强相关时间序列的记录统计：随机游动和

（44）{fl\\u ql}因此，f（`）的母函数与q（`）的母函数简单相关，因为▄f（z）=X`≥1f（`）z`=1- （1）- z） q（z）。（45）{fz\\u qz}我们稍后将看到，随机游动的概率q（`）和f（`）都可以精确计算。但就目前而言，即使没有这两者的明确了解，我们也可以继续。事实上，下面的讨论适用于任何任意更新过程，不一定局限于随机游走序列。利用这两个概率q（`）和f（`），并利用由于过程的马尔可夫性质（也称为更新属性），记录之间的连续间隔在统计上是独立的这一事实，可以立即得出强相关时间序列15的记录统计数据（参见图4）P（~ `，M | N）=f（`）f（`）。f（`M-1） q（`M）δMXk=1`k，N！，（46）{更新.1}其中Kronecker delta强制执行时间间隔之和等于N的全局约束。最后一条记录（即第M条记录）仍然作为步骤N的记录存在的事实表明，最后一条间隔的分布q（`M）不同于之前的分布。当对~`和M求和时，很容易检查P（~`，M | N）是否归一化。当对区间长度求和时，记录数分布P（M | N）=P ~`P（~`，M | N）只是联合分布的边缘。由于全局约束，这个求和最容易通过考虑关于N的生成函数来实现。将（46）乘以zn，在~`和N上求和，就得到了基本关系xn≥0P（M | N）zN=hf（z）iM-1q（z）=[1-（1）- z） q（z）]M-1▄q（z），（47）{renewal.genf}我们使用（45）的地方。因此，了解q（z）可以确定分布P（M | N）及其所有力矩。

例如，将（47）乘以M并对所有M求和，就可以得到N步中记录hMi平均数的确切生成函数xn≥0hMizN=（1- z） q（z）。（48）{avg\\u genf.1}同样，只要知道q（`），原则上也可以计算更高的矩。让我们再次强调，结果（47）和结果（48）更为一般，适用于任何更新过程。所以，我们只需要知道q（`）。然而，由于Sparre-Andersen[65]提出了一个优雅的定理，可以对一条直线上的任何随机游动过程显式地计算出这一点。根据这一定理，生成函数q（z）满足一个非平凡的组合恒等式[62，65]~q（z）=X`≥0q（`）z`=经验值Xn公司≥1znnp-（n）, （49）{SA.1}其中p-（n） =概率【Xn】≤ 0）。请注意，q（`）涉及到从第0步到第`-步的区域的非局部属性，即从原点开始，到第`步存在负性的概率。相比之下，p-（n） 是一个局部量：它是一个概率，恰好在第n步，步行者处于理论原点的负方向。在下一小节中，我们将考虑几种情况，其中q（`）或等效的▄q（z）可以使用该定理显式计算，从而得到P（M | N）的精确结果。3.2。记录数的统计在本小节中，我们将应用上面发展的一般更新理论，明确计算各种跳跃分布（有漂移和无漂移）的随机行走序列的记录数M的分布。强相关时间序列的记录统计163.2.1。对称连续跳跃分布。对于对称和连续跳跃分布（见第3节导言中讨论的示例（i）-（iv）），显然p-（n） =所有n的1/2≥ 1（对称）。

因此，（49）给出▄q（z）=X`≥0q（`）z`=√1.- z、 （50）{qz\\u-exact}一个完全通用的结果，即独立于跳跃分布φ（η），只要它是对称和连续的。在z中展开，它会给出通用结果Q（`）=2``-2`≈√π`，`→ ∞ . （51）{ql.1}让我们注意到q（`）的这个结果对于所有`≥ 因此，从（47）开始，记录数分布P（M | N）也成为所有N的通用分布[46]。例如，将（47）中的（50）代入并相对于z反转，可以得到精确的分布，所有N的普适性（方程式（52）-（56）首先在[46]中推导得出）P（M | N）=2N个- M+1N-2N+M-（52）{nore1}根据（52）中的精确结果，也可以计算M的所有矩。例如，平均记录数由HMI=（2N+1）给出2NN-第2条。（53）{avg\\u rec.1}特别是，对于大N，记录的平均数量增长为ashMi≈√π√N，（54）{avg\\u rec.2}比上一节讨论的i.i.d.序列的对数增长快得多[见（7）]。从精确分布很容易看出，对于较大的NhMi，方差几乎增长- 人机界面≈ 2.1.-πN（55）{var\\u rec}因此，平均值和标准偏差都随着√N表示大N，表示函数较大。通过设置M，对缩放极限中（52）的分布P（M | N）进行缩放分析，也证明了这一点~ O(√N） 然后取N→ ∞ 限度在此标度限值中，获得一个SP（M | N）≈√Ng公司M√N, 带g（x）=√πe-x/4Θ（x），（56）{缩放\\u记录\\u距离1}，其中Θ（x）是Heaviside阶跃函数（即，如果x，则Θ（x）=1≥ 0和Θ（x）=0（如果x<0）。事实上，随机游走情况下P（M | N）的这种标度行为与i.i.d.明显不同。

前面在（13）中讨论的情况，其中P（M | N）接近高斯分布P（M | N）~ 经验值[-（M）-ln N）/2 ln N]，平均HMI=ln N，标准偏差σ=√N.我们在结束本小节时指出，平均记录数hMi可以根据i.i.d.案例（3）–（6）中提出的基本原理进行计算，并记录强相关时间序列17timeiXiNkyFigure 5的统计数据。实现在步骤k中记录被破坏的随机游走，在该步骤中记录的值为y。在步骤k中记录被破坏的速率rkat明显独立于步骤k后随机游走轨迹的片段。XikyXiky（）图6。关于记录率rkis（对称颅骨行走）恰好是生存概率q（k）这一事实的图解证明，如（41）所述。使用Sparre-Andersen定理。事实上，与i.i.d.情况一样，可以计算平均记录数ashMi=NXk=0rk，（57）{average\\u rw\\u simple}，其中Rk是步骤k的记录率，即记录出现在步骤k的概率，如图5所示。为了计算此类事件的概率，我们分离出轨迹的第一个k步（因为RK不依赖于i>k的随机行走者XI的位置），如图6所示，并且我们用y>0表示步骤k中记录的实际值。接下来，我们选择最后一个点作为随机行走的新原点，坐标为（k，y），我们改变时间轴的方向（见图6）。在这个新的框架中，我们看到图6中描述的事件有助于随机行走从原点开始并到达-在k个时间步之后，y<0，在两者之间保持负值。

通过对最终位置y进行积分，可以得出RK与（41）中定义的生存概率q（k）完全相同。记录强相关时间序列的统计信息18因此，从（57）开始，使用Sparre-Andersen定理（51），得到一个shmi=NXk=0q（k）=NXk=02k2kk= （2N+1）2NN-2N，（58）以不同的方式恢复（53）中获得的结果。我们将看到，这种计算平均记录数（57）的方法可以推广到arandom步行桥（见第4节）和多个随机游动（见第5节）的情况。3.2.2。晶格上的对称随机游动。这种情况对应于具有非连续跳跃分布的随机行走序列，φ（η）=[δ（η-1） +δ（η+1）]/2。由于walker从X=0开始，因此walk将停留在具有单位晶格间距的一维晶格上。对于这样的序列{X，X，…，XN}，显然存在大量的退化。如果一个条目严格地大于所有以前的条目，即如果Xk>max{X，X，…，Xk，则我们将其计算为记录-1} 。对于这种情况，（47）中记录数分布的一般更新结果仍然适用，但▄q（z）不再由简单形式▄q（z）=1给出/√1.- z仅对对称和连续跳跃分布有效。然而，对于晶格行走，q（z）可以通过标准生成函数技术[62]或通过（49）中的SparreAndersen定理显式计算。我们在下面说明这两种方法的完整性。要计算从原点开始的晶格随机游动的q（`），首先考虑q（X，`），这表示从X开始，游动者不到负边（但可以回到原点）的概率，直到步骤`。很明显，q（`）=q（0，`）。

很容易看出，对于`≥ 1Q（X，`）=[Q（X+1，`-1） +Q（X- 1，`-1） ]，X≥ 边界条件Q为0，（59）{lw\\u recurr.1}(-1，`）=0和Q(∞, `) 对所有对象无分歧`≥ 对于所有X，初始条件Q（X，0）=1≥ 生成函数Q（X，z）=P`≥0Q（X，`）z`则满足递归关系▄Q（X，z）=1+zh▄Q（X+1，z）+▄Q（X- 1，z）i，X≥ 0。（60）{lw\\u recur.2}对于上述适当的边界条件，该线性递归关系可以很容易地求解，从而得到所有X≥ 0Q（X，z）=1- z1.- [λ（z）]X+1, 式中λ（z）=zh1-p1级- zi。（61）{lw\\u recur.sol1}特别地，我们得到q（z）=X`≥0q（`）z`=~Q（0，z）=1- λ（z）1- z=√1+z-√1.- zz公司√1.- z、 （62）{lw\\u recurr.sol2}特别是，当z→ 1、~q（z）≈√2/√1.- z、 产量（`）≈√√π`, ` → ∞ , （63）记录强相关时间序列19的统计数据，该时间序列因因子而异√2从（51）中获得的连续跳跃分布的结果。有趣的是，（62）中的相同结果也可以从（49）中的SparreAndersen定理推导出来。为此，我们需要计算p-（`）=Prob（X`≤ 0）。注意，对于晶格行走，Prob（X`≤ 0）=概率（X`<0）+概率（X`=0）。利用对称性Prob（X`>0）=Prob（X`<0）和总概率增加到一的事实，我们有2个Prob（X`<0）+Prob（X`=0）=1。因此，我们得到-（`）=[1+概率（X`=0）]。（64）{lw\\u SA.1}但是返回原点的概率的母函数可以是平凡的计算[62]X`≥0Prob（X`=0）z`=√1.- z、 （65）{lw\\u SA.2}使用（49）右侧的这个结果和一些直接代数步骤可以得到（62）中所需的结果。将（62）中的精确q（z）替换为（47）中的精确q（z），然后给出晶格行走的精确P（M | N）。我们也可以精确地计算M的所有矩。

例如，将q（z）代入（48），我们得到[46]XN≥0hMizN=√1+z+√1.- z2（1- z） 3/2，（66），当倒置时，提供[46]hMi=1个+(-1） N+1Γ（N-)F（，-N- N-（1）√πΓ（N+1）, （67）{离散}，其中f（a，b，c，z）是标准超几何函数。对于N=0、1、2、3、4，分别得到hMi=1、3/2、7/4、2、35/16。特别是，对于大N，一个hashMi≈rπ√N，（68）{avg\\u rec\\u discrete}，它比因子1小/√比（54）中给出的连续情况下的平均记录数表达式大2倍。也可以使用（47）中的通式和（62）中离散随机游动的生存概率的适当结果来获得记录数M的全分布P（M | N）。然而，通过注意记录数和随机游动的最大位移Xmax，Nup到步骤N之间的关系，可以更直接地获得晶格随机游动的这种分布，即Xmax，N=max{X，X，…，XN}。该关系读取[66]M=Xmax，N+1。（69）{eq:record\\u max}为了推导这个关系（69），考虑两个过程M和Xmax的时间演化是有用的，Nas N增加。在下一个时间步骤N+1中，如果第一次访问正轴上的新闻站点，则处理Xmax，ninrissby 1，否则其值保持不变。另一方面，当强相关时间序列20的事件记录统计发生时，记录数M也会增加1，否则它将保持不变。因此，我们看到这两个过程在所有步骤中都是相互锁定的。因为按照惯例，第一个位置是一个记录，这意味着initiallyM=1，而Xmax，0=X=0，可以立即获得（69）中的关系。从这个关系中，可以从Xmax，N中的一个获得M的统计信息，这可以很容易地计算，例如，使用图像方法。

这就产生了[66]，对于1≤ M≤ N+1P（M | N）=NNdN+M-1e级, （70）式中，dxe表示不小于x的最小整数。可以检查分布的精确公式（70）是否在第一时刻返回（67）中的结果。此外，在大N极限下，概率分布P（M | N）取scalingformP（M | N）≈rNg公司√2米√N其中g（x）=√πe-x/4Θ（x），（71），这是相似的，直到一个因子√2如下文（67）所述，与（56）中连续跳跃分布的结果一致。可以通过提醒晶格随机游动适当缩放XdτN e来理解这种缩放形式（71）/√N带τ∈ [0，1]，对于大N，在单位时间间隔0上收敛到标准布朗运动x（τ），扩散系数=1/2≤ τ≤ 因此，我们可以从（69）中的恒等式中预期M/√对于较大的N，N收敛到单位时间间隔上的布朗运动的最大值，这确实由（71）中的半高斯函数给出。正如我们稍后将看到的，这个恒等式（69）可用于计算约束随机游动的记录统计信息，如随机游动桥（见第4节）或多个随机游动中的一个（见第5节）。3.2.3。存在恒定漂移时的随机行走。在这一小节中，我们将研究序列{X=0，X，X，…，XN}的记录统计信息，其中xidenotest在步骤i（离散时间和连续空间）存在恒定漂移c的情况下，一维随机行走者的位置。位置Xi通过马尔科夫规则（从X=0开始）在时间i中演变为Xi=Xi-1+c+ηi，（72）{evol\\u drift.1}其中ηi与之前一样是i.i.d.跳跃变量。为了使讨论保持简单，我们将自己限制在对称连续跳跃分布φ（η）的情况下。我们稍后将看到，在存在anonzero漂移c的情况下，大|η|对称跳跃分布φ（η）的渐近尾部起着相当关键的作用。

这些尾部可以很好地用傅里叶变换^φ（q）=R来描述∞-∞跳跃分布的φ（η）eiqηdη。下面我们将重点讨论一大类跳跃分布，其傅里叶变换具有以下小k行为^φ（q）=1- （lu| q |）u+。（73）{smallk.1}，其中0<u≤ 2和lu表示与跳跃相关的典型长度标度。指数0<u≤ 2表示φ（η）的大|η|尾。对于具有有限二阶矩σ=R的跳跃密度∞-∞ηφ（η）dη，如高斯、指数、均匀。，一个明显具有u=2和l=σ/√2、相比之下，0<u<2对应于一个强相关时间序列21的记录统计数据与脂肪尾φ（η）的跳跃密度~ |η|-1.-uas |η|→ ∞. 一个典型的例子是^φ（q）=exp[-|q |u]其中u=2对应于高斯跳跃分布，而0<u<2对应于L'evy flights（有关这些跳跃过程的评论，请参见[67，68]）。在本小节中，我们感兴趣的是计算（72）中序列的记录数M的统计信息，对于非零常数漂移c。事实上，参考文献[60]首次研究了Cauchy跳跃分布φCauchy（η）=1/[π（1+η）][属于（73）中u=1族的跳跃密度]的特殊情况。通过使用上述更新方法，我们发现，对于大N as【60】hMi，此Cauchy情况下的平均记录数渐近增长≈Γ（1+θ（c））Nθ（c），其中θ（c）=+πarctan（c）。

（74）{cauchy\\u mean.1}此外，发现大N的渐近记录数分布P（M | N）[60]具有标度分布，P（M | N）≈ N-θ（c）gcM N公司-θ（c）使用偏心标度函数gc（x），当c=0时，该函数在（56）中减小为半高斯。对于具有有限二阶矩σ且存在非零正漂移c>0的跳跃密度，参考文献[11]分析了平均记录数hMi，发现其与N呈线性增长，对于大N，hMi≈ a（c）N，其中近似计算高斯跳跃分布的预因子（c）。然而，对于具有有限σ的任意跳跃密度，仍然缺少前因子的准确表达式。然后将这些平均记录数的结果与标准普尔500指数的股价数据进行比较【11】。最后，在参考文献【61】中，使用傅里叶变换（如（73）中所示）对整个连续和对称跳跃分布族的largeN记录数P（M | N）的完整分布进行了详细分析，所有0<u≤ 2和所有c.记录统计数据的极端丰富行为被发现[61]，变化范围为0<u≤ 2和c（见下文）。在这里，我们仅总结了该分析背后的主要步骤和主要结果（有关详细信息，请读者参阅参考文献[61]）。计算记录统计数据有三个主要步骤，如下所述：使用上一小节中概述的一般更新方法，该方法适用于任意c。唯一的要求是了解持续概率q（`）。o可以根据（49）中的Sparre-Andersenidentity估计持久性概率q（`），这对于任意c也是有效的。只需计算局部量p-（n） =探针（Xn≤ 0）。为此，我们需要知道通过（72）在walker进化的步骤n处的概率分布P（Xn）。