电力定价的逆向选择方法

换句话说，所有代理在不耗电的情况下具有相同的效用f:X'Y~nR`是代理类型在人口中的分布。正如逆向选择问题中的惯例，f应该被委托人知道。4.1代理问题让我们从定义代理可以使用的消费策略开始。如果消费策略c是一个从r0，T s到c的Borel可测图，我们用c P c表示，那么它将被认为是可接受的。给定一个tari fff P，即委托人提出的从r0，T s^R`到R的图，x P x类型的代理人通过解决以下问题来确定其消费，xq：“supcPCzT ` upt，x，cptqq ` ppt，cptqqdt。（4.1）委托人可以向代理人提供的报酬必须满足激励相容性（IC）和个人理性（IR）条件。在我们的环境中，没有道德风险，因此激励相容性条件是自动满足的。此外，（IR）条件可以通过接受合同p的代理类型的集合Xppq来表示，可定义为XPPQ：“tx P X，UApp，xqěHpxqu，具有一个连续且非递减的函数H，该函数表示不同类型代理的保留效用，也就是说代理可以通过与竞争对手签署其电力合同来获得效用。map UApp¨q小于H的代理将不会接受委托人提供的合同。我们现在准备我们对容许塔里夫的定义，使用了u'凸分析中的词汇。我们在附录A中重新整理了所有相关结果和定义，以供不熟悉该理论的读者使用。定义4.1。

如果满足任何pt、xq p r0、T s^Xppq集合Bèpèpt、xq为非空，则称tari ffp:r0、T s^C'Ynir可接受，用p p p表示。piiq地图xTh'Y'Y媫p媫pt，xq在x上是连续的，几乎所有地方都有可区分的Lebesgue，对于每个t p r0、t s和satisztzxˇBp媫Bxˇpt，xqdxdta\'8。piiiq如果定义地图c媫：r0，T s^r0，1s'Y~nR` byc媫pt，xq“BuBxpt，x，¨q'p'1q'BpèBxpt，xq'，，（4.2）然后p对tpt的限制，cq p r0，T s^C，Dx p Xppq，C“c媫pt，xqu是u媫凸的。让我们对上述定义进行评论。首先，正则性假设主要是技术性的。原则上，我们希望处理u媫凸的tari ffs p，因为它们完全以u媫变换p为特征，这将是我们稍后的研究对象。然而，我们可以要求更少。这里的要点是，因为只有clXppq类型的客户将接受合同，委托人只需面对这些客户选择的消费水平。此外，正如我们将在下一个命题中证明的那样，这个最优消耗量正好是cèpt，xq。因此，任何不属于Xppq预映像的消费c P c将永远不必被委托人考虑。特别是，在确定tari FFP的价值时，有一定的自由度。事实上，如果某些类型x的客户拒绝合同p，他们将拒绝任何价格更高的合同。这就是为什么我们不在C上施加u'凸的容许tari ffs，而只在集Xppq的相应预映像上施加容许tari ffs的原因。本节的主要结果是第4.2节。对于每个p p p和几乎每个x p Xppq，我们有UAPP、xq“zTpèpt、xqdt，并且在任何时间t p r0、t s的x型药剂的最佳消耗量由（4.2）中定义的cèpt、xq给出。

特别是，Xppq可通过p媫定义为以下Xppq“X媫pp媫q：#X p X，p媫pxq：“zTp媫pt，xqdtěHpxq+。4.2委托人的问题委托人设定了一个tari ffp p p p p作为其最大化问题的解决方案：“支持ppzT媫Xppqppt，c媫pt，XQQFPXX媫K媫T，XQDPQC媫c媫pt xqfpxqdx˙dt。（4.3）使用第4.1节的结果，我们可以根据p媫only asUP“suppPPzTzX媫pp媫q^u^T，X，^BuBxpt，X，¨q˙p'1q^Bp媫Bxpt，xq˙pp媫pt，xq˙fpxqdx'K^T，X媫pp媫q^bubbbj来重写该问题。XPT，X，¨q˙p'1q^BpèBxpt，xq˙fpxqdx˙dt，（4.4）现在从（4.2）中注意到，p媫在x中实际上是不递减的（因为xTh'Y~nupt，x，cq对于everypt，cq p r0，T s^C是不递减的）。然后，让我们考虑映射g的空间C\'，这样，对于每一个t P r0，t s，xTh'Y~ngpt，xq是连续的，并且不随ztzxˇBgBxpt，yqˇdydta\'8递减。我们实际上应该考虑放松原则RUPěUP的问题，由UP定义：“支持PCzTzX媫pp媫q^u^T，X，^BuBxpt，X，¨q˙p'1q^Bp媫Bxpt，xq˙p媫pt，xq˙fpxqdx K^T，zX媫pp媫q^BUBBBBJ XPT，X，¨q˙p'1q^BpèBxpt，xq˙fpxqdx˙dt，（4.5）我们忘记了p和p媫之间存在的隐含联系，这解释了为什么我们有一般的rupěUP。我们将在下面描述的框架中看到，我们可以给出两个问题不相等的条件。RUP的主要优点是它不再包含p媫必须是u媫凸的条件，这是一个不容易在完全通用性中考虑的约束。我们强调，问题已经得到了很好的界定，因为C的元素相对于x是非递减的，因此几乎在所有地方都可以区分Lebesgue。我们现在的目标是计算机化。

然而，目前的框架过于笼统，不希望获得明确的解决方案，这对我们的电价模型至关重要，因此在本文的其余部分，我们将重点关注具有电力型CRRA公用设施的代理的情况。4.3具有CRRA效用的代理人为了便于跟踪，我们应使用以下长期假设假设假设4.3。piq X“r0，1s.piiq我们有每个pt，X，cq P r0，T s^X^Cupt，X，cq“gγpxqφptqcγ，对于一些γP'8，0q Y p0，1q，一些map gγ：X'Y~nR'，它是连续的，如果γP p0，1q增加，如果γP'8，0q减少，对于一些连续mapφ：r0，T s'YИR'。让我们对效用函数的这种建模选择进行评论。术语gγpxq表示试剂为其消费付费的意愿，即他们对能源的需求取决于r型。φ这个词对于每种类型的代理都很常见，它表示（几乎）每个人都渴望在同一时间消费（例如白天而不是晚上）。此外，我们考虑了两种情况γP p0，1q，这将是classicalpower效用函数，以及γa0，这对应于代理实际无法避免消耗电力的情况，因为它将为他们提供等于'8的效用，这可能更现实。如前所述，采用γP p0，1q标识考虑工业代理，γa0更典型地指间接代理。方程式（4.2）现在可以写成ascèpt，xq“γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xq˙γ。（4.6）通过在等式（4.3）中插入前面的表达式，并使用thatppt，c媫pt，xqq“gγpxqφptqc媫pt，xqγ'p媫pt，xq，现在可以将要解决的松弛问题表示为RUP“supp媫PCzTzX媫pp媫q^gγpxqgγpxqBp媫Bxpt，xq'p媫pt，xq˙fpxqdx'K^T，zX媫pp媫q^γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xq˙γfpxqdx˙dt。（4.7）下一节的目标是解决问题RUP。

在第5节中，我们将重点讨论reservationutility H为常数的特殊情况，并将考虑更一般的情况，其中它可能取决于第6.5节中的代理类型常数reservation utility我们在本节中考虑的是与代理的保留效用相关的进一步简化，我们假设该效用与代理的类型无关。第6节将放宽这一假设。假设5.1。保留实用程序H实际上独立于x，isHpxq“：H，对于每x P r0，1s。当函数H为常数时，接受任何tari ff的代理集成为一个间隔。事实上，在假设4.3和5.1下，（IR）条件降低了toX媫pp媫q“#x P r0，1s，zTp媫pt，xqdtěH+。由于P媫在x中是非递减的，我们对任何xP r0，1s都有zTp媫pt，xqdx媫H，@xěx。因此，集合x媫pp媫q必须具有x媫pp媫q”rx，1s的形式，其中xP r0，1s需要确定和验证通过连续性，Pèpxq“H.这意味着委托人将只选择高类型的代理，大于某个值x。我们现在可以研究委托人问题的等效公式，其中我们首先选择x，然后优化tari fff，其中xèppèq正好是rx，1s。因此，问题（4.7）可以写成RUP“supxPr0,1 supp媫PC ` pxqzTzx^gγpxqgγpxqBp媫Bxpt，xq'p媫pt，xq˙fpxqdx'K^T，x^γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xq'γfpxqdx˙dt，（5.1）带C`pxq：“#pèp C”，zTpèpt，xqdt”H+“pèp C”，Xèppèq”rx，1s.（配方（5.1）方便，因为它可以将问题简化为一维问题。为了做到这一点，我们首先需要为每个x在集合C\'pxq中找到最佳映射p媫。最后，我们将再次重写主体的松弛问题，以便只关注u'变换p媫的导数。用F表示代理类型的累积分布函数。

通过部件集成，我们为每个xP r0、1s和每个p媫p C ` pxqzTzx^gγpxqgγpxqBp媫Bxpt、xq'p媫pt、xq'fpxqdx'K^T、x^γφptqgγpxqBp媫Bxpt、xq'γfpxqdx˙dt“zTzx^gγpxqgγpxqfpxq\'F pxq\'1˙Bp媫Bxpt，xqdx\'K^T，x^γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xqγfpxqdx˙dt ` pF pxq'1qzTpèpt，xqdt。因此，我们最终会遇到最大化问题RUP“supxPr0,1supp媫PC\'pxqzTzx\'gγpxqfpxq\'gγpxqF pxq\'gγpxqgγpxqBp媫Bxpt，xqdx\'K^T，xqdx^γφptqgγpxqBpzBxpt，xq媫γpxqdx˙dt ` pF pxq'1qH。（5.2）我们现在可以陈述本节的主要结果，提供放松问题的解决方案和条件，然后我们可以恢复原始问题的解决方案。为了便于演示，我们引入了以下函数\'pxq:“zx ”gγpxqfpxq\'gγpxqF pxq\'gγpxq‰`fγpxq,1'γdx，xP r0，1s。定理5.2。假设4.3和5.1保持不变。我们得到了（5.1）中的最大值，对于mapsp媫pt，xq“p媫pt，x，x媫q'xx'gγpyqγ'φptqγ”gγpyqfpyq'gγpyqF pyq'gγpyq‰`fpyqBKBcpt，Apt，xèqqγ1'γdy，x p r0，1s，其中Apt，xq定义为Apt，xq：“x^γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xq˙γfpxqdx.和x媫是mapr0、1s Q xThzT^BKBcpt、Apt、xqqmpt、xqp˙dt ` pF pxq'1qH的任何最大化器，带mpt、xq：“φ1'γptq ` pxqγBKBcpt、Apt、xqq'1'”γ，pt，xq P r0，T s^r0，1s和T'Y'YИP媫pt，x媫Q是任何映射，使得zTp媫pt，x媫qdt“H”。例如，可以选择P媫pt，x媫Q：“H{T，T P r0，T s.piiq为任何pt定义P，cq P r0，T s^R ` byppt，cq“supxPr0,1s”gγpxqφptqcγ'P媫pt，xq*。如果在r0上定义的map，1s byxTh'Y~ngγpxq'gγpxfqfpxq'gγpxq'fpxq'γ1'γ为非递减，则P媫是u'凸的，P是问题的最佳塔系数（4.3）。

此外，委托方仅与x P rx媫，1s型代理人签订合同。piiiq最后，在γP p0，1q的情况下，如果f是非递增的，则mapβ：xTh'Y~npgγpxqfpxq ` gγpxqF pxq'gγpxqFγpxq，在集合L上增加：“tx P r0，1s，βpxqa0u，那么x媫是唯一的，其特征为方程^1'γγ˙φptq1'γβpx媫q'BKBcpt，Apt，x媫qq'γ1'γ“fpxèqH。如果f在L.5.1上是非递减的，而β在L.5.1上是递减的，则在γP P'8，0q的情况下，同样的结果成立。我们坚持定理5.2中定义的tari ffp在定义上是u'凸的，并且它是有限的，因为它是作为紧集上的连续函数的上确界来写的。为了验证P P P，因此只需要确保p媫实际上是p的u'变换（如果p媫是u'凸的，则是这种情况），并且满足其他所需的性质。在此，我们将考虑一个简化的框架，其中所有计算都可以明确地完成。假设5.3。对于一些na1，byKpt，cq，给出了代价函数K：“kptqcnn，pt，cq P r0，T s^R”，对于一些映射K:r0，T s'Y~nR媫”。

此外，药剂类型分布均匀，即f pxq“1，weimpose gγpxq：”x1γPp0，1q\'p1\'xq1γa0，对于每个x P r0，1s。在假设5.3下，我们有apt，xq“φptqkptq˙n'γ\'1'γn'γpxq，最大化问题变成了supxPr0,1s'γ'n'T'φptqnkptqγ˙n'。γdt ` pxqnp1'γqn'γ'px'1qH+。定义γpT q：“γ'n'T'φptqnkptqγ'n'γdt，Φpxq：“BγpT q ` pxqnp1'γqn'γ'px'1qH，其中我们强调，由于na1，当γP p0，1q时，我们很容易得到BγpT qa0，而当γa0时，我们很容易得到BγpT q0。此外，我们提醒读者，当γ0时，代理的保留效用必然是非负的，而当γa0时，它必须是负的，因为效用函数本身是负的。在此设置中，su松弛问题的解pè的u'凸性的nt条件是满足的。因此，我们的结果重写了这种情况下的定理5.4。

假设4.3、5.1和5.3成立。piq如果γP p0，1q那么，对于任何pt，cq P r0，T s^R′byppt，cq“φptqcγ2γ`^φptq'1'γ1'γM ptq'1'γc'HT'Mptqp2x'1q1'γ，其中mptq“1'γ2γ'2p2'γq1'γpn'γpn'1qn'γ710φnptqkγptq'n'γ'1'p2x'1q2'γ1'γpn'1qn'其中x媫是方程h的p1{2，1q中的唯一解“2nAγpT q2'γn'γp2x'1q1'γ'1'p2x'1q2'γ1'γ'γpn'1qn'γ。此外，只有xěx'类型的代理商才会接受合同。如果γ'0，则为任何pT、CQP r0、T s^R'byppt、cq'γc^'φptqγ'γ'1'γ给出最佳tariff p p p p p xMptq,1'γ'HT'xMptqp1'pxèq1'γ，其中xMptq“1'γγ^2'γ1'γ˙γpn'1qn'γ^γφnptqkγptq'n'γp1'px'q'γp2'γqpn'1qpn'γqp1'γq，其中px'：“^1'n'γnp1'γqBγpT qH'n'γnp1'γq'γ2'γ1'γ729;'γpn'1qnp1'γq'γnnp1'γq'γ'γ'γ'γ'''''''''此外，只有x类代理人会接受合同。6类型相关的保留效用在本节中，我们研究了保留效用H是x P r0、1s类的一般连续非递减函数的情况。本案例与由于我们不能再保证与委托人签订合同的代理人的集合通常是一个间隔。我们所能说的最好的是，在H上的适当条件下，集合Xèppq与开放区间的可数并集是不可区分的。然而，这一事实不允许我们降低委托人问题的维度，甚至不能保证其解决方案的存在。出于这个原因，我们需要对可受理的证据集施加一些额外的结构，以获得一个适定的问题。具体地说，我们将考虑一组新的可容许塔里夫，它包含在一个反射Banach空间中，我们将使用泛函分析的经典结果来证明委托人问题的解的存在性。

考虑到这一目的，我们引入以下Sobolev类空间。定义6.1。对于X的任何'1和任何开子集O，我们用W1表示'xpOq映射的空间q:r0，T s^O'Y~nR，其中存在一个空集N pqqAr0，T s pf，对于满足每个T P r0，T szN pqt的Lebesgue测度q，对于每个T P r0，T szN pqt，X q属于W1，'pOqand使得}`，O：“zTzO | qpt，xq | ` dxdt,`zTzOˇBqBxpt，xqˇ` dxdt,` 259; 8。备注6.2。对于本文的其余部分，对于属于某个空间W1，` xpOq的每个映射q，集N pqq将参考定义6.1中提到的一个。对于本节的所有分析，我们固定一个数字ma1，以便mγa259; 1.我们现在准备对可接受的关税进行新的定义，即ay通常的Sobolev映射空间，允许弱一阶导数。定义6.3。如果除定义4.1外，还满足pèp W1，mxpoXq，则当H不是常数时，可以使用tari ffp:r0，T s^R ` 221; nir。在这种新的环境中，负责人提供了一种tari ffp PpP，它解决了她的最大化问题：“SuppppzTzX媫pp媫qppt，c媫pt，xqfpxqdx'K^T，zX媫pp媫qc媫pt，xqfpxqdx'729;dt。（6.1）在前面的章节之后，我们将考虑UPěpUP的问题，在该问题中，我们放弃了u'凸性属性，定义为UP“supp媫PpCzT'X'pp'q^gγpxqgγpxqBp'Bxpt、xq'p'pt、xq'fpxqdx'K^T、zX'pp'q^γφptqgγpxqBp'Bxpt、xq'729;γfpxqdx˙dt，（6.2）其中pc `“C ` XW1，mxpoXq。我们的目标是解决松弛问题，并给出其解与解决方案补足一致的条件。为了便于阅读，我们提供了获得结果所需的主要步骤。o确定了X媫的结构。每当H不递减时，我们证明X媫是一个可数的区间并集。