强相关时间序列的记录统计：随机游动和

事实上，对于记录数的渐近分析，需要知道q（`）对于大`的行为，这反过来又需要了解P（Xn）对于大n的知识。后一个数量在文献中已经得到了很好的研究，人们对这种分布有更全面的了解【67，68】。利用这一点，可以估计-（n） 因此q（`）通过斯帕雷·安徒生身份。这在参考文献[61]中详细说明了所有0<u≤ 2和所有c。汇总见下表1一旦知道q（`）表示大`，就可以使用方程（48）和（47）中的更新结果分别估计记录的平均数hMi和记录数分布P（M | N），对于大N渐近估计[61]。如上所述，持久性q（`）和平均记录数hM i（以及分布P（M | N））显示出相当丰富和多样的行为，如强相关时间序列22cu12IIIIIIVIfifigure 7的记录统计。（c，0<u）中的相图≤ 2） 描述5种状态的条带：（I）0<u<1和c任意（II）线u=1和c任意（III）1<u<2和c>0（IV）半无限线u=2和c>0和（V）1<u≤ 2和c<0。线u=1（上述区域II）是一条临界线，在这条线上，持久性和记录统计数据表现出边缘行为。u和c的功能【61】。

在板条上（c，0<u≤ 2） （参见图7），结果表明有五种不同的状态：（I）当0<u<1时，c任意（II）当u=1时，c任意（III）当1<u<2时，c>0（IV）当u=2时，c>0和（V）当1<u≤ 2和c<0。在这五个区域中，对于大N，持续性q（`）和平均记录数hmi对序列大小N具有不同的渐近依赖性（见表1）。因此，P（M | N）在五个阶段也显示出不同的标度分布。线u=1（上述区域II）是一条临界线，在这条线上，持续性和平均记录数都表现出边缘行为，从这个意义上讲，这些量的渐近行为的指数连续依赖于漂移c。无需提供更多细节，我们在表1中总结了q（`）和hMi在条带（c，0<u）中这五个区域的渐近行为≤ 2） 如图7所示。让我们对表1中给出的渐近结果作几点评论。表1第二列中持久性q（`）的前置因子B可以精确计算[61]。在边缘情况下（区域II，即沿着图7中的线u=1），持久性指数θ（c）=+πarctan（c）在参考文献[69]中首次计算。参考文献【61】中计算了常数αu（c）。最后，表1第三列中hMi渐近表达式中出现的常数预因子也是可明确计算的[61]。最后，参考文献[61]在所有版本中也明确计算了大N的记录数字分布P（M | N）的全比例形式。

注意，在区域IV（对应于u=2和任意c）中获得的结果在参考文献[70]中扩展到了更广泛的一类具有平稳相关跳跃的随机游动（并且没有对跳跃分布的对称性和/或连续性进行假设）。在本节结束时，我们提到记录统计的这些结果在图7 q（`）hMiI中记录了23个强相关时间序列的统计数据≈ BI公司`-1/2≈ 人工智能√NII公司≈ BII公司`-θ（c）≈ AIINθ（c）Ⅲ≈ BIII型`-uau（c）NIV≈ BIV公司`-3/2经验-（c/2σ）`≈ a（c）内华达州≈ αu（c）常数。表1：。在（c，0<u）的五个区域中，大`的持续性q（`）和平均记录数hM i的渐近结果≤ 2） 如图7所示。[71，72]中，在金融背景下使用了带漂移的随机游走，以证明记录提供了一个有用的无偏估计量，即所谓的夏普拉蒂奥（Sharperatios），它表征了金融时间序列的信噪比，如价格回报的时间演化所产生的信噪比。我们请读者参考[71，72]了解关于这个问题的更多细节，并参考[73]了解这个估计器的实现（一个R包）。3.2.4。连续时间随机行走。Montroll和Weiss提出的所谓连续时间随机游走模型（continuous time random walk model）可以利用上述一般更新方法精确计算记录数字统计（74）。在连续时间随机游动模型中，空间和时间都是连续的。步行者像以前一样通过连续跳跃在连续线上移动，跳跃长度与分布φ（η）无关。然而，在两次跳跃之间，步行者等待从等待时间分布ψ（τ）中独立地为每个跳跃实例提取的随机时间τ。ONE考虑具有幂律尾ψ（τ）的等待时间分布~ τ-1.-γ表示大τ。

如果γ>1，则平均等待时间是有限的，在这种情况下，步行者基本上就像前面讨论的离散时间随机行走一样。然而，当平均等待时间发散时，即在0<γ的情况下，会出现有趣的新行为≤ 1（详细讨论见评论[67]和[68]）。在这种情况下，等待时间分布的拉普拉斯变换的行为为|ψ（s）=Z∞e-sτψ（τ）dτ≈ 1.-（τs）γ+···as s→ 0，（75）{wtdist.1}，其中τ是微观时间尺度。要计算记录统计信息，可以再次使用前面概述的一般更新方法，但现在需要考虑（46）thatreadsPc（~ `，M | t）=fc（`）fc（`）的连续时间模拟。fc（`M-1） qc（`M）δMXk=1`k- t！，（76）{ctrw\\u续订}，其中下标c表示连续时间。此处，~ `≡ {`，`，…，`M}表示记录的年龄集合，Pc（~`，M | t）是时间t中年龄和记录数M的联合分布。注意，在这个表达式（76）中，变量\'k（以及t）是连续的，因此δ函数是aDirac delta函数，而不是离散时间随机游走（46）中的Kronecker delta。强相关时间序列的记录统计数据24函数qc（`）表示步行者一直保持在0以下的概率`。类似地，fc（`）=-dqc（`）/d`表示第一次通过概率密度，即fc（`）d`表示从原点开始的过程在时间间隔[`，`+d`]内第一次穿过正侧的概率。取（76）关于t的Laplacetransform，并在\'kgivesZ上积分∞dt e-s tPc（M | t）=hfc（s）iM-1▄qc（s）=h▄fc（s）iM-1（1-fc（s））s，（77）{ctrw\\u续订.2}其中▄fc（s）=R∞d\'e公司-s`fc（`）。

在推导（77）中的最后一个等式时，我们使用了qc（s）=（1-fc（s））/s，随后取关系的拉普拉斯变换fc（`）=-dqc（`）/d`。在（77）中，Pc（M | t）只是在时间t内有M个记录的概率。因此（77）是前面推导的（47）的精确连续时间模拟。为了取得进一步的进展，我们需要根据等待时间分布ψ（τ）来确定▄fc（s）。这可以通过以下方式轻松完成。考虑两个连续过零点之间的时间间隔，该时间间隔正好包含n个跳转事件。对于固定t，很明显，可能的步骤数n是一个随机变量。利用连续等待时间间隔在统计上独立的事实，即pn（t）=Z，可以很容易地计算其分布pn（t）∞dτZ∞dτ。Z∞dτnψ（τ）ψ（τ）。ψ（τn）δt-nXi=1τi！。（78）{ctrw\\u pnt.1}对t进行拉普拉斯变换，得到▄pn（s）=h▄ψ（s）。（79）{ctrw_pnt_laplace.1}使用pn（τ），我们可以立即观察到fc（τ）=Xn≥1f（n）pn（τ），（80）{ctrw\\u fct.1}，其中f（n）恰好是在（43）之前定义的离散步骤n中的首次通过概率。取（80）的拉普拉斯变换，并使用（79），则得出▄fc（s）=Xn≥1f（n）h▄ψ（s）in=▄f（z=▄ψ（s）），（81）{ctrw\\u fct.2}，其中▄f（z）=Pn≥1f（n）zn是离散时间随机游动的首次通过概率的母函数。例如，对于对称和连续的跳跃分布φ（η），我们有▄f（z）=1-√1.- z自（45）。因此，在这种情况下，在（77）中插入（81）得到以下主要结果[74]Z∞dt e-s tPc（M | t）=q1-^1ψ（s）s1.-第一季度-^1ψ（s）M-1.（82）{ctrw\\U record.1}虽然（82）中的拉普拉斯变换对于任意t不容易反转，但可以在大M、大t的标度极限方面取得进展，但保持强相关时间序列的productRecord统计信息25M（t/τ）-γ/2固定。

在这个极限下，利用（75）中|ψ（s）的小行为，我们得到了一个极限标度分布[74]Pc（M | t）≈tτ-γ/2gγMtτ-γ/2！，（83）{ctrw\\u record.2}其中标度函数gγ（x）由gγ（x）=γx给出-1+2/γLγ/2（x-2/γ），0<γ≤ 1.（84）{ctrw\\u record.3}函数Lu（x）是标准单侧L'evy稳定密度。请注意，对于γ=1，可以证明[74]，正如人们所期望的那样，（83）中的结果减少到（56）中的半高斯结果。因此，综上所述，对于具有等待时间分布ψ（τ）和跳跃长度分布φ（η）的连续时间随机游动，记录数M在时间t中的分布Pc（M | t）独立于跳跃分布φ（η）（对于对称和连续φ（η）），但依赖于等待时间分布ψ（τ）。幂律等待时间分布，ψ（τ）~ τ-1.-γasτ→ ∞ 具有发散平均值，即0<γ≤ 1，Pc（M | t）具有如（83）所示的缩放形式，记录行的典型数量随时间变化为，M~ tγ/2对于大t。在临界情况下，γ=1，可以恢复前面讨论的离散时间结果。3.3。随机游走模型记录年龄的统计从记录的数量来看，其他有趣的观察结果是随机游走序列记录的年龄。如第3节导言所述，第k条记录的年龄是第k条记录和（k+1）条记录之间的步数，即第k条记录存在的时间（见图4）。请注意，最后一条记录在步骤N仍然是一条记录，因此最后一条记录与其他记录不在同一步上。由于随机游动的（空间）平移不变性（参见（41）），年龄的集合与晶格随机游动的两个连续零之间的间隔相似，换句话说，与偏移的长度相似。

因此，正如我们将在下文中看到的，对随机游动记录年龄的研究与晶格随机游动和布朗运动的漂移理论有着强烈的相似性。正如我们在本节中所讨论的，年龄的完整统计数据可以从第3.1节中提出的更新理论中获得，见（46）。对（46）中年龄联合分布的第一次粗略和天真的检查表明，这些年龄基本上是独立的（假设目前可以忽略全局约束），并且是相同的（除了最后一个不同的间隔）。因此，如果人们对记录的典型年龄分布P（\'k | N）感兴趣，即\'kwithk<M，那么人们自然会期望P（\'k）=limN→∞P（`k | N）=f（`k），（85），其中f（`k）是第一次通过概率（43）。从（46）开始的一个明确计算可以很容易地表明这一点（例如，参见[64]）。请注意，该结果（85）适用于所有k（k<M），这与（21）中i.i.d.序列的第k条记录的年龄极限分布非常不同，后者明确取决于强相关时间序列的k条记录统计26，此外，使用f（`）∝ 1/`3/2对于大的`，对于随机行走（无漂移），可以得出典型的年龄` typ表现为` typ=h ` ki=PN `=1 ` f（`）∝√N、 这种行为也可以通过以下简单的启发式论证获得：假设平均记录数为hMi，则两个连续记录之间的典型时间间隔为`典型年龄\'~ 不适用于HMI∝√N、 我们在哪里使用了hM i∝√N、 然而，有一些罕见的记录，其年龄表现相当不同。探索这些年龄段的非典型行为的自然方法是研究最大值和最短持续记录的变化。

如前所述，随机游走记录的年龄顺序并不完全相同，因为最后一条记录仍然是步骤N的记录（见图4）。这导致对最长（或最短）年龄的不同定义【76】（见第6.2节）。在这里，我们主要考虑一些最简单的定义，并定义“max，Nand，min，Nas，max，N=max{，`，…，\'M}，\'min，N=min{，`，…，\'M}。（86）此外，为了更好地描述最后一个年龄M的统计数据，继之前对i.i.d.变量引入的定义（见（33））之后，要研究的自然数量是最后一个记录的年龄是最长的年龄的概率QN，或年龄序列打破记录的可能性，QN=Prob（`M>max（`，…，`M）-1） ）=概率（`最大，N=` M）。（87）{def\\u QN}结果表明，QNis与\'max有关，Nas遵循[76，77]h\'max，N+1i=h\'max，Ni+QN。（88）如果考虑到随机变量“max，Nas N增加一个单位”的演变，可以很容易地获得这种关系（88）。事实上，` max，N+1=` max，N+1，如果最后一条记录是最长的记录（定义为概率QN（87）），否则它保持不变，` max，N+1=` max，N。因此，平均而言，我们得到了（88）中的关系。正如在i.i.d.情况下所做的那样[见上文（25）]，\'max，N，F（` | N）=Prob（\'max，N）的累积分布≤ `), 通过将年龄sin（46）在\'kand M上的联合分布求和得出，使得\'k≤ ` 对于每个k，对于记录数（47）的分布，通过考虑F（` | N）相对于N的生成函数，可以方便地进行求和。它产生[46]XN≥0F（`N）zN=P `m=1q（m）zm1-P\'m=1f（m）zm，（89），其中q（m）和f（m）分别在（41）和（43）中定义。从（89）中，ONE计算h ` max的母函数，Ni=P`≥1[1- F（`N）]asXN≥0zNh`最大值，Ni=X`≥0“1- z-P\'m=1q（m）zm1-P\'m=1f（m）zm#。

（90）类似地，如在i.i.d.情况下所做的，可以计算\'min，N，G（` | N）=Prob（\'min，N）的累积分布函数≥ `) 通过将（46）中的联合分布除以\'kand M，再加上\'k≥ ` 对于k的所有值。请注意，（86）中定义的“min，Nas”取0到N之间的值：实际上，如果在最后一步有记录，则“min，N=”M=0，如果在第一步之外没有记录，即M=1，则记录强相关时间序列27“min，N=`=N”的统计信息。然后可以以简洁的形式获得G（`'N）相对于N的生成函数[46]XN≥0G（`N）zN=Pm≥`q（m）zm1-项目经理≥`f（m）zm，（91），其中q（m）和f（m）分别在（41）和（43）中给出。从（91）中，可以立即得到平均值h ` min，Ni=P的母函数`≥1G（`N）asXN≥0小时`分钟，NizN=X`≥下午1点≥`q（m）zm1-项目经理≥`f（m）zm。（92）这些公式（90）和（92）表明，h’max，Ni和h’min，Ni取决于考虑中的随机游程，通过q（m）和f（m）。特别是，为了获得这些量的更大行为，需要在极限z内分析它们在方程（90）和（92）中的生成函数→ 在这个极限下，m上的离散和由m的大值决定，因此取决于生存概率q（m）的大m行为（见上表1）。下面，我们将讨论h ` max、Ni和h ` min、Ni在大N极限下的行为，这些大N极限是从这些通用公式（90）和（92）中获得的，用于各种随机游动，具有不同的跳跃分布（连续和离散），有漂移和无漂移。3.3.1。对称连续跳跃分布。

在这种情况下，可以将等式（42）和（44）中分别给出的q（`）和f（`）的显式表达式插入（90）中，以获得h ` max，Ni的母函数的精确表达式，从中可以获得任意N的h ` max，Ni的精确值。例如，对于N=0、1、2、3、4，可以分别获得h ` max，Ni=0、1、3/2、17/8、11/4【76】。通过分析其母函数（90）在极限z内的行为，得到了h′max，Ni的大N行为→ 1，产生[46]h` max，Ni≈ C N，C=Z∞1+y1/2eyγ（1/2，y）dy=0.626508，（93）{lmax\\u sym\\u cont}其中γ（ν，x）=Zxtν-1e级-tdt，（94）{def\\u g}是较低的不完全gamma函数。因此，最长的年龄远大于典型的记录年龄，其顺序为O(√N） 。注意，常数C也出现在布朗运动最长漂移的研究中【77，58】。这与第3.3节导言中的评论一致，其中提到，对随机游动记录年龄的研究与晶格随机游动和布朗运动的漂移理论具有很强的相似性。从这个结果（93）和（88）中，我们可以得到最后一个区间的概率QN的大N行为，Mis是最长的一个[76，77，78]QN→ C=0.626508，N→ ∞ . （95）类似地，通过在（92）中插入q（`）（92）和f（`）（44）的显式表达式，可以获得h ` min，Ni的母函数的显式表达式，从中可以获得任意N的h ` min，Ni的精确值，从而得到h ` min，Ni=强相关时间序列的记录统计28fIR（r）rxfR（x）图8。标度随机变量R的极限分布=`最大，N/N，见（98）。