强相关时间序列的记录统计：随机游动和

随机变量，并将重点放在强相关变量的情况上，对此知之甚少。因此，根据参考文献【123】，我们考虑了一个随机游走者，该游走者从X=0开始，并根据（40）以连续且对称的跳跃分布φ（η）旋转。Ifone表示为rk≡ rk（δ）记录在步骤k被破坏的概率，记录的平均数由（57）简单给出，即hMi=NXk=0rk（δ）。（200）{average\\u rw\\u delta}定义X=0为记录，因此r=1，对于k≥ 1，rk（δ）定义为byrk（δ）=Prob[xk- δ>最大值（X，···，Xk-1） 】。（201）{rk\\u delta\\u 1}强相关时间序列的记录统计55因此rk（δ）是步行者到达xk的事件概率- δ首次在时间k时保持在xk以下- δ在0和时间k之间的所有中间步骤（以及最终需要在xk上积分的位置≥ δ） 。为了计算该概率，可以方便地更改变量并确定yi=xk-xk公司-i、 即，观察关于最后一个位置的序列{yi}，并向后测量时间，如图6所示，为无误差的随机行走所述，即δ=0，其中，除此之外，y轴也反转。那么，rk（δ）是“新”步行者yi从i=0的新原点开始跳跃的概率≥ 在第一步和随后的k步中，δ保持在δ以上，即rk（δ）=Prob[y≥ δ、 ···，yk≥ δ| y=0]。（202）{rk\\u delta\\u 2}为了计算（202）中的概率，我们将相应的事件分解为第一步，其中步行者从y=0跳到y=δ+u，其中u≥ 0和thek- 1随机游动保持在δ以上的后续步骤。因此，写yi=δ+ui，我们可以将rk（δ）重新表示为[123]rk（δ）=Z∞duφ（δ+u）qk-1（u），（203）{rk\\u delta\\u 3}，其中qn（u）是随机游动从u开始的概率≥ 0，保持为正向上至步骤n。

这种概率qn（u）之前曾被详细研究过，见（169）和belowit。特别是，从（169）可以看出[123]，对于大n，保持u固定，qn（u）≈h（u）√πn，h（λ）=Z∞杜埃-λuh（u）=ψ（1，λ）λ，（204）{rk\\u delta\\u 4}，其中函数ψ（z，λ）在（170）中给出，并明确取决于跳跃分布φ（η）。最后，结合方程式（200）和（204），我们发现 1 hMi行为的平均记录数为[123]hMi≈ S（δ）√N，S（δ）=√πZ∞duφ（u+δ）h（u）。（205）因此，对于任意跳跃分布，平均记录数普遍增长√N（如δ=0的情况），而前置因子S（δ）明确取决于跳跃分布【123】。明确计算任意分布的S（δ）是一项非常困难的任务，只有在非常特殊的情况下才能得到精确的结果。例如，对于对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，一个结果是（δ）=（2/√π） e类-δ/b【123】。另一方面，对于具有幂律尾φ（η）的跳跃分布~ |η|-1.-u，当u>0时，我们发现S（δ）对大δ进行代数衰减，S（δ）~ δ-u+α，α=u/2表示u≤ 2，而α=1表示u≥ 2、参考文献【123】也研究了测量噪声ξ的影响。为了量化噪声的影响，可以考虑在步骤k ifXk+N（0，ξ）处记录x>最大值{x，···，Xk-1} ，（206）{def\\u record\\u gamma}，其中N（0，ξ）是零均值和标准偏差ξ的高斯随机变量，而x是跳跃的特征长度刻度。因此，在（206）中，项N（0，ξ）x模拟噪声测量的影响。在这种情况下，从数字上可以发现，对于随机游走，记录的平均数量仍在增长√N、 强相关时间序列56i的记录统计信息。e、 ，hMi≈ T（ξ）√N的振幅T（ξ）是ξ对所有ξ的递增函数。

因此，在这种情况下，噪声ξ导致记录计数错误，导致记录hMi的明显平均数大于实际数。我们请读者参阅参考文献[123]，以了解ξ记录的更多细节，特别是在扩散型实验中使用T（ξ）推断“信噪比”的可能性。7.2。高级记录的统计信息考虑由N i.i.d.随机变量X，X…生成的时间序列，xn具有连续密度p（X）。我们用Xmax表示，n个时间步后最后一条记录的值，即运行最大值的值：Xmax，n=max（X，X…，Xn），（207）{def\\u Xmax}，我们用hxmax表示其平均值，ni=un。（208）{def\\u max\\u av}。注意，我们使用下标n（而不是n）来强调这是一个运行最大值。因此，本研究仅限于具有有限平均值的分布。上级序列{X，X…，XN}是指运行最大值始终高于其平均值，即Xmax，n>u≤ N【126】。发现该事件的概率Sno随时间衰减~ N-β、 （209）{eq:Sn}，其中指数β是积分方程的根[126]。该指数是非通用的，取决于分布p（X）的选择。例如，对于均匀分布，β≈ 0.450，而对于指数分布，β≈ 0.621。后一个值是这个指数的上界，无论选择什么分布p（X）。类似地，序列次优（即runningmaximum始终低于其平均值）的概率也会随幂律衰减~ N-α、 （210）{eq:In}，其中指数α可显式计算，并取决于父分布p（X）。例如，对于均匀分布α=1，而α=e-γE=0.561459。，其中γEis是指数分布的Eulerγ常数。

这些结果与参考文献[126]中的实际地震数据进行了比较，我们可以参考这些数据了解更多细节。在随后的工作【127】中，这些结果被推广到一个强相关的时间序列，即在i步之后，xi对应于对称随机行走的位置（40）。虽然问题对于任何类型的随机游动都有明确的定义，包括列维自由度，但分析结果仅适用于平均值为零和有限方差的跳跃ηi，因此随机游动在大量步数后收敛到布朗运动。在这种情况下，已知平均运行最大值（208）增长为hXmax，ni≈p2/π√n代表n 1、行为（209）和（210）不适用【127】。指数β≈ 0.382和α≈ 0.241是抛物柱面函数的根D2β+1（p2/π）=0，D2α（p-2/π）=0。（211）请注意，该问题与存在吸收移动边界的扩散粒子的生存问题非常相似，移动边界的位置增长如下∝√t（例如，参见[23128]）。我们在本节结束时提到，对这些与列维飞行记录优劣相关的问题的研究仍然是一个具有挑战性的开放问题。强相关时间序列的记录统计577.3。有序maximaConsider的标度指数现在是N i.i.d.随机变量{X，…，XN}，具有公共分布p（X）。运行最大Xmax的图，nagainst n是一个楼梯，在连续出现的记录上有跳跃，如图1所示。现在考虑K≥ 1此类顺序。如果对应的阶梯没有交叉，这些序列就被认为是完全有序的。该事件的概率具有幂律衰减【129】：PN，K~ N-σK，（212），其中指数σkar仅在K=2，3，σ=1/2，σ时已知≈ 1.302931，（213），其中σ是某个超越方程的根。

对于后两种情况，概率PN，Kis是通用的，即它不依赖于分布p（X）。推测该性质在K>3时成立。指数的界限表明σK应随K增长，但σK的显式计算未知。如上文第7.2节所述，同样的问题可以推广到K个随机行走[130]。同样，PN，Kis是K个独立随机游走者的位置的最大值排序到步骤NPN，K的概率~ N-νK，（214），如数值模拟所示【130】。唯一的分析结果涉及两个ν=。（215）在[129]中给出了i.i.d.随机变量和随机游动之间的有趣联系，其中关系式νK≈ 观察到σK/2（数值）是一个很好的近似值。7.4。增量记录其他有趣的问题涉及记录增量的顺序，这在前面的第3.4节中的随机游走中已经讨论过。我们记得，如果其中一个用Rk表示时间序列的记录值，则定义的增量ρkare，fork≥ 1，通过ρk=Rk+1- Rk，如图9所示。直觉上，我们期望增量序列{ρ，ρ，····，ρM-1} 通常正在减少。事实上，随着时间的推移，当前记录的价值正在增长，下一个记录似乎不太可能在它的基础上大幅提高。出于这种直觉，Millerand Ben Naim提出了以下问题【131】：增量序列在步骤N之前单调递减的概率qnth是多少？这种增量单调递减的记录称为“增量记录”。该概率qnw首次在i.i.d.随机变量的情况下进行研究，其中父分布p（X）具有有限支持，p（X）=u（1- 十） u-1，对于0≤ 十、≤ 1，否则p（X）=0。

数值模拟表明，对于大的NQN，qn会明显减少~ N-ν、 N个 1，（216）{eq:Q\\u incremental.1}，具有非平凡指数ν，另外取决于u[131]。计算该指数ν非常困难，只有在u=1的情况下记录强相关时间序列58的统计信息，才能进行精确计算，这对应于变量Xi的均匀分布。在这种情况下，ν由“特征值”方程的解给出，可以用高精度数值计算，得到ν=0.317621。。对于u的其他值或变量xi的其他类型的分布，不存在分析解决方案。但是现有的结果已经表明，对于i.i.d.随机变量，QNis是另一个非平凡可观测的，它对父分布p（X）非常敏感。在随后的工作【81】中，该概率Qnw是在变量为（40）中随机游动的位置，具有连续对称跳跃分布φ（η）的情况下研究的。要计算QN，可以方便地将其写成QN=PM≥1QN（M），其中QN（M）是一个N步随机游走序列正好有M个记录并且记录增量单调递增的联合概率。该概率QN（M）由增量ρ和记录数P（ρ，…，ρM）的联合概率得出-1，M | N），通过将其积分到ρ>ρ>···>ρM上进行研究[见（116）]-1> 0。结果表明，这（M- 1） -可以精确计算一维嵌套积分[81]，这允许以非常简单的形式获得QN（M）相对于N的母函数，对所有M有效≥ 1XN≥0zNQN（M）=q（z）（M- 1） 哦！hf（z）iM-1，（217）分别表示生存概率（41）和首次通过概率（43）的生成函数q（z）和f（z）。

非常值得注意的是，对于连续对称跳跃分布φ（η），由于稀疏的Andersentheorem（50），在（217）中的生成函数是完全通用的，因为q（z）和f（z）本身是通用的。通过将M上的公式（217）从1到∞, 我们得到了QNas[81]XN的生成函数≥0zNQN=▄q（z）e▄f（z）=√1.- ze1-√1.-z、 （218）{GF\\u Q\\u increment}从（218），qnca可以显式计算，结果是[81]QN=erπKN+1/2（1）-NN=NXj=0N+jN-N-j（N- j） ！，（219）{eq:explicit\\u qn}，其中Kν（x）是指数ν的修正贝塞尔函数。例如，Q=1、Q=7/8、Q=37/48等。对于大N，我们发现Qn是一个幂律~A.√N、 A=e√π=1.53362，（220）适用于任何具有连续对称跳跃分布φ（η）的随机游动，因此即使对于L’evy flights也是如此。因此，在随机游动中发现的这一普遍结果与i.i.d.随机变量的结果截然不同，尽管QNalso在代数上衰变，但QN~ N-ν（216），它对变量Xi的分布更加敏感（包括指数ν）。结论在这篇综述中，我们介绍了具有随机条目的时间序列记录统计的各个方面。虽然自强相关时间序列59英尺的早期记录统计以来，该主题一直是一个研究主题，但大多数结果都是在条目为i.i.d.随机变量的情况下得出的。数学文献（参见教科书【40、41、42】）和最近的物理文献【18、36、48】都详细介绍了这种i.i.d.案例，其中记录研究再次受到关注。在这篇综述中，我们回顾了i.i.d.案件记录统计的主要结果。

特别是，这一部分还包含一些关于记录年龄统计的详细结果，在之前的调查中很难找到明确的结果。我们还注意到，即使在i.i.d.的情况下，仍然存在一些非平凡的开放问题，特别是关于记录增量的问题（见第7节）。本次审查的主要重点是时间序列的情况，这些时间序列的入口对应于aline上离散时间随机游走者/列维飞行的位置。这是具有强相关条目的时间序列的自然示例。通常，强相关时间序列的记录统计的计算是非常困难和具有挑战性的。然而，对于随机游走的情况，许多与记录统计有关的问题可以通过本文中回顾的分析来解决。这种情况下可解性的原因可以追溯到潜在马尔可夫过程的更新结构（见第3.1节）。正如本综述所强调的，计算与该时间序列的记录统计数据相关的各种观察值，与SparreAndersen定理（49）中编码的首次通过属性以及随机游动的极值统计数据建立了非常有趣的联系，这是由Pollaczeck Spitzer（168）和HopfIvanov（169）的复杂结果得出的。这些工具对于分析各种随机游动模型的记录非常有用，包括随机游动和带有线性裂缝的L’evy flights、受约束的随机游动（如随机游动桥）、连续时间随机游动以及多个随机游动。我们希望本综述中提出的分析方法将有助于研究其他强相关时间序列模型的记录统计，包括具有挑战性的非马尔可夫过程问题。

例如，在最近的一篇论文中，分析研究了完全连接晶格上随机行走者不同位置数量的记录统计数据[132]。尽管随机游走者的位置演化是马尔可夫的，但访问的不同地点数量的时间演化具有强烈的历史依赖性，因此是一个非马尔可夫过程。在其他非马尔可夫模型中，可以引用随机加速过程[133]（或离散时间内的综合随机游走），该过程根据Xi+1- 2Xi+Xi-1=ηi，其中ηi是i.i.d.随机变量。虽然在这种情况下Xi是一个非马尔可夫过程，但二维过程（Xi，Vi），其中Vi=Xi-xi-1是速度，是马尔可夫的。因此，有可能推广相空间中的更新结构，以研究随机加速过程的记录统计量。对于更一般的非马尔可夫过程，例如分数布朗运动，这种更新结构并不存在。尽管如此，首次通过特性以及极值统计可能为研究此类非马尔可夫过程的记录统计提供有用的指导和框架。感谢A.Bar、E.Ben Naim、B.Berkowitz、J.-P.Bouchaud、Y.Edery、J.Franke、R.Garcia Garcia、A.Kostinski、P.Krapivsky、J.Krug、A.Kundu、J.-M.Luck、I.Marzuoli、Ph.Mounaix、D.Mukamel、L.Palmieri、J.Pitman、A.Rosso、S.Redner，记录60年代强相关时间序列的统计数据。Sabhapandit、W.Tang、G.Wergen和R.M.Ziff，用于协作和有用的讨论。参考文献[1]K.N.Chandler，《记录值的分布和频率》，J.Roy。统计学家。Soc。，序列号。B14220（1952年）。[2] D.V.Hoyt，《天气记录和气候变化》，气候变化3，243（1981）。[3] G.W。

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