关于粗糙Bergomi模型的鞅性质

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英文标题：
《On the martingale property in the rough Bergomi model》
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作者：
Paul Gassiat
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a class of fractional stochastic volatility models (including the so-called rough Bergomi model), where the volatility is a superlinear function of a fractional Gaussian process. We show that the stock price is a true martingale if and only if the correlation $\\rho$ between the driving Brownian motions of the stock and the volatility is nonpositive. We also show that for each $\\rho<0$ and $m> \\frac{1}{{1-\\rho^2}}$, the $m$-th moment of the stock price is infinite at each positive time.
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中文摘要：
我们考虑一类分数阶随机波动率模型（包括所谓的粗糙Bergomi模型），其中波动率是分数阶高斯过程的超线性函数。我们证明了股票价格是真鞅当且仅当股票的驱动布朗运动与波动率之间的相关性为非正时。我们还表明，对于每一个$\\rho<0$和$\\m>\\frac{1}{{1-\\rho^2}}}美元，股价的第m$时刻在每个正时间是无限的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Berg Ber Mathematical Quantitative Applications

关于粗糙BERGOMI模型中的鞅性质Paul GASSIATAbstract。我们考虑一类分数随机波动率模型（包括所谓的Drough-Bergomi模型），其中波动率是分数高斯过程的超线性函数。我们证明了当且仅当股票的驱动布朗运动与波动率之间的相关性ρ为非正时，股票价格才是真鞅。我们还表明，对于每个ρ<0和m>1-ρ、 股票价格的第m个时刻在每个正时刻都是有限的。1、导言和主要结果我们对分数随机波动率模型感兴趣，其中，风险中性度量下（贴现）股票价格的动态形式为（1.1）dSt/St=σ（t，Yt）dWt（1.2）Yt=ZtK（t，s）DZSW，其中Zt=ρWt+(R)ρ′Wt，W，(R)W是过滤概率空间上的两个独立布朗运动(Ohm, （Ft）t≥0，P），ρ+(R)ρ=1。我们想到的一个具体例子是[2]中介绍的所谓粗糙Bergomi模型。模型Y是Hur-st参数H的Riemann-Liouville分数布朗运动∈ （0，1），即K（t，s）=CH（t- s） H类-波动率函数取mσ（t，y）=ζ（t）exp（ηy），其中η>0，ζ是t的连续函数∈ （0，）是一大类分数随机波动率模型（所谓的“粗糙波动率模型”）的一部分，该模型最近被观察到再现了历史数据[11]和定价数据[1、9、2]的若干特征，并且是近期学术活动的主题。我们在本文中考虑的第一个问题是，价格过程（显然是局部鞅（和超鞅））是否是真鞅。tru鞅性质在实践中非常重要，使用严格的局部鞅测度进行定价有一些明显的回扣。

例如：如果S是严格局部鞅，那么对于某些T>0的E[ST]<sfo，因此，在时间T之前持有一单位股票的模型给出的价格已经与市场数据不一致（这表明资产价格高于其实际“基本”价值。作者感谢P.K.Friz的相关讨论。ANR通过项目ANR-16-CE40-0020-01部分支持这项工作。例如，参见网站https://sites.google.com/site/roughvol/home获取相关文献的最新列表。2 PAUL GASSIATand为此，在泡泡建模中使用了严格的局部鞅模型，见[17]和其中的参考文献）。请注意，在粗糙的Bergomi模型中，由于σ的超线性增长，Novikov的鞅性定理永远无法满足。然而，我们表明，如果相关性是非正的（这通常是实际应用中的情况），价格过程确实是一个真正的鞅。实际上，您的结果并不依赖于粗略的Ber-gomi模型中σ的具体形式，只需要对K和σ进行假设（相当弱）。我们还展示了aRiemann-Liouville型核在σ超线性增长的更具体假设下的相反含义。定理1。（1） 假设核K（2.3）定义了具有连续样本路径的高斯过程，σ：[0，∞) ×R→ R+连续且有界于[0，T]×上(-∞, a] 对于每个T，a>0。

那么如果ρ≤ 0，（St）t≥0由（1.1）-（1.2）定义为真鞅。（2） 此外，假设存在T>0，对于某些α>，0≤ s≤ t型≤ T、 K（T，s）=K（T- s、 0）≥ α（t- s） α-1和σ≥ σ在[0，T]×R上，其中σ：[0，T]×R→ R+是连续的，在x中不递减，在x中局部Lipschitz（在t中均匀∈ [0，T]），并且对于一些A>0，（1.3）Z+∞A.winft公司∈[0，T]σ（T，w）αdww<+∞,那么，如果ρ>0，对于每一个t>0，就有E[St]<S。这个注释的第二个结果是关于股票价格的矩。我们表明，在类似的假设下（通过粗略的B ergomi模型得到满足），对于ρ的每个值∈ (-1，0]，一些高阶矩是有限的。定理2。假设存在T>0 s.T。对于某些α>，K（s，T）=α（T- s） α-1对于所有0≤ s≤ t型≤ Tandσ=σ在[0，T]×R上，σ如定理1（2）所示。那么如果ρ≤ 0，m>1表示ρ<m-1m，它认为对于所有t>0，E[Smt]=+∞.矩的不确定性很重要，例如在蒙特卡罗模拟中（要知道蒙特卡罗误差由CLT估计值决定，需要有限方差）和在渐近公式e中（要从股价大偏差到调用价格渐近，请参见示例【8，第4.2节】）。因此，获得相反的（积极的）结果将非常有用。我们注意到在布朗情形下（K≡ 1） ，上述两个结果都是众所周知的，参见[19，15，16]，在这种情况下，条件ρ>m-1也是动量确定的充分条件。在粗糙的赫斯顿模型中，[12]最近获得了一些关于股价变动的结果（这些结果在精神上与经典的赫斯顿模型相似，因此与我们的结果截然不同）。

最后，我们想指出的是，通过【14】中的不同方法，已经独立获得了第2项的更通用版本。这篇笔记的其余部分致力于定理1和2的证明，我们现在概述一下。定理1的证明遵循了经典论点（已在上述[19,15,16]中找到），其他参考文献也可参见[3,18]），该论点将s到仓促指数的鞅性质与SDE的爆炸联系起来（在我们的例子中，这将是Volterra SDE）。鞅性质（1）本质上是直接的，而（2）的证明来自于Volterra SDE可能在任意短时间内以正概率爆炸的事实。定理2的证明依赖于Bou'e-Dupuis公式，该公式将布朗泛函的指数期望表示为（她的e：Volterra）随机控制表的值。WeON The MARTINGALE PROPERTY IN The ROUGH BERGOMI MODEL 3然后，对于所考虑的参数值，我们可以选择一个反馈控制，例如，在前面的证明中，过程（和价值）在任意短的时间内爆炸。即使在经典的阿尔（马尔可夫n）案例中，这一证明也是新的。2.证据2.1。预备工作。2.1.1. Volterra积分方程。在本小节中，我们fixkα（r）=αrα-1对于某些α>0，z：[0，∞) → R continuousb：[0，∞) ×R→ R+continuousand与Volterra方程（2.1）y（t）=z（t）+ZtKα（t）相反- s） b（s，y（s））ds，t≥ 0，未知y。我们将使用以下结果。提案1。假设b在x中是Lipschitz连续的，在t中是一致的∈ [0，T]，对于每个T>0。然后（2.1）在[0]上允许唯一的连续解y，∞).证据唯一性很容易直接检查，其存在性源自【13，定理12.2.8】。提案2。

假设b在x中为非减量且在x中为局部Lipschitz（一致int∈ [0，T]对于每个T>0）。然后：（1）存在唯一对（y，T∞) 使得y是[0，T]上（2.1）的连续解∞),和限制→T∞y（t）=+∞.（2） 让T<T∞, u：[0，T]→ R连续，使u（t）≤ （分别为。≥ ) z（t）+ZtKα（t- s） b（s，u（s））ds，0≤ t型≤ T、 然后u≤ y（分别为u≥ y） 在[0，T]上。（3） 使用t 7→ z（t）和t 7→ b（t，x）为非递减（对于每个x∈ R） 。那么so ist 7→ y（t）。证据参见【13，定理13.5.1和1 3.4.7】和【6，定理2.6】。我们还将使用下面的引理，它给出了（2.1）解的爆破时间的显式上界。引理1。在命题2的设置中，假设t 7→ z（t）是不变的。然后用T∞如（1）所示，对于每个T>0（2.2）T∞∧ T≤ infx公司≥0h（x）+αZ∞x个winft公司∈[0，T]b（T，w）αdww！，其中h（x）=sup{t:z（t）≤ x} 。4保罗防毒。我们遵循[6]中的论点。根据命题2（2），当b替换为b时，必须考虑（2.1）的解：=inft∈[0，T]b（T，·）。We FIX x公司≥ 0 s uch该h（x）andR∞x个wb（w）αdwware有限公司，R>1，每个n≥ 0 we letTn=sup{t:y（t）≤ xRn}∈ (0, +∞].请注意，T≤ h（x）。然后我们得到了n≥ 1，对于每个t>Tn-1年（Tn∧ t） =xRn=z（Tn∧ t） +ZTn∧tα（（Tn∧ t）- s） α-1b（y（s））ds≥ z（Tn∧ t） +ZTn∧tTn公司-1α（（Tn∧ t）- s） α-1b（y（s））ds≥ xRn公司-1+（Tn∧ t型- 田纳西州-1） αb（xRn-1） 这里我们使用了y的单调性（命题2（3））。这意味着如果Tn-1有限，Tn也有限，有Tn≤ 田纳西州-1+x（Rn- 注册护士-1） b（xRn-1)α.亨塞特∞= T+Xn≥1（Tn- 田纳西州-1)≤ h（x）+Xn≥1.xRn公司- xRn公司-1b（xRn-1)α=h（x）+Xn≥1αZxRnxRn-1wα-1b（xRn-1） 数据仓库。我们通过让R↓ 1.2.1.2. 随机卷积。我们考虑以下随机卷积（2.3）Yt=ZtK（t，s）dZs（回想一下（Zt）t≥0是P-布朗运动）。我们回顾了众所周知的Y到b e连续的条件（参见e.g.[10，定理2.1]）。提案3。

假设t>0，CK（t，t）：=ZtK（t，s）ds<∞,对于t，t′≥ 0让CK（t，t′）=Rt∧t′K（t，s）K（t′，s）ds。假设每个T≥ 0，让θT（h）：=sup0≤t、 t′型≤T、 | T-t′型|≤h{CK（t，t）+CK（t′，t′）- 2CK（t，t′）}1/2它认为θt（0+）=0，z+pln（1/u）dθt（u）<∞.然后Y接受一个具有连续采样路径的版本。注意，上述假设满足K（t，s）=α（t- s） α-1，任意α>-.当K是平移不变性时，我们还需要一个关于Y定律支持的结果。关于粗糙BERGOMI模型的鞅性质。除了命题3的假设外，假设K（t，s）=^K（t- s） 对于所有0≤ s≤ t、 其中，对于所有ε>0，^K是一个函数s.t.Rε| K |>0。然后对于每个T≥ 0，Y的lawof在CT中得到完全支持：={Y∈ C（[0，T]，R）；y（0）=0}（配备uniformconvergence拓扑）。证据请注意，Y定律是关于CT的一种美国测量方法，Cameron Martin spac eHK=yf，f∈ L（[0，T]） CTF的位置∈ L（[0，T]我们定义：T 7→Zt^K（t- s） f（s）ds。通过经典应用Cameron-Martin定理（s e e e.g.[4，定理3.6.1]），CTI中Y定律的支持是HKin CT的闭合。然后我们用[7，引理2.1]得出结论。2.2. 定理1的证明。由于（St）是一个非负局部鞅（因此是上鞅），当且仅当E[St]=S时，它将是[0，T]上的鞅。让τn=inf{T>0，Yt=n}，那么因为σ在[0，T]×上有界(-∞, n] 它认为s=E[ST∧τn]=EST{T<τn}+ ESτn{τn≤T}.当n变为单位时，第一项收敛到E，因此（2.4）S- E【ST】=limn→∞ESτn{τn≤T}.另一方面，我们可以将Girsanov定理应用于书面语Sτn{τn≤T}= S^Pn（τn≤ T）式中，^Pnis使得^W（n）T=Wt-Zt公司∧τnσ（s，Ys）ds是^Pn下的布朗运动。

注意，对于t≤ τnone hasYt=ZtK（t，s）d^Z（n）s+ρσ（s，Ys）ds=^Yt+ZtK（t，s）ρσ（s，Ys）ds其中^Z（n）是一个^Pn布朗运动，且^Yt：=ZtK（t，s）d^Z（n）s。我们首先处理ρ≤ 0、自年初至今≤^Yt（对于t≤ τn）1然后Hasτn≥ τn：=inf{t>0，^Yt=n}。此外，由于^Z（n）是一个^Pn布朗运动，一个haslimn→∞^Pn（τn≤ T）=limn→∞P（支持∈[0，T]Yt≥ n）=0，然后是- E【ST】=薄型→∞^Pn（τn≤ T）=0i。e、 S是鞅。6 PAUL GASSIATWe现在处理ρ>0的情况。然后我们得到t<τn（2.5）Yt≥^Yt+Ztα（t- s） α-1ρσ（s，Ys）ds。特别地，根据命题2（2）和^Z（n）是^Pn下的布朗运动这一事实，一个haslimn→∞^Pn（τn≤ T）≥ P（T∞< T）其中T∞是溶液的爆炸时间▄Y至▄Yt=Yt+Ztα（t- s） α-1ρσ（s，Ys）ds（存在并且是命题2的唯一P-a.s.）。选择x，λ>0，使x+1λ+Z∞x个wρ·inft∈[0，T]σ（T，w）αdww<T。设zλ（T）=λT- 1和yλ是（2.1）的解，z=zλ，b（t，·）=σ。通过引理1，yλ在[0，T]上爆炸。根据命题4，事件{Y≥ 在P下，[0，T]}上的zλ具有正概率。但在这个事件上，一个具有▄Y≥ [0，T]上的yλ和T∞< T这证明了E【ST】<S.2.3。定理2的证明。我们再次应用Girsanov变换：one hasE[SmT]=SmE“expZTmσ（s，Ys）dWs-ZTmσ（s，Ys）ds！\\35;=Sm^E“expZTm- mσ（s，Ys）ds！#，d^PdP=expZTmσ（s，Ys）dWs-ZTmσ（s，Ys）ds！（这通过定理1（1）定义了一个概率度量，因为ρ≤ 0），我们有thatYt=Y+ZtKα（t- s） （d^Ws+ρmσ（s，Ys）ds）对于a^P-布朗运动。让Yt=Y+RtKα（t- s） d^Ws，重写为（2.6）Yt=Yt+ZtKα（t- s） ρmσ（s，Ys）ds。注意，sinc e Yis^P-a.s.连续，将命题1和先验边界t+ρm结合起来ZtKαsups公司∈[0，t]σ（s，sups≤tYs）≤ 年初至今≤ 伊顿可以证明（2.6）承认^P-a.s。

独特的连续解决方案。关于粗糙BERGOMI模型7b中的鞅性质，通过Bou'e-Dupuis公式[5，定理5.1]，这个yieldsln e[SmT/Sm]=sup（vt）t≥0∈V^E“ZTm级- mσ（s，Yvs）-VSD#式中，V=（（vt）t≥0用^E“ZTvtdt#<+∞)对于v∈ 五、 yvt=Y+ZtKα（t）的唯一连续解- s） （d^Ws+（ρmσ（s，Ys）+vs）ds）。另一方面，如果ρ<m-1人们可以发现γ，使得ρm+γ>0，m- m级- γ> 0.然后，我们的想法是，采用反馈控制vs=γσ（Ys），利用第一个非线性，它认为对于每个T>0，y在T之前爆炸的概率为正。另一方面，第二个不等式确保了增益+∞ 在这种情况下，使值（和时刻）不确定。我们现在给出一个严格的证明。我们假设A>0，n>0，设θA=inf{t；Yt≥ A} 定义为=γσ（s，Yn，As）if（ρm+γ）σ（s，Yn，As）≤ n和s≤ θA，n- ρmσ（s，Yn，As）if（ρm+γ）σ（s，Yn，As）>n和s≤ θA0如果s>θAwhere Yn，Ais是唯一的（根据命题1）解toYn，At=Yt+Zt∧θAKα（t- s）（ρm+γ）σ（s，Yn，As）∧ nds+Ztt∧θAKα（t- s） ρmσ（s，Yn，As）d注意，对于所有t∈ [0，T]一个有Yn，At≤ Yt+ntα和（2.7）0≤ vn，At≤ γσ（t，Yn，At）1t≤θA≤ γs upt∈ [0，T]σ（T，A+ntα），特别是vn，A∈ 五、 因此，我们有≥^E“ZTm级- mσ（s，Yn，As）-（vn，As）ds#≥^E“θA>TZTm- m级- γσ（s，Yn，As）ds#。（2.8）我们使用了（2.7）中的第二个不等式。现在，如定理1所示，我们定义x，λ，使得x+1λ+Z∞x个w（ρm+γ）输入∈[0，T]σ（T，w）αdww<T，设zλ（T）=λT- 1和n∈ N∪ {∞} 设ynλ为（2.1）的解，z=zλ，b（t，·）=（ρm+γ）σ∧ n请注意，y∞λ在时间T内爆炸∞< T乘以引理1。根据命题2（2），ynλ在n中是不减的，因此对于每个T∞< t<t，ynλ（t）→n↑∞+∞.8 PAUL GASSIATFix A=λT+1。关于事件{zλ≤ Y≤ zλ+1}，它认为θA>T，根据命题2（2），Yn，At≥ ynλ（t）→ +∞ 开[关]∞, T）]。

出租n↑ ∞ 在（2.8）中，我们得到了≥ ∞ ·^P[0，T]上的zλ<Y<zλ+1,我们可以得出结论，因为命题4的上述概率是非零的。参考文献[1]Elisa Al\'os、Jorge A.Le\'on和Josep Vives。关于随机波动率跳差模型隐含波动率的短期行为。财务Stoch。，11(4):571–589, 2007.[2] 克里斯蒂安·拜尔、彼得·弗里兹和吉姆·盖瑟尔。粗略波动下的定价。数量。《金融》，16（6）：887–9042016。[3] Stefan Blei和Hans-J¨urgen Engelbert。关于与强马尔可夫连续局部鞅相关的指数局部鞅。随机过程。应用程序。，119(9):2859–2880, 2009.[4] 弗拉基米尔·博加乔夫。高斯测度，数学调查和专著第62卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，1998年。[5] Michelle Bou\'e和Paul Dupuis。布朗运动某些泛函的变分表示。安。概率。，26(4):1641–1659, 1998.[6] H.Brunner和Z.W.Yang。Hamm-erstein型Volterra积分方程的爆破行为。J、 积分方程应用。，24(4):487–512, 2012.[7] 亚历山大·切尼。布朗移动平均线有条件完全支持。安。应用程序。概率。，18(5):1825–1830, 2008.[8] P.K.Friz、P.Gassiat和P.Pigato。精确渐近：稳健随机波动率模型。ArXiv e-prints，2018年11月。[9] Masaaki Fukasawa。随机波动率的渐近分析：鞅展开。财务Stoch。，15(4):635–654, 2011.[10] A.M.Garsia，E.Rodemich和H.Rumsey，Jr.一个实变量引理和一些高斯过程的路径连续性。印第安纳大学数学。J、 ，20:565–5781970/1971。[11] Jim Gatheral、Thibault Jaisson和Mathieu Rosenbaum。波动性很剧烈。数量。《金融》，18（6）：933–9492018。[12] Stefan Gerhold、Christoph Gerstenecker和Arpad Pinter。