强相关时间序列的记录统计：随机游动和

主要结果摘要我们首先总结了随机步行桥记录的主要结果，并请读者参考参考文献[86]了解更多详细信息。与自由随机游走的情况一样，离散和连续跳跃分布产生不同的结果。但在这种情况下，对于连续分布，记录（和年龄）的统计数据并不是通用的，而是取决于跳跃分布φ（η）的细节。尽管如此，在大N的限制下，表征记录统计量的各种观察值（以大N的前导顺序）仅取决于L'evy指数u（73），而不取决于跳跃分布φ（η）的进一步微观细节。我们记得，theL'evy指数表征了跳跃分布^φ（q）=R的傅里叶变换的小参数行为∞-∞dηφ（η）eiqη≈ 1.- |luq |u，其中lu是跳跃的特征长度标度。让我们用M表示Nsteps之后随机行走桥的记录数。对于晶格随机游动，使用M和随机游动桥的最大值之间的关系（即，可以直接推广到桥的（69）中的关系），可以精确计算记录数的完整分布。特别是，对于较大的N，平均记录数仍会像这样增长√N【86】hMi≈√π3/2√N，（122）{ampli\\u mu\\u discrete}，但与自由随机行走（68）相比，振幅小一倍π/4。在大N极限下，随机变量的概率分布/√N收敛到由p（M | N）给出的平稳（即，N独立）分布≈rNgB√2米√NgB（x）=2 x e-xΘ（x），（123），不同于自由随机游动的对应项（71）。

注意，如（69）所述，极限标度函数是单位时间间隔上强相关时间序列36布朗桥的记录统计量的最大值之一。对于连续跳跃分布，平均记录数表现为ashMi≈ AB（u）√N，（124）{ampli\\u bridge\\u mu}，其中振幅明确取决于u。对u的依赖性相当复杂，只有当u=2时，才能使用resultAB（u=2）明确评估该振幅=√π、 （125）{ampli\\u mu\\u 2}，对于晶格随机游动，与其连续对应物（54）相比，它也小了一个因子π/4。对于任意连续跳跃分布，在第一时刻之后，对M的统计数据进行分析是相当困难的。然而，对于对称指数分布，可以获得完整分布的精确结果，这代表了u=2的情况[参见（73）]。在这种情况下，缩放变量M的分布/√当N达到极限分布时→ ∞[86]P（M | N）≈√NgB公司M√N, （126）{eq:gB\\u exp}，其中标度函数gB（x）与（123）中给出的晶格随机行走桥的标度函数相同。另一方面，对于破纪录概率QN[见（87）]，只有晶格随机游动和具有对称指数跳跃分布的随机游动才能获得精确结果。在这两种情况下，qn收敛到相同的常数，可以用imn给出的非平凡积分表示→∞QN公司=√πZ∞dy公司√ye公司-y1.-√πyF（y）exp[yF（y）]erfc[√yF（y）]式中，F（y）=erf(√y）+√πe-y√y、 （127）随机游走桥（127）屈服中积分的数值计算：limN→∞QN=0.6543037。

（128）不同于（95）中给出的自由随机行走特征，且略大于（128）。另一方面，对于晶格随机游动和对称指数跳跃分布，最长持续记录h ` max，Ni的平均年龄可以在大N极限[86]limN下精确计算→∞h`最大值，NiN=4Z∞dy公司-F（y）e-y+y F（y）erfc[√y F（y）]- e-y型/√πy1- F（y）！=0.6380640，（129），与自由随机游动不同，其严格小于QNin（128）的极限值。在[86]中进行了数值模拟，以估算数值qnas以及“max”，并发现与方程（127）和（129）中的预测非常一致。记录强相关时间序列37timeiNXBikxXBmax的统计信息，如图12所示。N=20步的晶格随机行走桥。这里的记录数是M=XBmax，20+1=6.4.2。主要结果的推导概述在本节中，我们给出了导致随机游走桥之前公布的结果的主要想法，更多细节请参考[86]。4.2.1。平均记录数。为了计算平均记录数hM，我们按照前面对等式（3）–（6）中i.i.d.情况的解释进行操作，并计算记录率rk，这是在步骤k处记录被破坏的概率，对于N个步骤的随机行走桥。确实有[见（57）]hMi=NXk=0rk。（130）{av\\u R\\u bridge.1}注意，与i.i.d.或自由随机游走的情况不同，人们期望该记录速率取决于k和N，因为随机游走桥必须在N步后返回到理论原点。

为了计算记录速率rk，需要以下两个量o自由格林函数（传播子）G（x，x，`），表示随机游走者在“步”之后从x开始在x处移动的概率（对于晶格随机游走）或概率密度（对于连续跳跃分布）。o约束格林函数G>（x，x，`），表示arandom walker从x开始，在`步之后，在x处移动，并在两者之间保持严格正的概率（对于晶格随机游动）或概率密度（对于连续分布）。为了计算rk，我们假设一条记录发生在步骤k，记录值为x（见图12）。这对应于步行者在步骤0从原点开始，在步骤k第一次达到x级，并在N步后返回原点的事件，因为我们正在考虑随机步行桥。在时间间隔[0，k]中，步行者从0传播到x，被限制在x以下。为了计算相应的传播子，我们将x作为空间的新原点，然后反转时间轴和坐标轴。因此，我们可以看到，在强相关时间序列38的记录统计数据中，在时间间隔[0，k]内，粒子以G>传播（x，0，k）。另一方面，在步骤k和步骤N之间（步行者在原点结束），步行者是自由的，因此以G（0，x，N）传播- k） =G（x，0，N- k） ，因为跳跃分布是对称的。然后，通过将该事件的概率积分到x上，得到记录率≥ 0，因为记录可以在任何级别x发生≥ 0（请注意，只有第一条记录，即k=0，x=0）。

利用随机行走在时间间隔[0，k]和[k，N]（马尔可夫）中的统计独立性，因此，对于N≥ 1： rk=G（0，0，N）Z∞dx G>（x，0，k）G（x，0，N- k） ，0≤ k≤ N- 1，（131）{expr\\u rm}其中我们除以G（0，0，N），因为我们考虑的是经过N个时间步（桥）后返回原点的随机游动。因为对于桥xbn=XB=0，记录不能在最后一步被打破，因为记录是由严格的不等式定义的[见（2）]。注意，在离散随机游动的情况下，必须用离散和替换（131）中x上的积分。对于任意分布和任意k和N，显式计算（131）中的记录速率是一项非常困难的任务，因为约束传播子G>（x，x，k）的计算只能在某些特殊情况下显式执行。这类可解的情况包括使用图像方法的晶格随机游动，以及使用所谓的Hopf-Ivanov公式的对称指数跳跃分布【84】。在这两种情况下，可以显式地计算任何N[86]的hM i，从而得出方程（122）和（125）中的结果。对于更一般的连续跳跃分布，尽管任何有限N的hMi的精确计算似乎都很困难，但我们现在讨论的是，可以执行大N渐近分析。正如我们将看到的，最终结果仅取决于L’evy指数0≤ u≤ 2描述随机行走的特征（73）。我们记得，平均记录数由（130）中的总和给出。k上的这个和由k的值控制~ O（N）如此之大，当 1【86】。因此，要计算（131）中给出的大k的记录速率Rk，可以用传播子G（x，0，N）代替-k） 和G>（x，0，k）按其缩放形式有效分叉，N 1，k/N固定，x 1，x/N1/fixed。

一个有索引（x，0，N- k）≈lu（N- k） 1/uRxlu（N- k） 1/u, （132）G>（x，0，k）≈lu√πk1/2+1/uR+xluk1/u, （133）其中标度函数归一化，即R∞-∞dx R（x）=1 andR∞dx R+（x）=1。我们记得，方程式（132）和（133）中的lu是跳跃的特征长度标度（73）。标度函数R（x）是（对称）L'evy稳定分布：R（x）=2πZ∞-∞dq e-iqxe-|q |u，（134）{eq:stable\\u dist}，尤其是R（0）=Γ（1+1/u）/π。对于u=2，它对应于高斯分布，而对于u=1，这是柯西分布。另一方面，对于一般u<2，没有明确的R+（x）表达式。对于u=2，一个hasR+（x）=2 x e-对于xΘ（x）和u=1，也可以将R+（x）显式写入强相关时间序列的记录统计信息39A积分[87，88]（x>0）R+（x）=-√xZg公司十五v-3/2（1- 五）-1/2dvg（z）=ddzπ（1+z）3/4exp-πZLLN u1+udu. （135）通过这种归一化（133），可以特别检查通过将（133）中的>（x，0，k）积分到x上，可以恢复生存概率q（k），这是步行者从原点开始到步骤k:Z保持正的概率∞dx G>（x，0，k）=q（k）≈√πk，作为k→ ∞ , （136）符合Sparre-Andersen定理[65]。通过将这些缩放形式（132、133）插入rkin（131）的表达式中，可以发现对于大k和N，k/N=y固定（0≤ y≤ 1） ：rk=√新罕布什尔州y=kN, （137）其中缩放函数readsH（y）=√πΓ（1+1/u）√y（1- y） 1/uZ∞dx R+（x）Rx（y）-1.- 1） 1/u. （138）最后，从记录率（137）的比例表中，得到一个shmi=nXk=0rc（k，n）≈ AB（u）√n，AB（u）=Zdy H（y）。（139）尤其可以检查AB（u=2）=√π/2，正如预期的那样，这与指数情况下得到的结果一致。请注意，尚未对振幅AB（u）作为u的函数进行详细分析，即使是数值分析。4.3。

年龄的联合分布正如我们在第3.1节自由随机游走中所讨论的，计算与记录相关的大多数可观测数据的完整统计信息（如记录数、最长持续记录的年龄‘max，或破纪录的概率QN）需要了解年龄的联合分布`、`、`Mand记录数字M，用P（~`，M | N）表示–自由随机游动见（46）。对于自由随机游走，可以计算任意跳跃密度φ（η）的联合分布，对于随机游走桥，已知有两种特殊情况，晶格随机游走和随机游走对称指数跳跃，我们现在分别讨论这两种情况。晶格随机行走桥。在这种情况下，页面集的联合分布``M与记录数M一起读取[86]P（`，…，`M，M | N）=P（~`，M | N）（0）G（0，0，N），（140），其中分子P（~`，M | N）（0）由P（~`，M | N）（0）=f（`）给出。f（`M-1） G级≥（M）- 1，0，\'M）δMXk=1\'k，N！，（141）{num\\u joint\\u discrete}强相关时间序列40的记录统计数据，f（`）是离散随机游动从x开始，在步骤`第一次到达x+1的第一次通过概率。In（141），G≥（x，x，k）是随机行走者从x开始，在k步之后到达x的概率，同时保持非负（即，它可能接触0，但不接触-1） 介于两者之间。请注意，此isG≥（M）- 1，0，`M），输入（141）中的表达式，而不是G>（M- 1，0，`M），因为记录由（2）中的严格不等式定义。

最后一个区块确保了随机游动回到原点，因此与自由随机游动（46）进入相同联合分布的最后一个区块不同，在这种情况下，自由随机游动的联合分布就是生存概率q（`M）。在（141）中进入该联合概率的构建块都可以显式地计算为晶格随机游动。首先，由于随机游动在平移下是可变的，因此第一次通过概率f（`）与X无关。对于离散随机游动，其生成函数由（45）和（62）~f（z）=X给出`≥1f（`）z`=1-√1.- zz，（142）{eq:gf\\u first\\u passage\\u rw}，从中我们推断出thatf（`）=0，`偶数(-（1）(`-1） /2个√π2Γ（1- `/2） Γ（3/2+`/2），`奇数。（143）{eq:first\\u passage\\u discrete}此外，约束传播子G≥（x，0，`）可以使用带有结果的图像方法简单地计算≥（x，0，`）=(```+x个-``+x+1, 如果`+x为偶数0，如果`+x为奇数。（144）从这种情况下完全明确的联合概率（141）中，使用（143）和（144），可以按照第3.1节中详述的线条，获得记录数、最长持续记录的年龄最大值或破纪录概率QnCa的完整统计信息，并得出方程式（123）、（128）和（129）中给出的结果。该联合概率（141）对于计算与晶格随机游走桥的年龄相关的任何可观测值都是有用的。对称指数分布的随机游走桥。对于对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，我们分析的起点相当于（140）中给出的晶格随机游动的联合分布。然而，由于φ（η）在这里是一个连续分布，因此这种计算比离散情况下更为精细。

事实上，当我们考虑随机步行桥时，步行者返回原路的最后部分的权重，即持续时间\'M的最后一段（见图11），涉及传播组织≥（Y，0，` M）=G>（Y，0，` M）（因为跳跃分布是连续的，所以这里没有联系），其中Y=XBmax，Nis是最后一条记录的实际值，它与N步后随机游走桥的最大值一致。对于晶格随机游走，记录数M和XBmax通过XBmax直接相关，N=M- 1但这种关系不适用于连续跳跃分布。因此，我们需要跟踪记录的数量和最后一条记录的值。这样做的一个方便方法是联合考虑记录增量ρk，它记录了第3.4节中介绍的关于随机游动记录增量的强相关时间序列41的统计数据[见（114）]，以及最大值。因此，我们引入了联合分布p（{k，ρk}1≤k≤M-1，`M，M，Y | N）年龄\'k，增量ρk，记录数sm和XBmax，N=Y（见图11）：P（{`k，ρk}1≤k≤M-1，`M，M，Y | N）=M-1Qk=1J（`k，ρk）G>（Y，0，`M）G（0，0，N）δM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（145）第3.4节中引入了数量J（`，ρ）[见（104）]，下文将进一步讨论。通过将（145）中的公式与ρkand Y积分，得到了\'kand M的联合分布，即离散情况下（140）的等价物：P（`，`，`，`，`，`，`，`，`M，M | N）=P（`，M | N）（0）G（0，0，N），（146），其中P（`，M | N）（0）=M-1Yk=1Z∞dρkJ（`k，ρk）×Z∞dY G>（Y，0，`M）δM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（147）注意，该公式（147）实际上适用于任何连续跳跃分布φ（η）。

然而，通常很难对其进行分析，主要是因为受约束的传播子G>（x，0，n）没有任何显式表达式（参见第3.4节中的讨论），这阻止了对该多重积分进行分析。幸运的是，对于指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e的情况，存在这样一个显式表达式-|η|/b，这是我们现在关注的。在这种情况下，构建块J（`，ρ）有一个显式表达式，上面给出了不等式（112）和（113）。通过将J（`，ρ）（112，113）的显式表达式注入（147），联合概率分布P（~`，M | N）（0）可以写为P（~`，M | N）（0）=M-1Yk=1f（`k）Z∞dY G>（Y，0，`M）e-Y/b×M-1Yk=1Z∞dρkbδM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（148）最后，使用identityM-1Yk=1Z∞dρkδM-1Xk=1ρk- Y=YM公司-2（米- 2） ！，（149）{eq：恒等式}通过在（149）的两边对Y进行拉普拉斯变换，可以很容易地表示出来，我们得到了`，M asP（~ `，M | N）（0）=M的联合概率的表达式-1Yk=1f（`k）q（M，`M）δMXk=1`k，N！，（150）q（M，` M）=（M）- 2） 哦！bM公司-1Z∞dY e公司-是/bYM-2G>（Y，0，`M），（151）记录强相关时间序列42的统计数据，因此其结构与离散情况（141）中发现的结构非常相似，但具有不同的构建块。此外，（151）中q（M，`M）关于`mca的母函数可以显式地得到为[86]~q（M，z）=X`≥1q（M，`）z`=b1-√1.- z（1+√1.- z） M级-1=（1-√1.- z） Mb zM-1.（152）{eq:GFq}从这个联合分布（150），连同方程式（112）和（152），可以计算与对称指数跳跃随机游走桥记录年龄相关的所有观测值的统计信息。