强相关时间序列的记录统计：随机游动和

它是从N=40步（绿色全圆圈）和N=80步（蓝色空圆圈）后随机行走的` max，N（89）生成函数的解析表达式中获得的，而这条线是连接蓝色圆圈的眼睛的指南（有关更多详细信息，请参阅参考文献[78]）。数据的良好折叠证实了（98）中的缩放形式。0、1/2、1、21/16、51/32表示N=0、1、2、3、4【76】。通过对极限z中生成函数in（92）的分析→ 1，获得了h ` min，Ni的大N行为，如[46]h ` min，Ni≈ D√N，D=√π=0.564190，（96）因此，其顺序与典型记录年龄“typ”相同，即O(√N） 。对于对称和连续的跳跃分布，可以研究\'max，Nand\'min，N的完全分布。\'min，N的分布对于大N来说非常简单，并且以prob（\'min，N=`）=δ\'，1+O（N）的前导顺序给出-1/2）。（97）{pdf\\u lmin}这表明h ` min，Ni in（96）的平均值受罕见事件控制。事实上，对h ` min，Ni的主要贡献来自于具有单个记录的路径，M=1，发生在X=0时【76】。实际上，通过注意M=1的路径在步骤N之前保持为负，可以简单地恢复（96）中的结果。这样的路径以概率q（N）出现≈ 1个/√πN，它们贡献了一个` min的值，N=N，这正好意味着（96）中的结果。这清楚地表明，h ` min，nis受罕见事件的支配，因此随机游动在步骤N之前从未穿过原点。“max，nha”的分布具有更丰富的结构。与i.i.d.案例（29）一样，我们可以证明，标度随机变量R=` max，N/N在大N极限概率[79，78]中达到极限分布（` max，N=`）→NfR公司`N, （98）强相关时间序列29的记录统计信息，其中函数fR（x）是区间[0，1]上的分段连续函数。

它在[1/2，1]，[1/3，1/2]等形式的每个间隔上都是连续的，并且在点xk=1/k，k=2，3。[79]。结果表明，随机变量V=1/R的母函数有一个相当简单的显式表达式[58，78，79]，从中可以得到fR（x）fR（x）的渐近行为≈（2αx-2经验(-α/x），x→ 0π（1- x）-1/2，x→ 1（99），其中α=0.854032。是超几何函数f（1，1/2，-x） 在实轴上。在图8中，我们展示了缩放函数fR（x）的曲线图。3.3.2。晶格上的对称随机游动。在这种情况下，持久性概率q（`）的生成函数由（62）给出，产生（63）中的大`行为，而f（`）在（44）中给出。在大N限值下，发现[46]h`最大值，Ni≈ C N，（100）与连续情况（93）一样，尽管持续概率受一个因素的影响√2[见（51）和（63）]。类似地，概率QNalso到相同的常数QN→ C作为N→ ∞, 同上（95）。然而，这种差异（通过一个因素√2） min，N的大N行为中的问题，在这种情况下，由[46]h，min，Ni给出≈√2天√N，（101）大一倍√2，大于连续情况下的值（96）。至于连续跳跃，记录的年龄与离散随机游动的连续零交叉之间的偏移有着很强的相似性，这在数学文献中得到了深入的研究，例如，参见[80]。3.3.3。存在恒定漂移时的随机行走。在这种情况下，随机行走的特征是两个参数，即L'evy指数0<u≤ 2和恒定漂移c[参见（72）和（73）]。

正如我们在上文中所强调的，h'max、Ni和h'min、Ni的大N行为受大'的持续概率q（`）的渐近行为控制，其强烈依赖于L'evy指数0<u≤ 2和恒定漂移c，导致带材中出现五种不同的状态（c，0<u≤ 2） （参见图7）。反过来，h’max、Ni和h’min、Ni都取决于u和c，参考文献[61]详细研究了这种依赖关系（u=1的情况也见[30]）。在不提供更多细节的情况下，我们在表2中总结了h\'max，Ni和h\'min，Ni的主要结果。请注意，在该表中，所有振幅都可以显式计算[61]。3.3.4。连续时间随机游动。它们的特征是指数0<γ≤ 1描述两次连续跳跃之间时间τ的幂律尾[见（75）]。γ=1的情况对应于离散时间随机游动（和连续跳跃）。参考文献【74】按照第3.2节所述的思路研究了连续时间随机游动的最长和最短持续记录的统计。在大的固定时间间隔[0，t]的范围内，最长时间间隔h ` max（t）i的平均值与t呈线性增长，且具有非平凡的振幅c（γ）[74]h ` max（t）i≈ c（γ）t，c（γ）=Z∞1+yγ/2eyγ（1- α/2，y）dy。（102）在图7 h\'max，Ni h\'min，NiI中记录强相关时间序列30个状态的统计数据≈ CIN公司≈ DI公司√NII公司≈ CIIN公司≈ DIIN1-θ（c）Ⅲ≈ CIIIN1/uDIIIIV≈ CIVln N分区≈ CVN DVNTable 2。（c，0<u≤ 2） 图（7）中的条形图。所有振幅都可以显式计算[61]（尤其是方程式（93）和（96）中分别给出的CI=C和DI=D），而指数θ（C）在（74）中给出。正如预期的那样，对于γ=1，我们恢复（93）中给出的离散时间结果，即c（1）=c，方程（93）中给出。

另一方面，对于larget，平均最短年龄由[74]h` min（t）i给出≈τΓ（1-γ）tτ1.-γ、 （103），对于γ=1，返回（96）中给出的离散时间随机游动的结果，替换为\'min，t→ τ\'min，与t→ Nτ。3.4。到目前为止，在当前的第3节中，我们主要关注记录的数量和记录的年龄，对于给定的N步随机游走。这些可观测数据的统计数据已从第3.1节所述的一般更新财产中获得[特别参见（46）]。在本节中，我们重点讨论具有对称连续跳跃分布φ（η）的随机游动，并考虑记录增量的统计信息。让我们考虑一个记录数为M的随机游走序列的具体实现，如图9所示。我们用Rk表示记录值，用ρk=Rk+1表示- RK此实现中的相应增量。在本小节中，我们重点讨论增量ρ=（ρ，ρ，…，ρM）的联合pdf P（~ρ，M | N-1） 以及固定步数的记录数M。特别是，我们对大N极限感兴趣。为了计算这个联合pdf，我们首先计算一个更复杂的对象，它是记录增量ρ、记录年龄和记录数M的“大”联合pdf P（~ρ，~ `，M | N）。然后通过积分年龄自由度`，得到联合pdf P（~ρ，M | N）[81]。

要计算这个大联合pdf P（~ρ，~ `，M | N），我们需要以下三个量：o第一个是生存概率q（`）（41），即arandom从x开始行走，保持在xup以下到`时间步的概率，这是Sparre-Andersen定理（51）给出的普遍值。o第二个是（43）中定义的第一次通过概率f（`），也是一个通用的概率，由f（`）=q（`-（1）- q（`）[见（44）].o最后，我们需要的第三个量是J（`，ρ）（对于从X=0开始的随机行走），定义为asJ（`，ρ）=Prob（X<0，X<0，…，X`-1<0，X`=ρ>0）。（104）{def\\u Jl}强相关时间序列的记录统计31time\'1\'2\'30=R1R2R3R4i\'4NXi1.2.3图9。实现N=15步的随机行走轨迹，M=4条记录。变量“kde”表示记录的年龄，即成功记录之间的间隔。记录值记为Rk，两个连续记录值之间的增量用ρk=Rk+1表示- Rk。这表示步行者从原点x=0开始，停留在原点以下直至`- 1步，然后跳到正侧，在第`步达到ρ>0。如果在最终位置ρ上对其进行积分，则在步骤`，即Z处恢复首个消息的概率∞J（`，ρ）dρ=f（`）。（105）概率J（`，ρ）也出现在随机游动的顺序统计量研究中【82，83】，其生成函数可以用跳跃分布φ（η）表示如下（详见参考文献【81】。为了计算J（`，ρ），我们首先定义p`-1（u）astimeiXiu ` 1个`图10：。

从原点X=0开始的随机游动的配置，其保持在原点以下直至`- 1步，然后在步骤`跳到ρ>0。我们还使用符号u表示-X个`-1，因此最后一次跳跃的长度为u+ρ。记录强相关时间序列32的统计信息步行者到达u>0 in的概率密度`- 1步，从原点开始，保持在原点上方直至`- 1步骤。按对称性p`-1（u）还记录了步行者到达的概率密度-u输入`- 1步，保留负数直至`- 1步骤。还请注意，p`-1（u）是单个步行者在步骤中第一次达到u级的概率密度`-1，从步骤0的原点开始。（这一定义将有助于研究第5节中多粒子系统的记录统计。）显然，一个hasJ（`，ρ）=Z∞p`-1（u）φ（u+ρ）du，（106），其中φ（u+r）表示最后一次跳跃的分布（见图10）。因此，生成函数J（z，ρ）=P`≥1J（`，ρ）z`由▄J（z，ρ）=X给出`≥0z`+1Z∞p`（u）φ（u+ρ）du，（107），其中，为了方便起见，我们将`移动了1。结果表明，计算任意跳跃分布φ（η）的约束传播子p`（u）是非常重要的。尽管如此，对于p`（u）的双拉普拉斯变换，仍然存在一个相当明确的公式[84]，其读数为（关于最近的综述，请参见[83，47]）Z∞X个`≥0p`（u）z`e-λudu=ψ（λ，z）。（108）函数ψ（λ，z）由ψ（λ，z）=exp给出-λπZ∞ln[1- z^φ（q）]q+λdq！，（109）式中^φ（q）=R∞-∞φ（η）eiqηdη是跳跃分布的傅里叶变换。因此，p`（u）对跳跃分布的依赖性通过其Fouriertransform^φ（q）表现出来。一般来说，很难从这个关系（109）显式地计算出任何`（u）`（andu）的p`（u）。

然而，在对称指数跳跃分布的情况下，φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，可以显式计算p`（u）相对于`的母函数，结果▄p（u，z）=X`≥1z`p`（u）=1-√1.- zbe公司-|u | b√1.-z、 （110）{eq:expr\\u GG>\\u app}，而p（u）=δ（u）。将该表达式（110）与（107）一起使用，得到一个x`≥1J（`，ρ）z`=zZ∞dyp（y，z）2be-（y+ρ）/b=b（1-√1.- z） e-ρ/b.（111）{eq：integral1}该方程（111）表明，对于指数跳跃分布，变量`和ρ解耦，yieldingJ（`，ρ）=bf（`）e-ρ/b，X`≥1f（`）z`=1-√1.- z，（112）{eq:expr\\u TGF}，其产生系数f（`）asf（`）=(-1） `+1√π2Γ（3/2- `)Γ（`+1）≈√π\'3/2，作为`→ ∞ . （113）{eq:expr\\ck}强相关时间序列的记录统计33这些公式（112），（113）在第4节中有助于研究具有对称指数跳跃的随机步行桥的记录。有了这三个量，我们可以再次使用随机游动的新特性，即两个连续记录之间间隔的独立性来表示大联合pdf（见图9）。对于M≥ 2 it readsP（~ρ，~ `，M | N）=M-1Yk=1J（`k，ρk）q（`M）δMXk=1`k，N！，（114）{eq:full\\u joint}，其中Kronecker delta确保步骤总数固定为N。因子q（`M）对应于最后一条记录之后的间隔，即最后一条记录之后的所有位置XI都低于最后一条记录值的概率，如（51）所示。对于M=1，只有起始点是一条记录，并且过程在整个时间间隔N内保持为负值。在这种情况下，没有记录增量，但我们按照约定将记录增量设置为ρ=0，并且henceP（ρ，`，M=1 | N）=q（`）δ（`，N）δ（ρ）。（115）{eq:full\\u joint\\u M1}然后通过将（114）中的P（~ρ，~ `，M | N）与`，…，求和，得到关节pdf P（~ρ，M | N）`M-1（每个从1到∞) 和\'M（从0到∞).

因此，对于M，P（~ρ，M | N）关于N个读取的生成函数≥ 2XN≥0P（~ρ，M | N）zN=~q（z）M-1Yk=1▄J（z，ρk），（116），其中▄q（z）在（50）中给出，生成函数▄J（z，ρ）≡P`≥1z`J（`，ρ）。从（116）可以看出，P（~ρ，M | N）在记录增量标签的置换下是不变的，这意味着ρk，P（ρk | N）的边缘分布与k无关。它可以通过积分P（ρ，ρ，…，ρM）来计算-1，M | N）in（116）除以ρ，ρM-1然后对M求和（从1到+∞) （详情见[81]）。一个getsXN≥0P（ρ| N）zN=~J（z，ρ）（1- z） +δ（ρ）√1.- z、 （117）其中我们使用了▄q（z）=1/√1.- z[见（50）]和▄f（z）=1-√1.- z[见（45）]。作为z→ 1，（117）的右侧按前导顺序表现为▄J（1，ρ）/（1- z） ，这意味着在大N极限下，limN→∞P（ρ| N）=P（r）=J（1，ρ），（118），这表明增量具有平稳分布，如N→ ∞.对于某些跳跃分布，可以显式计算J（1，ρ）[81]（有关排队论的相关结果，请参见[85]）。例如，对于φ（η）=1/（2 b）e-|η|/b，一个结果p（ρ）=e-ρ/b/b，带ρ≥ 另一种精确可解的情况是φ（η）=1/（2 b）|η| e-|η|/b，其中一个为ρ≥ 0）p（ρ）=2 b（1+√3） e类-ρ/b2b级(√3.- 1） +4ρ. （119）另一个有趣的例子是L’evy flights的情况，对应于φ（η）~A |η|-1.-u，0<u<2。在这种情况下，对于较大的ρp（ρ），可以精确地获得p（ρ）的尾部≈ Buρ-1.-u/2，ρ→ ∞ , （120）记录强相关时间序列34的统计信息，其中Bu是可计算常数（并且取决于a和u）。

有趣的是，这个结果（120）比跳跃分布衰减得慢。对于（114）中的大联合pdf或本节中给出的记录增量（116）的联合pdf，这些精确结果对于计算与随机游动及其变量记录相关的许多观测值是有用的，而不仅仅是这里讨论的增量P（ρ| N）的边际分布。在下一节中，我们将看到需要（114）中的Grand joint pdf来研究受约束随机游动的记录统计，如随机游动桥。在第7节中，我们将通过计算增量单调递减到步骤N.4的概率Q（N）来进一步说明这一点。约束离散时间随机行走时间\'1\'2\'3i\'4XBiYN的记录和年龄统计1.2.3图11。实现N=15步的随机行走桥xbiw。这里的记录数是M=4。区间\'kde表示记录的年龄，ρkar表示连续记录之间的增量，而Y表示最大值XBmax，N的值。具有对称指数跳跃的随机步行桥的随机变量\'k，ρk，M和Y的联合分布如（145）所示。正如我们在前一节中所看到的，具有连续跳跃的随机游动记录统计的一个显著特征是，它是完全通用的，即独立于跳跃分布，即使对于有限数量的步骤也是如此。因此，很自然地会问，这种普遍性是否仍然适用于受约束的随机游动。这种受约束随机游动最自然、最有趣的例子之一是therandom walk bridge，我们主要关注它（见图11）。如前所述，我们考虑时间序列{Xi}，0≤ 我≤ N、 从X=0开始，并根据（40）Xi=Xi中的马尔可夫规则进行迭代-1+ηi，（121），其中跳跃变量ηi是i.i.d.随机变量，从分布φ（η）中得出。

在这里，我们将分析限制在跳跃分布φ（η）对称（无漂移）的情况下，但我们将同时考虑离散（晶格随机行走）和连续跳跃分布的情况。在本节中，我们重点讨论随机游走桥{XBi}的位置，其中0≤ 我≤ N、 这是一个随机游走，作为强相关时间序列35in（121）的记录统计，条件是在N个时间步后返回原点，XB=XBN=0。例如，这种受约束的随机游走与建模周期性强相关序列（N为周期）相关。随机游走桥梁的记录统计结果与自由随机游走的情况有很大不同。从技术上讲，这种受约束的随机游走比自由随机游走更难分析。实际上，对于自由随机游动，计算需要记录`，`，…，的年龄的完全联合分布`Mbut无需在给定的时间步跟踪记录的实际值[参见（46）]。然而，对于桥梁来说，需要知道给定时间步下记录的实际值，其中随机游动在N个时间步后返回原始值。通过考虑年龄的完整联合分布和记录增量ρk（这是两个连续记录之间的差异），即上文（114）中考虑的大联合pdf[另见图11]。因此，考虑到这一技术难题，对于桥梁的情况知之甚少。然而，有两种特殊情况可以详细分析：（i）晶格随机游动和（ii）对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）exp(-|η|/b），其中b>0[86]。这些情况下获得的精确结果为具有任意连续跳跃分布的桥梁随机行走的记录统计提供了一些见解。4.1。