混合模型作为Farima的替代方案

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英文标题：
《Mixed Models as an Alternative to Farima》
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作者：
Jos\\\'e Igor Morlanes
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We construct a new process using a fractional Brownian motion and a fractional Ornstein-Uhlenbeck process of the Second Kind as building blocks. We consider the increments of the new process in discrete time and, as a result, we obtain a more parsimonious process with similar autocovariance structure to that of a FARIMA. In practice, variance of the new increment process is a closed-form expression easier to compute than that of FARIMA.
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中文摘要：
我们以分数布朗运动和第二类分数Ornstein-Uhlenbeck过程为构造块构造了一个新过程。我们考虑了新过程在离散时间内的增量，因此，我们得到了一个与FARIMA过程具有相似自协方差结构的更为简洁的过程。实际上，新增量过程的方差是一个比FARIMA更容易计算的闭式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：FARIMA ARIMA 混合模型 Rim ima

混合模型作为Farima的替代品。Jos\'e Igor Morlanes2018年11月6日摘要我们使用分数布朗运动和第二类分数Ornstein-Uhlenbeck过程作为构建块构造了一个新过程。我们考虑了新过程在离散时间内的增量，因此，我们得到了一个与FARIMA过程具有相似自方差结构的更为简洁的过程。实际上，新增量过程的方差是一个闭合形式的表达式，比FARIMA表达式更容易计算。1引言模型，如FARIMA或分数指数过程（FEXP），可能适用于金融数据中观察到的长期和短期依赖关系。在本文中，我们介绍了离散时间中的另一个过程，即混合分数高斯噪声（mfGn），其自协方差结构与之前的过程相似，即其自协方差函数捕捉长相关和短相关。这样做有两个主要原因。第一个原因是减少了错误校准带来的模型风险，即参数可能被错误估计，可能无法保持最新，等等。两个模型都捕获短期和长期依赖关系。然而，MFGNI模型比FARIMA模型更为简洁，因为对于前者，我们只需估计三个参数，Hurst和gamma参数以及方差，但对于后者，我们有AR和MA滞后多项式、分数积分参数和方差，总共有p+q+2个参数。第二个原因是，即使在理论上，aFARIMA过程的自协方差也是众所周知的；在计算上实现起来似乎非常困难。另一方面，我们希望实现一个新的模型，该模型为自协方差函数提供一个简单的闭式表达式。

它的离散化版本更为简洁，易于计算，从而减少了涉及计算的数值误差。例如，在计算头寸风险或金融工具定价时。最后，离散模型取决于时间聚集或系统采样。例如，如果我们假设FARIMA过程遵循Φ（L）yt=Θ（L）εnw类型的模型，其中t=0，1，2。，Φ（L）和Θ（L）是滞后多项式，εnis是一个错误项。相反，时间聚集序列YT遵循模型β（L）YT=ξ（L）n，其中T=0，k，2k。，β（L）和ξ（L）是聚合滞后多项式，运算符L以T时间单位表示，以kt周期运行。变量是一个错误项。对于mfGn，连续时间模型不受采样频率的影响。2如果分数自回归积分移动平均时间服从Φp（L）（1），则称其为FARIMA（p，d，q）过程- 五十） d（eXn- u）=Θq（L）εn（1），其中ε是i.i.d高斯随机变量的序列。允许 差异运营商定义为Xn=Xn- Xn公司-1、然后是差异序列d（eXn- u) = (1 - 五十） d（eXn- u）遵循平稳可逆ARMA（p，q）模型，L为滞后算子，d∈ (-,)分数积分参数、AR多项式和映射多项式分别由Φp（L）=1给出- φL。- θpLpΘq（L）=1- θL- . . . - θqLqthe AR多项式和MA多项式。该模型具有很强的记忆能力，因为其MArepresentation（2）中的θi系数不会随时间衰减到零，这意味着该模型的pastshockεiof对序列有永久影响。2.1 FARIMA自协方差函数的评估引言中已经提到，FARIMA过程的自协方差在计算上很难实现。

例如，一个非常简单的过程是从MArepresentation计算自方差。Zn=Φp（L）-1(1 - L）-dΘq（L）εn=∞Xn=0φznεn（2），ψ=1。然后，FARIMA过程的自协方差为：γk=∞Xj=0ψzjψzj+| k |σε（3）缺点是，由于ψjdeclines为双曲线，因此需要许多项才能得到精确的近似值。一种看似简单的替代方法是对光谱进行数值积分：γk=Zπ-πfz（ω）eizωdω（4），其中FARIMA过程的频谱fz（ω）很容易计算。然而，每个k的数值积分确实很快变得令人望而却步。FARIMA过程的计算最优自协方差函数为：γi=σεqXk=-qpXj=1ψkζjC（d，p+k- i、 ρj），（5）式中ρ，ρpare AR多项式的根（可能是复数），ψk=qXs=| k |θsθs-|k |，ζ-1j=ρjpYi=1（1- ρiρj）pYm=1m6=j（ρj- ρm）其中θ=1。C定义为asC（d，h，ρ）=Γ（1- 2d）[Γ（1- d） ]（d）h（1- d） h×ρ2pF（d+h，1；1- d+h；ρ） +F（d- h、 1；1.- d- h；ρ) - 1.这里，Γ是gamma函数，ρjare是AR多项式的根，F（a，1；c，ρ）是超几何函数。请参阅[14]和[5]中的更多技术细节。3混合分数高斯过程3.1辅助过程在本节中，我们将介绍下面使用的过程。我们主要遵循[16]、[12]和[9]。通过OUT，我们考虑了一些不完全概率空间(Ohm, F、 P）并用Ft表示在时间t时代表公共可用信息的sigma现场报告。通常，Ft=σ（Xs:s≤ t） ，由问题X中过程的过去值和当前值生成的西格玛场，通常包含历史，直到并包括时间t.3.1.1分数高斯噪声为了捕捉数据中的长程相关性，我们使用分数高斯噪声（fGn）。

首先，我们定义分数布朗运动：带有赫斯特参数H的fr actionalBrown运动（fBm）∈ （0，1）是高斯过程BH={BHt，t∈ R} 具有以下特性（i）BH=0，（ii）EBHt=0，t∈ R、 （iii）EBHtBHs=（| t | 2H+| s | 2H-|t型- s | 2H），s，t∈ R、 （iv）在特殊情况下，H=。W表示具有独立增量的标准布朗运动。如果BH为f Bm，则增量序列ZHk=BHk+1- BHK或k∈ Zis称为分数高斯噪声。提案3.1。该过程具有以下特性1。ZHis静止，2。EZHk=0,3。E（ZHk）=σ=E（ZH）4。由γk=σ（| k+1 | 2H）给出的过程的自变函数-2 | k | 2H+| k- 1 | 2H）5。如果<H<1，则Zhh具有长程依赖性，而γk>0.3.1.2第二类分数Ornstein-Uhlenbeck过程用于捕捉短程依赖性，我们使用Kaarakka和Salminen提出的过程[11]。设BH={BHt:t≥ 0}是具有自相似参数H的分数布朗运动∈ 具有上述属性的（0，1）。我们利用BH:X（D，α）t：=e的Doob变换导出了一个新的高斯过程-αt帽子，t∈ R（6），其中α>0，at：=a（t，H）：=Heαt/H/α。可根据定义（3.1.1）第4点计算Xt（D，α）的协方差函数。对于t>s，我们得到（X（D，γ）tX（D，γ）s）=Hα2小时eα（t-s） +e-α（t-s）- eα（t-s）1.- eα（t-s） H类2小时（7） Xt（D，α）是一个平稳过程。特别是，利用（7）和分数布朗运动的自相似性，可以发现，对于所有t，X（D，α）正态分布的均值为零，方差为（H/α）2H。接下来考虑过程Yα定义的viaY（α）t：=Zte-αsdBHas（8）过程Y（α）为固定增量。

使用Y（α），过程x（D，α）可以看作方程dx（D，α）t=-αX（D，α）tdt+dY（α）t，（9），随机初值X（0，α）=BHad=BHH/α~ N（0，（Hα）2H）。现在，我们考虑以Y（1）为驱动过程的朗之万SDE：dU（D，γ）t=-γU（D，γ）tdt+dY（1）t，γ>0，（10）溶液可表示为asU（D，γ）t=e-γtZt-∞eγsd^Y（1）s=e-γtZt-∞e（γ-1） sdBHas，γ>0，（11），其中^Y（1）为双侧Y（1）过程，α=1 in at。定义3.1。（11）中定义的过程U（D，γ）tde，或通过DE（10）定义的过程U（D，γ）tde，被称为第二类分数Ornstein-Uhlenbeck过程（fOU），其初始值为BHH/α。备注3.1。根据[11]中的命题3.11，过程u（D，γ）t的协方差呈指数衰减，并且具有短期依赖性。备注3.2。过程U（D，γ）的二次变化为零。证据根据命题3.4，[11]，U（D，γ）的样本路径是β<H.对于<β<H，U（D，γ）t- U（D，γ）s≤ KT（ω）| t- s | 2β。因此，对于区间[0，T]的任何序列πnof划分，使得|πn|→ 0.hU（D，γ），U（D，γ）iT=P- lim |πn|→0Xtk∈πnU（D，γ）tk- U（D，γ）tk-1.≤ KT（ω）lim |πn|→0Xtk∈πn | tk- tk公司-1|2β≤ KT（ω）lim |πn|→0 |πn | 2β-1T=0几乎完全是因为n趋于完整。提案3.2。[11] U（D，γ）的自协方差具有核表示（U（D，γ）tU（D，γ）s）=H（2H-1） H2H小时-2e类-γ（t+s）Zt-∞Zs公司-∞e（γ-1+小时）（u+v）欧盟/小时- 电动汽车/小时2(1-H） du-dvWe给出了自协方差函数的另一个离散时间表达式，可用于计算。为了简化旋转，我们写Qn，T（k- j） 滞后时（k- j） 代替Qn，T（tk- tj）。提案3.3。考虑时间间隔[0，T]和等距分区∏：={ti=iTn；0≤ 我≤ n} 。让tj，tk∈ 带j的∏≤ k

滞后（k）时U（D，γ）的自协方差- j） isQn，T（k- j） =E（U（D，γ）tj+（k-j） U（D，γ）tj）=H-2(γ-1） HH（2H- 1） e类-γ（tj+（k-j）-tj））×HγHB（（γ- 1） 小时+1，2小时- 1） +Zatj+（k-j）-tjHm2γH-1B（高/米；（γ- 1） H+1，2H- 1） dm公司B（·，·）表示β函数，B（·；·，·）表示不完全β函数，B（1；·，·）=B（·，·）。证据见附录A.推论3.1。用Cn，T（m）表示u（D，γ）在滞后m处的增量过程的自协方差。然后其自协方差函数的形式为：Cn，T（m）=2Qn，T（m）- [Qn，T（m- 1） +Qn，T（m+1）]（12）带0≤ m级≤ n- 1.证明。Cn，T（m）=EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t= 呃U（D，γ）tm+1- U（D，γ）tmU（D，γ）t- U（D，γ）ti=EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t+ EU（D，γ）tmU（D，γ）t- EU（D，γ）tmU（D，γ）t- EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t= 2Qn，T（m）- [Qn，T（m- 1） +Qn，T（m+1）]备注3.3。我们分别给出命题（3.3）和推论（3.1）的两个例子。参数H=0.9的过程U（D，0.3）的自协方差函数，参见附录B图1；参数H=0.9的过程U（D，0.3）的自协方差函数，参见图2，附录B.3.2混合Fr作用高斯过程现在我们准备构造一系列连续过程X，它是高斯的，并且具有以下性质（i）Let∧={t，…，tn}，0=t<…<tn=t，是[0，t]和k∧k=max1的分区≤k≤n | tk- tk公司-1|. 然后二次变分过程hxit=limk∧k→0Pnk=0（Xtk+1- Xtk）=t.（ii）相应的g增量过程Ξtk=Xtk- Xtk公司-1具有与FARIMA相似的自协方差结构，即，它捕获短期和长期依赖关系。我们将这个过程构造为Xt=σWt+BHt+U（D，γ）twith H∈ （，1）和γ>0。我们假设这三个过程是相互独立的，分数高斯噪声b和s第二类U（D，γ）t的分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程可能有不同的Hurs-t参数。

然后，其增量过程定义为Ξtk=σWtk+ZHtk+U（D，γ）tK（13）注意，首先，分数高斯噪声zht和第二类递增分数Ornstein-Uhlenbeck过程U（D，γ）t可能有不同的赫斯特参数。然而，从统计角度来看。。。。分数阶高斯噪声过程ZHT捕捉长程依赖关系，其自协方差函数表现为渐近aFARIMA。然而，如果数据包含很强的短相关性，则无法捕获它们，参见图？？。为了建立短程关联模型，我们加入了第二类增量分馏-乌伦贝克过程。因此，我们得到了一个与FARIMA或分数指数过程具有相似自协方差结构的过程。在连续时间的许多应用中，例如在delta hedging问题中，我们需要使用It^o公式。然而，我们需要证明它的使用，因为fBm和FOU都有二次变化零。因此，增加一个增量布朗运动Bt，使得过程X具有一个连续的二次变化，hXit=σt。此外，布朗过程的增量是独立的，因此Zd的自变函数不会改变。然后，根据命题3.4，其递增过程Z的结构类似于FARIMA过程，见图？？和8。新过程Z比FARIMA过程更节省，从而减少了模型估计和预测中的错误。提案3.4。定义Ξ为混合分数高斯过程，即Ξtk=σBtk+ZHtk+U（D，γ）tkw，H>和γ>0，间隔[0，T]。然后计算方差asE（Ξtk）=EWtk+1- Wtk公司+ EBHtk+1- BHtk公司+ EU（D，γ）tk+1- U（D，γ）tk备注3.4。

由于Ξ是平稳的，其方差可以用第一个增量asE（Ξt）=σ（t）来表示- t） +（t- t） 2H+2Qn，T（0）- Qn，T（1）= σt+t2H+2EU（D，γ）t- 2E类U（D，γ）tU（D，γ）t.通过构造，我们可以将It^o公式应用到我们的新过程X中。我们根据[3]给出了向前积分的定义。定义3.2。让t≤ T和X:R+-→ R是一个连续的过程。沿区间[0，T]的等距π分划，过程Y相对于X的正积分，使得|πn|→ 0 isZtYsdXs：=limn→∞nXk=1Ytk（Xtk+1- Xtk）带tk∈ πn（14），当P-a.s极限退出时。如果X是具有连续二次变化hXit的连续过程，使得hXit=limk∧k→0Pnk=0（Xtk+1- Xtk）P-a.s那么根据定理3.5，我们得到了下面的It^o公式。设X：[0，∞) -→ Rbe具有连续二次变化hXit和f的连续函数∈ C1,2（[0，t]×R）一个二次微分实函数。对于任何t，则f（Xt，t）=f（X，0）+Ztfs（Xs，s）ds+Ztfx（Xs，s）dXs+Ztfxx（Xs，s）dhxis≥ 0、备注3.6。注意，integralRtfx（Xs，s）dXsis被理解为沿分区πn.4时间聚集的向前积分。我们很快就说明了时间聚集对FARIMA过程的影响。定义4.1。

设n=mT，m≥ 2和L为滞后运算符，然后序列t=m-1Xi=0Li！ymT（15）重新呈现了yn的m周期非重叠聚合。FARIMA（p，d，q）过程遵循方程式Φp（L）（1- 五十） dyn=Θq（L）εn（16）原始过程和聚合过程通过多项式连接。我们将方程（16）的两边乘以多项式Pyj=1(1 - δmLm）（1- δLm）1.- Bm1- Bd+1因此，聚合系列yt遵循一个FARIMA（p，d，N），其中N=p+d+1+q- p- d- 1米（17） 自协方差函数为γY（j）=m-1Xi=0Li！2d+1γy（mj+（d+1）（m- 1） ）（18）更多详情，请参阅[17、18、15]。相反，混合分数阶高斯噪声h作为方差和自方差，取决于长度间隔T和采样频率n asEΞkTn= σTn+田纳西州2H+康斯坦德ΞkTnΞjTn=田纳西州2小时|（k）- j） +1小时- 2 | k- j | 2H+|（k- j）- 1 | 2H+ Cn，T（k- j） 分别为H>。对于有限长度的聚集，聚集的自协方差结构将取决于混合分数高斯噪声的精确自协方差结构。5期权套期保值和预期缺口量化风险的需要在许多不同的情况下产生，并一直受到系统性风险恐惧的驱动，即单个金融机构的问题可能溢出的危险，在极端情况下，破坏整个金融系统的正常功能。从金融机构和监管当局的各级风险管理来看，从全球金融危机中吸取的教训现在备受关注。《偿付能力II》（Solvency II）和《巴塞尔协议III》（Basel III），这两个以风险为基础的保险监管改革，是针对银行资本充足率、杠杆率和流动性标准的全球监管框架，将在未来多年内从根本上改变金融业的重点。一个中心问题是风险的衡量。