可引出性和后验性：银行监管的视角

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英文标题：
《Elicitability and backtesting: Perspectives for banking regulation》
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作者：
Natalia Nolde and Johanna F. Ziegel
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Conditional forecasts of risk measures play an important role in internal risk management of financial institutions as well as in regulatory capital calculations. In order to assess forecasting performance of a risk measurement procedure, risk measure forecasts are compared to the realized financial losses over a period of time and a statistical test of correctness of the procedure is conducted. This process is known as backtesting. Such traditional backtests are concerned with assessing some optimality property of a set of risk measure estimates. However, they are not suited to compare different risk estimation procedures. We investigate the proposal of comparative backtests, which are better suited for method comparisons on the basis of forecasting accuracy, but necessitate an elicitable risk measure. We argue that supplementing traditional backtests with comparative backtests will enhance the existing trading book regulatory framework for banks by providing the correct incentive for accuracy of risk measure forecasts. In addition, the comparative backtesting framework could be used by banks internally as well as by researchers to guide selection of forecasting methods. The discussion focuses on three risk measures, Value-at-Risk, expected shortfall and expectiles, and is supported by a simulation study and data analysis.
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中文摘要：
风险度量的条件预测在金融机构的内部风险管理以及监管资本计算中发挥着重要作用。为了评估风险度量程序的预测性能，将风险度量预测与一段时间内实现的财务损失进行比较，并对程序的正确性进行统计测试。此过程称为回溯测试。这种传统的回溯测试涉及评估一组风险度量估计的某些最优性。然而，他们不适合比较不同的风险评估程序。我们研究了比较回溯测试的建议，这种方法更适合在预测准确性的基础上进行方法比较，但需要一个可引出的风险度量。我们认为，用比较回溯测试补充传统的回溯测试，将通过为风险度量预测的准确性提供正确的激励，增强银行现有的交易账簿监管框架。此外，银行内部以及研究人员可以使用比较后验框架来指导预测方法的选择。讨论的重点是三个风险度量，即风险价值、预期缺口和预期值，并得到模拟研究和数据分析的支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：银行监管 Applications Perspectives Quantitative Institutions

可启发性和后验性：银行监管前景Natalia Noldeand和Johanna F.Ziegel不列颠哥伦比亚大学统计系，加拿大伯尔尼大学数理统计与精算科学研究所，瑞士，2月22日，2017年摘要风险度量的条件预测在金融机构的内部风险管理以及监管资本计算中发挥着重要作用。为了评估风险衡量程序的预测性能，将风险衡量预测与一段时间内实现的财务损失进行比较，并对程序的正确性进行统计测试。此过程称为回溯测试。这种传统的回溯测试涉及评估一组风险度量估计值的某些最优性质。然而，他们不适合比较不同的风险评估程序。我们研究了比较回溯测试的建议，它更适合基于预测准确性的方法比较，但需要一个可引出的风险度量。我们认为，通过对比回溯测试补充传统的背景测试，可以为风险度量预测的准确性提供正确的激励，从而增强银行现有的交易账簿监管框架。此外，银行内部以及研究人员可以使用comparativebacktesting框架来指导预测方法的选择。

讨论的重点是三个风险度量，即风险价值、预期缺口和预期，并得到模拟研究和数据分析的支持。关键词：预测、回测、可引出性、风险度量程序、风险价值、预期缺口、预期1简介金融机构依赖于风险度量的条件预测，以实现内部风险管理以及监管机构y资本计算的目的。风险衡量的两个核心要素是选择合适的风险衡量和预测方法，在选择fo重估方法之前，通常先选择基础投资组合风险资产（有条件）损失分布的模型和估计方法。传统上，风险度量的选择是基于与实际影响相关的理论考虑。Emmer等人【2015年】最近介绍了流行风险度量的利弊，试图确定实践中的最佳风险度量。另一方面，Cont等人【2010年】强调需要考虑整个“风险衡量程序”，其中不仅包括风险衡量的选择，还包括如何根据数据进行估计。特别是，稳健性的概念作为对外部因素的敏感性被用来比较几种风险度量程序。在风险管理背景下，这还应与稳健的预测模型偏差以及对尾部事件的响应性或敏感性进行平衡。

Davis【2016年】提出了ris k指标一致性的概念，以及这在金融风险管理中的相关性。通过将已实现损失与风险度量预测进行比较，可以随时间监控（交易账簿）风险度量程序的绩效，这一过程称为回溯测试；例如，见Christo Offersen【2003】和McNeil等人【2005】。根据回溯测试的结果，风险衡量程序被视为适当或不适当。传统的回溯检验形成了对无效假设的统计检验：H：“风险度量程序是正确的。”如果未拒绝零概率，则认为风险度量程序足够。对于价值atRisk（VaR），国际清算银行【2013年，第103–108页】设计了一种基于超过VaR阈值的二项测试的三区方法。传统的回溯测试涉及评估一组风险度量估计的最优性；详情见第2.2节。它们不适合比较不同的风险估计程序，并且可能对增量信息集不敏感；Holzmann和Eulert【2014年】、Davis【2016年】提供了这一事实的例子。此外，传统的回溯测试可能无法为银行提供开发旨在准确预测风险度量的程序的适当激励；有关说明，请参见附录A。在这个基于模拟的示例中，我们展示了如何优化传统回溯测试的测试统计信息，从而导致预测程序的非合理排序。在经过修订的标准化方法中，该方法“应在银行内部市场风险模型被认为不充分的情况下提供可靠的回退”【国际清算银行，2013年，第5-6页】，Fissler等人。

【2016】最近提议，以基于严格一致的评分函数的比较性回溯测试取代传统的回溯测试。lso的比较后验自然会导致三区方法，这将在第2.3节中详细描述。此外，它们允许进行保守测试，并对不断增加的信息集敏感。粗略地说，这意味着，与使用较少信息的简单程序相比，正确纳入更多风险因素的风险衡量程序总是更可取。然而，比较回溯测试需要一个可引出的风险度量。可引出的风险度量的例子有VaR和预期值，而预期差额（ES）是不可引出的。然而，ES证明可以与VaR共同得出，这也允许ES进行比较回溯测试；有关可引出风险措施的详细信息和文献综述，请参见第2.1节。本文提出了区分传统回溯测试（当前监管实践）和比较回溯测试的观点。我们强调了前者在为金融机构提供正确的预测准确性激励方面的不足，并认为可以通过纳入比较后验来增强现有监管框架。在方法论方面，我们表明传统的回溯测试可以以条件校准测试的形式正式化，这为许多流行风险度量的现有回溯测试提供了一个统一的框架。这有助于我们理解那些经常是临时程序，并允许我们将其视为更大图景的一部分。

然后，本文对比较回溯测试的建议进行了详细的研究。在我们对传统和比较回溯测试的讨论中，我们重点讨论了以下三种风险度量：VaR，一种可引出的流行风险度量；期望值，唯一一致且可引出的风险度量；ES是一种一致且单调的加性风险度量，它可以与VaR一起共同得出，是银行监管中的新标准度量。α级VaR∈ （0，1），表示2对随机变量X的风险度量3VaRα进行回溯测试，定义为Varα（X）=inf{X | FX（X）≥ α} ，其中fx是X的累积分布函数。从统计学角度来看，VaRα只是基础分布的α-分位数。在本手稿中，X的正值被解释为损失，因此我们对α值接近1的VaRα感兴趣。国际清算银行【2013年，第103–108页】特别要求α=0.99的VaRα值，我们称之为ν级可积随机变量X的标准基础VaR水平∈ （0，1）由ν（X）=1给出- νZνVaRα（X）dα。国际清算银行（2014年）建议ν=0.975作为标准基准水平，即ES0。975应产生与VaR0类似的风险等级。99在标准正态分布下。正如Newey和Powell（1987）所介绍的，具有有限平均值的X的τ-表达式eτ（X）是方程τZ的唯一解X=eτ（X）∞x（y）- x） dFX（y）=（1- τ） Zx公司-∞（十）- y） dFX（y）。（1.1）如Bellini等人【2014年】、Ziegel【2014年】所示，τ-期望值是τ的可诱导一致风险度量∈ 期望值泛化期望值，就像分位数泛化中值一样。

考虑到τ=0.99855的水平，风险的大小与VaR0相当。99和ES0。975在标准正态分布下；seeBellini和Bernardino【2015年】。本文的组织结构如下。第2节包含回溯测试风险度量的理论讨论。在第2.1节中，我们定义了可引出性的概念，介绍了可识别性，并回顾了VaR、期望值和（VaR，ES）的一致scor函数的特征。在第2.2节中，我们定义了校准风险测量程序的含义，并描述了该概念与Davis校准概念[2 016]以及基因ral中的传统回溯测试的关系。我们将在第2.3节中进行比较后验，其中我们还介绍了比较三区方法。第2.3.1节讨论了scor ING函数的选择。第3节包含所提议的回溯测试方法的数值说明。我们首先回顾了第3.1节中预测风险度量的一些现有方法。第3.2节介绍了模拟研究，而第3.3节介绍了纳斯达克综合指数收益率的应用。第4节总结并讨论了研究结果，尤其是与银行监管相关的结果。附录B包含计算和估计目标所需的背景材料，并给出了基于极值的估计量的推导；这里的一些结果是他们自己感兴趣的。关于具有正同质得分差异的一致性排序函数的表征的技术结果，请参见附录C。

最后，附录D报告了一项模拟研究的结果，该研究考察了在样本外s iz e较小的环境下，回测过程的性能。2风险度量的回溯测试2。1初步风险度量ρ通常在一些随机变量空间上定义。如果ρ是定律不变的，则可以将其视为从某个概率分布集合P到实线R的映射。定律不变2风险度量4的回溯测试意味着对于具有相同分布的两个随机变量X和Y，我们得到ρ（X）=ρ（Y）。本手稿中考虑的所有风险度量都具有法律不变性。因此，我们有时会滥用符号，用ρ（F）代替ρ（X），其中F是X的分布。LetΘ（X）=（ρ（X），ρk（X））是k的向量≥ 1风险措施。定义1。评分函数S:Rk×R→ 对于所有R=（R，…，rk）6=Θ（X）=（ρ（X），…，R称为与P ifE（S（X，X））<E（S（R，X））（2.1）严格一致，ρk（X））和所有分布在P中的X。如果（2.1）中允许相等，则评分函数是一致的。对于Pif，风险度量向量Θ被称为可导出的。它存在一个严格一致的评分函数。可引出性对于模型选择、估计、广义回归、预测排名非常有用，并且，正如我们将在本文中详细介绍的那样，允许进行比较后验。Osband（1985）的主题中已经研究了可引出泛函，尽管该术语是由Lambert等人（2008）创造的。Gneiting[2011]对可诱导性进行了全面的文献综述，其中特别强调了k=1的情况。k案件的最新进展≥ 2见Frongillo和Kash【2015年】、Fissler和Ziegel【2016年】。风险度量的可引出性问题最近受到了相当多的关注。

ca se k=1的所有可用结果都基于一个简单但有力的观察结果，即可导性的必要要求是分布意义上的凸水平集【Osband，1985年】；参见Gneiting【2011年，定理6】。Weber[2 006]是第一个研究凸level集风险度量的人。Bellini和Bignozzi【2015年】利用他的结果研究了广义货币风险度量的可撤销性。在弱正则性假设下，他们表明可引出的货币风险度量是所谓的短缺风险度量【F¨ollmer和Schied，2002年】。对于更具体的风险度量类别，如一致性、凸性或畸变风险度量，可以在没有任何额外规则性假设的情况下显示相同的结果【Ziegel，2014，Delbaen等人，2016，Kou和Peng，2014，Wang和Ziegel，2015】。虽然预期的s hortfall本身是不可激发的，但Fissler和Ziegel【2016】已经表明这对Θ=（VaRα，ESα）是可激发的；另见Acerbi和Szekely【2014年】。对VaRα、τ-期望值和（VaRν、ESν）的（严格）一致评分函数进行了分类。以下命题陈述了（严格）一致性的充分条件。在引用文献中给出的不规则性假设下，直到等价，这些条件也是必要的。这里，如果两个评分函数的差异是实现x的函数，则称其为等价的∈ 仅限R。设Pdenote为R上所有Borel概率分布的类，设P Pdenote具有有限平均值的所有分布类。1号提案（Thomson[1979]，Saerens[2000]）。表格（r，x）=（1）的所有评分函数- α-{x>r}）G（r）+{x>r}G（x），（2.2），其中G是r上的增函数，对于VaRα，α是一致的∈ （0，1），关于P。

上述形式的SCORINGFUNCTION对于VaRα而言与P′完全一致 Pif G是严格递增的，G（X）对于分布在P′中的所有X是可积的，并且P′中的所有分布都有唯一的α分位数。2号提案（Gneiting【2011】）。形式（r，x）={x>r}（1）的所有评分函数- 2τ）（φ（r）- φ（x）- φ′（r）（r）-x） （）-（1）-τ） （φ（r）-φ′（r）（r）- x） ），（2.3）2风险度量5的回溯测试，其中φ是具有次梯度φ′的凸函数，与τ-期望值τ一致∈ （0，1），相对于顶部。如果φ是严格凸的，那么上述形式的评分函数对于τ-expectile相对于类P′是严格一致的 Psuch证明φ（X）对于分布在P′中的所有X都是可积的。3号提案（Fissler和Ziegel【2016】）。形式（r，r，x）={x>r}的所有评分函数-G（r）+G（x）-G（r）（r）-x）+ （1）-ν）G（r）-G（r）（r）-r） +克（r）, （2.4）其中，G′=G的增长函数和G的增长函数和凹函数，对于（VaRν，ESν），ν是一致的∈ （0，1），关于P。如果Gis严格递增且严格凹，则上述评分函数与P′类严格一致 具有唯一ν-分位数和G（X）的Pof分布对于分布在P′中的所有X都是可积的。在风险管理应用中，只考虑严格的积极风险度量预测可能会很有用。如第2.3.1节所示，这为上述命题中同质评分函数的有吸引力选择提供了可能性。如果r∈ （0，∞) 假设在（2.2）或（2.3）中，那么，为了严格一致性，我们只需要在（0，∞), 它们分别在这个域上严格增加或严格凸。在（2.2）的情况下，这可以通过一个相当简单的计算进行检查。