多重分形交叉小波分析

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英文标题：
《Multifractal cross wavelet analysis》
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作者：
Zhi-Qiang Jiang (ECUST, BU), Xing-Lu Gao (ECUST), Wei-Xing Zhou
  (ECUST), H. Eugene Stanley (BU)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Complex systems are composed of mutually interacting components and the output values of these components are usually long-range cross-correlated. We propose a method to characterize the joint multifractal nature of such long-range cross correlations based on wavelet analysis, termed multifractal cross wavelet analysis (MFXWT). We assess the performance of the MFXWT method by performing extensive numerical experiments on the dual binomial measures with multifractal cross correlations and the bivariate fractional Brownian motions (bFBMs) with monofractal cross correlations. For binomial multifractal measures, the empirical joint multifractality of MFXWT is found to be in approximate agreement with the theoretical formula. For bFBMs, MFXWT may provide spurious multifractality because of the wide spanning range of the multifractal spectrum. We also apply the MFXWT method to stock market indexes and uncover intriguing joint multifractal nature in pairs of index returns and volatilities.
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中文摘要：
复杂系统由相互作用的组件组成，这些组件的输出值通常是长程互相关的。我们提出了一种基于小波分析的方法来描述这种长程互相关的联合多重分形性质，称为多重分形交叉小波分析（MFXWT）。我们通过对具有多重分形互相关的双二项式测度和具有单分形互相关的二元分数布朗运动（bFBMs）进行广泛的数值实验来评估MFXWT方法的性能。对于二项式多重分形测度，MFXWT的经验联合多重分形性与理论公式基本一致。对于bFBMs，MFXWT可能会提供虚假的多重分形，因为多重分形谱的范围很广。我们还将MFXWT方法应用于股票市场指数，揭示了指数收益率和波动率对中有趣的联合多重分形性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Multifractal_cross_wavelet_analysis.pdf (3.37 MB)

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关键词：小波分析 Multifractal correlations Econophysics Quantitative

分形/MFXWT多重分形交叉小波分析蒋志强，1，2，3Xing Lu Gao，Wei Xing Zhou，1，2，4，*和H.尤金·斯坦利（H.Eugene StanleyDepartment，East China Science and Technology，Shanghai 200237），华东科技大学中国经济物理研究中心（China Research Center for Econophysics，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237），波士顿大学中国物理系和聚合物研究中心（China Department of Physics and Center for Polymer Studies，Boston University，Boston，MA 02215），美国华东科技大学数学系（Department of Mathematics，East China Science and Technology），中国上海200237（日期：2018年2月27日）复杂系统由相互作用的组件组成，这些组件的输出值通常表现出长程互相关。利用小波分析，我们提出了一种描述这些长程互相关的联合多重分形性质的方法，我们称之为多重分形交叉小波分析（MFXWT）。我们通过对多重分形互相关的双二项式测量和单分形互相关的二元分数布朗运动（bFBMs）进行广泛的数值实验，评估了MFSWT方法的性能。对于二项式多重分形测度，我们发现MFXWT的经验联合多重分形与理论公式近似一致。对于BFBMS，MFXWT可能提供虚假的多重分形，因为多重分形谱的范围很广。我们还将MFXWT方法应用于股票市场指数，在指数收益率和波动率对中，我们发现了一个有趣的联合多重分形行为。对urrogate序列的检验还表明，互相关行为，尤其是零滞后的互相关，是互多重分形的主要来源。关键词：联合多重分形分析；小波分析；二项测度；二元分馏布朗运动；独自创立*wxzhou@ecust.edu.cnI.

简介近年来，发展了一系列多重分形互相关分析方法，并应用于许多不同领域。目标是揭示两个时间序列之间可能存在的多重分形长期互相关。这种成对序列的长期互相关已广泛应用于金融市场，从揭示不同市场的交叉多重分形性质的事实到建立交易策略以获得超额回报，从改进对冲比率的估计到将copula多重分形纳入波动率的计算，从这一点来看[1-3]。1990年发明了一种早期的方法，即联合多重分形分析，以研究充分发展的湍流中动能耗散率与被动标量函数之间的关系，并处理两个多重分形测度的联合配分函数[7]。这种方法也被称为基于配分函数法（MFXPF）的多重分形互相关分析[8]。2012年，独立发明了一种特殊的多重分形统计矩互相关分析（MFSMXA），用于研究金融中的波动性时间序列[9]。2015年，导出了二项度量的联合多重分形性质的主要性质，并进行了数值验证[8]。另一种多重分形互相关分析方法是多重分形高度互相关分析（MF-HXA）[10]，它是高度-高度相关分析的双变量推广[11]。MF-HXA方法也起源于湍流，是对加热湍流射流中温度和速度耗散场结构函数互相关分析的扩展[12]。

因此，它也是一种基于结构函数（MFXSF）的多重分形互相关分析。其他多重分形互相关分析方法包括基于去趋势函数分析（MFXDFA）[13]的多重分形去趋势互相关分析，这是去趋势互相关分析（DCCA）[14]的多重分形版本，基于去趋势移动平均分析（MFXDMA）[15]的多重分形去趋势互相关分析基于多重分形去趋势移动平均分析（MF-DMA）[16]和去趋势移动平均分析（DMA）[17-24]，多重分形互相关分析（MFCCA）[25，26]和多重分形去趋势部分相关分析（MFDPXA）[27]。小波变换长期以来被应用于分形和多重分形的研究[28，29]，并提出了一种基于小波变换的划分函数方法[30]。在这里，我们将多重分形小波分析推广到二元情况，并提出了一种基于两个时间序列小波变换的新的联合多重分形分析，这是交叉小波变换的多重分形推广[31–33]。因此，我们也可以称之为多重分形交叉小波分析（MFXWT）。与使用MFXPF方法类似，我们在MFXWT中引入了两个订单。通过对两个数学模型进行数值实验，验证了该方法的有效性，并得到了明确的分析结果。最后，我们将该方法应用于一个经验时间序列。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了MFXWT方法的框架。第3节使用二项测度和具有已知解析多重分形表达式的二元分数布朗运动进行了广泛的数值实验，以检查MFXWT方法的有效性。在第4节中，我们将MFXWT算法应用于日收益率对以及日波动率对。

统计检验表明，MFXWT方法能够检测成对金融序列的交叉多重分形。第5节总结。二、方法参考文献。[34，35]，我们定义了给定时间序列x（t）asw（s，i）=snXt=1x（t）ψ[（t- i） /s]，i=1，··，n，（1），其中ψ（x）是被i移位的小波核，s是尺度，n是x（t）的长度。我们使用小波变换在时间尺度平面上对信号进行分解。当小波核isRxm+1ψ（s）dx=0时，得到的小波系数是信号奇异行为的指标[36]，由此我们可以用m阶多项式近似信号趋势。ψ（x）的一个好选择是高斯函数的导数m，ψm（x）=dm（e-x/2）/dxm。这里我们使用“墨西哥帽”m=2。利用基于小波的尺度（或多尺度）估计器[37，38]和互相关（或多重分形）分析[8–10，13–15]，我们提出了一种基于小波分析的检测序列x（t）andy（t）中多重分形互相关的新方法，即具有两个矩阶的多重分形交叉小波分析（MFXWT（p，q））。我们首先对两个时间序列进行小波变换，并获得小波系数wx（s，i）和wy（s，i）。然后，我们根据获得的小波系数χxy（p，q，s）=nXi=1 | wx（s，i）| p/2 | wy（s，i）| q/2，定义具有矩p和q的联合配分函数。（2） 由于一些小波系数接近0，分配函数在p<0或q<0时发散。当wx=wy和p=q时，我们使用小波分析来恢复传统的配分函数。部分| wx（s，i）| p/2 | wy（s，i）| q/2是广义互小波谱，当p=4和q=4时，它恢复了传统的互小波谱[39]，因为小波系数是实数。

交叉小波谱可用于计算小波相干度，这能够揭示时频域中两个序列之间的协同运动【40，41】。划分函数的定义使我们能够揭示不同范围下的相干性和尺度之间更复杂的关系，这对应于交叉多重分形行为。如果基础过程是联合多重分形的，则结果是标度行为，χxy（p，q，s）~ sTxy（p，q）。（3） 其中，Txy（p，q）是关节质量指数函数。注意，我们可以通过在给定对（p，q）的标度范围内将lnχxy（p，q，s）与lns回归来估计Txy（p，q）。与基于分区函数法MFXPF（p，q）[8]的联合多重分形分析中的双勒让德变换类似，我们定义了联合奇异强度函数hx和hyhx（p，q）=2Txy（p，q）/p、 （4）hy（p，q）=2Txy（p，q）/q、 （5）多重分形谱Dxy（hx，hy）Dxy（hx，hy）=phx/2+qhy/2- Txy。（6） MFXWT（p，q）方法得到的hx（p，q）、hy（p，q）和Dxy（hx，hy）值不同于MFXPF（p，q）方法得到的关节奇异强度αx（p，q）、αy（p，q）和关节多重分形谱fxy（αx，αy）。例如，当p=0且q=0时，等式（2）中的联合配分函数等于小波系数的数量，并对应于原始序列中的数据点总数，这意味着Txy（0，0）=0，而MFXPF（p，q）方法中的联合配分函数τxy（0，0）=-1、我们还发现，所有HX和HYAR的估计值均小于0。

尽管这违背了我们的直觉，即奇点强度应该是正的，但这些值上的差异并不意味着我们的方法是无用的，因为从两种方法获得的联合多重分形量仍然具有相同的物理意义和几何特征，这使我们能够确定时间序列对中的互相关。在对积分级数进行基于多重分形分析的小波检验器的常规数值实验和实证分析之后，我们还对积分级数进行了MFXWT（p，q）方法的检验。然而，获得的结果并不容易解释，很难与p模型中的理论值联系起来[42]。因此，我们将研究重点放在非累积序列上，例如股票收益率而非股票价格。参考文献[30]发现，基于勒让德变换的联合奇异强度和联合多重分形谱的估计存在误差。他们提出了一种使用直接估计标准方法计算h和D（h）的替代方法。同样，我们使用hx（p，q）=lims直接估计关节奇异强度hx和hy以及关节多重分形谱Dxy（p，q）→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wx（s，i）|，（7）hy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wy（s，i）|，（8）Dxy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）lnuxy（p，q，s，i）。（9） 式中，uxy（p，q，s，i）=wx（s，t）| p/2 | wy（s，i）| q/2/χxy（p，q，s）。因此，我们可以直接从方程组中确定联合奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q）以及联合多重分形函数Dxy（p，q）。（7–9）。10010110210310410-1610-1210-810-4100sχPF，sp/2+q/2-1χWT p=2（a）WT:q=0WT:q=2WT:q=4WT:q=6WT:q=8WT:q=10PF:q=0PF:q=2PF:q=4PF:q=6PF:q=8PF:q=10110210310410-1810-1210-6100sχPF，sp/2+q/2-1χWTp=4（b）10110210310410-2210-1510-810-1sχPF，sp/2+q/2-1χWTp=9（c）图1。

（彩色在线）比较从MFXPF（p，q）和MFXWT（p，q）获得的联合配分函数的两个二项度量的标度行为，p和q的值不同。在图中，q从0到10变化，步长为2。MFXWT（p，q）的联合配分函数按sp/2+q/2的因子缩放-1，其结果与MFXPF（p，q）的联合配分函数几乎相同。三、 数值实验为了检验所提出的MFXWT（p，q）方法的有效性和性能，我们进行了两项二项式测量（i）由乘法p模型生成的测量（42）和（ii）由二元分数布朗运动（bFBMs）生成的测量（43–45）。A、 二项式测量我们首先使用具有已知多重分形分析性质的p模型中的两个二项式测量值对MFXWT（p，q）方法的有效性进行数值测试，（i）{x（i）：i=1，2，···，2k}和（ii）{y（i）：i=1，2，··，2k}[42]。每个二项式度量值都是迭代生成的。我们从第0次迭代k=0开始，其中数据集z（i）由一个值组成，z（0）（1）=1。在迭代k中，从z（k）（2i）获得数据集{z（k）（i）：i=1，2，···，2k}- 1） =pzz（k-1） （i）z（k）（2i）=（1）- pz）z（k-1） （i）（10）对于i=1，2，···，2k-1、k时→ ∞, z（k）（i）接近一个二项测度，其标度指数函数Hzz（q）和质量指数函数τzz（q），其解析形式为[42，46]Hzz（q）=1/q- 日志[pqz+（1- pz）q]/q，（11）τzz（q）=- 日志[pqz+（1- pz）q]。（12） 在我们的数值实验中，p模型的两个二项式度量的参数对于x（i）设定为px=0.3，对于y（i）设定为py=0.4，迭代步骤k=16。x和y的解析标度指数函数Hxx（q）和Hy y（q）如式（11）所示。因为这两个系列是使用相同的规则生成的，所以这两个系列x和y具有很强的相关性，系数为0.82。Xie等人。

分析推导了由P模型构造的两个二项测度的联合多重分形性质。联合质量指数函数τxy（p，q），τxy（p，q）=pγ2 ln2-ln公司pQy+（1- py）Qln2，（13）两个联合奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q），αx（p，q）=γln2-βln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q，（14）αy（p，Q）=-ln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q，（15）10010110210310410-4010-3010-2010-101001010sχxy（q，s）（a）q=0q=2q=4q=6q=8q=101011010104-13-12-11-10-9-8sPuxyln | wxwy | 1/2（b）101102103104-12-10-8.-6.-4.-2sPuxylnuxy（c）0 2 4 6 8 10-3.-2.-10qTxy（q）（d）帝国。理论。0 2 4 6 8 10-0.4-0.3-0.2-0.100.1qhxy（q）（e）经度。目录。E、 理论。-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1-1.-0.8-0.6-0.4-0.20hxyDxy（hxy）（f）经度。目录。E、 理论。图2：。（彩色在线）基于MFXWT（q）方法对px=0.3和py=0.4的两个二项度量进行多重分形交叉小波分析。（a） χxy（q，s）与不同q的标度s之间的幂律行为。（b）tuxy（q，s，t）ln | wx（s，t）wy（s，t）| 1/2against ln s。（c）tuxy（q，s，t）ln xy（q，s，t）相对于ln s的线性关系。（d）联合质量指数函数Txy（q）。（e） 关节奇异强度函数hxy（q）。（f） 联合多重分形奇异谱dxy（hxy）。联合多重分形谱fxy（p，q）表示为fxy（αx，αy）=QZQln Z+（1+ZQ）ln（1+ZQ）ln 2（1+ZQ），（16），其中β=ln px-ln（1-px）ln py-ln（1-py），γ=βln（1- py）- ln（1- px），Q=βp/2+Q/2，Z=1-皮皮。我们发现，这些理论公式在数值上与MFXPF（p，q）方法[8]的经验结果相一致，这使我们能够检查这些理论公式是否可以作为FXWT（p，q）算法应用于二项式度量时性能的基准测试。

通过比较这两种方法的节理分割函数的标度行为，我们找到了节理质量指数函数Txy（p，q）、节理奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q）的理论公式，以及节理多重分形谱Dxy（hx，hy）的Fxwt（p，q）的理论公式。图1显示了从MFXPF（p，q）和MFXWT（p，q）方法获得的联合配分函数的标度行为，其中p和q的值不同。MFXWT（p，q）的联合配分函数的标度因子为p/2+q/2-1、我们发现（a）组中两种方法的标记之间略有差异，而（b）组和（c）组中这种差异消失。这表明MFXWT（p，q）的标度联合配分函数和MFXPF（p，q）的联合配分函数之间的标度行为几乎相同，这使得我们可以通过使用txy（p，q）+p/2+q/2将二项式测度的理论联合多重分形公式与MFXWT（p，q）的经验联合多重分形特征联系起来- 1=τxy（p，q），（17）hx（p，q）+1=αx（p，q），（18）hy（p，q）+1=αy（p，q），（19）Dxy（hx，hy）+1=fxy（αx，αy），（20），其中τxy（p，q），αx（p，q），αy（p，q）和fxy（αx，αy）由等式给出。（13–16）。这些公式有效地检验了MFXWT（p，q）方法在两个二项测度联合多重分形分析中的估计精度。使用配分函数法和小波分析来检测单个时间序列的多重分形性质，τxx（q）=Txx（q）+q和αx（q）=hx（q）+1【47–49】。我们首先检查p=q的情况。图2（a）显示了联合配分函数χxy（q，s）和标度s之间的标度行为。注意，在超过三个数量级的情况下，存在显著的幂律依赖性。通过估计不同q的χxy（q，s）和s之间的幂律指数，我们找到了联合质量指数函数T（q）[见图。