强相关时间序列的记录统计：随机游动和

特别是，Rone相当直接地获得了（126）中记录数分布、（127）中破纪录概率或h ` max，Ni In（129）的结果。结论和开放性问题。随机游走桥不等式（122）–（129）的这些结果表明，约束随机游走的记录统计数据在数量上与自由随机游走的对应数据不同。这种情况下的计算在技术上要困难得多，对于大多数与记录相关的观测值，精确结果仅适用于晶格随机游动和对称指数跳跃的随机游动。自由随机游走的主要区别之一是，桥梁的记录统计数据不是通用的，具体取决于跳跃分布的细节，而自由随机游走则是完全通用的（对于连续跳跃分布）。尽管如此，有人预计，在大N极限下，随机游走桥（具有连续跳跃分布）的记录特性（大N的前导顺序）仅由（73）中的L'evy指数u确定。这特别意味着，在指数情况下获得的渐近结果应描述任何连续跳跃且u=2的随机游动的大Nlimit中的记录统计。将这些结果推广到L'evy指数0<u<2的任意值仍然是一个具有挑战性的开放性问题。还值得注意的是，（129）中指数情况下得到的h ` max，Ni/N的极限值比自由随机游动（93）得到的常数C要复杂得多，我们请读者参考[86]，以研究具有指数跳跃分布的桥梁随机游动的` max，N/N的全分布。

特别是，泊松-迪里克莱分布理论（见下文第6.3节）并未给出该结果，将这些结果推广到其他跳跃分布将非常有趣，不同的L′evy指数0<u<2.5。在前面的章节中，我们研究了序列中记录数的统计信息，其中条目{X=0，X，X，…，XN}对应于离散时间内单个随机游动的位置，从X=0开始。在本节中，我们将把单步行者的一些结果推广到有K≥ 1独立随机步行者。在此K-walker过程中，当所有walker在该时刻的最大位置超过其先前的所有值时，会在该时刻发生一条记录。参考文献【66】对这种多步行者案例的记录统计进行了非常详细的研究，发现尽管步行者是独立的，但即使在这个相对简单的模型中，记录统计也是相当丰富、不平凡的，并且部分通用。下面，我们将精确描述该模型，并概述参考文献【66】中的主要结果。有关计算的详细信息，读者可参考参考文献【66】。记录强相关时间序列43timeiXi的统计数据，如图13所示。K=3个独立随机行走者到步骤N的示意轨迹，其中Xi，mde表示步骤i中第m个行走者（m=1，2，…，K）的位置，所有行走者都从步骤0的原点开始。如果所有n=0、1、2、…，Xmaxn>Xmaxn，则记录发生在步骤n，（n）- 1） 。记录值用填充的圆圈表示。考虑K≥ 1个独立的随机步行者，所有人在时间i=0时从原点开始[见图（13）]。第m个步行者的位置Xi，mof（m=1，2。

，K）离散时间步长n通过马尔可夫演化规则Xi演化，m=Xi-1，m+ηi，m，（153）{markov\\u K1}，其中X0，m=0，对于所有m=1，2，K和噪声ηi，mare i.i.d.变量（从一步到另一步以及从一步到另一步都是独立的），如前一节所述，每个变量都来自不对称分布φ（η）。我们对复合过程的recordstatistics感兴趣。更准确地说，在步骤n，考虑所有K个walkersMaxn的最大位置=max[Xn，1，Xn，2，…，Xn，K]。（154）{max\\u K1}如果步骤n的最大位置大于之前的所有最大值，即如果Xmaxn>Xmaxn，则所有n=0，1，2，…，则在步骤n出现记录，（n）-1） [见图（13）]。换言之，我们对随机离散时间序列{Xmaxn}的记录统计感兴趣，按照惯例，初始位置Xmax=0被计为记录。这个新过程虽然源于K独立的底层Markovprocesses，但对于K＞1，它本身是一个相当复杂的非Markov过程。因此，对于K>1，之前用于K=1情况的简单更新方法（因为对于K=1，过程是马尔可夫的，所以该方法有效）出现故障，需要找到新的方法来计算记录统计数据。下面我们将看到，虽然可以设计一种新的方法来计算所有K的平均记录数≥ 1，计算K>1的记录数的完全分布要困难得多，并且部分仍然是一个悬而未决的问题。让MN，Kdenote表示此compositeK walker进程步骤N之前的记录数。请注意，使用一种表示法可以方便地跟踪记录数量的相关性。在本节中，我们感兴趣的是MN，K的统计。

对于一个K=1的步行者，我们从前面的章节《强相关时间序列的记录统计》44中回忆起，记录数MN，1的统计对于所有N是完全通用的，即，独立于对称和连续φ（η）的跳跃分布φ（η）。特别是，高斯步行者和指数为0<u<2的L'evy flights的统计数据是相同的。结果表明，当K＞1时，MN、Kis的统计数据对所有N都不再通用[66]。然而，对于大N，在大量步行者K的限制下，出现了不同种类的普适性 1【66】，我们总结如下。主要结果总结：在大N和大K极限中，MN，K基本上有两个普遍的渐近行为，这取决于第二个力矩σ=R∞-∞跳跃分布的ηφ（η）dη是有限的或发散的。例如，对于高斯、指数、均匀跳跃分布，σ是有限的。Incontrast，适用于L’evy flights，其中φ（η）~ |η|-u-1对于L’evy index0<u<2的大η，二阶矩σ发散。在这两种情况下，出现了以下记录统计行为【66】。案例一（σfinite）：考虑与有限二阶矩σ=R对称的一阶跃分布φ（η）∞-∞ηφ（η）dη。在这种情况下，跳跃分布的傅里叶变换^φ（q）=R∞-∞对于小q，φ（η）eiqηdη表现为^φ（q）=1-σq+。（155）{fourier1}示例包括高斯跳跃分布，φ（η）=pa/πe-aη，指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）exp[-|η|/b），均匀跳跃分布[-1/2，1/2]等。对于这种跳跃分布，我们发现[66]对于大量的步行者K，记录的平均数量对于大N和大K ashMN，KiK渐近增长→∞----→N→∞√ln K√N

（156）{meanrecord1}注意，这种渐近行为是普遍的，因为只要σ是有限的，它并不明显依赖于σ。此外，有人认为【66】对于大K和大N，标度随机变量MN，K/√N在分布上收敛为Gumbel形式，即Prob锰，钾√N≤ x个K→∞----→N→∞Fh公司x个- 2.√ln K√ln Ki，F（z）=exp-e-z.（157）{gumbel.1}实际上，对于大N和大K，标度变量MN，K/√N收敛，不分布，到K个独立随机变量的最大值mn，K√NK公司→∞----→N→∞MK其中MK=max（y，y，…，yK）（158）{gumbel.2}其中yi≥ 0是i.i.d.非负随机变量，每个变量均来自分布P（y）=√πe-y/4代表y≥ 0和p（y）=0表示y<0。情况II（σ发散）：接下来让我们考虑相反的情况，即跳跃分布φ（η），使得二阶矩σ发散。在这种情况下，噪声分布的傅里叶变换^φ（q）对于所有g表现为^φ（q）=1- |a q |u+。（159）{fourier2}记录强相关时间序列45的统计数据，其中0<u<2。示例包括L’evy flights，其中φ（η）~ |η|-u-1当指数0<u<2时。对于（159）中的噪声分布，结果是[66]，相当令人惊讶的是，在大N和大K限值下，记录统计信息是（i）完全通用的，即与u和a无关，（ii）更令人惊讶的是，与情况i（对应于有限σ）不同，记录统计信息也与K无关→ ∞.

例如，证明了对于大K，平均记录行数与N ashMN，KiK渐近→∞----→N→∞√π√N，（160）{meanrecord2}这正好是一个步行者的两倍，即hMN，K→∞i=2 hMN，1i表示大N。类似地，结果表明[66]，标度变量MN，K/√N、 对于大N和大k，收敛到一个普适分布prob锰，钾√N≤ x个K→∞----→N→∞F（x），（161）{分布2}，与L'evy指数u以及（159）中的标度a无关。虽然这种普遍分布F（x）是通过数值计算得到的，但从解析角度推导它仍然是一个具有挑战性的开放问题。从数值上看，F（x）可以很好地用威布尔形式拟合：F（x）≈ 1.- 经验值[-（b x）γ），其中拟合参数b≈ 0.89和γ≈ 2.56[66]。这意味着DF F（x）~ xγ-1exp[-（b x）γ]对于大x，表示比高斯tailas x快→ ∞.记录平均数推导概述：让我们简要介绍一下计算至少记录平均数hMN，Ki背后的主要思想，并让读者参考[66]来推导MN，K的完全分布。让MN，Kbe表示K个随机游走者在步骤n之前的记录数，即最大进程Xmaxn。让我们写出（方程式（3）和（4））Mn，K=Mn-1，K+σn，（162）{重复1}从M0开始，K=1。这里σ是取值为0或1的二进制随机变量。如果记录发生在步骤n，则变量σn=1，否则σn=0。显然，到步骤N为止的记录总数是N，K=1+NXn=1σN.（163）{记录数.1}，因此，到步骤N为止的平均记录数是N，Ki=1+NXn=1hσni=1+NXn=1rn，K，（164）{平均值.1}，其中rn，K=hσni只是记录率，即，对于K个独立行走者的最大进程Xmaxnof，记录发生在步骤N的概率。

为了计算平均记录数，我们将首先计算记录率rn，然后求和overn，如（164）所示。记录强相关时间序列46timeiXi、MNX的统计信息图14。记录发生在步骤n，K=3个步行者的记录值x均从原点开始（因此索引m在m=1、···、K=3上运行）。此事件对应于一个步行者（虚线）在步骤n的第一个时间段到达x级，而其他步行者在步骤n之前停留在x级以下。要计算rn，Kat步骤n，我们需要求出导致步骤n记录事件的所有轨迹的概率之和。假设在步骤n发生记录，记录值为x（见图14）。这对应于一个KWalker（如图14中的虚线轨迹）在步骤0从原点开始，在步骤n第一次达到x级，而其余K- 1个步行者从步骤0的原点开始，在步骤n之前都保持在x层以下。此外，在步骤n实际到达x的步行者可以是K个步行者中的任何一个。最后，此事件可以在x>0的任何级别发生，需要在记录值x上进行集成。使用K个walker的独立性并考虑到上面详述的事件，然后可以编写K=KZ∞pn（x）[qn（x）]K-1dx，（165）{rate.1}其中qn（x）表示单个步行者从原点开始，在x层以下停留到步骤n的概率，pn（x）是单个步行者在步骤n第一次到达x层的概率密度，从步骤0的原点开始。请注意，qn（0）正是单个步行者从0开始，一直低于0级直到步骤n的概率，并且与持续概率q（n）定义相同（41）。

因此，根据前面讨论的Sparre-Andersen定理，qn（0）是完全广义的（对于对称和连续的φ（η），与φ（η）无关）qn（0）=2nn-2 n.（166）{qn0.1}此外，根据反射原理，很容易看出以下恒等式表示[66]Z∞pn（x）dx=qn（0）=2nn-2 n.（167）{pn\\u qn}幸运的是，对于任意跳跃分布φ（η），这两个量pn（x）和qn（x）的母函数是已知的（详细讨论见[66]）。强相关时间序列的记录统计量47它们由一对公式给出：Xm≥0smZ∞pm（x）e-λxdx=ψ（s，λ）（168）Xm≥0smZ∞qm（x）e-λxdx=λ√1.- sψ（s，λ）。（169）其中函数ψ（s，λ）由ψ（s，λ）=exp显式给出-λπZ∞ln[1- s^φ（q）]λ+qdq#式中^φ（q）=Z∞-∞φ（η）环境影响系数ηdη。（170）{ivanov.2}（169）中的公式在文献中被称为著名的Pollaczek-Spitzer公式[89，90]，并在许多著作中被用于推导随机跳跃过程最大值的精确结果[87，88，91，92]。有趣的是，该公式还可用于计算三维球形狭缝中粒子流的渐近行为【93、94、95】，以及最近一系列论文【82、83、96、97、98】中随机游动的序和间隙统计的精确计算。（168）中的公式可以从伊万诺夫（Ivanov）[84]推导出的更一般的公式中推导出来（详细讨论见参考文献[66]），之前在第3.4节记录增量研究中使用了该公式[见（108）]。让我们首先指出，通过改变（169）左侧的变量λx=y并取λ→ ∞, 一个恢复所有mXn的universal Sparre Andersen结果≥0qn（0）序号=√1.- s==> qn（0）=2nn第2条。（171）{sa1}特别是对于大m，qn（0）≈ 1个/√πn。

因此，对于单个walkerK=1的情况，从（165）可以看出，步骤n处的记录速率简单地给定为byrn，1=Z∞pn（x）dx=qn（0）=2nn2nn→∞----→√πn，（172）{K1.1}，其中我们使用了（167）中的恒等式。因此，当K=1时，从（164）中恢复（53）中提到的平均记录数的普遍结果，尤其是（54）hMN，1iN中的大N渐近极限→∞----→√π√N（173）{K1.2}相反，对于K>1，我们需要全函数pn（x）和qn（x）来计算（165）中的记录率。这很难对所有n进行明确计算。然而，对于largen和大K，我们可以在计算记录速率rn、Kf的渐近行为方面取得进展【66】。结果表明，对于大n，在（165）中的积分由两个函数pn（x）和qn（x）的渐近标度行为决定，对于大n和大x。这些渐近性可以从方程（168）和（169）中的两个母函数分别显式推导出来。下一步是使用（165）中主公式中的这些渐近表达式来确定大n和大K的记录率n，Kat步骤n。在这里，我们将跳过所有细节，只使用参考文献【66】中得出的渐近的主要结果来推导方程（156）和（160）中强相关时间序列48的结果公布记录统计。pn（x）和qn（x）的渐近行为取决于σ=R∞-∞ηφ（η）dη是有限的或发散的。这就产生了第二节中提到的两个案例。案例一（σfinite）：在这种情况下，如【66】所示，在标度极限x中→ ∞,n→ ∞ 但要保持口粮x/√固定，pn（x）和qn（x）接近以下缩放行为pn（x）→√2σngx个√2σn, 其中g（z）=√πz e-z、 （174）qn（x）→ h类x个√2σn, 式中，h（z）=erf（z），（175），其中erf（z）=√πRze-udu。

注意，dh（z）/dz=g（z）/z。情况II（σ发散）：在这种情况下，跳跃分布^φ（q）的傅立叶变换具有（159）中的小q行为，并且[66]显示，在缩放极限中，当x→ ∞, n→ ∞, 但保持比率x/n1/f固定，pn（x）→n1/2+1/ugxn1/u, （176）qn（x）→ h类xn1/u. （177）虽然很难明确获得allz的全标度函数g（z）和h（z），但可以计算大z渐近行为并获得（z）≈z→∞Auz1+u，（178）h（z）≈z→∞1.-Buzu，（179），其中两个振幅面积u=2u√πβu，（180）Bu=βu，（181），常数βu由[66]βu=au（u）sin（uπ）π给出，0<u<2。（182）接下来，我们使用（165）中pn（x）和qn（x）的这些渐近行为来推导记录速率的大n行为。注意到对于大n，积分由标度区域决定，我们在（165）中替换了方程（174）、（175）、（176）和（177）中的pn（x）和qn（x）的标度形式。对于较大的n，rn，K≈K√新西兰∞g（z）[h（z）]K-1dz，（183）{rate.2}，其中g（z）=g1,2（z），h（z）=h1,2（z），取决于两种情况（I和II）。因此，我们注意到，在所有情况下，记录率都会随着n而降低-1/2对于大n，尽管在这两种情况下具有不同的K依赖前因子。因此，对于较大的N，ashMN，Ki，到步骤N为止，记录的平均数shmn，Ki增加≈ αK√N，其中αK=2KZ∞g（z）[h（z）]K-1dz。（184）{avgrec.1}记录强相关时间序列的统计49常数αkC可以估计为大K。从（184）中，常数αkC可以重新表示为αK=2Z∞g（z）h（z）ddz{[h（z）]K}dz，（185）{αn}，其中h（z）=dh/dz。注意，h（z）是z的一个增函数，逼近1为z→ ∞, 对大K积分的主要贡献来自大z区域。因此，我们需要估计比率g（z）/h（z）对于largez的表现。