强相关时间序列的记录统计：随机游动和

让我们再次分别考虑这两个案例。案例一（σfinite）：在这种情况下，我们在方程（174）和（175）中分别有g（z）和h（z）的显式表达式。因此我们得到αK=2Z∞dz zddz[erf（z）]K（186）=z∞dy-yddy[erf（y/2）]K.（187）（187）的右边有一个很好的解释。考虑KI.i.d.正态变量{y，y，…，yK}，每个变量都来自于分布：p（y）=√πe-y/4代表y≥ 0和p（y）=0表示y<0。让YmaxKdenote达到最大值。然后，最大值的累积分布函数由prob（YmaxK）给出≤ y）=Zyp（y）dyK=[erf（y/2]K.（188）{最大值。1}然后，最大值的概率密度由：ddy[erf（y/2]K给出。因此，（187）的右侧正好是最大值的平均值hYmaxKi。这为所有KαK=hYmaxKi提供了一个恒等式。（189）{最大值.2}根据i.i.d.变量的标准极值分析[19，48]，很容易表明，对于大K，hYmaxKi≈ 2.√ln K，然后通过（184）给出（156）hMN，KiK中公布的平均记录数的领先渐近行为→∞----→N→∞√ln K√N（190）{avgrec.case1}案例二（σ发散）：为了计算αKin（185），我们注意到，当σ发散时，与案例一不同，我们没有标度函数g（z）和h（z）的完全显式形式。因此，对所有K的αkf的计算似乎很困难，因为我们没有所有z的这些标度函数的明确形式。然而，我们可以对大K取得进展。如前所述，对于大K，对（185）中积分的主要贡献来自大z。对于大z，使用方程（178）和（179）中的渐近表达式，我们得到g（z）h（z）z→∞---→AuBu=√π、 （191）{ratiolargez}其中我们使用（180）和（181）表示Au和Bu。

接下来，我们在（185）右侧的强相关时间序列50的记录统计积分中，用该渐近常数代替比率g（z）/h（z）。积分可以很容易地执行，对于大K，我们得到αKK→∞----→√π。（192）{alphaN.case2}从（184）中我们得到，对于最多N步的平均记录数，在（160）中得到的结果，即hMN，KiK→∞----→N→∞√π√N（193）{avgrec.case2}与（190）中的情况I相比，这里，对于大K，平均记录数与K无关。MN的完全分布，K对于K>1：而对于平均记录数，可以对所有K进行公平完整的分析≥ 1[66]，对于MN，Kis的全分布，当K>1时，相应的结果不太完整。在参考文献【66】中，有人认为，在情况I中，当σ为有限时，MN，Kapproach渐近地逼近一个Gumbel变量【见（157）和（158）】。直观地说，这个结果来自这样一个事实，即记录数YN，K在统计上与所有K个步行者在步骤m之前的全局最大值相同（直到一个恒定的比例因子）。相反，在情况II中，当σ为离散时，（161）中的渐近标度函数F（x）仅在数字上已知。在这种情况下，与全局最大值没有对应关系。此外，该标度函数F（x）完全独立于0<u<2的事实是Ratheringtriguing。有关MN、K或K>1的分布的更多详细信息，读者可参考参考文献【66】。开放性问题：多个独立随机步行者的记录统计是一个有趣的问题，其中许多问题仍然非常开放。尽管K>1步行者的有效过程（最大过程Xmaxn）高度非马尔可夫，但如上文所述，仍然可以通过分析得出一些结果。尽管有许多问题看起来是可以解决的，但仍然悬而未决。

例如，如上所述，通过分析确定与MN、Kfor L'evy行走（跳跃分布具有发散方差）的分布相关联的u-独立标度函数F（x）仍然是一个具有挑战性的开放问题。即使对于大x，F（x）的衰减速度比高斯更快，这一事实也没有得到证实，只是在数值上观察到的。最后，我们根本没有讨论K>1步行者的记录年龄{`，`，…，`M}的统计数据。虽然我们对K=1的年龄统计有充分的了解，但到目前为止，还没有关于年龄统计叉>1的研究。例如，了解K>1.6时的最大或最小年龄是如何表现的，这将是非常有趣的。概括和扩展在这一节中，我们对本综述的大部分问题进行了一些自然的概括和扩展。6.1。前几节提到的最长漂移，一般随机游动记录年龄的研究与强相关时间序列51walk和布朗运动的晶格随机记录统计的漂移理论有很大的相似性。这些偏移的联合分布具有与（46）中相同的总体结构，以及相应的个体年龄分布f（`k）~ `-3/2k表示\'k 1和k<M。然后很自然地考虑更一般的更新过程，并用一个genericf（`）[64]来解决类似的关于` max，Nor QN\'的极值问题[58，77，78]。更新过程在概率论[62，63]和统计物理学中有着广泛的应用，包括相序动力学[64，99]、闪烁量子点[100]、持久性属性[101，102]等。在许多应用中，时间是一个连续变量，我们用t而不是N表示过程的持续时间。与之前一样，时间长度，`，`。

，`M-1是相同的，虽然“与其他变量不同，但这些变量不是独立的，因为全局约束将其总和精确等于t。然而，可以证明，如果f（`）衰减速度大于1/`对于大\'，即如果f（`）允许一个时刻，那么这个约束在大t极限中并不重要，就极值统计特性而言。因此，i.i.d.随机变量的极值统计经典理论给出了适当居中和缩放的` max（t）的极限分布[78]。但是，如果f（`）~ `-1.-α对于0<α<1的大型变量，当→ ∞. 指数α称为持久性指数[22、23、103、104、105]。对于α=1/2，可以恢复布朗运动的结果[参见（93）和（98）]，但对于任意α∈ （0，1），极限分布连续依赖于α。特别是，第一时刻由[77，58，78]limt给出→∞h`最大值（t）it=C（α），C（α）=Z∞1+yαeyγ（1- α、 y）dy。（194）这项研究的一个重要结果是表明，对于0<α<1，关于区间f（`）的分布，结果具有普遍性[77，78]。注意，（102）中获得的CTRW结果对应于α=γ/2，即c（γ）=c（γ/2），其中c（γ）在（102）中定义。可以对i.i.d.变量记录的年龄进行类似的概括[36]。

从（18）开始，自然推广包括考虑时间tkas，表示连续时间t中乘法过程零点的位置，使得变量Uk=tk-1/t保存公共分布ρ（u）=θuθ-1、这个yieldslimt→∞h`最大（t）it=Q（θ）=Z∞ds e公司-s-θE（s），（195）{eq:goltheta}，对于θ=1，它返回（28）–我们记得E（s）=R∞sdy e公司-y/y。原则上，可以为任何随机过程定义最长偏移` max（t），而不仅仅是更新过程或乘法过程。粗化系统中一个有趣的例子是，过程是铁磁体的磁化（局部或全局），在这种情况下，间隔是磁化两个连续符号变化之间的时间。在许多情况下，数字显示[77]，最长偏移h ` max（t）i几乎随时间t增长（对于t 1） 其振幅非常显著地近似于（194）中的C（α），α是该过程的相关持久性指数[103，104，23]。同样，理论预测（195）与在各种近似乘法过程中数值测量的等效量的比较可以在【77】中找到。强相关时间序列52的记录统计量这一可观测的h ` max（t）i也用赫斯特指数h对分馏布朗运动进行了数值计算[106]。对于H=1/2，它对应于布朗运动，但对于H 6=1/2，它是一个非马尔可夫过程。然而，对于H的任何值，都可以精确地知道持久性指数α，它由α=1给出-H【107，108】。数值模拟表明，h` max（t）i也随时间t线性增长（对于t 1） 除H=1/2外，振幅H ` max（t）i/t与α=1的更新结果（194）有明显偏差- H

这是分数布朗运动的罕见观测之一，它清楚地展示了非马尔可夫性质。6.2。之前提到的最长年龄或最长旅行的不同定义，对于随机行走，最后一条记录与其他记录并不相等。为了探索这最后一条记录对与年龄相关的各种观察结果的影响，参考文献[76]研究了仅受最后一个元素影响的随机行走年龄的不同序列。例如，为了避免最后一条记录的年龄不明确，可以简单地放弃`并考虑年龄限制列表{，`，…，`M-1} ，这是一组相同分布的随机变量（虽然不独立，因为它们的和被限制为小于N）。这一组是随机介质中接近弹性流形脱钉跃迁的雪崩统计的玩具模型。在这种情况下，`kwith k<mc与第k次雪崩的大小精确对应，而数量`Min thiscontext没有直接的物理意义。在【76】中进行的研究表明，诸如‘max，N，’min，Nor qnar等观察值实际上对这一最新记录非常敏感，即使在极限N内也是如此→ ∞. 这种高灵敏度背后的机制是，这些与年龄相关的观测值主要由罕见事件控制，这些事件的统计在很大程度上是由上一次记录的持续时间精确控制的。这项研究扩展到了漂移的情况以及更一般的更新过程[78]（另见数学文献[109]）。6.3。排名年龄的联合分布：泊松-狄利克雷分布在前面讨论的两种情况下，即在i.i.d.情况下以及在随机游走情况下，可以研究记录年龄的全序统计数据，`（1）N>`（2）N>···>`（M）N，其中`（1）N≡ `最大值，N。

在大N的限制下，可以证明对于任何固定的k，`（k）N与N呈线性关系，并且按比例排列的年龄的联合分布`（1）N/N，`（2）N/N。收敛到一个极限分布，它依赖于两个实参数0≤ α≤ 1和θ>-α、 这是已知的泊松-狄利克雷分布，用PD（α，θ）表示。带有参数PD（0，1）的分布描述了i.i.d.序列记录的（按比例排列）年龄统计，而PD（1/2，0）描述了随机游动记录的（按比例排列）年龄统计。分布族PD（0，θ），θ>0，最初由Kingman在参考文献【110】中介绍。它们描述了乘法过程中连续零之间（按比例和排名）时间间隔的统计信息，以θ为索引，并在上述段落（195）中进行了讨论。这些分布自然出现在从数论【111】和组合学【112】到贝叶斯统计【113】或群体遗传学【114】等各种背景下随机排序相对频率的渐近分布的研究中（综述见【115116】）。Pitman和Yor后来将这一单参数分布族推广为一个强相关时间序列的双记录统计量，53个参数族由PD（α，θ）表示，0≤ α≤ 1和θ>-α、 为了研究布朗运动和贝塞尔过程漂移的排名统计[58]。

在这个框架中，分布PD（α，0）描述了更新过程中连续零点之间间隔的（按比例和排名）统计量，以及相应的各个年龄的分布，这些年龄以代数形式衰减为f（`）~ `-1.-α、 使用0≤ α≤ 1，这是上文（194）段中讨论的更新过程。因此，使用上述记录中断事件和晶格随机游动的零点之间的随机游动对应关系，我们确实可以看到随机游动记录（按比例和排名）年龄的联合分布（`（1）N/N，`（2）N/N`（M） N/N）在大N极限下收敛到PD（1/2，0）[117]。Poisson-Dirichlet分布Pd（α，θ）没有简单的显式表达式，但参考文献[58]提供了该联合定律的各种概率解释和构造。特别是，他们对PD（α，θ）进行了很好的描述，从断条过程的角度对上述（195）中描述的乘法过程进行了推广（综述见[115]）。例如，这种构造允许计算i.i.d.随机变量[对应于PD（0，1）]和随机游走情况[对应于toPD（1/2，0）]记录的第k个最长年龄的平均值。对于i.i.d.情况，一个结果`（k）Ni=λ（k）N+O（1），λ（k）=Γ（k）Z∞ds e公司-sE（s）k-1e级-E（s），（196）{eq:lambdak}，其中函数E（s）定义如下（195）。特别是，通过在（196）中设置k=1，可以恢复λ（1）=λ，其中λ是（28）中给出的Golomb-Dickman常数。初始值可通过数值计算得出λ（2）=0.20958。，λ（3）=0.08831。。可以很容易地从（196）thatPk中检查≥1λ（k）=1。

另一方面，在随机游走的情况下，发现[58117]h`（k）Ni≈ C（k）N，C（k）=k-1Z∞y-1/2e-yΓ(-1/2，y）k-1（y-1/2e-y+γ（1/2，y））kdy，（197），其中Γ（ν，x）=Z∞xtν-1e级-tdt，（198）是上不完全伽马函数。特别是，通过在（197）中设置k=1，可以恢复C（1）=C，其中C在（93）中给出。第一个值可以用数字计算，得出C（2）=0.14301。，C（3）=0.06302。[117]。这里还有一个cancheck thatPk≥1C（k）=1，如预期。6.4。束缚随机游动、布朗桥和相关更新过程的漂移格子随机游动从原点开始和结束的两个连续零点之间的最长间隔的概率分布，以及其连续极限布朗桥的概率分布，是另一个相关的研究课题。温德尔（Wendel）[118]首先阐述了这个问题，然后在几部作品中重新探讨了这个问题。在【119】中，问题被重新讨论并扩展到具有“束缚”条件的更新过程，即用公共分布f（`）（如第6.1节所定义）绘制的最后一个间隔恰好在时间t终止。有趣的是，随机游动记录的相应情况是，当施加一个条件，即强相关时间序列54的随机记录统计的最后一个记录恰好发生在N处，N是随机游动的固定步数【119】，或另有规定，当随机游动的最大值恰好出现在最后一步N时，也可以将本研究扩展到排名最长间隔的统计数据[119]。最近，在混合阶相位转换的背景下进行了相关研究，我们请读者参考参考文献[120]了解更多详细信息。7、其他相关问题和开放性问题在本节中，我们将讨论与文献中最近研究的记录相关的工作或各种问题。7.1。

测量误差和噪声的影响在所有之前的研究中，如果第k个条目超过了所有之前的条目，则在步骤k处会发生记录[见（2）]。然而，要将这些结果应用于实际数据，需要以更务实的方式重新考虑记录的定义。实际上，在许多应用中，由于仪器误差δ或噪声ξ，数据的观测值会受到不确定性的影响。例如，δ可以是探测器的保证极限，而ξ可以描述仪器读数产生的白噪声。因此，很自然地会问，测量误差δ或噪声ξ的存在如何影响记录统计，尤其是平均记录数hMi随样本N大小的增长。统计文献中提出了相关问题，例如，在δ-超标记录的上下文中【121122】，最近在物理文献中提出了相关问题【50123124】。这里，我们首先讨论（固定）测量误差δ的存在。我们定义为一个破纪录事件，简称δ记录，如果它超过序列中所有先前的值至少δ，即ifXk>max{X，…，Xk-1} +δ，（199），其中δ>0（在δ<0的情况下，Xkis有时称为接近记录[125]）。事实上，与这个问题相关的大多数结果（我们下面讨论的[123]除外）都是针对i.i.d.随机变量的情况得到的。在这种情况下，文献[50]表明，引入误差参数δ>0的直接后果是，i.i.d.记录统计的强普适性[如（5）]被丢失，并被变量Xi的父分布的右尾明确依赖所取代，这让人想起i.i.d.随机极值统计存在的不同普适性类别变量。我们请读者参考文献[18]，了解i.i.d.的这些结果。