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英文标题：
《Record statistics of a strongly correlated time series: random walks and
  L\\\'evy flights》
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作者：
Claude Godreche, Satya N. Majumdar, Gregory Schehr
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We review recent advances on the record statistics of strongly correlated time series, whose entries denote the positions of a random walk or a L\\\'evy flight on a line. After a brief survey of the theory of records for independent and identically distributed random variables, we focus on random walks. During the last few years, it was indeed realized that random walks are a very useful \"laboratory\" to test the effects of correlations on the record statistics. We start with the simple one-dimensional random walk with symmetric jumps (both continuous and discrete) and discuss in detail the statistics of the number of records, as well as of the ages of the records, i.e., the lapses of time between two successive record breaking events. Then we review the results that were obtained for a wide variety of random walk models, including random walks with a linear drift, continuous time random walks, constrained random walks (like the random walk bridge) and the case of multiple independent random walkers. Finally, we discuss further observables related to records, like the record increments, as well as some questions raised by physical applications of record statistics, like the effects of measurement error and noise.
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中文摘要：
我们回顾了强相关时间序列记录统计的最新进展，其条目表示一条直线上随机游动或列维飞行的位置。在简要回顾了独立同分布随机变量的记录理论之后，我们重点讨论了随机游动。在过去的几年里，人们确实意识到随机游动是一个非常有用的“实验室”，可以测试相关性对记录统计数据的影响。我们从具有对称跳跃（连续和离散）的简单一维随机游动开始，详细讨论了记录数量的统计信息，以及记录的年龄，即两个连续破纪录事件之间的时间间隔。然后，我们回顾了各种随机游动模型的结果，包括具有线性漂移的随机游动、连续时间随机游动、约束随机游动（如随机游动桥）和多个独立随机游动者的情况。最后，我们讨论了与记录相关的进一步观察值，如记录增量，以及记录统计的物理应用引起的一些问题，如测量误差和噪声的影响。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Record_statistics_of_a_strongly_correlated_time_series:_random_walks_and_Lévy_flights.pdf (4.46 MB)

2022-5-31 03:15:07 上传

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关键词：时间序列 随机游动 Applications Differential localization

强相关时间序列的记录统计：随机游动和L’evy flightsclaude Godr’echeinstitute de Physique Th’eorique，巴黎大学萨克莱分校，CEA和CNRS，91191Gif sur Yvette，FranceSatya N.MajumdarLPTMS，CNRS，巴黎大学南部，巴黎大学萨克莱分校，91405 Orsay，Francegry SchehrLPTMS，CNRS，巴黎大学南部，巴黎大学萨克莱分校，91405 Orsay，FranceAbstract。我们回顾了强相关时间序列记录统计的最新进展，该时间序列的条目表示一条直线上的随机行走或闪电的位置。在简要回顾了独立同分布随机变量的记录理论之后，我们重点讨论了随机游动。在过去几年中，人们确实意识到，随机游动是非常有用的“实验室”，用于测试相关对记录统计数据的影响。我们从具有对称跳跃（连续和离散）的简单一维随机游动开始，详细讨论了记录数的统计以及记录的年龄，即两个连续破纪录事件之间的时间间隔。然后，我们回顾了各种随机游动模型的结果，包括具有线性裂缝的随机游动、连续时间随机游动、约束随机游动（如随机游动桥）和多个独立随机游动者的情况。最后，我们讨论了与记录相关的进一步观察结果，如记录增量，以及记录统计的物理应用引起的一些问题，如测量误差和噪声的影响。记录强相关时间序列21的统计信息。导言最近，极端和罕见事件的统计数据在许多科学领域引起了人们的兴趣。

特别是，对离散时间序列中记录的统计数据的研究，始于二十世纪早期【1】，已成为各种系统中的基础和重要内容，包括气候研究【2、3、4、5、6、7、8、9】、金融和经济学【10、11、12】、水文学【13】、体育【14、15】、探测重尾不稳定分布【16】等【17、18】。考虑任何由N个条目组成的一般时间序列{X，X，…，XN}，其中ximay表示给定地点的每日温度、股票价格或河流的年平均水位。如果第k个条目超过之前的所有条目，则在步骤k处会发生记录。与记录相关的问题显然与极值统计密切相关【19，20】。例如，第k步的实际记录值就是k步后条目的最大值，这是极值统计中可以观察到的关键值。另一方面，记录统计与信息问题有着深刻的联系[21、22、23]。例如，记录率，即记录在步骤k被破坏的概率，与生存概率有关，即时间序列在步骤k之前保持在某一水平以下的概率，这是第一阶段问题中的一个关键数量。然而，尽管它与极值统计和第一阶段问题有关，但时间序列记录的统计提出了特定的新问题，这需要新的工具和技术。在本文中，我们关注一类与记录统计相关的可观测值。例如，这包括大小为N的给定序列中的记录数以及记录的年龄。记录的保存时间定义为记录保存的时间，即记录被下一条记录打破之前的时间。我们还将研究记录值以及记录值的增量。

这些观测值的统计数据不能仅从极值统计或第一篇文章问题中理解，它们需要新的技术，将在本综述中讨论。值得注意的是，对记录的研究在各种复杂物理系统中发现了新的兴趣和应用，例如自旋玻璃中热再熵磁化的演化【24，25】、II型无序超导体中随磁场增加而产生的涡旋密度演化【24，26】、无序介质中弹性线的雪崩【27，28，29，30】，生物种群（biologicalpopulations）[31，32，33]，胶体干扰（Collodes）[34]，多孔材料失效事件研究（35），成长网络模型（36），量子混沌（37，38）]等方面的能力演变。所有这些系统的共同特征是物理观测的阶梯式时间演化（见图1）。例如，当无序铁磁体中的畴壁被不断增大的外部磁场驱动时，其质心会在一段时间内保持不动（被无序固定），然后，随着磁场的进一步增大，壁的延伸部分会脱落，从而引发雪崩，因此，质心会跳过一定距离【27、28、29、30】。重心位置随时间变化（或驱动力增加）显示楼梯结构，如图1所示。

通过研究时间序列中记录的动态[25、28、26]，可以获得关于这些不同系统中这种时空演化的一些有用见解，其中记录值在一段时间内保持不变，直到被下一条记录打破并以一定的增量跳跃（见图1）。例如，在位置是随机行走者在i步之后的位置的情况下，这个“记录过程”是强相关时间序列3的所谓ABBM模型[29，30]记录统计量的核心，它被广泛用于对无序铁磁体中的所谓巴克豪森噪声建模[39]。独立和同分布（i.i.d.）随机变量的记录统计在过去得到了广泛的研究，无论是在数学[40、41、42]中，还是在最近的物理学文献中（有关i.i.d.案例的最新评论，请参见[18]）。这些研究的许多方面现在在理论上都得到了很好的理解，在这里，我们将简要回顾主要有用的结果，并特别强调年龄统计，这在某种程度上不太为人所知。最近研究的另一类时间序列的记录统计量对应于独立但非同分布的随机变量。这在体育运动中非常重要，随着时间的推移，运动员的平均成绩通常会随着时间的推移而提高，这是由于营养的增加或准备所用的技术先进的运动设备。同样，在所研究的气候背景下，平均温度在时间上可能存在非典型线性趋势。对于这个独立但非同分布的时间序列，已经得出了各种有趣的结果【43，44，45】。由于这些结果已经在参考文献【18】中进行了审查，我们将不再在此重复。然而，在许多现实的时间序列中，这些条目是相互关联的。

因此，问题自然而然地出现了：对于相关序列的记录统计，我们能说些什么？对于弱相关时间序列，即具有有限相关时间的时间序列，可以预期大序列的记录统计数据与不相关情况渐近相似。然而，当条目之间存在强相关性时，这种情况就不再存在了。事实证明，在这种高度相关的情况下，记录统计的研究在技术上具有挑战性。这项任务的难度可以通过考虑上述与极值统计和FirstMessage问题的联系来估计，这些问题在强相关时间序列中很难解决。因此，文献中的结果很少，事实上，所有有记录的经典教科书[40、41、42]基本上（如果不是唯一的话）都涉及i.i.d.随机变量的情况。最简单和最自然的强相关时间序列之一是直线上的随机行走序列，其中条目xic对应于离散时间步i中随机行走者的位置，从原点X=0开始，并在每个时间步经历随机跳跃。尽管随机游动在各个研究领域中具有惊人的重要性和丰富性，但直到几年前，人们才计算和理解这种在直线上具有对称跳跃分布的单个离散时间随机游动的记录统计数据[46]。事实上，虽然随机游走者的位置具有很强的相关性，但随机游走本身就是一个马尔可夫过程。

由于这一关键的马尔可夫特性，最近人们认识到，随机游走及其变体是分析测试强相关性对时间序列记录统计的影响的理想实验室。事实上，最近，在理解这种随机游走序列的记录统计方面取得了很大进展，包括有无漂移以及多个随机游走者的情况，并且得出了许多有趣的分析结果，其中一些结果具有惊人的普遍性。这种随机游走序列非常有用，因为它为强相关时间序列的记录统计提供了一个精确可解的例子。参考文献[18,47,48]简要回顾了随机游动的这些结果。然而，自那时以来，这门学科发展迅速，对这些最新进展的详细描述仍然缺乏。本综述旨在对i.i.d.和强相关时间序列4相关时间序列（如随机游动和列维飞行）的强相关记录统计的已知结果进行更新调查。审查安排如下。在第2节中，我们首先对i.i.d.随机变量的记录理论进行简要概述。在第3节中，我们发展了随机游动记录统计的基本理论，这是本综述的基石。这些结果基于一个通用的更新结构，然后利用该结构获得关于多个随机游动模型记录数量和年龄统计的详细信息，包括对称随机游动（包括连续和离散跳跃）、线性漂移随机游动和连续时间随机游动。在第4节中，我们重点关注约束随机行走的记录统计，特别关注（对称）随机行走桥，即arandom行走，条件是在N步之后开始和结束于原点。

在第5节中，我们讨论了K个独立随机游走者的记录统计，在第6节中，我们对这些结果进行了一些概括，特别强调了晶格随机游走和布朗运动中，以及更新过程中，记录的年龄和连续零之间偏移的大小之间的相似性。最后，在第7节中，我们提出了一些最近在文献中讨论过的相关问题，如测量误差和噪声的影响，然后在第8.2节中总结。i.i.d.随机变量的记录统计我们首先回顾i.i.d.随机变量记录统计的主要结果。我们考虑N个随机变量X，X，xn其来源于连续概率密度函数（pdf）p（X）。这些随机变量是i.i.d.，它们的联合pdf P（X，X，…，XN）只是将asP（X，X，…，XN）=NYi=1p（Xi）分解。（1） 根据定义，Xkis是一个上限记录，当且仅当它大于所有以前的条目，Xk>max{X，…，Xk-1} 。（2） 例如，在图1中，Xis，按定义，是一条记录，然后是Xis a记录，依此类推（有关详细信息，请参阅图的标题）。可以类似地定义一个较低的记录，即Xk<min{X，…，Xk-1} 。现在，我们将主要关注上层记录，我们将简单地称之为“记录”。设M是这些随机变量中的记录数。我们首先讨论了一种基于指标变量的简单方法来调查M的统计数据。然后，我们讨论了记录数量和年龄的更复杂的联合概率分布。

第二种方法不仅有助于调查最长和最短记录的年龄，而且可以通过适当的修改将其推广到随机游动（见第3节）、约束随机游动（见第4节）以及多个随机游动系统（见第5节）记录的研究中。2.1。记录数分布为了研究记录数M的分布，引入取值为0或1的指示性变量σk是有用的：σk=（如果Xkis是记录，则为1；如果Xkis不是记录，则为0；M=NXk=1σk。（3）强相关时间序列的记录统计信息5timeiXiN\'1=4\'2=5\'3=3\'4=4图1。对于任何时间序列{X，…，XN}，表示当前记录值随时间变化的实心黑线显示出一般的阶梯演变。在此实现中，随机变量xi的数量N等于16，记录的数量（红点）为M=4。记录值的增量是楼梯中的跳跃。它们发生在记录时间N=1、N=5、N=10和N=13。记录的年代是记录在被下一个记录打破之前存活下来的时间流逝。因此`=N- N=4，`=N- N=5，`=N- N=3。最后一个年龄（以“Min general”表示）有不同的地位。它等于差值N- n移动一个单位，即在本例中，`=4。有了这样的选择，年龄“+···+”之和等于N。对于i.i.d.随机变量，这些指标函数σkar是独立的[见下文（8）]。我们定义σki=rk，（4）其中平均值是随机变量x，…，的不同实现，XN。因此，Rk是Xkis记录的概率，即（2）中的事件发生的概率。换言之，Rk表示记录在“时间”k被破坏的速率，或等效地表示序列x在时间k被破坏的概率，XN。用于i.i.d。

随机变量该概率可以很容易地从（1）中的联合分布计算得出，且该yieldsrk=Z∞-∞p（x）Zx公司-∞p（y）dyk-1dx=Zuk-1du=k，（5）其中我们使用了变量u=Rx的变化-∞p（y）dy.有趣的是，这个结果k=1/k（5）是通用的，即它独立于父分布p（x）。这很容易理解，因为Xkis是x中的最大值，Xkis实际上等于1/k，因为最大值可以通过这些k i.i.d.随机变量中的任何一个以相等概率实现。根据（5）中的记录率，我们得到平均记录数ashMi=NXk=1rk=NXk=1k=HN，（6）其中HN表示第N个谐波数。对于大N，其表现为ashMi=ln N+γE+O（N-1） ，（7）记录强相关时间序列6的统计数据，其中γE=0.57721。是Euler常量。通过类似的计算，可以计算记录数的方差，hMi- hMi。该计算涉及两点相关性hσjσki。从联合分布（1）可以很容易地看出，对于j 6=k，σjandσkare是线性独立的[48]。实际上，通过对上述（5）推理的简单概括，一个哈希σjσki=Prob（Xj=max（X，…，Xj），Xk=max（Xj，…，Xk））=Zdu uk-j-1Zudv vj-1=jk=hσjihσki，j 6=k，（8），而hσki=hσki=rk。因此，使用（8），一个- hMi=NXk=1hσki- hσki=NXk=1k-k= ln N+γE-π+O（1/N）。（9） 类似地，可以使用（对于N）计算记录数P（M | N）的概率分布的母函数≥ 1） XM公司≥1P（M | N）xM=hxMi=NYk=1hxσki=NYk=1x个- 1k+1=x（x+1）。（x+N- 1） N=NΓ（x+N）Γ（x），（10），其中Γ（z）是伽马函数。人们还认识到，（10）中出现的GammafunctionsΓ（x+N）/Γ（x）的比率是第一类无符号斯特林数的生成函数，即x（x+1）。