；有关VaR0，请参见面板。99和0.99855-expectile。即使在AR（1）-GARCH（1,1）滤波器中的错误概率模型下，这也是正确的。我们还注意到，一维风险度量的测试似乎比二维风险度量的测试（VaRν，ESν）具有更好的幂函数特性，尽管需要对这些测试的单元样本特性进行更彻底的调查，以得出更明确的结论。还可以观察到，单侧测试的结论性不如双侧类似物。这也许并不令人惊讶，因为很可能发生的情况是，一种方法不擅长预测风险度量，但给出了正确的结果，因此不应被单侧校准测试拒绝。除了风险度量平均预测外，表1还使用三个考虑风险度量中的每一个的两个不同（一致）评分函数来表示平均得分以及相应的方法排名。由于我们使用的评分函数要求ris k度量预测为正，因此在预测为负的少数情况下，我们将sco重新交叉所有方法归零。

注意，在（VaRν，ESν）的情况下，只有ESν的预测被限制为正预测。基于平均得分的方法排名似乎是合理的，并就基于预测精度的方法选择提出了一些更一般的数字说明23结论。与传统回溯测试的结果类似，表1中的数值进一步支持了这样一个观察结果，即选择似然模型拟合AR（1）-GARCH（1,1）滤波器对预测精度有显著影响，可能比之前使用类极大似然法时所认为的要多。在每个似然模型中，在ris k测度的较低水平上，全参数和FHS方法往往表现出更好的预测性能，而在较高水平上，基于EVT的方法似乎具有优势，尤其是在VaR的情况下。当似然模型在AR（1）GARCH（1,1）滤波器的拟合上存在错误时，非参数方法（如FHS）和半参数方法（如EVT BasedItation）比全参数方法具有更大的灵活性，可以减少模型误判的影响。虽然在许多情况下，从每对一致的评分函数中获得的评分是一致的，但也存在一些差异。正如巴顿（Patton）[201 4]所指出的，在存在错误指定的模式ls和估计不确定性的情况下，这并不令人意外。对于平均得分不确定的模型，大量数据的不足表明样本平均值（得分）与目标平均值（得分）趋于一致，因为样本量越大，越接近实际。然而，收敛可能相当缓慢。