电力定价的逆向选择方法

如果H是另外一个凹面，则X媫的形式为R0、bsYra、1s，这意味着委托人选择效率最高和最低的代理人在凹形情况下，使用X媫的结构，我们将主体的目标重写为a和b的有限维函数。该函数的最大值可通过标准优化技术确定我们最终验证问题的解决方案p媫是否满足初始问题PUP的条件，即它是可接受的。通过这样做，我们可以得出结论，这两个问题的解是一致的，它由p媫给出。因此，我们转到保留效用函数H，回顾它决定了集合X媫pp媫q的结构。为了避免该集合的复杂形式，我们对g、H和f做出以下假设。假设6.4。函数g和H使得对于每个x P r0，1sgγpxqgγpxqdHpxqHpxq。（6.3）此外，以下mapsvpxq：“gγpxq^”gγpxqfpxq ` gγpxqF pxq‰`fpxq˙γ1'γ，vpxq：“gγpxq^”gγpxqfpxq'gγpxqF pxq'gγpxq‰`fpxq˙γ1'γ，在r0、1s上不递减。备注6.5。条件（6.3）相当于保留效用的弹性小于支付消费的意愿的弹性。例如，在γP p0，1q的情况下，当H为常数时，它会自动满足，如果gγpxq“x”，则（6.3）减少到H为凹形。对于gγpxq”x，如果试剂的分布是均匀的，并且在某些情况下是β分布，则vand vare会增加。同样，在γa0的情况下，如果gγpxq“1'x”和Hpxq“xα具有αa1，则（6.3）成立。

另一方面，例如，当αě1'γ时，fpxq“1”和gpxq“xα，αP p0，1s，然后v，vare增加。以下命题表明，当条件（6.3）时如果代理的效用恰好是其在Lebesguemeasure为正的集合上的保留效用，那么对于委托人来说，它实际上从来都不是最优的。提案6.6。假设4.3和6.4成立，设p媫PpC `为任何函数，使得setY媫pp媫q：“tx p r0，1s，p媫pxq”Hpxqu具有正的Lebesgue测度。那么p媫对于问题（6.2）不是最优的。对于β分布，fpxq“Cα，βxα'1p1'xqβ'1，并且如果α”1或β“1我们现在可以将主体问题划分为子区间。由于前面的命题，我们可以考虑在不损失一般性函数pèPpC `的情况下，使Yèppèq的勒贝格测度为零。对于这些函数，我们定义了setpXèppèq：“XèppèqzYèppèq“tx P r0，1s，PèpxqaHpxqu，它通过连续性是r0，1s的一个开放子集。由于Xè和Pè是连续的，我们可以将Xèppèq上的所有积分替换为覆盖Xèppèq的积分，我们可以将后一个集合写入开放不相交区间的可数并，即ispXèppèq：“r0，bq Ydn1pan，bnq Y pa，1s，对于某些aP p0，1s，bP r0，1q，和0aanabna1，@ně0。我们表示a：“panqně0，b：“pbnqně0并定义一组成对的pa、bq。与前一节类似，我们将使用集合X媫pp媫q的特征描述来描述委托人的问题。对于每个可能的集合X媫pp媫q，我们将解决子问题，其中塔里费集合减少到接受合同的代理集合正好是X媫pp媫q的集合。

对于任何pa，bq P A，我们定义了setX媫pa，bq“r0，bq Ydně1pan，bnq Y pa，1s。因此，我们可以编写“suppa，bqPAsupp媫PC媫pa，bqzTX媫pa，bq^GPXQBP媫Bxpt，xqP媫pt，xq˙fpxqdx KT，zX媫pa，bq^γφptqgpxqBpèBxpt，xq˙γfpxqdx˙dt，（6.4），其中C`pa，bq由所有地图p嫀PpC `给出，因此Pxèppèq“Xèpa，bq。备注6.7。案例b“0代表pèpbqaHpbq，案例a”1代表pèpaqaHpaq。通过连续性，我们为每个ně1有pèpanq”Hpanq和pèpbnq“Hpbnq”。对于固定pa，bq p a，定义运算符ψpa，bq:Cèpa，bq\\由ψpa、bqppèq生成的221~nR：“zTzX媫pa，bq^gγpxqgγpxqBp媫Bxpt，xq'p媫pt，xq'fpxqdx'K^T，zX媫pa，bq'γφptqgγpxqBp媫Bxpt，xq'γfpxqdx˙dt。如前所述，我们关注的是签订合同的代理集是固定的问题。定义nepPa，bq suppèPCèpa，bqψpa，bqppèq。我们的第一个结果给出了上述有限维优化问题的解的存在性，并要求以下假设，其中主要涉及成本函数。为了获得良好的矫顽力性能，需要使用该假设6.8。成本函数K满足以下增长条件kpt，cqěkptqcn，@c P c，其中映射K:r0，T s'Y~nR`从下方以某个常数Ka0和ně1为界。此外，我们有：“inf”kptq^γf pxqφptqgγpxq˙n，pt，xq P r0，T s^r0，1s*261; 0。我们现在有命题6.9。假设4.3，6.4和6.8成立。对于每个pa，bq P A，优化问题pPa，bq至少有一个解。接下来，我们获得问题pPa，bq的必要最优性条件。

从备注6.7中回顾，（IR）条件在每个an，bn处具有约束力，通过部分积分，我们可以重写ψpa，bqasψpa，BKPP媫q“Tzb ` gγpxqfpxq ` gγpxqF pxqgγpxqBp媫Bxpt，xqdx ` a ` gγpxqfpxq ` gγpxqF pxq ` gγpxqgγpxqBp媫Bxpt，xqdx,dt ` n“1zTzbnan ` gγpxqfpxq ` gγpxqF pxqgpxqBp 23211BXPTt，xqdxdt'K^T，zp0，bqYTně1pan，bnqYpa，1q^γφptqgγpxqBpèBxpt，xq'γfpxqdx'dt'n“1F panqHpanq'n”1F pbnqHpbnq'F pbqHpbq'pF paq'1qHpaq。（6.5）为了简化符号，表示APT，a，bq：“zXèpa，bq^γφptqgγpxqBpèBxpt，xq˙γfpxqdx。定理6.10。假设4.3、6.4和6.8保持不变，并假设pè是pPa、bq的解。考虑一个区间“px”，xrqèXèpa，bq，使得pèpxèq”HPQ和pèpxrq“Hpxrq。然后，存在一个空集NAr0，T s和一个常数uT，对于每个T P r0，T szN，在IDpa，1q的情况下，以下最优性条件满足PIQ，对于每个x P I，我们有bpèBxpt，xq“～φptqγ”gγpxqfpxq`gγpxq`gγpxquT‰`xqqbkbcpt，Apt，a，bqq,γ1'γgγpxqγ。（6.6）在IDp0，bq Yně1pan，bnq的情况下，对于每x P I，我们有bpèBxpt，xq“～φptqγ”gγpxqfpxq`gγpxqF pxq`gγpxqut‰`fpxqBKBcpt，Apt，a，bqq,γ1'γgγpxqγ。（6.7）定理6.10的证明包括以下附录D.2中给出和证明的几个技术命题。即使在解决了子问题pPa、bq之后，回归公国放松问题的主要困难是集合A的有限维。然而，方程式（6.6）和（6.7）让我们对接受合同的代理集合中的最优关税行为有了一些了解，以及如何使用它来获得问题的有限维公式。在假设6.4下，当（IR）条件不具有约束力时，最优tari ff在区间上是凸的。

这是本节的最后一个结果，也是函数vand vare非递减的直接结果，这使得p媫的导数也非递减。当函数H严格凹时，凸性性质将允许我们在下一小节中完全解决主体问题，因为A将减少到a2维集。最后一小节提到了其他情况，其中A也是有限维的，因此可以很容易地解决主体问题。提案6.11。假设4.3、6.4和6.8成立。设p媫为问题pPa、bq的解决方案。那么P媫在P媫严格大于H.6.1严格凹保留效用的每个区间上都是凸的。在本节中，我们假设代理的保留效用函数是严格凹的。假设6.12。映射xTh'Y~nHpxq是严格凹的且非递减的。baP媫pxqhpxq图8:pX媫pp媫q表示严格凹H。假设6.12的主要结果是以下简单结果，这表明我们总是可以将注意力限制在集合X媫，其中只有最有效和效果较差的代理签署合同。提案6.13。假设4.3、6.4、6.8和6.12成立。设pa，bq P A为某些ně1的0aanabna1。然后，问题pPa、bq的解决方案对于问题（6.2）不是最优的。在本节的其余部分中，我们首先在一些隐式假设下推导出一般解，然后，在假设5.3.6.1.1的背景下，通过一个例子证明了后者。一般关税主张6.13意味着（6.4）的解决方案是在一些p媫令人满意的px媫pp媫q“r0，bq Y pa，1s下获得的。我们期望最优关税看起来像图8中的曲线。然后让我们定义setA：“pa，bq p r0，1s，bda（.定理6.10只给出了关于问题pPa，bq，对于pa，bq P A的解的部分信息。

现在我们假设H是严格凹的，我们实际上可以用下面的命题来精确必要的最优性条件，它告诉我们，在r0，bq和Pa，1s形式的区间内，常数u的值为零。提案6.14。假设4.3、6.4、6.8和6.12成立。设p媫为pa，bq的解，对于pa，bq，p a，and，如定理6.10所示。然后存在一个空集NAr0，T s，使得对于每个T P r0，T szn定理6.10的最优性条件保持为uT“0。根据第5节的计算，我们定义了，a，bq：“gp'1qK^φptq1'γzb^rgpxqfpxq'gpxqF pxqs'fγpxq'1'γdx'φptq1'γza^rgpxqfpxq'gpxqF pxq'gpxqs fγpxq'1'γdx'在精神上与提案6.13的目标相似，因为它允许排除pa、bq P a、bq P a、gpxqs的许多规范子问题pPa、bq的解决方案并没有解决一般的relaxedproblem UP。提案6.1假设4.3、6.4、6.8和6.12成立。设p媫为pPa，bq的解。

如果γpa，bq：“zT▄φptqγ”gγpaqfpaq▄gγpaqF paq▄gγpaq▄fpaqBKBcpt，Apt，a，bqq▄γ1'γgγpaqγdtaHpaq，或ψγpa，bq：“zT▄φptqγ”gγpbqfpqfpbqpbq▄gγpbqF pbq▄fpbqbcpt，Apt，a，bqq▄γ1'γgγpbqγdt 261 Hpbq，然后解决问题pPa、bq不是问题的最优值（6.2）。根据命题6.15的结果判断，很自然地可以确定所有对pa、bq P afo的集合，即Ξγpa、bqěHpaq、ψγpa、bqdHpbq。由于提案6.15，因此，我们将问题减少到“suppa，bqPAzT>>–φptq1'γ'pa，bqγ'BKBcpt，Apt，a，bqqγ1'γ'K¨T，φptq1'γ'pa，bq'BKBcpt，Apt，a，bqq'1'γ'bq'fft'θpa，bq”，其中我们滥用了符号并定义了相应的函数“pa，bq：”b'rgpxfqfpxq'gpqfpxq xqf pxqs ` fγpxq,1'γdx'a'rgpxqfpxq'gpxqF pxq'gpxqs'fγpxq'1'γdx，θpa，bq：“'F pbqHpbq'pF paq'1qHpaq。由于所有这些映射在r0，1s上都是连续的，因此在某些pa媫，b媫q pa上可获得上述紧集的上确界。因此，我们证明了本节定理6.16的主要结果。假设4.3，6.4，6.8和6.12成立。我们得到了（6.2）中的最大值，用于mapp媫，xq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'8;γ1'γzxaèvpyqdy，如果x P paè，1s，其中èPèpt，xq是关于xq的任何连续且非递减的映射P，使得zTèPèpt，bèqdt“Hpbèq，zTèpèpt，aèqdt”Hpaèq，zTèpèpt，xqdtaHpxq，对于所有x p pbè，aèq.piiq定义p，对于任何pt，cq p r0，T s^R\'，byppt，cq：“SUPXR0,1s”gγpxqφptqcγèpèpt，xq*。如果pè在xè上是u凸的pp媫q，则p是问题的最佳tari ff（6.1）。此外，仅委托人签名与x P r0、bès Y raè、1s型代理签订合同。6.1.2幂型成本函数与H独立于x的情况一样，只要假设5.3成立，计算就会变得简单得多。

让我们注意Rγpa，bq“1`p2bq2'γ1'γ'pp2a'1q'q2'γ1'γ，如果γP p0、1q和Rγpa，bq“1'pp1'2bq'q2'γ1'γ'p2'2aq2'γ1'γ，如果γ'0。然后，函数'和A由'γpa、bq“1'γ2p2'γqRγpa、bq、Apt、A、bq给出任意pt、A、bq、P r0、T s^A的函数'和A第“φptqkptq˙n'γ\'pa，bq1'γn'γ。因此，为了获得pa媫，b媫q，我们必须求解suppa，bqPA'γ'n'T'φptqnkptqγ'n'γdt'pa，bqnp1'γqn'γ'bhpbqq'pa'1qHpaq。（6.8）现在让我们计算相关的tariff p，并检查p是否确实属于p和其u'变换为p媫。固定体T p r0、T s和definenγ：“γ1'γp1'γqγ^2p2'γq1'γ˙γpn'1qn'γ^φnptqkγptq'n'γRγpa，bq'γpn'1qn'γ。回想命题6.15，如果γP p0，1qpp2a'1qγ1'γγpa'，b'qγpn'1qn'γT'φptq，则必须满足以下不等式qnkptqγ˙n'γdtěHpa媫q，p2b媫qγ1'γγ'pa媫，b媫qγpn'1qn'γT^φptqnkptqγ˙n'γdt Hpb媫。（6.9）piiq Ifγa0'p2p1'a'qγ1'γγ'pa'，b'qγpn'1qn'γ'T'φptqnkptqγ'n'γdt'Hpa'q'2b'qγ1'γ'pa'，b'qγpn 1qn'γ'T'φptqnkptqγ'n'γdt Hpb媫q.（6.10）特别注意，当γP p0，1q，（6.9）意味着a1{2，因为H在增加。通过第5.1节中类似的计算，我们计算了如果γP p0，1qp媫pt，xq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'^x''''1'γ''a''''''''1'γ'''，如果x P pa媫，1s，piiq如果γ'0p媫pt，xq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'实际上，在这种情况下，当且仅当以下隐式假设成立时，映射P媫将是u媫凸的。假设6.17，（6.8）的解pa媫，b媫q是这样的，B媫a媫。本例的主要结果如下。定理6.18。

假设4.3、5.3、6.4、6.8、6.12和6.17保持不变，则给出了任意pt、cq p r0、T s^R′的最佳tariff p PpP，当γp p0、1q byppt、，cq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'φptqcγ2γ\'φptqLγptqγ'1c\'Nγ'a''''''''''''''''''Hpa'qT媫a媫'''1'γ，φptqLγptqγ'1c'Hpb'qT'Nγpb'q1'γ，如果0dcdLγptqpb'q1'γ，当γa0 byppt时，cq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'γ，φptqcγ2γ'φptqLγptqγ'1c'Nγ'b˙1'γ'HpbèqT，如果Lγptq'b˙1'γac，其中Lγptq：“'γNγp1'γqφptq'γ，其中pa媫，b媫q是suppa、bqPACpT qRγpa、bqnp1'γq2'γ'bHpbq'pa'1qHpaq的最大值。此外，委托人将仅选择具有类型x P r0、b媫s Y ra媫、1s的客户。6.2一般保留效用在本节中，我们想指出，为了解决P r0、b's Y ra'1qHpaq的问题，保留效用函数H的假设不是强制性的问题（6.2）。我们打算解释在哪些其他情况下我们可以希望解决这个问题，以及可以遵循什么程序来解决这个问题。为了将松弛问题简化为有限维问题，我们需要H最多有有限个具有严格凸函数的交点。如果H满足这一性质，那么我们将能够验证类似于命题6.13的结果，并且我们将得出结论，最优集合^Xèppèq是r0，1s中包含的区间的有限并集。下一步是证明拉格朗日乘数utin定理6.10等于零，例如使用局部扰动，正如我们证明命题6.14所做的那样。

这将允许通过使用相应的辅助映射Apa、bq明确求解最优性条件（6.6）和（6.7）。满足有限交点特性的保留效用函数的一个有趣例子是“常数-线性”情况，下面将介绍这一情况，并引出一个三维优化问题。示例6.19。假设对于某些α，βě0和xhP r0，1s，H的形式为hpxq“#β，如果x P r0，xhs，αpx'xhq'β，如果x P rxh，1s。这种保留实用程序说明了这样一个事实，即所有代理，无论其对功耗的偏好如何，都至少应该接收到最低级别的实用程序，在这种情况下是β。