经验模式下不同时间尺度的动态相关性

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英文标题：
《Dynamic correlations at different time-scales with Empirical Mode
  Decomposition》
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作者：
Noemi Nava and T. Di Matteo and Tomaso Aste
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The Empirical Mode Decomposition (EMD) provides a tool to characterize time series in terms of its implicit components oscillating at different time-scales. We apply this decomposition to intraday time series of the following three financial indices: the S\\&P 500 (USA), the IPC (Mexico) and the VIX (volatility index USA), obtaining time-varying multidimensional cross-correlations at different time-scales. The correlations computed over a rolling window are compared across the three indices, across the components at different time-scales, at different lags and over time. We uncover a rich heterogeneity of interactions which depends on the time-scale and has important led-lag relations which can have practical use for portfolio management, risk estimation and investments.
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中文摘要：
经验模态分解（EMD）提供了一种工具，用其隐式分量在不同时间尺度上振荡来表征时间序列。我们将此分解应用于以下三个金融指数的日内时间序列：标准普尔500指数（美国）、IPC指数（墨西哥）和VIX指数（美国波动率指数），获得了不同时间尺度下的时变多维互相关。在滚动窗口中计算的相关性在三个指数、不同时间尺度、不同滞后和随时间变化的分量之间进行比较。我们发现了依赖于时间尺度的交互作用的丰富异质性，并且具有重要的led滞后关系，可用于投资组合管理、风险估计和投资。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Dynamic_correlations_at_different_time-scales_with_Empirical_Mode_Decomposition.pdf (1.57 MB)

2022-6-1 06:24:17 上传

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关键词：相关性 correlations Applications Mathematical interactions

不同时间尺度下与经验模式分解的动态相关性Noemi Navaa，b，T.di Matteoa，b，c，d，Tomaso Astea，计算机科学baDepartment，University College London，Gower Street，London，WC1E 6BT，UKBSystem Risk Centre，London School of Economics and Political Sciences，London，WC2A2AE，UKCD数学系，King\'s College London，The Strand，London，WC2R 2LS，英国复杂科学中心（UKdComplexity Science HubJosefstaedter Strasse 39），地址：奥地利维也纳，邮编：1080。经验模态分解（EMD）提供了一种工具，可以根据时间序列的隐式分量在不同时间尺度上振荡来表征时间序列。我们将此分解应用于以下三个金融指数的日内时间序列：标准普尔500指数（美国）、IPC指数（墨西哥）和VIX指数（美国波动率指数），获得不同时间尺度下的时变多维交叉相关性。通过arolling窗口计算的相关性在三个指数之间、在不同时间尺度上、在不同滞后和随时间变化的成分之间进行比较。我们发现了依赖于时间尺度的丰富的交互异质性，并且具有重要的led滞后关系，可用于投资组合管理、风险估计和投资。关键词：时间尺度相关、时间相关、经验模式分解1。金融时间序列中的相关性结构金融时间序列是相互关联的，这些相关性的结构反映了重要的市场属性[1、2、3、4]。金融市场运营商邮箱：t。aste@ucl.ac.uk（Tomaso Aste）于2017年8月23日在不同时间范围内提交给爱思唯尔的预印本【5】，描述不同时间尺度下市场价格之间的关系对于捕捉投资组合管理、风险管理和投资的市场动态复杂性至关重要【6、7、8、9】。

众所周知，股票回报率之间的相关性随着时间的推移而变化（例如，参见[2、10、11、12]）。金融资产之间的相关性是如何随时间尺度变化的，这一点毋庸置疑。大多数研究只关注特定的时间尺度。然而，不同时间尺度的相关性变化具有重要的实际后果。事实上，如果两种资产之间的相关性在不同的时间尺度上有所不同，那么具有短期和长期视野的市场参与者具有不同的风险敞口，必须根据相关谱的不同部分调整其策略。此外，研究相关性的时间依赖性和时间尺度依赖性动态，可以深入了解具有不同策略的交易者的集体行为【10，14】。这是本文的主题，我们使用简单方法来进行这项研究。我们的方法与陈等人最近介绍的方法类似。[15] who建议使用经验模式分解（EMD）来估计所谓的时间相关内在相关性（TDIC）。在这种方法中，首先将两个时间序列分解为一组在不同时间尺度上振荡的分量标度固有模式函数（IMF）。然后，在自适应窗口中计算Pearson相关性，该窗口的长度取决于IMF的瞬时周期。在本文中，我们将此方法的简化版本应用于三个指数的日内数据（30秒）：标准普尔500指数（美国）、IPC指数（墨西哥）和VIX指数（美国波动率指数）。我们从滚动窗口生成的不同IMF计算互相关和滞后互相关。这意味着跨时间尺度的动态互相关。

结果揭示了时间序列之间存在跨尺度耦合，并确定了特定时间尺度下的一些相关led滞后关系，这可能与投资组合管理的实际目的有关。另一种测量时变相关性并提供类似输出的技术是小波相干性[11，12]。然而，与小波变换不同，EMD不需要任何先验滤波函数[16]。EMD依赖较少的假设，它是一种完全由数据驱动的分解，可应用于非平稳和非线性数据[17]。[18]中提出了一个类似的框架，其中通过使用局部分段多项式去趋势估计时间序列与周期趋势之间的相关性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了EMD和IMF的基本概念。在第3节中，描述了跨时间尺度、时滞和时间窗的互相关计算。第4节报告了三个指数的实际数据应用情况：标准普尔500指数（美国）、IPC指数（墨西哥）和VIX指数。第5.2节提供了讨论和结论。经验模态分解（EMD）EMD方法确定了一组由数据本身的局部极大值和局部极小值确定的尺度的振荡。每个振荡都是根据数据经验得出的，被称为内在模态函数（IMF）。国际货币基金组织必须满足两个标准：1。极值数和过零点数必须等于或最多相差1。2、在任何一点上，由局部极大值定义的包络线和由局部极小值定义的包络线的平均值均为零。第一个条件迫使IMF成为具有北向波的窄带信号。第二个条件确保瞬时时间标度不会因不对称波形而产生波动【17】。

他们通过一个称为筛选过程的过程来获得这些信息，该过程使用局部极值来分离从最高时间尺度开始的振荡。给定时间序列X（t），t=1，2。。。，T，该过程将其分解为若干个组件，称为固有模式函数，此处表示为IMFk（T），k=1。。。，n、 和残余rn（t）。余数是数据的非振荡漂移。如果分解数据由时间尺度空间中的统一尺度组成，则EMD充当二进滤波器，IMF总数约等于n=log（T）[19]。在分解过程结束时，原始时间序列可以重构为：X（t）=nXk=1IMFk（t）+rn（t）。（1） EMD通过以下步骤实现【17】：1。将余数初始化为原始时间序列r（t）=X（t），并设置IMF指数k=1.2。提取kthIMF：（a）初始化h（t）=rk-1（t），并设置迭代计数器i=1；（b） 查找hi的局部最大值和局部最小值-1（t）（见图1（a））；（c） 通过在局部极大值之间插值创建上包络Eu（t），类似地，通过插值局部极小值创建下包络El（t）（见图1（b））；（d） 将两个信封的平均值计算为mi-1（t）=Eu（t）+El（t）（见图1（c））；（e） 从输入时间序列中减去平均包络线，得到hi（t）=hi-1（t）- 惯性矩-1（t），见图1（d）；（f） 验证hi（t）是否满足IMF的条件：o如果hi（t）不满足IMF的条件，增加i=i+1，并重复步骤（b）中的筛选过程（见图1（d））；o如果hi（t）满足IMF的条件，则设置IMFk（t）=hi，并定义rk（t）=rk-1（t）- IMFk（t）（见图2）。3.

当剩余rk（t）为常数、单调斜率或仅包含一个极值时，停止该过程，否则从步骤2开始继续分解，设置k=k+1。在图1中，我们举例说明了筛选过程的一些步骤。在筛选过程的一次迭代之后，得到函数h（t）（图1（d））。在本例中，生成的函数不是对称的，并且没有零均值，因此它还不是IMF。因此，需要对提取过程进行更多迭代，以提取输入时间序列的第一个IMF。这些进一步的迭代如图2（a）、2（b）和2（c）所示，最后一次筛选迭代提取了第一个IMF，如图2（d）所示。必须注意的是，EMD基于时间尺度分离，不施加正交性，这意味着通常情况下，分量方差和残差之和与输入时间序列的方差不同。然而，在大多数实际情况下，差异很小。筛选过程消除了骑行波，并平滑了不均匀振幅【17】。当extractedIMF的局部平均值为零时，此过程终止。困难在于，该条件只能近似，为了避免过度筛选并将有意义的IMF转换为具有恒定振幅的无意义函数，需要执行停止标准。（a） 局部极大值和极小值。（b） 上下信封。（c） 信封平均值。（d） 一个筛选步骤后的时间序列。图1：构建IMF的一个筛选步骤示例。（a） 输入时间序列高亮显示局部最大值和局部最小值。（b） 具有插值上下包络线（斜线）的时间序列。（c） 带封套和两个封套平均值的时间序列（红线）。（d） 筛选过程的第一次迭代。

在此示例中，提取的函数不满足IMF的条件，因此必须应用另一组移位过程（见图2）。3、IMFLet上的互相关我们考虑两个时间序列X（t）和Y（t），t=1，2，T，长度T相等，观测间隔s相等。3.1. 跨时间尺度的互相关拟议的时间尺度相关计算两个分量IMFXi，IMFYj，i，j=1，…，之间的皮尔逊相关系数，n（a）局部极大值和极小值。（b） 上下信封。（c） 信封平均值。（d） 国际货币基金组织的例子。图2：产生有效IMF的少数最终筛选步骤示例。（a） 突出显示局部最大值和局部最小值的输入时间序列。（b） 使用插值的上下封套（斜线）输入时间序列。（c） 输入带封套的时间序列和两个封套的平均值（红线）。（d） 筛选过程的最后一次迭代，提取的函数是第一个IMF。分别从时间序列X（t）和Y（t）的分解中获得：ρXYi，j=TTXt=1IMFXi（t）- IMFXiIMFYj（t）- IMFYj公司σXi（Xi）σYj（2），其中imfxide记录imfxian随时间的样本平均值，σxideno测试IMFXi的样本标准偏差。虽然IMF在理论上不是平稳的，但IMF满足局部平均值等于零的条件，因此可以认为是最不局部平稳的[17]。相反，残留物不需要满足IMF条件，特别是对于初始非平稳时间序列，提取的残留物将包含时间序列的趋势，使其成为非平稳分量。因此，残差之间的相关系数只是趋势的线性相关性的度量，表明它们是否朝着同一方向移动。

这种相关性系数可能很高，并且可能在解释依赖结构时产生误导性结果。3.2. arolling窗上相同时间尺度下的时变滞后互相关我们还计算了滚动窗上的滞后互相关，为了简单起见，我们限制在相同的时间尺度上。两个不同的时间序列X（t）和Y（t）之间的互相关，滞后λ，在尺寸W的滚动窗口上，在同一时间尺度分量i被定义为：ρXYi（t，λ）=W- λt-λXτ=t-W+1IMFXi（τ）- IMFXiIMFYi（τ+λ）- IMFYi公司σXiσYi。（3） 时滞λ以采样时间标度的单位测量。windowapproach的优点是只假设局部平稳性，而不是整个时间序列的平稳性。虽然该方法基于简单的相关性度量（皮尔逊相关性），但它适应了数据的性质，并提供了跨时间尺度的动态相关性度量。4、日内财务数据的相关性分析我们考虑以30秒为间隔对两个股票市场指数和一个波动率指数进行日内数据采样，即标准普尔500指数（美国）、theIPC指数（墨西哥）和VIX指数（隐含波动率指数，由美国芝加哥期权交易所计算）。数据来自彭博社[20]。观察期包括184天，从2013年9月至2014年7月，仅考虑所有三个指数的交易日可用。每天有780个数据点（6.5小时）。图3显示了这三个指数在这段时间内的动态变化。我们可以观察到，标准普尔500指数和IPC指数具有相似的行为。

它们确实与相关系数27/09/13 19/11/13 29/01/14 27/03/14 22/05/14 21/07/14标准普尔5007.47.457.57.557.6VIX2.32.42.52.62.72.82.933.1IPC10.510.5510.610.6510.7图3：2013年9月至2014年7月期间标准普尔500、theIPC和VIX指数的日内观测值（以30秒间隔采样）。日志返回之间等于0.21；这与之前的研究一致[21，22]。相反，标准普尔500指数与波动率指数之间的风险价格关系显示出负相关，如【23】所述。这些日志返回之间的相关系数等于-0.26。最后，IPC和VIX指数基本上与verysmall负相关无关（对数回归系数至-0.02之间的相关系数）。4.1. 日内相关性分析，以7月18日为例。美国在线以2014年7月18日为随机选择日，进行日内相关性分析。图4显示了三个指数的价格对数。将EMD应用于每个时间序列，我们获得了五个IMF和一个独立的，如图5所示。通过将总点数除以峰值数计算每个IMF的振荡周期，四舍五入值如表1.4.1.1所示。时间尺度相关关系，例如7月18日，我们通过方程式（2）计算了时间尺度相关关系。结果表示为IMF之间的成对相关性矩阵，其中相关性的大小由彩色贴图直观地表示。图6（a）显示了标准普尔500指数与IPC指数之间的相关矩阵。

我们观察到，对角线上的大多数较大值（相同时间尺度成分指数）呈正相关，增加了9:30AM 10:30AM 11:30AM 12:30PM 1:30PM 2:30PM 3:30PMS&P 5007.587.5827.5847.5867.5887.597.592VIX2.482.52.522.542.562.582.62.62IPC10.68810.6910.69210.69410.69610.69810.7图4：标准普尔500、IPC和VIX指数的日内对数价格，2014年7月18日的示例。IMF1×10-4-505IMF2×10-3-101IMF3×10-3-101IMF4×10-3-101IMF5×10-4-505 9:30AM 10:30AM 11:30AM 12:30PM 1:30PM 2:30PM 3:30PMRes7.587.5857.59（a）标准普尔500指数。IMF1×10-4-505IMF2×10-3-101IMF3×10-3-101IMF4×10-3-101IMF5×10-3-202 9:30AM 10:30AM 11:30AM 12:30PM 1:30PM 2:30PM 3:30PMRes10.6910.69510.7（b）IPC指数。IMF1×10-3-505IMF2-0.0100.01IMF3-0.0100.01IMF4-0.0100.01IMF5-0.0200.02 9:30AM 10:30AM 11:30AM 12:30PM 1:30PM 2:30PM 3:30PMRes2.42.52.6（c）VIX指数。图5:2014年7月18日股票市场指数和波动率指数的IMF。从上到下IMF1。。。IMF4和残留物。X轴时间从9:30到16:00。增加IMF时间尺度的幅度。S＆Pand和VIX指数之间的相关性显示为负值。对于这些时间序列，我们还观察到对角线元素中的相关性更高，并且随着时间尺度的增加而增加（见图6（b））。指数IMFIMFIMFIMFIMFResidueS&P 4 8 20 44 88–IPC 4 8 16 40 88–VIX 4 8 20 40 88–表1：图5所示IMF的振荡周期，通过将总点数除以峰值数来计算，例如2014年7月18日。（a） 标准普尔500指数对IPC指数。（b） 标准普尔500指数对波动率指数。图6:2014年7月18日的时间尺度相关结构示例。4.1.2。时间相关性，例如7月18日，我们还使用方程（3）估计了标准普尔500指数和IPC指数之间的时间相关性滞后。