最优静态二次套期保值

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英文标题：
《Optimal Static Quadratic Hedging》
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作者：
Tim Leung, Matthew Lorig
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a flexible framework for hedging a contingent claim by holding static positions in vanilla European calls, puts, bonds, and forwards. A model-free expression is derived for the optimal static hedging strategy that minimizes the expected squared hedging error subject to a cost constraint. The optimal hedge involves computing a number of expectations that reflect the dependence among the contingent claim and the hedging assets. We provide a general method for approximating these expectations analytically in a general Markov diffusion market. To illustrate the versatility of our approach, we present several numerical examples, including hedging path-dependent options and options written on a correlated asset.
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中文摘要：
我们提出了一个灵活的框架，通过在普通的欧洲看涨期权、看跌期权、债券和远期期权中持有静态头寸来对冲或有权益。本文推导了一个无模型的最优静态套期保值策略表达式，该策略在成本约束下使期望的平方套期保值误差最小化。最佳套期保值涉及计算反映或有权益和套期保值资产之间依赖关系的若干预期。我们提供了一种在一般马尔可夫扩散市场中解析近似这些期望的一般方法。为了说明我们方法的多功能性，我们给出了几个数值例子，包括对冲路径相关期权和相关资产上的期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-8 07:58:58 上传

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关键词：套期保值 Mathematical Expectations Quantitative expectation

最佳静态二次Hedging Tim Leung*Matthew Lorig+2015年11月20日摘要我们提出了一个灵活的框架，通过在普通欧洲看涨期权、看跌期权、债券和远期中持有静态头寸来对冲或有权益。本文推导了最优静态套期保值策略的无模型表达式，该策略在成本约束下使期望的套期保值误差平方最小。最佳对冲涉及计算反映或有权益和对冲资产之间依赖关系的大量预期。我们提供了一种在一般马尔可夫扩散市场中分析近似这些预期的一般方法。为了说明我们方法的多功能性，我们给出了几个数值例子，包括套期保值路径相关期权和相关资产上的期权。关键词：静态套期保值、杠杆式ETF期权、替代hedgingJEL分类：C52、D81、G11、G13数学主题分类（2010）：91G20、91G80、93E201简介使用标准金融工具静态组合的套期保值衍生工具是与标的资产进行动态套期保值的著名替代方案。静态投资组合很容易构建，不需要持续监控基础资产或随着时间的推移进行再平衡。因此，静态套期保值策略对于市场动荡中的重大潜在波动更为稳健。此外，静态套期保值组合通常有助于建立无套利关系或有界s f或异国情调的衍生工具。这一想法可以追溯到标准期权的Breeden and Litzenb er ger（1978年），并已应用于奇异衍生品，如篮子期权（seeHobson et al。

(2005)).*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，98195；电子邮件：mlorig@uw.edu.通讯作者。Carr和Madan（1998）关于静态套期保值的一个基本结果表明，通过持有固定数量的债券ds和远期，以及一篮子具有相同基础资产的欧洲看涨期权和看跌期权，可以完全复制针对单一基础资产的任何欧盟ropeanstyle债权。这一结果的重要性在于，它提供了一种无模型、完美的静态复制策略。因此，它也给出了未定权益和衍生工具之间的无套利价格关系。然而，也存在一些限制。特别是，静态混合策略需要无限连续的欧洲看涨期权和看跌期权，并且必须在投资组合中包括债券和远期。实际上，看涨期权和看跌期权只能在有限的时间间隔内以离散的方式进行。这就引出了一个实际问题：一个人如何才能最佳地构建一个只有有限数量的看涨期权和看跌期权的静态套期保值，在同一基础上有无远期？更一般地说，当没有足够的交易标准工具来实现完美的静态套期保值，或者套期保值者面临约束性成本约束时，Carr和Madan（1998）的结果没有提供如何进行的方向。在本文中，我们提出了一个灵活的框架，通过在普通的欧洲看涨期权、看跌期权、债券和远期期权中选择静态头寸来对冲或有权益。我们主要感兴趣的是，在给定一套套期保值工具的情况下，完美静态套期保值不可用的应用。为此，我们在成本约束下最小化预期的平方套期保值误差。

我们的主要结果是最优静态套期保值策略的无模型表达，包括计算反映或有权益和套期保值资产之间依赖性的大量预期。我们提供了一种在广义完全马尔可夫扩散环境中分析近似这些期望的通用方法，该环境包括但不限于众所周知的几何布朗运动（GBM）、Heston CEV和SABR模型。与Carr和Madan（1998）相比，我们的框架包含了许多附加功能。首先，我们允许对所使用的通话/看跌期权进行有限的上界和下界。我们的静态投资组合可以包括债券、远期、看涨期权和看跌期权中的任何套期保值资产子集，也可以包括所有这些资产。这增加了适用于未写入远期合同或某些认购/认沽的基础资产的灵活性。此外，成本约束也被纳入了这个问题中。当绑定时，这种约束可能会使完美的静态套期保值变得不可能，并迫使套期保值者只对投资组合进行广告，以最小化套期保值误差。虽然我们的方法没有先验地假设套期保值是完美的，但当它可用时，它可以恢复完美的静态套期保值。这使我们能够利用Carr和Madan（1998）中的结果作为我们框架的特例。在最近的文献中，Carr和Wu（2013）在单因素模型中工作，并提出了静态投资组合的确定近似，其权重是基于GaussHermite四元规则计算的。此外，一维扩散模型下的障碍期权有大量静态套期保值结果；见Derman等人（1995年）；卡尔和周（1997）；卡尔等人（1998年）；卡尔和李（2009）；卡尔和纳托奇（2011）；Bardos等人（2010），amongothers。

与这些工作相反，OUR框架适用于其他奇异的衍生产品和多维扩散模型。我们举例说明了静态对冲策略：亚洲期权、杠杆式交易所买卖基金（LETF）期权和基础非流动性期权。本文的其余部分如下：在第二节中，我们提出了最优静态Hedging问题。在第3节中，我们展示了我们关于用静态债券组合对冲或有权益的主要结果，包括远期和卖出期权。我们还得出了由一组固定资产组成的最优投资组合。在这两种情况下，我们都提供了明确的、无模型的最优对冲。在第4节中，我们讨论了一种在一般马尔可夫扩散环境下数值计算套期保值策略的实用方法。最后，在第5节中，我们在一些应用中实现并说明了我们的静态套期保值策略。2问题公式在背景中，我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），其中P代表物理概率测量和过滤（Ft）t≥0代表资产在市场上的价格历史记录。市场被认为是无套利的，但可能是不完整的。我们给出了一个等价鞅（定价）测度~ P、 根据当前市场衍生价格推断。为了简单起见，我们还假设利率为零，没有股息。我们的静态套期保值问题涉及一组套期保值资产Z=（Z（x））x∈一、 因为我在德克斯组。I中套期保值资产的数量可能是有限的、可计算的或不可计算的。对冲资产可以是债券、股票、看涨期权、股票、远期或其他衍生证券。

每个资产在任何时间t的价格用Zt（x）表示。我们将静态投资组合定义为一个签名度量∏：B（I）→ 在任何时间t，静态门叶价值V∏tat由V∏t=ZI∏（dx）Zt（x）给出。（2.1）换句话说，∏（dx）表示x类资产Z（x）的数量∈ dx在静态投资组合中持有。观察∏（dx）可能为负值，表示空头仓位。注意，资产价格（Zt（x））x∈i和静态投资组合Vπtch和ge的值，所有t的单位数∏（dx）保持不变。备注2.1。在这篇手稿中，我们将考虑两个主要的例子：（i）在间隔K内使用calls/putswith-strikes K进行套期保值∈ [L，R]和（ii）使用固定数量的资产进行套期保值。在设置（i）中，签名度量∏映射B（[L，R]）→ R.在这种情况下，我们将假设∏与勒贝格测度绝对连续，并写入∏（dK）=π（K）dK，其中π是映射[L，R]的函数→ R.在设置（ii）中，s∏映射B（Z+）→ 在这种情况下，我们将写出∏（{i}）=πi，其中π·是映射Z的函数+→ R.我们现在考虑在未来时间T对或有权益进行套期保值。任何时候t的市场价格用Ξt表示。如果索赔在时间t到期，则Ξ为最终付款。我们主要感兴趣的是在给定一组边缘资产的情况下，完美的静态复制是不可能的。我们的目标是在可能的成本约束下，使静态投资组合的预期套期保值平方误差最小化。我们定义了最优静态投资组合∏*作为以下优化问题的解决方案：∏*:= arg m in∏∈SE[（V∏T- ΞT）]，S:={π：Vπ≤ C} 。（2.2）即∏*是使期望值e[（V∏T）最小的静态投资组合-ΞT）]受成本约束V∏≤ C.注意，（2.2）中的预期是根据物理概率测量P进行评估的。

显然，一个完美的静态对冲（V∏）*T=ΞTP-a.s.）是可能的，当且仅当E[（V∏*T-ΞT）]=0。注意，投资组合的价值V∏tat time t≤ T可以表示为v∏T=ZI∏（dx）eE[ZT（x）| Ft]，因为所有资产都是定价度量下的鞅。因此，成本约束V∏≤ 定价措施下的Cinvolves计算。当然，最优套期保值绩效和相应的静态投资组合∏*取决于市场上可用的对冲资产，以及潜在的价格动态。我们的主要目标有两个：（i）当套期保值资产包括债券、远期、普通欧洲看涨期权和看跌期权时，我们为最优静态套期保值策略提供了一个模型自由表达式；（ii）我们讨论了针对马尔可夫扩散动力学的若干索赔的套期保值策略的实施。3方法和主要结果在本节中，套保工具包含零息债券B，在时间T时支付一个单位的货币，以标的资产S为基础的远期合同，支付- S） 和T-到期欧洲看跌期权和S上的看涨期权。我们认为每一次罢工都会有一个PUT∈ [L，S]并在每次罢工时呼叫K∈ [S，R]，带0≤ L≤ s≤ R≤ ∞. 让我们用K表示买入/卖出的收益，即G（K，ST）=（K）- ST）+K∈ [L，S）（圣- K） +K∈ （3.1）当我们观察到L>0和R<∞ 在实践和数值例子中，我们的模型也允许L=0和R=∞ 因此，我们可以与Carr和Madan（1998）中的结果相一致（见第。

（见下文3.1）。由q键、p远期和π（K）dK单位组成的s静态投资组合的终值由vπT=q+p（ST）给出- S） +ZRLdKπ（K）g（K，ST），（3.2），其中p，q和π（K）可以是正的，也可以是负的（表示多头或空头）。成本约束由h（π，q）给出：=q+ZRLdKπ（K）ez（K）≤ C、 式中ez（K）：=eE[g（K，ST）]。（3.3）注意，由于期初签订远期合同的成本为零，静态投资组合p中的远期合同数量p在成本约束中不起作用。当Vπt由（3.2）决定，成本约束由（3.3）决定时，代数计算表明静态套期保值问题（2.2）等价于（π）的求解*, Q*, P*) := arg min（π，q，p）∈SJ（π，q，p），S:={（π，q，p）：H（π，q）≤ C} 。其中j（π，q，p）：=E[（VπT- ΞT）=q+p∑+ZRLZRLdKdK′π（K）ψ（K，K′）π（K′）+2qpβ+2qZRLdKπ（K）z（K）- 2qξ+2pZRLdKπ（K）y（K）- 2pθ-2ZRLdKπ（K）γ（K），我们定义了期望值：β=E[ST- S] ，θ=E[（ST- S） ΞT]∑=E[（ST-S） ]，ξ=E[K，T]，γ（K）=E[Tg（K，ST）]，ψ（K，K′）=E[g（K，ST）g（K′，ST）]，z（K）=E[g（K，ST）]，y（K）=E[（ST）]- S） g（K，ST）]。（3.5）为了说明和证明这种情况下的最优套期保值策略，我们需要以下引理。作为准备，可以方便地引入物理（即历史）和风险中性概率度量的概率密度函数ΓST（K）dK=P（ST∈ dK），eΓST（K）dK=eP（ST∈ dK）。（3.6）引理3.1。假设随机变量ST具有严格的正密度ΓST∈ C（R+）。重新调用（3.5）中定义的函数ψ，并设f:R+→ R是C（R+）。然后积分方程f（K）=ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′），（3.7）的解π由π（K）给出：KKf（K）ΓST（K）. （3.8）证据。在接下来的s中，假设∏是π的反导数，并且∏是∏的反导数，因此∏′=π和∏′=π。

从（3.1）中观察到0=limK′→Lg（K′，K）=limK′→LK′g（K′，K）=limK′→Rg（K′，K）=limK′的→RK′g（K′，K）。让我们进一步观察一下Kg（K，s）=δ（K- s） 。那么，等式（3.7）意味着Kf（K）=KZRLdK′π（K′）ψ（K，K′）=ZRLdK′π（K′）KE[g（K，ST）g（K′，ST）]（by（3.5））=ZRLdK′π（K′）KZ∞ds g（K，s）g（K′，s）ΓST（s）=ZRLdK′π（K′）Z∞dsKg（K，s）g（K′，s）ΓST（s）=ZRLdK′π（K′）Z∞dsδ（K）- s） g（K′，s）ΓST（s）=ΓST（K）ZRLdK′π（K′）g（K′，K）=ΓST（K）g（K′，K）π（K′）RL- K′g（K′，K）π（K′）RL+ZRLdK′π（K′）K′g（K′，K）（按部分积分）=ΓST（K）π（K）（按（3.9））。（3.10）要得到（3.8），只需将（3.10）除以ΓST（K），将两边微分两次，然后使用∏′=π。利用引理3.1，我们现在可以陈述并证明最优套期保值策略。为此，我们定义了函数π（K，λ）：=KKγ（K）ΓST（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！，（3.11）其中K∈ [L，R]，λ∈ R、 密度Γ标准Γ在（3.6）中定义，函数γ（K）在（3.5）中给出。定理3.2。假设随机变量ST具有严格的正密度ΓST∈ C（R+）底层和密度∈ C（R+）在EP下。进一步假设γ∈ C（R+）。最后，假设（3.12）和（3.13）中定义的投资矩阵定义良好。然后是最优策略（π）*, Q*, P*)这就解决了给定by（π）的最优静态套期保值问题（3.4）*, Q*, P*) =（π（·，λU），qU，pU）如果qU+ZRLdKπ（K，λU）z（K）≤ C，（π（·，λC），qC，pC）else，其中λU:=0，qUpU！：=1 ββ Σ!-1.ξ -RRLdK z（K）KKγ（K）ΓST（K）θ -RRLdK y（K）KKγ（K）ΓST（K）, （3.12）和qCpCλC:=1 β -+RRLdK z（K）KeΓST（K）ΓST（K）β∑RRLdK y（K）KeΓST（K）ΓST（K）1 0RRLdK ez（K）KeΓST（K）ΓST（K）-1.ξ -RRLdK z（K）KKγ（K）ΓST（K）θ -RRLdK y（K）KKγ（K）ΓST（K）C-RRLdK ez（K）KKγ（K）ΓST（K）.（3.13）证据。

首先，我们定义了与（3.4）：L（π，q，p，λ）：=J（π，q，p）相关的拉格朗日- λ（H（π，q）- C） =q+p∑-2pθ- 2qξ+2qpβ- λq+λC+ZRLZRLdKdK′π（K）ψ（K，K′）π（K′）+ZRLdKπ（K）2qz（K）+2py（K）-2γ（K）- λez（K）,其中L（·，q，p，λ）作用于C（[L，R]）中的函数。最优性所需的卡鲁什-库恩-塔克（KKT）条件是（下面，η是满足kηk的任意C（[L，R]）函数∞< ∞)平稳性：0=εL（π+εη，q，λ）ε=0=2ZRLdKη（K）qz（K）+py（K）-γ（K）-λez（K）+ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′）=> 0=qz（K）+py（K）- γ（K）-λez（K）+ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′，（3.14）平稳性：0=qL（π，q，p，λ）=2q- 2ξ+2pβ- λ+2ZRLdKπ（x）z（K），（3.15）平稳性：0=pL（π，q，p，λ）=2p∑- 2θ+2qβ+2ZRLdKπ（x）y（K），（3.16）comp。松弛度：0=λ·（H（π，q）- C） =λ·q+ZRLdKπ（K）ez（K）- C. （3.17）注意，（3.14）是f（3.7）形式，f（K）=γ（K）+λez（K）- qz（K）- py（K）。因此，使用MMA 3.1我们得到π（K）=KKγ（K）+λ凯兹（K）- QKz（K）- PKy（K）ΓST（K）！。（3.18）接下来，注意到凯兹（K）=基[g（K，ST）]=KZ∞ds g（K，s）eΓST（s）=Z∞dsKg（K，s）eΓST（s）=Z∞dsδ（s）- K） eΓST（s）=eΓST（K），Kz（K）=克[g（K，ST）]=KZ∞ds g（K，s）ΓST（s）=Z∞ds千克（K，s）ΓST（s）=Z∞dsδ（s）- K） ΓST（s）=ΓST（K），Ky（K）=克[（圣- S） g（K，ST）]=KZ∞ds（s）- S） g（K，S）ΓST（S）=Z∞ds（s）- （S）千克（K，s）ΓST（s）=Z∞ds（s）- S） δ（S）- K） ΓST（s）=（K）- S） ΓST（K），并将这些表达式代入（3.18），我们看到（3.18）中的π（K）与（3.11）中给出的表达式一致。接下来，在KKT条件（3.15）、（3.16）和（3.17）中插入表达式（3.11），得到以下三个方程组0=2q-2ξ+2pβ-λ+2ZRLdK z（K）KKγ（K）+λeΓ（K）ΓST（K）！，（3.19）0=2p∑- 2θ+2qβ+2ZRLdK y（K）KKγ（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！，（3.20）0=λ·q+ZRLdK ez（K）KKγ（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！-C上述系统h为两个可能的解，分别对应于λ=0和dλ6=0的情况。