可引出性和后验性：银行监管的视角

第二种方法最近被Gneiting[2011]所推广，在计量经济学文献中很常见；见Diebold和Mariano【19 95】。表4给出了（2.3）中选择G（r）=r的结果。综上所述，在95000次观测的很长时间序列中，VaR超标率和平均得分都表明mag-icianas是最准确的预测者。然而，对于使用VaR超标百分比进行5000次观测的更现实的样本量，历史学家-1000比魔术师更能预测。平均得分不受这个问题的影响，仍然可以清楚地将魔术师视为最佳。A回溯测试和预测比较：示例37长度：95000长度：5000预测者VaR超标百分比平均得分'S VaR超标百分比平均得分'SMagician 1.04 0.0309 1.08 0.0275Historian-2 501.57 0.0427 1.42 0.0303Historian-5 00 1.34 0.0428 1.20 0.0309Historian-1 0001.16 0.0429 0.96 0.0302表4：按VaR0百分比排序预测者。99从（a.1）中给出的模型模拟的时间序列的超越或一致scoringfunction的平均分数。长度：95000长度：5000预测员平均超标残差平均sco re平均超标残差平均得分SMagician-0.0102-0.0610 0.1437-0.658Historian-2 50 0.1067 0.0253 0.0585 0.492 Historian-5 000.0084 0.0246-0.2021 0.457Historian-1 000-0.2227 0.0348-0.4456 0表5：按平均超标残差和一致scoringfunction的平均得分对预测员排序对于从长度为95000的（a.1）中给出的模型模拟的时间序列。对于回溯测试E S，McNeil和Fr ey【2000】引入了以下基于exceedanceresidualsT=#{t:Xt>R（i）V，ν，t}TXt=1Xt的测试统计- R（i）E，tσt{Xt>R（i）V，ν，t}。（A.3）如果模型（A.1）正确，则皮重和i.i.d的非零总和。

平均随机m变量的样本，这可用于准命题测试。人们可能会倾向于使用这种检验统计量进行预测比较，称预测者越准确，测量偏差残差越接近零；例如，见Chun等人【2012年】。在实践中，σtha也可以用估计值代替。在我们的模拟研究中，我们使用了真实σt。比较ES预测性能的第二种可能性是使用（2.5）中给出的性能标准（A.2）中成对（VaRν，ESν）的一致s CoringFunction之一。我们选择G（r）=兰德G（r）=exp（r）/（1+exp（r）），如Fissler等人【2016】所述；有关评分函数选择的讨论，请参见第2.3.1节。结果见表5。对于具有95000个观测值的非现实LON时间序列，historian-500在平均超越残差方面优于魔术师，而对于5000个观测值，historian-250在超越残差方面优于魔术师。在这两种情况下，平均分数直接将魔术师视为最熟练的预测者。这个小型模拟示例说明，用于传统回溯测试的tes t统计数据无法比较不同的风险度量程序，但应使用（a.2）中定义的性能标准和一致的评分函数来获得有意义的排序。我们想强调的是，这个问题并不是用于传统回溯测试的特殊测试统计数据的缺陷，即ES的VaR超标百分比或超标残差。传统的回溯测试只是为了在模式ls之间进行比较而设计的。

当在监管框架中使用传统的回溯测试时，这一事实可能会有问题，因为这可能会刺激优化使用的测试统计数据，而不是优化预测性能。我们的模拟示例表明，这两个目标可能导致风险测量程序的不同选择。这个问题可以使用比较回溯测试来解决。在主要论文中，我们提供了关于传统回溯测试和比较回溯测试之间差异的更多细节，以及它们分别与可识别性和可引出性的关系。B预期B。1基于模型的计算设X为具有有限平均值的随机变量。如果X不是常数，那么e expectle e·（X）是函数gx:R的（广义）逆→ [0，1]，z 7→Rz公司-∞|Z- y | dFX（y）R∞-∞|Z- y | dFX（y）=E（| z- X |{X≤ z} ）E（| z）- X |）；见Abdous和Remillard【1995年】。或者，函数GX（·）可以写成GX（z）=zFX（z）- MX（z）2（zFX（z）- MX（z））+E（X）- z、 （B.1）其中MX（z）=Rz-∞ydFX（y）是X的部分矩。为便于记法，我们将在函数GX的记法中省略表示底层随机变量的下标，当没有歧义时。函数G是右连续的，递增的，G(-∞) = 0，克(∞) = 1、请注意，计算G时无需知道密度的归一化常数。分位数和期望值都表征了X的分布。然而，它们在性质上是完全不同的。预期值与功能相关Ohm Keating和Shadwick【2002】定义为Ohm: R→ [0，∞), r 7→ Ohm（r） ：=r∞r | y- r | dF（y）Rr-∞|Y- r | dF（y）。特别是g（r）=1+Ohm（r） ，则，Ohm（r） =G（r）- 1.（B.2）在以下示例中，我们给出了一些概率分布的函数GX（·）。示例B.1、B.3和B.6用于计算仿真研究中基于模型的期望值。示例B.1（正态分布）。

如果X~ N（u，σ），然后gx（z）=σДZ-uσ+ （z）- u）ΦZ-uσ2σДZ-uσ+ （z）- u）2ΦZ-uσ- 1.式中，Д和Φ表示标准正态随机变量的密度和分布函数。X的τ-期望值由μτ（X）=G给出-1X（τ）。示例B.2（指数分布）。如果X~ EXP（λ）对于某些λ>0，则gx（z）=z-λ+λe-λzz-λ+λe-λz.B期望值39示例B.3（学生t分布）。如果X有一个自由度大于1的t分布，那么gx（z）=ν+zν-1gν（z）+ztν（z）ν+zν-1gν（z）+z2tν（z）- 1.,其中gν和tν表示t分布的密度和累积分布函数。示例B.4（帕累托分布）。对于密度为f（x）=αxα+1，x的帕累托分布≥ 1，其中α>1，我们得到z≥ 1GX（z）=α（1- z） +zF（z）α（1- z） +z（2F（z）- 1） ，其中F是F的累积分布函数。示例B.5（广义帕累托分布）。s标度σ＞0且形状参数ξ的广义Paretodistribution的累积分布函数∈ R、 表示为GP（σ，ξ），由h（y）=1给出-1+ξy/σ-1/ξ，x≥ 0和1+ξx/σ≥ 因此，如果X~ GP（σ，ξ）thenGX（z）=z- （σ+ξz）H（z）σ+z（1+ξ）- 2（σ+ξz）H（z），z≥ 0和1+ξz/σ≥ 0，前提是ξ<1。示例B.6（倾斜t分布）。考虑密度为：f（x）=1/γ+γ的倾斜Student t分布gν（γx）{x≤ 0}+gν（x/γ）{x>0}, 十、∈ R、 （B.3）式中，ν>0和γ>0分别是形状和偏度参数s，与之前一样，gν是学生t分布的密度，fr eedom的ν度；参见Hansen[1994]和Fernandez and Steel[1998]。

这种情况下的反向期望函数由gx（z）=zF（z）+ν给出- 1.νγ+zf（z）zF（z）+ν- 1.νγ+zf（z）+ E（X）- z=：G-X（z）表示z<0，且gx（z）=zF（z）+ν- 1（νγ+z）f（z）-νν- 1（γ- 1/γ）f（0）zF（z）+ν- 1（νγ+z）f（z）-νν- 1（γ- 1/γ）f（0）+ E（X）-z=：G+X（z）表示z≥ 0，其中f和f分别是上述歪斜学生TDi分布的密度和累积分布函数。注：GX（0）=1/（1+γ），因此eτ（X）=（G-X）-1（τ）表示τ<1/（1+γ），eτ（X）=（G+X）-1（τ）表示τ≥ 1/（1+γ）。使用Zhu和Galbraith【2010】中不对称学生t分布的矩表达式，可以看出，如果随机变量X具有密度为（B.3）的倾斜t分布，则X的平均值和方差为（X）=2Kνν- 1.γ-γB期望值40andV ar（X）=hνν- 2.1.- 3γ（1+γ）- 4Kννν- 1.1.-1+γ我γ+γ, ν>2，其中Kν=Γ（（ν+1）/2）/[√πνΓ（ν/2）]。这些表达式可以用来计算均值为零、方差为1的偏态t分布的期望值。示例B.7（不对称学生t分布）。Zhu和Galbraith【2010】介绍了一种更一般的非对称学生t（AST）分布，其中包括前一示例中的一种分布。这类模型允许在分布的上尾端和下尾端使用不同的形状参数。具有偏态参数α的AST分布的密度∈ （0，1）和下部和上部尾部形状参数ν>0和ν>0分别等于tof（x）=α*K（ν）h1+νx2α*我-ν+1{x≤ 0}+1- α1- α*K（ν）h1+νx2（1-α*)我-ν+1{x>0}，（B.4），其中K（ν）=Γ（（ν+1）/2）/（Γ（ν/2）√νπ）和α*= αK（ν）/[αK（ν）+（1- α） K（ν）]。

逆经验函数GX（·）可从GX（z）=zF（z）中获得- M（z）2（zF（z）- M（z））+E（X）- zm（z）给出部分矩函数M（·）=-4（α*)νν- 1h1+νz2α*如果（z），z≤ 0-4（1- α*)νν- 1h1+νz2（1- α*)if（z）-4Bh（α*)νν- 1+（1- α*)νν- 1i，z>0，其中B=αK（ν）+（1-α） K（ν）。如前所述，f和f表示具有AST分布的随机变量X的密度和累积分布函数。X areE（X）=4Bh的期望值和方差- （α*)νν- 1+（1- α*)νν- 1ANDV ar（X）=4hα（α*)νν- 2+（1- α） （1）- α*)νν- 2i- E（X）；见朱和Galbraith【2010】中的方程式（14）和（15）。B、 2 EVT期望估计给出（3.3）中的标准化残差序列{zt；t=1，…，n}，我们现在讨论基于EVT渐近结果的zt期望的半参数估计。为了获得i.i.d.系列{Zt}的期望值的估计量，我们首先推导出（B.1）中函数GZ（z）的估计量，其inver se将为我们提供Zt’s的τ经验值eτ（z）的估计量。回想一下ω比率：OhmZ（Z）=R∞z | z- y | dFZ（y）Rz-∞|Z- y | dFZ（y）。（B.5）我们首先假设Zt的τ-期望值，由eZ（τ）=G给出-1Z（τ）=Ohm-1Z（1/τ- 1） ，超过了chosenthreshold u。τ的大值就是这种情况，从风险度量的角度来看，它强调损失分布的远上尾。B期望值41（B.5）分子中的积分可以写成：Z∞z | z- y | dFZ（y）=E[（Z- z） {z>z}]=FZ（z）E（z- z | z>z）。GP分布的阈值稳定性性质表明，如果X- u | X>u~ GP（βu，ξ）然后，对于anyv≥ u、 X个- v | X>v~ GP（βu+ξ（v- u） ，ξ）。此外，如果X~ GP（β，ξ）然后E（X）=β/（1- ξ） ，前提是ξ<1（参见Embrechts等人[1997]，定理3.4.13（a））。

结合这两个事实，我们发现（Z- z | z>z）=βu+ξ（z- u） 1个- ξ、 ξ<1，z>u，可以通过用参数βuan和ξ的估计值替换参数βuan和ξ来估计。转向（B.5）分母中的积分，writeZz-∞（z）- y） dFZ（y）=zFZ（z）- E（Z{Z≤ z} ）=zFZ（z）- E（Z{Z≤ u} （）- E（Z{u<Z≤ z} ）。上述第一个期望值可以通过经验估计：^E（Z{Z≤ u} ）=nnXt=k+1^z（t）=nnXt=1^zt{^zt≤ u} =：祖。对于第二个期望，我们有e（Z{u<Z≤ z} ）=FZ（u）E（z{z≤ z} | z>u）=FZ（u）E（（z- u） {Z≤ z} | z>u）+uFZ（u），其中，使用峰值超阈值尾部估计器（参见Embrechts et al.（1997），等式（6.45）），e（（z- u） {Z- U≤ Z- u} | Z>u）=Zz-uyβu（1+ξy/βu）-1/ξ- 1dy=βu1- ξn1-1+z- uβu1+ξz- uβu-1/ξo。结合上述推导得出以下ω比率的e刺激值：bOhmZ（Z）=kn^βu1-^ξ1+^ξz- u^βu-1/2^ξ+1z+kn1+^ξz- u^βu-1/^ξ^ξ1-^ξ（z- u） +^βu1-^ξ- U- c、 z>u=^z（k+1），其中c=zu+knu+^βu1-^ξ.根据函数gz和ω比之间的关系，我们得到bgz（z）=1/（1+b）OhmZ（Z）），因此Zt期望值的基于EVT的估计量由逆^eEVTτ（Z）=bG隐式给出-1Z（τ），提供bgz（u）>τ和^ξ<1。IfbGZ（u）≤ τ、 可以使用eτ（Z）的经验估计量。C正齐次评分函数的特征42C正齐次评分函数的特征在本节中，我们对三个风险度量VaR、expe和（VaR、ES）的严格一致的评分函数进行了特征化，以便得出的评分差异是正齐次的。对于VaR，我们考虑由s（r，x）=（1）给出的取芯函数的clas- α-{x>r}）G（r）+{x>r}G（x），（C.1），其中G是严格递增函数；比较命题1。定理4。（风险价值）1。设b>0。

唯一的评分函数S:R×R→ 通过选择G（x）=（C{x）获得b阶正均匀的形式（C.1）的R≥ 0}- c′{x<0}）| x | b，常数c，c′>0.2。设b<0。唯一的评分函数S：（0，∞)×R→ 通过选择G（x）=-cxb，x>0，某些常数c>0。它们不能扩展为在R×R.3上产生严格一致的评分函数。表（C.1）中没有b=0的正齐次评分函数。选择G（x）=c+阻塞x，x>0，c∈ （c.1）中的R和c>0是获得形式（c.1）的scoringfunction S的唯一方法，因此得分差异（0，∞)×（0，∞)×R，（R，R′，x）7→ S（r，x）-S（r′，x）是b=0的正齐次函数。证明Let b∈ R、 如果（2.3）中给出的VaRα的评分函数是b阶正齐次的，那么对于所有R∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞), 我们得到（cr，cx）=（1-α-{x>r}）G（cr）+{x>r}G（cx）=cb（1-α-{x>r}）G（r）+cb{x>r}G（x）=cbS（r，x）。选择x=0，r=1，我们得到（c）=cbG（1），对于所有c∈ （0，∞).因此，函数G严格递增（0，∞) 如果b 6=0且G（1）>0表示b>0且G（1）<0表示b<0。对于b=0，函数G是常数，因此，b=0的顺序没有严格一致的分数。考虑到得分差异，我们得到了所有r，r′∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞) 即S（cr，cx）-S（cr′，cx）=S（r，x）-S（r′，x），即x=0，r′=1和所有r，c∈ （0，∞)G（cr）- G（1）=G（c）- G（1）+G（r）-G（1）。当G要求严格递增时，该函数方程的唯一解为（0，∞) 是G（r）=c+带常数c的阻塞r∈ R和c>0。

P对于期望值，我们考虑由s（r，x）={x>r}（1）给出的评分函数类- 2τ）（φ（r）- φ（x）- φ′（r）（r）-x） （）-（1）-τ） （φ（r）-φ′（r）（r）- x） ），（C.2），其中φ是严格凸二次可微函数；比较命题1。定理5。（Expectiles）C正齐次评分函数的特征431。设b>1。唯一的评分函数S:R×R→ 通过选择φ（x）=（C{x），得到了b阶正齐次的形式（C.2）的R≥ 0}+c′{x<0}）| x | b，x∈ 常数c，c′>0.2的R。设b<1，b 6=0。唯一的评分函数S：（0，∞) ×R→ 通过选择φ（x）=cxb/（b（b），获得了b阶正均匀的形式（C.2）的R-1） ），x>0，某些常数c>0。它们不能扩展为在R×R.3上产生严格一致的评分函数。没有b级的正齐次评分函数∈ （C.2）形式的{0，1}。4。选择φ（x）=c-阻塞x+cx，x>0，c，c∈ （c.2）中的R和c>0是获得形式（c.2）的评分函数S的唯一方法，因此评分差异（0，∞) ×（0，∞) ×R，（R，R′，x）7→S（r，x）- S（r′，x）是b=0.5的正齐次函数。选择φ（x）=c+cx log x+cx，x>0，c，c∈ （c.2）中的R和c>0是获得评分函数S的唯一方法，因此评分差异（0，∞) ×（0，∞) ×R，（R，R′，x）7→ S（r，x）- S（r′，x）是b=1的正齐次。证明Let b∈ R、 关系S（cr，cx）=cbS（R，x）必须适用于所有R，c∈ （0，∞), 十、∈ R、 使用（2.4）中评分函数的形式，x=0和R=1的关系表示φ（c）- cφ′（c）=cb（φ（1）- φ′（1））。我们发现φ′′（c）=-（φ（1）-φ′（1））bcb-2、如果φ（1）=φ′（1）或b=0，我们得到φ是线性的，因此不是严格凸，因此不存在b=0阶严格一致的分数。

如果b=1，φ（1）6=φ′（1），我们得到φ（x）=c+cx log x+cx for x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。然而，对应的scoringfunction不是b=1阶的齐次函数，这可以通过插入φin（2.4）的显式表达式来显示。对于b 6∈ {0，1}，我们得到φ（x）=c+cxb/（b（b-1） ）+cx代表x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。通过在（2.4）中插入φ的m，我们发现我们得到了b 6阶的齐次评分函数∈ {0，1}表示c=c=0。对于b<1，函数φ不能扩展为R上的凸函数。对于b>1，我们可以使用x=-2和r=-1取φ(-c）-cφ′(-c） =cb（φ(-（1）-φ′(-1） ）对于所有c∈ （0，∞) 这就产生了与上述论点相同的主张。考虑到b=1时的sc ore差异，我们得到了所有r，r′∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞) 即S（cr，cx）-S（cr′，cx）=S（r，x）- S（r′，x），即x=0，r′=1和所有r，c∈ （0，∞)φ（cr）- cφ（r）- cr（φ′（cr）- φ′（r））=φ（c）- cφ′（c）- cφ（1）+cφ′（1）。对于r=1时的r微分，我们得到φ′′（x）=cx-1对于某些c>0，因此φ（x）=c+cx log x+cx for x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。我们可以检查得出的分数差异实际上是均匀的，顺序为b=1。