左大培：《内生稳态增长模型的生产结构》第一章 内生稳态增长的条件

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第一章 内生稳态增长的条件

本章将以非常抽象的数学形式来一般化地说明稳态增长的条件。为了便于理解，也为了说明这种抽象的稳态增长条件是如何发展起来的，本章的论述先从阐述具体的经济增长模型开始，从思想上一步步跟踪它如何发展为抽象的稳态增长条件。

第一节 从新古典增长理论到内生增长模型

由索洛等人发展起来的新古典经济增长模型所得出的一个重要结论是：在经济的平衡增长路径上，最终产出和物质资本存量的增长速度相同且不变；它们的这一持续不变的稳态增长速度大于人口增长率的差距，主要取决于这个经济的技术进步速度或生产率的增长率，它也就是人均产出和人均物质资本存量的稳态增长率（Solow, 1956）。而在后来的“教科书索洛模型”中，最终产出和物质资本存量的稳态增长速度大于人口增长率的差距，就完全等于这个经济的技术进步速度或生产率的增长率，它也就是人均产出和人均物质资本存量的稳态增长率（Mankiw, Romer and Weil，1992；David Romer，1996，第一章）。

但是在所有的这些新古典经济增长模型中，这个技术进步的速度却是外生给定的，而人口增长率则更是外生给定的。以n表劳动力的增长率，g表技术水平的增长率，“教科书索洛模型”中的最终产出和物质资本存量的稳态增长率都为 （David Romer，1996，第一章）。

新古典经济增长模型中的这个平衡增长路径，也就是本书所说的“卡尔多稳态”。而新古典经济增长模型的特点，是以新古典生产函数论证了经济增长为何进入“卡尔多稳态”。但是在新古典增长模型中，“卡尔多稳态”下的人口和技术增长率都是外生给定的。而近十多年来蓬勃发展的各种“新经济增长模型”或“内生增长模型”，则都力图以经济增长模型本身来说明“技术”的增长率g是如何由经济增长的机制内生地决定的。近年来更有一些内生增长模型力图以特殊的“生产函数”和最优化决策来解释人口的增长，将人口增长率内生化。这样，在“内生增长模型”中，所有的或几乎所有的随时间而变化的变量都是由模型所描述的经济过程“内生地”决定其增长率。

在新古典和内生增长这两类经济增长模型中，整个经济中的最终产出都是许多自变量的函数，这些自变量本身在模型中随时间而变化。物质资本、技术水平、劳动力（人口）是这种自变量的典型，而这些自变量几乎都是存量。这也就是说，用作整个经济最终产出总量生产函数的自变量的，是物质资本、技术水平、劳动力（人口）等等的存量，后来的发展还把人力资本的存量加入到生产函数的自变量中来。但是最终产品的总产出却是一个流量——一个单位时间内生产出来的最终产品的流量。用作为自变量的存量去生产流量，这是经济增长模型描述的世界的一个主要特征。而在这些模型中，经济的增长即最终产品总产出这个流量的增长，其根源就在于上述各种“自变量物品”存量的增长。

索洛本人最初提出的新古典总量生产函数具有希克斯中性的技术进步（Solow, 1956）：

（I.A）

其中的Y为整个经济中最终产品的总产出，K为物质资本存量，A为技术水平，L是劳动力存量，它们在模型中都是随时间而变化的变量。但是为了使分析更简练，“教科书索洛模型”却惯于使用具有哈罗德中性技术进步的柯布—道格拉斯最终产品总量生产函数（David Romer，1996，第一章）：

（I.B）

近年出现的许多新增长模型也都沿用了这样的最终产品总量生产函数。

在几乎所有的经济增长模型中，物质资本都是一个存量，但它又是从最终产品这个流量中积累起来的。这种积累表现在：物质资本这个存量在单位时间内的增量，就是单位时间最终产出这个流量中储蓄起来的那一部分。这样，物质资本单位时间的增量就等于储蓄率乘以单位时间内整个经济的最终产出（或者再减去资本折旧）。如果资本折旧为零，我们就可以将储蓄率乘以最终产出的生产函数之积看作是物质资本的“生产函数”。而物质资本的这个“生产函数”除以物质资本存量，就是物质资本的增长率。

以这种眼光看，每一种作为最终产出生产函数自变量的存量都有自己的“生产函数”：其中的产出就是该自变量的单位时间增量，而这个生产函数本身则表达了参与决定该产出数量的自变量存量与该产出之间的数量关系。用一个存量的“生产函数”除以该存量本身，就得出了该存量的增长率。

从这种数学形式化的角度看，新古典的经济增长模型把人口增长率、技术进步的速度看成是外生给定不变的，就等于为劳动力和技术水平这两个存量设定了一种特殊的“生产函数”，它把相应存量的单位时间增量看成是等于一个固定的常数（外生给定的增长率）乘以相应时点上的该存量本身。例如，索洛在提出新古典增长模型时（Solow, 1956），就规定时点t上的劳动力数量 和技术水平 分别为 和 。这就等于规定了一个劳动力的生产函数

（I.C）

和一个技术的生产函数

（I.D）

上两式中的n和g就是外生给定的劳动力增长率和技术的增长率。新古典增长模型的一大特点，就是把劳动的增长率n和技术的增长率g都看成是外生给定的。

而各种新增长模型不同于新古典增长模型的地方，就在于它们都力求以类似于最终产出的生产函数那样的很正规的生产函数，来说明作为生产函数自变量的各种存量如何决定了生产率水平这一类的自变量存量本身的单位时间增量。

在进行这种分析时，它们往往在最终产品的总量生产函数和其它生产函数中引入一种新的自变量——人力资本的存量H，作为与物质资本、劳动力和技术并列的第4种自变量。于是最终产品的总量生产函数就变为（David Romer，1996，第三章）：

（I.B.1）

许多新增长模型致力于将单位时间技术增加的数量作为投入的人力资本、物质资本、劳动力和技术本身的产物。它们常常以一个典型的柯布—道格拉斯生产函数来描述整个经济中技术的生产过程：

（I.D.1）

在这样一个公式中， 、 和 分别表示用于知识生产的人力资本、物质资本和劳动。

用专门的符号把用于最终产品生产的人力资本、物质资本和劳动与用于知识生产的人力资本、物质资本和劳动区别开来，这是因为人们通常都认为人力资本、物质资本和劳动在消费上具有“竞争性”，用于最终产品生产的人力资本、物质资本和劳动不会影响技术本身的“生产”。也就是说，消费上的“竞争性”意味着加入最终产品生产的人力资本、物质资本和劳动存量不可能加入技术本身的“生产”。

但是人们通常认为技术是一种“公共物品”，这意味着同一种技术可以既加入最终产品的生产，同时又加入技术本身的进一步“生产”——造成技术进步。于是，同一份技术A可以同时出现在最终产品和技术本身的两个不同的生产过程中。

保罗·罗默在其1990年提出的增加产品种类的内生经济增长模型（Paul M. Romer，1990）中，就使用了式（I.B.1）和（I.D.1）类型的最终产品总量生产函数和“生产”技术的“生产函数”。

在这个模型中，保罗·罗默使用了一个柯布—道格拉斯式的最终产品总量生产函数

（I.B.2）

式中的 是用于生产最终产品的人力资本，L是物质的劳动， 是用于生产最终产品的第i种生产者耐久物品（“资本品”）的数量。为了便于分析，保罗·罗默把表示资本品的不同种类的指数i视为一个连续变量，把“技术”即“知识”视为对不同种类资本品的设计。这样，他就实际上定义了“知识”的单位数为A，而以“新物品的设计”来表示“新的一单位知识”。对所有 ， 。

保罗·罗默的上述模型与通常的最终产品总量生产函数只有一个不同点：它假定物质资本K是由所有各种不同种类的生产者耐久物品构成的。他还假定，为生产一单位生产者耐久物品所付出的成本为 单位的资本。他进一步指出，由于他的上述模型具有对称性，均衡时将以同样水平供给所有可支配的耐用品，这个所有耐用品共同的供给量可标为 。 与物质资本总量的关系满足方程 。

这样，保罗·罗默的最终产品总量生产函数就可以化为

（I.B.3）

这个最终产品总量生产函数有与式（I.B.1）完全一样的数学形式。

保罗·罗默的这个内生经济增长模型中还使用了一个式（I.D.1）类型的“生产”技术的“生产函数”：

（I.D.2）

式中的 为从事研究的全部人力资本。

新经济增长模型研究的另一大方向是强调人力资本的作用，并且将人力资本的增长内生化。为此它必须在新古典经济增长模型的最终产品总量生产函数中加入人力资本的存量，作为与物质资本、劳动力和技术并列的第4种自变量；它还必须要设计一个式（I.D.1）那样的方程来描述人力资本增量的“生产”。这样，它就必须为最终产品的总量生产函数补充相应的技术和人力资本“生产函数”，其形式与式（I.D.1）相类似。

新经济增长模型在这个方向上的典型代表是卢卡斯1988年提出的人力资本内生化增长模型（Lucas，1988）。卢卡斯在这个模型中定义，一个人的“人力资本” 为他的一般技能水平，他假设个人的这个技能水平h的数值在0到无穷大之间。以 表技能水平为h的劳动者数，劳动力的总数N就必定为 ，而所有劳动力的平均人力资本或平均技能水平则为

（I.E）

卢卡斯以 表示一个具有技能水平h的劳动者将其非闲暇的时间用于最终产品生产的比例，在此基础上构造了最终产品的总量生产函数

（I.B.4）

式中的 是时点t上的人均消费， 是整个经济中的资本总存量， 是其单位时间增量，A是技术水平，卢卡斯的模型假设它为常数。这个生产函数中还假设所有的劳动者都有同样的技能水平h，并且所有的劳动者都选择了同样的时间配置u。而因子 则体现了人力资本的外部效应。

在上述生产函数中，用于最终产品生产的有效劳动 显然就是用于最终产品生产的人力资本数量 ，而用于最终产品生产的劳动量则为 。于是在这个生产函数中就有 。将这个公式代入式（I.B.4），该生产函数就转化为

（I.B.5）

在这个生产函数中，用于最终产品生产的劳动力 之所以对总产出有不利的影响（体现为负的指数 ），是因为卢卡斯的生产函数假定对最终产品的生产有单独的积极作用的是人均人力资本，一般劳动对最终产品生产的积极作用已经完全体现在人力资本中。

卢卡斯上述模型中的人力资本生产函数是以每人人力资本的形式设计的：

（I.E.1）

在公式（I.E.1）中， 实际上是人均人力资本 。因此公式（I.E.1）可以化为

（I.E.2）

式（I.E.2）可以化为一个标准的人力资本生产函数

（I.E.3）

其实，式（I.B.4）中的最终产品总量生产函数有与式（I.B.1）完全一样的数学形式，只要以每人（人均）人力资本 或 取代式（I.B.1）中的人力资本总量 ，我们就可以把式（I.B.4）看成是式（I.B.1）的一个具体形式。同样地，只要以每人人力资本 取代人力资本总量 ，就可以把式（I.E.1）视为一种特殊的人力资本生产函数。

在式（I.E.3）的那种卢卡斯人力资本生产函数中，真正对人力资本的生产起作用的自变量只有人力资本和劳动力两个。而更为现实的情况是，劳动力、人力资本、技术和物质资本都对人力资本的生产起作用。曼昆、戴维·罗默和韦尔1992年的论文（Mankiw, Romer and Weil，1992）中实际上就使用了这样一个人力资本生产函数。

曼昆、戴维·罗默和韦尔的这篇论文建立了一个标准的4自变量最终产品总量生产函数：

（I.B.6）

该文假设劳动力L和技术水平A分别有一个外生给定的增长率n和g。他们的模型还假定，总收入的一个固定份额 投资于物质资本，另一个固定份额 则投资于人力资本，同时物质资本和人力资本又都有折旧率 。这意味着有一个人力资本的“生产函数”

（I.E.4）

这样一个人力资本生产函数实际上有4个自变量，而且它们也正是最终产品总量生产函数的那4个自变量。基于这样一个人力资本生产函数，曼昆、戴维·罗默和韦尔提出了每单位有效劳动的人力资本的增长速度函数

（I.E.5）

其中的 ， 。

迄今为止的经济增长模型通常都假定劳动力数量及其增长率是外生给定的。这其实等于假定了一种特殊的劳动力“生产函数”，其形式正如式（I.C）：单位时间的劳动力增量等于现有劳动力数乘以一个不变的比率，这个不变的比率就是人口的增长率n。但是实际的生活经验告诉我们，即使是一个简单的劳动力的生产也需要有一定的技术，也高度耗费物质资本、人力资本和人力的投入。新增长理论的发展不能不要求把人口的增长率内生化，将单位时间的劳动力增量看作劳动力、物质资本、人力资本的投入和技术水平这多种自变量的函数。

巴罗和贝克尔1989年提出了将人口的增长率内生化的经济增长模型（Barro and Becker，1989），设计了专门的模型来说明劳动力的增长率如何决定。这种将人口增长的决定内生化的经济增长模型不仅包含着有关人口增长的最优化决策，而且也暗含着增加劳动力（人口）时所必须服从的投入产出关系，其形式与通常的“生产函数”相似。

巴罗和贝克尔的这个模型假定第i代的成人抚养每个孩子的实际成本为

（I.C.1）

其中的g为外生的技术进步率， 为抚养一个孩子需要的最终产品量， 为这一代的一个成人的劳动收入，b是父母为抚养一个孩子直接耗费的时间。这个抚养孩子的成本是以实际收入的单位数来衡量的，而实际收入（最终产品）的生产函数则为

（I.B.7）

其中的 和 分别表示用于最终产品生产的物质资本和劳动的数量。

这样，式（I.C.1）中的那种线性成本函数就暗含着一种里昂惕夫式的劳动力生产函数。以 表示第i代抚养的孩子总数， 代表那一代的最终产品用于抚养孩子的份额， 代表那一代直接用于抚养孩子的劳动总量，可以将巴罗和贝克尔模型中培养劳动力的生产函数表为

（I.C.2）

这个劳动力生产函数实际上有3个自变量：劳动、技术和物质资本，只不过它采取了不可微的里昂惕夫函数形式。当然，我们也有充分的理由把单位时间的劳动力增量视为劳动、人力资本、技术和物质资本这4个自变量的函数，而且把劳动力的生产函数设计为柯布—道格拉斯生产函数那样的连续可微函数。

如果按照新增长理论的这种研究方式走到底，我们就必须将最终产品的生产函数设计成式（I.B.1）那样，有劳动、人力资本、技术和物质资本4个自变量，并且将所有这4种自变量物品的增长率都内生化，为它们分别设计出式（I.C.2）、（I.D.1）和（I.E.4）那样的“生产函数”，还要从这样的公式中推导出稳态增长所必须满足的条件。这样的稳态增长路径为什么会具有“卡尔多稳态”的各种特征，当然应当从这些“生产函数”所具有的数学性质上来解释。在这方面，有些人强调这些“生产函数”的规模报酬递增性质，有些人则强调技术的“公共物品”性质。为了对这个问题作出明确的回答，本书将建立和使用形式化的数学模型，通过对这些模型的数学分析来说明，是各种自变量存量物品及其生产函数的哪些数量特征，产生了“卡尔多稳态”的哪些特点。

第二节 当前的四自变量内生稳态增长模型

本节先以式（I.B.1）中的最终产品总量生产函数为例，说明将该函数中的所有自变量存量物品的增长率都内生化时，稳态增长必须满足哪些条件。

按照上一节概述的那些内生增长模型中通行的表述，可以将我们所研究的经济中的物质资本存量表为K，劳动人口表为L，总人力资本存量表为H；在最终产品总产出Y的生产中，产出Y是参加其生产的K、L、H和技术水平A这4种“自变量物品”的函数。但是根据经济增长理论中通行的假定，物质资本、劳动力和人力资本在消费时都具有竞争性，因而K、L、H中都只有一部分可以用于最终产品Y的生产，其它部分要分别用于人力资本H和知识（技术）A甚至劳动力L的生产。知识本身由于其非竞争性，可以全部同时用于Y、H、A等每一种物品的生产中。

令劳动中用于最终产品生产的份额为 ，用于人力资本生产的份额为 ，用于知识生产的份额为 ，用于劳动力生产的份额为 ；人力资本中用于最终产品生产的份额为 ，用于人力资本生产的份额为 ，用于知识生产的份额为 ，用于劳动力生产的份额为 ；物质资本中用于最终产品生产的份额为 ，用于人力资本生产的份额为 ，用于知识生产的份额为 ，用于劳动力生产的份额为 。对所有这些份额，都有

物质资本存量K由不消费的产品积累而来，用于增加资本的积累占产品的份额为储蓄率s。所有上述份额均为外生给定且不变。此外，假定物质资本、人力资本和劳动力分别有外生给定的折旧率 。

按照我们的分析目的，假设物质资本、人力资本、技术和劳动力这4种“最终产品生产函数自变量物品”存量随时间发生的变化就是它们各自的“生产”，这4种物品的“产出”都是4种随时间而发生变化的自变量的函数，这4种自变量就是该生产中使用的技术、劳动力、物质资本和人力资本存量，而这4种产出与决定其产出的自变量之间的数量关系都可以用柯布—道格拉斯式的生产函数来描述。

这样，最终产品的生产函数就可表为

（I.F）

根据式（I.F）和给定的储蓄率s，可得物质资本的“生产函数”

（I.G）

许多经济增长模型都假设物质资本折旧率为零，此时物质资本的生产函数变为

（I.G.1）

仿此，可得有折旧和无折旧时的人力资本生产函数

（I.H）

和

（I.H.1）

还可得有折旧和无折旧时的劳动力生产函数

（I.I）

和

（I.I.1）

而知识的生产函数为

（I.J）

由式（I.F）得最终产品总产出的增长率

（I.K）

其中gY，gA，gK，gH，gL分别为最终产品、知识水平、物质资本、人力资本、劳动力的增长率。

由式（I.G）除以K，得物质资本的增长率

（I.G.2）

从这个物质资本增长率的决定方程中，还可以进一步求得物质资本增长率的变动速度

（I.G.3）

由式（I.J）得知识的增长率

（I.J.1）

从这个知识增长率的决定式中，还可以进一步求得知识增长率的变动速度

（I.J.2）

由式（I.H）得人力资本的增长率

（I.H.2）

从这个人力资本增长率的决定式中，还可以进一步求得人力资本增长率的变动速度

（I.H.3）

由式（I.I）得劳动力的增长率

（I.I.2）

从这个劳动力增长率的决定式中，还可以进一步求得劳动力增长率的变动速度

（I.I.3）

根据式（I.G.1）、（I.H.1）和（I.I.1），式（I.G.2）、（I.H.2）和（I.I.2）中的 可以各自为零。

平衡增长路径上的稳态增长要求最终产出及其各自变量的增长率（gY，gA，gK，gH，gL）不再随着时间过程而发生变化，也即式（I.G.3）、（I.H.3）、（I.I.3）和（I.J.2）中的物质资本增长率的变动速度、人力资本增长率的变动速度、劳动力增长率的变动速度和技术增长率的变动速度分别为零。根据式（I.K），这也保证了最终产出的增长率gY不再随着时间过程而发生变化。

由式（I.G.3）、（I.H.3）、（I.I.3）和（I.J.2）中可知，要使技术的增长率（gA）、物质资本增长率（gK）、人力资本的增长率（gH）和劳动力的增长率（gL）不再随时间过程发生变化，这4个增长率的取值必须能够使下列齐次线性方程组中的4个方程同时成立：

（I.L）

当gA、gK、gH和gL的数值能使上述联立方程组中的各个方程同时成立时，技术的增长率、物质资本增长率、人力资本增长率和劳动力的增长率不再随时间过程发生变化。比较式（I.K）和（I.L）可知，此时最终产出的增长率gY将正好等于物质资本的增长率gK，该经济处在稳态增长的平衡增长路径上。

由式（I.F）可知，若 ，最终产品的生产就对其所有的自变量规模报酬不变。我们称这时的最终产品生产是“全自变量规模报酬不变”的。相应地，当 时，技术的“生产”是“全自变量规模报酬不变”的；当 时，人力资本的“生产”是“全自变量规模报酬不变”的；当 时，劳动力的“生产”是“全自变量规模报酬不变”的。

由此我们引进了“全自变量规模报酬不变”的概念：如果在一个生产函数中，产出对全部自变量（包括技术水平）的规模报酬不变，该生产函数就是“全自变量规模报酬不变”的。

假定这个经济中所有物品的生产都是全自变量规模报酬不变的，由式（I.L）可知，当物质资本、技术、人力资本和劳动力从而最终产品都有相同的增长率时，式（I.L）中的联立方程组必定成立，该经济处于稳态增长路径。由公式（I.G.3）可知，在这种情况下，如果只有物质资本的增长率gK大于其它各种物品的相同增长率，物质资本增长率的变动速度将为负，物质资本增长率将逐渐降低而回到稳态增长上来。公式（I.J.2）、（I.H.3）和（I.I.3）表明技术增长率、人力资本增长率和劳动力增长率的变化也服从同样的动态。当然，这是否就能说明该平衡增长路径上的稳态均衡是稳定的，各种物品的增长率最终都会收敛到平衡增长路径上来，仍然是一个需要进一步研究的问题。

迄今为止的绝大多数经济增长模型都把劳动力的增长率即人口的增长率视为外生给定且不变的。由模型本身的数学性质看，这等于设定在式（I.I）和（I.L）中 而 。而在联立方程组（I.L）中，这等于取消了关于人口增长率gL的稳态增长条件方程，同时使其它三个方程中由gL构成的一项变成一个常数项。于是齐次线性方程组（I.L）变成了一个非齐次的有常数项的普通线性方程组。我们可以根据线性代数的规则来判别并解出这些方程组决定的稳态增长率。

在根据式（I.L）这样的联立方程组分析稳态增长条件时，区分规模报酬与物品的非竞争性各自对稳态增长的影响十分重要。为了区分这两者的不同作用，在此基础上进一步弄清技术的非竞争性即“公共物品”性质对稳态增长的作用，以下的分析中先假定任何自变量存量“物品”都不是公共物品，在不同物品的生产间有完全的竞争性，因而参与了某种物品生产的任何自变量物品的存量都不可能同时参与另一种物品的生产。在数学模型中，这意味着同一自变量物品存量不能同时出现在两个或两个以上物品的生产函数中，特别地，某种自变量物品的全部存量（如全部技术的存量A）不能同时出现在两个或两个以上物品的生产函数中。

第三节 推广到更一般情况的内生增长模型

我们可以将上一节的建模思路进一步一般化，假设最终产品总产出是n种随时间而变化的自变量的增函数，这些自变量本身都是一些存量。这些自变量存量随时间而发生的变化，就是它们的“生产”和“折旧”，而生产某一种自变量存量的“产出”减去其折旧，就是这种自变量存量在单位时间内的增量。

一、生产函数

在这n种自变量中，有一种自变量——物质资本是由最终产品本身积累起来的：单位时间的最终产品流量——最终产品总产出的一定部分形成物质资本单位时间内的“产出”，它与总产出的比率就是储蓄率s。在我们目前的分析中，储蓄率是外生给定的，不随时间而变化。这样，物质资本的“生产函数”其实就是最终产品的生产函数，是最终产品的生产函数乘以一个固定不变的常数——储蓄率s。

最终产品生产函数中的那其它n-1种自变量存量在单位时间内的增量，也都首先取决于生产这些“物品”的“产出”。按照内生增长理论的逻辑，这n-1种物品中每一种物品的“产出”也应当是n种用于生产它的自变量存量的增函数，这n种自变量也正好就是最终产品生产函数中的那n种自变量。

这样，对于最终产品生产函数中的那n种自变量“物品”，我们就可以用通常的生产函数来分别表述生产它们的“投入”与其“产出”的关系。以 表第j种自变量存量物品的产出， 表参加了第j种物品生产的第i种物品存量的投入，可以将第j种物品的生产函数表示为

（I.1）

通常假设， 是其自变量的连续可微的增函数，且

（I.1.1）

我们称这样的生产函数为“正则生产函数”。而在一个经济中，如果所有物品包括最终产品的生产都服从正则生产函数，则称该经济为“正则生产函数经济”。

正则生产函数的一个典型例子是著名的柯布－道格拉斯式的生产函数，其形式为

（I.1.2）

如果在一个经济中，所有“物品”的生产都具有柯布－道格拉斯式的生产函数，则称该经济为“柯布－道格拉斯经济”。

将最终产品生产函数中的第i种自变量在整个经济中的存量表为 。如果该自变量物品在生产中的使用存在非竞争性，则多种不同物品的生产中都可以同时使用该种物品在整个经济中的全部存量。但是为了纯粹地讨论规模报酬的作用，先假设在不同物品的生产间“完全不存在非竞争性”，它适用于最终产品生产函数中的每一种自变量物品，意味着这些自变量物品的任何一部分在使用于某种物品的生产时都不会影响任何别的物品的生产。令 代表第i种自变量物品在整个经济中的全部存量中用于生产第j种物品的份额，则不同物品的生产间“完全不存在非竞争性”意味着

（I.2）

假定这些份额都是外生给定的，不随时间流逝而发生变化。将式（I.2）代入式（I.1）之后，正则生产函数就变为

（I.1.3）

而式（I.1.2）中的柯布－道格拉斯式生产函数则变为

（I.1.4）

二、全自变量规模报酬

在内生稳态增长模型的生产结构中，最重要的问题之一是生产函数的规模报酬问题。

在这里首先要说明一个生产函数的“全自变量规模报酬”。所谓一个生产函数的“全自变量规模报酬”，就是该生产函数中的产出对全部自变量（包括技术水平）的规模报酬。在经济增长模型中，“全自变量规模报酬”所涉及的自变量，就是随时间过程而发生变化的那些逐渐积累起来的存量。如果在一个生产函数中，产出对全部自变量（包括技术水平）的规模报酬不变，该生产函数就是“全自变量规模报酬不变”的。“全自变量规模报酬不变”意味着产出对包括技术水平在内的所有随时间而变化的自变量规模报酬不变。

为了便于描述生产上的全自变量规模报酬，我们假定所有物品的生产函数都是齐次函数，即具有形式

（I.3）

这样，“全自变量规模报酬不变”的生产函数就等价于对所有自变量的一次齐次生产函数，此时式（I.3）中的r = 1。而“全自变量规模报酬递增”的生产函数就等价于在式（I.3）中 ，“全自变量规模报酬递减”的生产函数则等价于在式（I.3）中 。将式（I.3）的两边对t求导，可得

这等价于

（I.3.1）

定义第i种物品对第j种物品生产的贡献率（物品j的产出对物品i投入的弹性）为

（I.3.2）

比较式（I.3.1）和（I.3.2）可知，对任何r次齐次的生产函数都恒有

（I.3.3）

根据前边的定义，如果在一个生产函数中，产出对全部自变量（包括技术水平）的规模报酬不变，该生产函数就是“全自变量规模报酬不变”的。由“全自变量规模报酬”与齐次生产函数的关系可知，对“全自变量规模报酬不变”的生产函数，有 ；对“全自变量规模报酬递增”的生产函数，有 ；对“全自变量规模报酬递减”的生产函数有 。

为了便于讨论，我们将上述正则生产函数中的 定义为用于生产第j种物品的知识的存量（技术水平），从而将技术水平定义为第1种自变量存量物品。

而作为“全自变量规模报酬不变”的正则生产函数的一个典型例子，“全自变量规模报酬不变”的柯布－道格拉斯生产函数形式为

（I.3.4）

在“全自变量”这个意义上的规模报酬不变与经济增长理论通常说的“规模报酬不变生产函数”有重大差别。经济增长理论说的“规模报酬不变生产函数”通常指产出对不包括技术水平在内的所有其它自变量规模报酬不变，它可以表示为

（I.4）

特别地，对于柯布—道格拉斯生产函数，经济增长理论通常说的“规模报酬不变生产函数”的数学形式为

（I.4.1）

这种生产函数只对除技术水平之外的其它自变量是规模报酬不变的。

正则生产函数中除技术水平之外的其它自变量在经济学中通常都被划归“生产要素”范畴，因此我们可以将式（I.4）表示的生产函数称为“全要素规模报酬不变生产函数”。比较式（I.3.3）之下的“全自变量规模报酬不变”定义和式（I.4），特别是比较式（I.3.4）和（I.4.1）就可以看出，由于 ，同一生产函数中的“全自变量规模报酬”绝不会小于“全要素规模报酬”，而且通常会大于“全要素规模报酬”。按照式（I.4）和（I.4.1）的观点也即经济理论通常的观点看，式（I.3）和（I.3.4）的“全自变量规模报酬不变”生产函数往往是“全要素规模报酬递减”的；而按式（I.3）和（I.3.4）的标准衡量，式（I.4）和（I.4.1）的“全要素规模报酬不变生产函数”又常常是“全自变量规模报酬递增”的。

三、外生给定的增长率

在“柯布－道格拉斯式的生产函数”及其中的“全自变量规模报酬不变”生产函数中，有一种特殊的类型，其特点是对物品j的生产函数来说有

（I.5）

特别地，这种“生产函数”采取了形式

（I.5.1）

这样的生产函数虽然仍然是“全自变量规模报酬不变”的，但是它意味着

（I.5.2）

这意味着物品 的存量有一个外生给定的增长率 ，这是一种“增长率外生给定”的生产函数。比较式（I.1.2）和式（I.3.4）可知，它其实是柯布－道格拉斯式的生产函数的一个特殊种类，而且是其中的“全自变量规模报酬不变”生产函数的一个特殊种类。

以下我们如果谈到“增长率非外生的全自变量规模报酬不变”生产函数，其含义就是：我们谈论的虽然是“全自变量规模报酬不变”的生产函数，但是排除了式（I.5）到（I.5.2）所讨论的这种增长率外生给定的特殊形式。“增长率非外生的全自变量规模报酬不变”柯布—道格拉斯生产函数的形式为

（I.4.2）

四、最终产品和物质资本的增长率

完全可以用式（I.1）那样的正则生产函数来描述最终产品的生产，但是最终产品的生产函数与其自变量物品的生产函数表达的意义不同：最终产品生产函数中的产出是一种流量，而其自变量物品生产函数中的产出则是自变量存量的增量。

在外生给定的储蓄率s之下，可以把物质资本的“产出”视为与最终产品的产出流量保持着固定的比率s。但是物质资本的这一“产出”并不就是物质资本单位时间的增量，通常要从物质资本的上述“产出”中减去其单位时间内的折旧，其差为物质资本单位时间的增量。一般都把单位时间物质资本的折旧量看作与当时的物质资本存量成一个固定比率，这个比率就是式（I.E.4）中的折旧率 。为了便于分析，我们将物质资本的存量规定为用于生产最终产品的第2种自变量物品存量 ，而将物质资本的折旧率定义为可以随时间变动的比例数 。这样，物质资本存量对时间的导数（物质资本单位时间的增量）就可以表为

（I.6）

而为了分析方便，许多经济增长理论模型干脆忽略掉物质资本的折旧，把物质资本单位时间的增量就视为当时最终产品总产出的一个固定部分：

（I.6.1）

这样，物质资本的“生产函数”其实就最终产品的生产函数乘以储蓄率s再减去物质资本存量的一个比例部分，可以把最终产品的生产看成就是第2种物品的生产。于是最终产品Y的生产函数就可以表示为

（I.6.2）

而如果最终产品的生产函数是柯布—道格拉斯式的，则最终产品的生产函数将为

（I.6.3）

将式（I.6.2）的两边对时间t求导再除以当下的最终产品产量 ，可得最终产品产量增长率（经济增长率）

（I.6.4）

其中的 为第i种自变量物品存量的增长率 。

如果最终产品生产函数是柯布－道格拉斯式的，则根据常规的求增长率程序，将式（I.6.3）两边取对数再对时间求导就可以直接得出给定 不变时的最终产品产量增长率

（I.6.5）

根据式（I.6），物质资本存量对时间的导数（物质资本单位时间的增量）等于储蓄率s乘以最终产品的生产函数再减去折旧，由此可得最终产品正则生产函数下的物质资本存量对时间的导数（物质资本单位时间的增量）

（I.7）

当折旧率 恒等于零时，最终产品正则生产函数下的物质资本存量对时间的导数为

（I.7.1）

为了称呼简便，我们称没有折旧的式（I.7.1）为物质资本的“严格正则生产函数”，称包含了折旧的式（I.7）为物质资本的“广义正则生产函数”。而在实际上，这两个公式表达的都是最终产品正则生产函数下的物质资本存量对时间的导数（物质资本单位时间的增量），差别只在于一个没有折旧，一个有折旧。

如果最终产品的生产函数是柯布—道格拉斯式的，则根据式（I.6）和式（I.6.3），物质资本的“广义正则生产函数”就变为

（I.7.2）

当物质资本的折旧率 为零时，就有物质资本的“狭义柯布—道格拉斯生产函数”

（I.7.3）

由式（I.7）可知，物质资本的增长率为

（I.7.4）

当物质资本的折旧率 为零时，物质资本的增长率就变为

（I.7.5）

而如果最终产品的生产函数是柯布—道格拉斯式的，则根据式（I.7.2），物质资本的增长率就变为

（I.7.6）

当物质资本的折旧率 为零时，有柯布—道格拉斯生产函数的物质资本增长率就变为

（I.7.7）

按照我们的定义，最终产品生产函数的自变量是n种存量“物品”，其中包括了劳动力和技术的存量。在这n种自变量“物品”中，物质资本的生产函数是直接从最终产品的生产函数转变过来的。式（I.6）到式（I.7.7）描述了这个转变过程。根据这些公式，如果最终产品的生产函数是“增长率非外生的全自变量规模报酬不变”的，物质资本的严格正则生产函数就也是“增长率非外生的全自变量规模报酬不变”的。

根据最终产品生产与物质资本积累的上述数量关系，可以得出

命题1

给定储蓄率s不变，如果物质资本的折旧率 也不随时间变化，则在稳态增长时最终产品生产的增长率等于物质资本存量的增长率。

证

根据式（I.7.4），物质资本存量的增长率为

由于储蓄率s在这里是外生给定的，因而可以把它看作是在动态过程中不随时间流逝而发生变化。而物质资本的折旧率 不随时间变化，意味着 对时间的导数为零。这样，将上式的两边对时间求导，可得物质资本增长率随时间而变化的速度

（I.8）

由稳态的定义，稳态增长时物质资本的增长率不再变化。根据式（I.8），这意味着

只要储蓄率s不为零，此时就必有

将上式稍作变换，即可知在稳态增长时

这意味着在稳态增长时，物质资本的增长率 必等于最终产出增长率 ：

（I.8.1）

证毕

由于稳态增长时物质资本存量的增长率等于最终产品产出的增长率，此时的经济增长也必定处于平衡增长路径上。

如果最终产品具有式（I.6.3）那样的柯布—道格拉斯生产函数，而储蓄率s和物质资本的折旧率 都给定不变，我们就可以由式（I.7.6）得出物质资本存量增长率随时间而变化的速度

（I.8.2）

稳态增长要求物质资本的增长率不随时间而变化。根据式（I.8.2），这意味着

只要储蓄率s不为零， 必不为零。这就决定了物质资本的稳态增长率 必须满足条件

（I.8.3）

与式（I.6.5）比较一下即可知道，物质资本的这个稳态增长率正好等于最终产品的增长率。这是命题1的一个具体例证。

五、各种自变量物品的增长率

在这里所分析的正则生产函数经济中，最终产品的生产函数中有n种自变量存量物品。除前边所分析的物质资本存量的特殊情况之外，其它n-1种自变量物品的“生产函数”都可以直接用前边的式（I.1）至式（I.1.4）来描述。这些公式说明了这n-1种自变量“物品”单位时间内的“产出”与为获得这些“产出”而投入的各种物品存量的数量关系。按照我们的假定，这n-1种物品中的每一种在单位时间内的产出都受n种自变量影响，而这n种自变量也就是最终产品生产函数中的那n种自变量。而且这n-1种自变量物品的生产函数也同样是正则的。

但是，对这n-1种自变量物品来说，第j种物品的生产函数中描绘的“产出” 并不就是该物品单位时间的增量。通常要从该物品的上述“产出”中减去其单位时间内的折旧，其差才是该物品单位时间的增量。即使是劳动力这样的“自变量物品”也会有折旧，这种劳动力的折旧就是人的衰老和死亡。

为了便于分析，这里将第j种物品折旧的数量与其当时的总存量之比定义为可以随时间变动的折旧率 。在分析经济增长的理论模型中，通常都把各种物品的折旧率看作是不随时间变化的给定常数。

这样，最终产品生产函数的第j种自变量物品存量对时间的导数（该物品单位时间的增量）就可以表为

（I.9）

而为了分析方便，许多经济增长理论模型干脆忽略掉各种物品的折旧，把每一种自变量物品正则生产函数中描绘的“产出” 就视为该物品存量的单位时间增量（该物品存量对时间的导数）：

（I.9.1）

为了称呼简便，我们称没有折旧的式（I.9.1）为第j种物品的“严格正则生产函数”，称包含了折旧的式（I.9）为该物品的“广义正则生产函数”。而在实际上，这两个公式表达的都是第j种物品正则生产函数下该物品存量对时间的导数（该物品单位时间的增量），差别只在于一个没有折旧，一个有折旧。

如果第j种自变量物品的生产函数是柯布－道格拉斯式的，其存量对时间的导数（该物品单位时间的增量、“广义正则生产函数”）就为

（I.9.2）

如果该物品的折旧率 为零，则该物品存量对时间的导数（该物品单位时间的增量）就成为“狭义柯布－道格拉斯生产函数”

（I.9.3）

由式（I.9）可知，最终产品生产函数的第j种自变量物品如果具有正则生产函数，则其存量的增长率为

（I.9.4）

当该物品的折旧率 为零时，其存量的增长率就变为

（I.9.5）

根据式（I.9.2），如果第j种自变量物品的生产函数是柯布－道格拉斯式的，则其存量的增长率就为

（I.9.6）

当该物品的折旧率 为零时，其存量的增长率就变为

（I.9.7）

公式（I.9）、（I.9.1）、（I.9.4）和（I.9.5）适用于所有具有正则生产函数的自变量物品，式（I.9.2）、（I.9.3）、（I.9.6）和（I.9.7）则适用于所有具有柯布—道格拉斯式生产函数的自变量物品，就是当这些生产函数并非全自变量规模报酬不变时也是如此。全自变量规模报酬不变的生产函数的特殊之处只在于，在式（I.9）、（I.9.1）、（I.9.4）和（I.9.5）中，对于按式（I.3.2）定义的 ，有 ；而在式（I.9.2）、（I.9.3）、（I.9.6）和（I.9.7）中，更是直接有 。

在一个经济中，如果最终产品生产函数中的所有自变量物品的折旧率都为零，其存量对时间的导数（该物品单位时间的增量）都是“严格正则生产函数”，最终产品的生产也具有正则生产函数，该经济就是一个“严格正则生产函数经济”。如果在一个经济中，所有“物品”的生产都具有柯布－道格拉斯式的生产函数，而最终产品生产函数中的所有自变量物品的折旧率都为零，其存量对时间的导数（该物品单位时间的增量）都是“狭义柯布－道格拉斯生产函数”，该经济就是一个“狭义柯布－道格拉斯经济”。

以上两小节中定义了最终产品生产及其所有自变量物品存量的增长率。根据这些有关增长率的公式可以得出

命题2

在一个所有自变量物品存量对时间的导数（该物品单位时间的增量）都是“严格正则生产函数”的经济中，最终产品总产出的增长率以及任何自变量物品存量的增长率都不可能小于0。

本命题的正确性显而易见。

对任一自变量物品来说，由式（I.9）和（I.9.1）对严格正则生产函数的定义可知，由于投入任何一种物品生产中的任何一种自变量存量的数量都不可能是负数，按照正则生产函数的定义，任何一种物品单位时间的产出都不可能小于零。严格正则生产函数中没有相应物品存量的折旧，因此任何自变量物品的存量都只能增加而不会减少，这就保证了任何自变量物品存量的增量都不会小于零。另一方面，根据式（I.9）、（I.9.1）和（I.9.5），对于有严格正则生产函数的物品来说，任何自变量物品的存量 都不可能小于零，而一种自变量物品存量的增长率就等于该物品存量的单位时间增量除以该物品存量本身，由于该物品存量本身及其单位时间增量都不可能小于零，任何自变量物品存量的增长率就都不可能小于零。

根据式（I.6.5），最终产品的增长率等于 ；而根据式（I.3.2）， 等于 。根据式（I.9）， 和 都不可能小于零，而根据上边对自变量物品存量增长率的论证， 和 也都不可能小于零。这就决定了任何一个 都不可能小于零。前边对自变量物品存量增长率的论证还说明，任何自变量物品存量的增长率 在严格正则生产函数经济中也都不可能小于零。这就决定了最终产品的增长率不会小于零。

由命题2可以直接得出

推论2

在一个严格正则生产函数经济中，如果根据某种规则推得的一个增长率数学解中有任何物品（包括最终产品）的增长率小于零，则这个增长率解不可能是该严格正则生产函数经济能够实现的增长率。

注意：在严格正则生产函数经济中不可能出现小于零的增长率，这并不意味着在任何正则生产函数经济中都不可能出现小于零的增长率。一个具有正则生产函数的物品存量可能有大于零的折旧率。在这种情况下，根据式（I.9.4），这个物品的存量完全可能有小于零的增长率。

第四节 一般情况下的内生稳态增长

由式（I.6.4）和（I.9.4）可知，最终产品产出增长率和各种自变量物品的增长率都可能在时间过程中发生变化，这种变化源于其生产函数的各个自变量数量的变化。

由式（I.9.4）可以推知，第j种自变量物品如果具有正则生产函数，则其存量增长率随时间变化的速度为

（I.9.8）

式（I.9.8）的最后一行使用了式（I.3.2）中的定义 。

经济增长模型一般都假设折旧率不随时间而变化（ ），在这种情况下，该自变量物品存量增长率随时间变化的速度就为

（I.9.9）

将式（I.9.6）的两边对时间求导，就得具有柯布—道格拉斯式的生产函数的第j种自变量物品增长率随时间变化的速度。这个增长率变化速度的公式与式（I.9.8）完全一样，因而不必再单独列出。我们也可以把式（I.9.8）直接就看成是具有柯布—道格拉斯生产函数的第j种自变量物品增长率随时间变化的速度。当具有柯布—道格拉斯生产函数的自变量物品j的折旧率不随时间而变化（ ）时，其存量增长率随时间变化的速度就恰好可以用式（I.9.9）来描述。

柯布—道格拉斯生产函数是正则生产函数的一种特殊形式，在存量增长率随时间变化的速度上，具有柯布—道格拉斯生产函数的自变量物品与具有一般的正则生产函数的物品有相同的数学形式，这不足为怪。不过，对具有柯布—道格拉斯生产函数的物品来说，式（I.9.8）和（I.9.9）中的 是不变的常数，而对只具有一般的正则生产函数的物品来说， 可能是个随各种自变量物品数量变化而变化的变量。

由式（I.9.8）可以推知，第j种自变量物品如果具有正则生产函数，则其存量增长率的增长率就为

（I.9.10）

当该物品的正则生产函数是柯布—道格拉斯式的时候，其存量增长率的增长率也恰如上式所示。

而如果具有正则生产函数的物品j的折旧率不随时间而变化（ ），该物品存量增长率的增长率就为

（I.9.11）

当具有柯布—道格拉斯生产函数的自变量物品j的折旧率不随时间而变化（ ）时，其存量增长率的增长率也恰好可以用上式来描述。

如果具有正则生产函数的物品j的折旧率 恒为零，即该物品具有“严格正则生产函数”，则该物品存量增长率的增长率就变为

（I.9.12）

对具有狭义柯布—道格拉斯生产函数的自变量物品（其折旧率 恒为零），其存量增长率的增长率也恰好可以用上式来描述。

在推导以上各式时，也可以使用下述规则： 。这是因为在本文的分析中，用于生产第j种物品的第i种物品（ ）占全部第i种物品（ ）的比例是外生给定的，从而应当被看作给定不变。在这种情况下，用于生产第j种物品的第i种物品的增长率 必定等于全部第i种物品的增长率 。

一、稳态增长的条件。没有外生给定增长率的情况

稳态增长意味着最终产品的产出增长率保持不变，最终产品生产函数各自变量的增长率也相应地不随时间过程而发生变化。对除物质资本存量以外的那n-1种自变量物品来说，这意味着式（I.9.8）中的第j种自变量物品增长率随时间变化的速度应当为0。因此，稳态增长的最一般条件要求对任何一个第j种物品来说都有

（I.10）

但是经济增长模型通常都假定折旧率不随时间而变化，也就是 。本书以下的讨论也只限于任何自变量物品的折旧率都不随时间而变化的情况。根据式（I.10），如果任何自变量物品存量的折旧率都不随时间而变化，则稳态增长意味着：对任何一个第j种物品来说都有

（I.10.1）

通常任何第j种物品单位时间的产出 都不会等于零，所以 一般也不会等于零。因此，除了 的特殊情况之外，稳态增长的条件要求：对任何一个第j种物品来说都有

（I.10.2）

将上式稍加变换可知，第j种物品的稳态增长率必须满足条件

（I.10.3）

除了 的特殊情况之外，任何一种物品的稳态增长率都必须满足上两式的要求。不论这种物品存量的折旧率 是否等于零，只要这一折旧率不随时间而变化，就必须如此。

根据命题1，如果物质资本的折旧率不随时间而变化，则最终产品生产的稳态增长率等于物质资本存量的稳态增长率。式（I.6.4）、（I.8.1）和（I.8.3）表明，最终产品和物质资本的稳态增长率有着与式（I.10.2）和（I.10.3）完全一样的数学形式。这样，就完全可以用n个式（I.10.2）或式（I.10.3）那样的方程来分别描述最终产品生产函数中的那n种自变量物品的稳态增长条件。而当这n个方程同时成立时，最终产品生产的增长率也必定不变。因此，这n种自变量物品的增长率使这n个方程同时成立，是整个经济进入稳态增长的必要条件。

如果最终产品生产函数的所有n种自变量物品的数量和增长率都满足式（I.10.2）或式（I.10.3）的要求，这所有n种自变量物品的增长率就都将保持不变。根据式（I.6.4），这时最终产品的增长率gY不再随着时间过程而发生变化，整个经济进入平衡增长路径上的稳态增长。因此，平衡增长路径上的稳态增长在数量上的必要条件，就是对最终产品生产函数的那所有n种自变量物品各自都成立式（I.10.2）或式（I.10.3）那样的线性方程。

式（I.10.2）那样的n个方程组成齐次线性方程组

（I.10.4）

而式（I.10.3）那样的n个方程组成方程组

（I.10.5）

如果整个经济中没有任何自变量物品的增长率是外生给定的，则该经济的稳态增长条件必定表示为式（I.10.4）中的齐次线性方程组和式（I.10.5）中的方程组。即使有某些物品的增长率是外生给定的，整个经济的稳态增长条件也可以用方程组（I.10.4）和（I.10.5）来表达。只不过当物品i的增长率外生给定时，方程组（I.10.4）和（I.10.5）中物品i的外生给定增长率 是一个给定不变的常数。

所谓满足平衡增长路径上的稳态增长条件，就是有由n个 构成的向量使式（I.10.4）中的齐次线性方程组和式（I.10.5）中的方程组成立。

如果整个经济中没有任何自变量存量物品的增长率是外生给定的，就可以用矩阵的乘积来表示方程组（I.10.4）和（I.10.5）。定义n种物品的增长率 构成矩阵G，它是一个n维的列向量。在线性方程组（I.10.4）和（I.10.5）中，系数 是由式（I.3.2）所定义的第i种物品对第j种物品生产的贡献率。由此可以将线性方程组（I.10.5）的系数矩阵

（I.10.6）

定义为“生产贡献率系数矩阵”。

根据矩阵G和 的定义，式（I.10.5）中的线性方程组可以表示为矩阵的乘积

（I.10.7）

齐次线性方程组（I.10.4）中的系数矩阵则可以表为

其中

从而对任何j和i都恒有 （I.10.8）

可以将矩阵A称作“稳态增长条件系数矩阵”。矩阵A的每一列都是一个列向量，分别表示相应的物品在稳态增长时对各种物品生产的贡献率所必须满足的条件。我们称其中第i列的列向量为“第i种物品的稳态增长条件系数向量”。

根据矩阵A和矩阵G的定义，可以将式（I.10.4）中的齐次线性方程组表示为矩阵的乘积

（I.10.9）

上式中的 是一个n维的零向量。

如果整个经济中没有任何物品的增长率是外生给定的，则方程组（I.10.4）和（I.10.5）中的所有增长率 都是待解出的未知数。根据齐次线性方程组的性质，在这种情况下，所有n种自变量物品的增长率都等于零肯定是方程组（I.10.4）和（I.10.5）的一组解。也就是说，方程组（I.10.4）和（I.10.5）必有一组零解，如果整个经济中没有任何物品的增长率是外生给定的，则所有自变量存量物品的增长率都为零是一个可能的稳态增长路径。

但是，如果方程组（I.10.4）和（I.10.5）的系数矩阵满足某些条件，这两个方程组就可能会有非零解。这意味着，如果各种自变量物品存量对物品生产的贡献率恰好具有某些特点时，整个经济的稳态增长率会有非零解。对上述论点的系统表述，构成了下面的命题3。

命题3

在一个任何物品的折旧率都不随时间而变化的正则生产函数经济中，如果没有任何一种物品的增长率是外生给定的，则每一种物品的增长率都等于零是该经济稳态增长率的一组解；如果该经济有非零的稳态增长率解，则至少有一种物品的稳态增长条件系数向量可以由其它物品的稳态增长条件系数向量线性表出，且该经济将有很多个稳态增长率解，这些稳态增长率解可以至少组成一组，在同组的不同稳态增长率解之间，任意两物品增长率之间的相对比例都相同，能够确定的也只是不同物品稳态增长率之间的这种相对比例关系。

上述命题只不过是应用线性代数的数学原理对方程组（I.10.4）和（I.10.5）解的结构所作的概括阐述，因此对它不必再作系统论证。下边只对命题3作一略微展开的叙述。

如果在一个经济中，任何物品的增长率都不是外生给定的，则方程组（I.10.4）和（I.10.5）中的任何一个物品的增长率都是待解出的未知数，方程组（I.10.4）将是一个真正的齐次线性方程组。由于任何齐次线性方程组都有零解，所有物品的零增长对任何一个经济都应当是其稳态增长率的一组解。这一点当然也适用于正则生产函数经济以及柯布－道格拉斯经济。

当齐次线性方程组（I.10.4）有非零解时，它所描述的经济在没有外生给定的增长率时，也会有非零的稳态增长率解。根据线性代数的原理，齐次线性方程组（I.10.4）有非零解的充分必要条件是其系数矩阵A的秩小于n。而如果该系数矩阵的秩小于n，则它的第n个列向量 可以由其它n-1个列向量 线性表出：

（I.11）

而式（I.10.8）中定义的矩阵A中的每一个列向量，都是相应物品的稳态增长条件系数向量。这样，一个经济要有非零的稳态增长率解，就必须至少有一种物品的稳态增长条件系数向量可以由其它物品的稳态增长条件系数向量线性表出。

将一个有非零解的齐次线性方程组（I.10.4）的系数矩阵的秩表为n - m，其中 。根据线性代数的原理，如果齐次线性方程组（I.10.4）有非零解，则它必有基础解系，且基础解系所含解的个数为m，m也是该方程组中自由未知量的个数。同一基础解系的这m个解之间线性无关，而该方程组的任一个解都能表成这m个解的线性组合。

事实上，这种情况下的齐次线性方程组（I.10.4）可以改写为

（I.11.1）

这样一个方程组中包含着m个自由未知量，因而其基础解系中有m个解，每个解都是一个向量，其中既非零也非1的分量不超过n - m个。而方程组（I.11.1）的任何一个解都可以表为基础解系中的m个解的线性组合。

根据线性代数的原理，齐次线性方程组如果有非零解，则其任何一个解的倍数仍然是该方程组的解。这就意味着，可以以齐次线性方程组的任何一个非零解为基础构造该方程组的一组解，在这组解的任两个解之间，各个相应的分量之间都有相同的比例：设 是方程组（I.11.1）的一个解，则 也必为方程组（I.11.1）的一个解，这两个解属于方程组（I.11.1）的同一组解。

命题3表明，如果没有任何外生给定的增长率而稳态增长率有非零的解，则非零的稳态增长率解会有许多个，许多个非零的稳态增长率解会构成一组解，在这组解的任两个解之间，每两个相应的分量之间都有相同的比例。在这种情况下，各种物品的稳态增长率解是一个稳态增长率解的各个分量，而这各种物品的稳态增长率解的实数数值无法确定，可以确定的只是各种不同物品的稳态增长率之间的相对比例关系。

二、标准化的稳态增长率解

由于在没有外生给定的增长率的条件下，可以确定的只是各种不同物品稳态增长率解之间的相对比例关系，我们就可以将稳态增长率解标准化：任取稳态增长率的一个非零的解，将第n种物品定义为“基准物品”，再将所有n个物品的稳态增长率都除以基准物品的稳态增长率 以将稳态增长率标准化。在这种标准化的稳态增长率中，基准物品的稳态增长率必定为1。

根据这种标准化程序，第j种物品的标准化稳态增长率是该物品的稳态增长率对基准物品稳态增长率的倍数

（I.11.2）

于是式（I.10.3）中的稳态增长条件就变为

（I.11.3）

而当一种或一种以上的自变量物品增长率外生给定时，将稳态增长率标准化就更为容易：那时可以直接取增长率外生给定的一种物品作基准物品，将所有物品的稳态增长率解标准化。

不过，恰恰是在没有任何物品的增长率外生给定的条件下，标准化稳态增长率才特别显示出它在经济分析上的重要性。在没有任何物品的增长率外生给定的条件下，如果该经济有非零的稳态增长率解，前边所列的齐次线性方程组（I.10.4）必定有非零解。此时该方程组的系数矩阵的秩必小于该方程组的阶数n。式（I.11）表明，这时该方程组系数矩阵的第n个列向量 可以由其它n-1个列向量 线性表出：

（I.11）

这种线性表出的关系意味着，对上述n个列向量中每一个向量的第j行（第j维分量）来说必定有

（I.11.4）

而根据式（I.10.8）中定义的系数 与 之间的关系，式（I.11.4）又意味着

（I.11.5）

但是式（I.11）表明，第n个列向量 前面的线性表出系数 只能为1。这样，对那n个列向量中每一个向量的第n行（第n维分量）来说就必定有

（I.11.6）

将式（I.10.8）中定义的系数 与 之间的关系代入式（I.11.4），也正好得式（I.11.6）。

式（I.11.5）与式（I.11.3）完全相同。这就表明，在没有任何物品的增长率外生给定而某些物品有非零的稳态增长率解时，以“稳态增长条件系数矩阵”A的前n-1个列向量 线性表出该系数矩阵的第n个列向量时所运用的那n - 1个系数 ，就是以第n种物品为“基准物品”所得出的前n - 1种物品的标准化稳态增长率解。

三、稳态增长率与稳态增长率解

显而易见，齐次线性方程组（I.10.4）的非零解中可能包括一些小于零的分量。当一个解的所有分量都有相同的符号时，这些分量既可能都大于零，也可能都小于零；而某些解的分量则可能有不同符号，这意味着在这类解中，某些分量大于零时其它一些分量就必定小于零。而方程组（I.10.4）的解中，小于零的分量本应表明相应物品的稳态增长率小于零。但是根据推论2，严格正则生产函数经济中任何物品的增长率都不可能小于零，这就决定了这种经济中任何物品的稳态增长率也不可能小于零。这样，如果齐次线性方程组（I.10.4）的任何解包含了小于零的分量，那么这个解就不可能是该经济中实际会出现的稳态增长率。

由此可以得出一个一般的结论：在一个经济中，如果任何一种物品的生产都服从严格正则的生产函数，从数学角度上讲，稳态增长率就必须是方程组（I.10.4）和（I.10.5）的解。但是不能反过来说，方程组（I.10.4）和（I.10.5）的任何解都是该经济中的稳态增长率。n维向量G是线性方程组（I.10.4）和（I.10.5）的解，这只是这个向量G是该经济的稳态增长率的必要条件，而不是充分条件。

这里我们必须区分“稳态增长率”与“稳态增长率的解”。“稳态增长率的解”就是能解出联立方程组（I.10.4）和（I.10.5）的 值，但是这个解并不一定就是相应的严格正则生产函数经济的稳态增长率。二者的差别之一是“稳态增长率的解”可能使 取负值，但是在一个严格正则生产函数经济中，任何物品的增长率都不可能为负，因而稳态增长率不可能是负的。

由此可知，如果一个严格正则生产函数经济的稳态增长率解中必须有负的增长率，则该经济将没有稳态增长率，也不会进入稳态的增长。如果这个严格正则生产函数经济中没有外生给定的增长率，也许将不会发生这种情况：方程组（I.10.4）至少有一个零解，这意味着没有外生给定增长率时至少可以使每种自变量物品的稳态增长率都等于零，这就避免了负的稳态增长率出现。

如果一个严格正则生产函数经济没有外生给定的增长率，但是却有非零的稳态增长率解，而且至少有一个非零的稳态增长率解中所有分量都有相同符号，则该经济仍然可能有非零的稳态增长率。这是因为，即使这个非零的稳态增长率解中各个分量都小于零，也可以用同一个负数去乘该稳态增长率解的每一分量而得出一个新的稳态增长率解，其中的各个分量都必定大于零。根据线性代数的原理，这个每一分量都为正的向量也同样是该经济的稳态增长率解。

但是，如果对于这样一个没有外生给定增长率的严格正则生产函数经济来说，任何非零的稳态增长率解中各分量的正负号都必定互不相同，则其非零的稳态增长率解中必定包含小于零的分量，这个经济就只能是每种物品的稳态增长率都为零，或者根本没有稳态增长。

本书以下各章将证明，当某些物品的生产函数全自变量规模报酬递增时，该经济可能有非零的稳态增长率解，而且单个稳态增长率解中的各分量可能有互不相同的正负号。在这种情况下，唯一可能的稳态增长率是每种物品存量的增长率都为零。但是由式（I.9.5）所决定的各种物品增长率在这种情况下却通常远远大于零。这样，当非零的稳态增长率解包含着正负号互不相同的分量时，各种物品的增长率都为零的稳态增长往往不可能出现。这样一种经济多半会陷入“爆炸性增长”——增长率不断提高的“向外爆炸性增长”，有时则必定会陷入“爆炸性增长”。

注意式（I.9.1）、（I.9.3）和（I.9.5）在完全不存在非竞争性和全自变量规模报酬递增下也成立。这证明命题2的正确性与最终产品生产函数的自变量物品的非竞争性、与任何生产函数的规模报酬递增都没有关系，经济的非负增长并不依赖于影响产出的各种因素的非竞争性和生产上的全自变量规模报酬递增。

附带地，我们还可以证明下述有关没有外生给定增长率时的稳态增长率的命题：

命题4

如果在两个同样有n种自变量存量物品的经济中，每一个经济都没有任何一种物品的增长率是外生给定的，稳态增长时的“生产贡献率系数矩阵”（ 矩阵）在一个经济中是 （ 的行列式非退化），在另一个经济中是 的逆矩阵 ，则这两个经济有同样的稳态增长率解。

证

根据式（I.10.7），在 矩阵为 的经济中，稳态增长的条件可以表示为矩阵的乘积

其中的 为该经济中的稳态增长率解列向量。令I为一个n级单位矩阵，则上式可以化为

上式可以缩写为

将上式两边都从左边乘以 矩阵的逆 ，得

上述等式可以化为

证毕

例子4

在某经济中，最终产品的生产函数只有3种自变量物品。我们取第3种物品为基准物品，将其存量的增长率标准化为1，并依此将第1种物品的标准化增长率标为a，将第2种物品的标准化增长率标为k。该经济的稳态增长条件为

（例4.1）

上述方程组中的生产贡献率系数矩阵（ 矩阵）为

（例4.2）

解线性方程组（例4.1），得 。这意味着（例4.1）中的经济有稳态增长率解列向量

（例4.3）

矩阵（例4.2）的逆为

（例4.4）

以矩阵（例4.4）为生产贡献率系数矩阵（ 矩阵），我们可以列出一个新的线性方程组

（例4.5）

式（例4.3）中的列向量 同样是（例4.5）中的线性方程组的解，也即当 时，（例4.5）中的线性方程组成立。

四、有外生给定增长率时的稳态增长条件

在新古典经济增长模型和许多内生经济增长模型中，通常都假定人口（劳动力）的增长率外生给定不变。在本书的分析框架中，这等于最终产品生产函数中有一种自变量物品的存量增长率是外生给定不变的。

将增长率外生给定的物品标为最终产品生产函数中的第n种自变量物品，其外生给定的增长率为m。由于有自变量物品的增长率是外生给定的常数，包含着自变量存量物品增长率的公式都需要改变形式。

如果其它自变量物品的增长率都不是外生给定的，则这种情况下的最终产品产出增长率为

（I.6.6）

在折旧率不随时间而变化（ ）的情况下，除第n种物品之外的第j种自变量物品存量增长率随时间变化的速度则变为

（I.9.13）

在这种情况下，对于除第n种物品之外的第j种自变量物品来说，只要 不为零，稳态增长就要求

（I.10.10）

这也意味着

（I.10.11）

需要根据稳态增长条件决定的增长率向量变为由n-1个分量（ ）构成，这些 中不包括 。要以这个增长率向量解出的线性方程组变为

（I.11.7）

由线性方程组（I.11.7）可知，当一种自变量物品的增长率外生给定时，“稳态增长条件系数矩阵”（A矩阵）是n -1乘n - 1的方阵 ，而稳态增长率解列向量 是n - 1维的 ；有外生给定增长率的第n种物品对其它物品的生产贡献率系数 构成一个n - 1维的列向量 。由此可以将式（I.11.7）中的线性方程组表为矩阵的乘积

（I.11.8）

根据线性代数的原理，当线性方程组（I.11.7）的系数矩阵 与该方程组的增广矩阵有相同的秩时，式（I.11.7）中的线性方程组有解，这时相应的经济有确定的稳态增长率解；当线性方程组（I.11.7）的系数矩阵 与该方程组的增广矩阵有相同的秩且二者都等于n - 1时，式（I.11.7）中的线性方程组有唯一解，这时相应的经济只有一个稳态增长率解，每种自变量物品以及最终产品都只可能有一个稳态增长率。

根据以上本章中建立的经济增长模型分析框架，我们将在以下各章中展开说明内生稳态增长模型的生产结构。我们要说明的生产结构主要是稳态增长率的解与自变量物品生产函数的全自变量规模报酬之间的关系，也涉及自变量物品的非竞争性与稳态增长率解之间的关系。我们的分析首先从一种基准情况开始。在这种基准情况下，所有物品的生产都是全自变量规模报酬不变的。

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