基准市场

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英文标题：
《Numeraire markets》
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作者：
Robert Fernholz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In a stock market, the numeraire portfolio, if it exists, is the portfolio with the highest expected logarithmic growth rate at all times. A numeraire market is a stock market for which the market portfolio is the numeraire portfolio. We study open markets, markets comprising the higher capitalization stocks within a broad equity universe. The stocks we consider are represented by continuous semimartingales, and we construct an example of a numeraire market that is asymptotically stable.
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中文摘要：
在股票市场中，如果存在计价投资组合，则它是始终具有最高预期对数增长率的投资组合。计分市场是指市场投资组合为计分投资组合的股票市场。我们研究开放市场，即在广泛的股权范围内由资本化程度较高的股票组成的市场。我们考虑的股票由连续半鞅表示，我们构造了一个渐近稳定的数字市场的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Mathematical Quantitative mathematica represented logarithmic

Numeraire marketsRobert Fernholz公司*2018年1月24日摘要在股票市场中，计价组合（如果存在）是始终具有最高预期对数增长率的组合。基准市场是一个股票市场，其市场组合为基准投资组合。我们研究开放市场，即由资本化程度较高的股票组成的市场，这些股票分布在一个广泛的股权范围内。我们考虑的股票由连续半鞅表示，我们构造了一个渐近稳定的数字市场的例子。1简介数学金融中考虑的股票市场是传统的封闭市场，在任何时候都包含相同的股票。真正的股票市场是开放市场，股票在IPO或IPO后进入，在私有化或破产后退出。公开市场类似于高资本化指数，在高资本化指数中，当一只股票的资本化降至低水平时，该股票将被替换。基准投资组合，或对数最优投资组合，是指在任何时候都具有最高预期对数增长率的投资组合。基准市场是指基准投资组合为市场投资组合的股票市场。Karatzas和Kardaras（2018）表明，封闭市场也是数字市场，将逐渐不稳定，所有资本都集中在一只股票上。因此，我们将把重点放在开放市场上。我们首先需要回顾有关股票市场模型的一些基本定义和基本结果。为清楚起见，我们将首先考虑封闭市场，并将开放市场的考虑推迟到下一节。假设在时间间隔[0，T]上定义的市场由股票X，Xn，其中n>1，夏尔由正It^o过程表示，满足对数Xi（t）=γi（t）dt+dX`=1ξi`（t）dW`（t），（1.1）t∈ [0，T]，其中（W。

，Wd）是d的d维布朗运动≥ n、 γi和ξi是适应布朗过滤的可测函数。我们将始终假设我们遇到的随机微分方程至少有弱解。γiis过程称为第i个生长过程。我们将秩过程定义为随机置换rt∈ ∑如果Xi（t）>Xj（t）或如果Xi（t）=Xj（t）且i<j，则确保rt（i）<rt（j）。我们还定义了排名股票过程X（1），X（n）使得X（rt（i））（t）=Xi（t），so X（1）（t）≥ · · · ≥ X（n）（t）。我们还可以定义逆置换pt，r-1吨∈ ∑n，所以我们有Xpt（k）（t）=X（k）（t）。从（1.1）中，我们可以推导出方差率过程σifor i=1，n和协方差率过程σij，对于i，j=1，n、 对于σi（t），ddthlog Xiit=dX`=1ξi`（t）和σij（t），ddthlog Xi，log Xjit=dX`=1ξi`（t）ξj`（t），*新泽西州普林斯顿Palmer广场1号Intech，邮编：08542。bob@bobfernholz.com.作者感谢Ioannis Karatzas和JohannesRuf对本研究提出的宝贵意见和建议。对于t∈ [0，T]。我们还将有一个额外的过程X，称为cash，它没有随机项，sod log X（t）=γ（t）dt，对于t∈ [0，T]。对于现金，二次变化过程hXit≡ 0和hX，Xiit≡ 0，对于i=1，n、 由于从所有增长率γ中减去增长率γ，iwe可以改变参考框架，使现金的增长率为零，因此假设X≡ 1和γ≡ 0，我们将这样做。对于每种股票，我们定义收益率过程αibyαi（t），γi（t）+σi（t），对于现金，定义α≡ 在这种情况下，It^o规则意味着dxi（t）Xi（t）=αi（t）dt+dX`=1ξi`（t）dW`（t），a.s.在本节中，我们请读者参考Fernholz（2002）和Fernholz and Karatzas（2009）。（广义）投资组合π是一系列有界可测过程π。

，πn适应布朗过滤。对于每个投资组合π，都有一个隐含的现金权重π，其中π（t），1- π（t）- · · · - πn（t），因此对于所有t，nxi=0πi（t）=1∈ [0，T]。投资组合的价值过程Zππ满足度dzπ（t）Zπ（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t）=nXi=1πi（t）αi（t）dt+nXi，j=1πi（t）πj（t）σij（t）1/2dW（t），a.s.，对于某些布朗运动W。（现金可以忽略，因为它对投资组合的回报没有任何贡献。）由此，我们可以通过απ（t）定义投资组合收益率过程απ，nXi=1πi（t）αi（t），以及通过σπ（t）定义投资组合方差率过程σπ，nXi，j=1πi（t）πj（t）σij（t），其中dzπ（t）=απ（t）dt+σπ（t）dW（t），a.s.（1.2）应用It^o规则，我们可以导出π的对数表示，其中d log Zπ（t）=γπ（t）dt+σπ（t）dW（t），a.s。，（1.3）投资组合增长率满足γπ（t）=απ（t）-σπ（t），a.s.市场投资组合过程X由X（t），X（t）+···+Xn（t）定义，市场投资组合中没有现金。对应的市场权重过程ui由ui（t）、Xi（t）X（t）定义，i=1，n、 sou（t）+··+un（t）=1。可以看出，与市场相对应的投资组合价值过程Zu满足Zu（t）=X（t），a.s.，（1.4）对于t∈ [0，T]，如果Zu（0）=X（0）。2 Numeraire Markets Numeraire投资组合ν是投资组合增长率最高的投资组合，因此对于任何投资组合π，γν（t）≥ γπ（t）表示t∈ [0，T]。因为γπ（t）=απ（t）-σπ（t）=πt（t）α（t）-πT（T）∑（T）π（T），a.s.，（2.1），其中α（T）=（α（T），αn（t））t，π（t）=（π（t），πn（t））t，∑（t）是条目为σij（t）的协方差矩阵。为了使时间t的增长率最大化，我们发现γπ（t）的无约束最大值，它发生在γπ（t）=α（t）- ∑（t）π（t）=0，a.s.，其中 = （D，…，Dn）是相对于π（t）的梯度。因此，对于计价组合ν，我们有α（t）=∑（t）ν（t），a.s.，其中ν（t）=（ν（t），νn（t））t。

这相当于αi（t）=nXj=1νj（t）σij（t）=σiν（t），a.s.，（2.2）对于i=1，n、 σiν过程称为Zν和Xi的投资组合协方差过程。对于计价市场，计价组合ν与市场组合u相同，因此（2.2）变为αi（t）=σiu（t），a.s.，就增长率而言，γi（t）=σiu（t）-σi（t），a.s.（2.3）3公开市场将股票宇宙X的形式（1.1）与股票价格过程X，XN，N>2，通用重量过程ζ，ζ由ζi（t）、Xi（t）X（t）+···+XN（t）定义。公开市场X*n 大小为n<n的X是在任何给定时间占据前n级的股票的子集。市场X的市值过程X[n]*新定义的byX【n】（t），X（1）（t）+····+X（n）（t），（3.1）和X的市场组合u*nis以X表示的投资组合，由权重u，uN，其中upt（k）（t）=X（k）（t）X[n]（t），k=1，n 0，k=n+1，N、 排名市场权重过程u（k）满足u（k）（t）=X（k）（t）X[N]（t），a.s.，对于k=1，n、 设∧k，k+1为原点处对数（X（k）/X（k+1））的本地时间，对于k=1，N-本地时间∧k，k+1等于对数（ζ（k）/ζ（k+1））和对数（u（k）/u（k+1））原点的本地时间。从Fernholz（2002）的示例4.3.2或Fernholz和Fernholz（2017）的引理2.1中，我们可以看到市场投资组合价值过程的动态Zu将遵循d log Zu（t）=d log X[n]（t）-u（n）（t）d∧n，n+1（t），a.s.（3.2）（3.2）中当地时间的出现类似于Fernholz（2002）样本4.3.5中功能生成投资组合的泄漏，这表明市场资本化过程的增长速度比市场投资组合快。定义3.1。（Fernholz（2002））正连续半鞅系统X，XNis渐近稳定if1。限制→∞t型-1log（Xi（t）/Xj（t））=0，a.s.，对于i，j=1，N（相干性）；2.

限制→∞t型-1∧k，k+1（t），λk，k+1>0，a.s.，对于k=1，N- 1.3、限制→∞t型-1hlog（X（k）/X（k+1））it，σk，k+1>0，a.s.，对于k=1，N- 1、备注1。CAPM一致性市场。在Markowitz（19521959）的经典投资组合理论中，如果aportfolioπ的预期收益απ（t）具有最小投资组合方差σπ（t），则它是有效的。夏普（1964）著名的资本资产定价模型（CAPM）得出结论，如果所有投资者持有有效的投资组合，那么市场投资组合u也将有效，所有有效的投资组合将是市场投资组合和现金的组合。基准投资组合是一种有效的投资组合，因为如果另一个投资组合具有相同的预期回报但方差较低，则该投资组合的增长率较高。因此，在CAPM下，计价组合将是现金和市场组合ν的组合。在这种情况下，（2.3）变成γi（t）=ρν（t）σiu（t）-σi（t），a.s.，（3.3），其中ρν（t）是在时间t时，在基准投资组合ν中持有的市场投资组合u的比例，以及（1-ρν（t））是现金的比例。满足（3.3）的市场称为CAPM一致市场。由于条件（2.3）比条件（3.3）强，所以计价市场也是CAPM一致的市场。然而，封闭式计分市场是渐进不稳定的（见Karatzas和Kardaras（2018）），而封闭式、渐进稳定、CAPM一致的市场的构建方式与下文在开放市场中构建计分投资组合的方式类似。

然而，封闭的、CAPM一致的市场的例子似乎和真实的股票市场并没有什么相似之处。4作为计价市场的一个例子，我们希望构建一个渐近稳定的计价市场模型，因为我们知道一阶模型是渐近稳定的，所以我们将从一个结构类似于一阶模型的股权宇宙开始（例如，见Banner等人（2005）的Fernholz（2002））。让我们考虑一下权益宇宙X定义的比亚迪对数Xi（t）=grt（i）（t）+Gdt+srt（i）dWi（t）+S dW（t），a.S.，（4.1），对于i=1，N、 带N≥ 2，常数G，常数S≥ 0，正常数s，sN，N+1维布朗运动（W，…，WN，W），过程g，Gk（t）=Д（k，ζ（1）（t），ζ（N）（t））>0，其中，Д是有界连续函数，对于某些ε>0，g（t）+···+gN（t）=0，g（t）+···+gk（t）<-ε、 对于1≤ k<N.（4.2）模型（4.1）与Banner et al.（2005）中的一阶模型和Ichiba et al.（2011）中的混合Atlasmodels非常相似，这些模型的结果通常在我们当前的设置中仍然有效。我们可以看到（4.1）是具有a.s.连续样本路径的马尔可夫矩阵，且方差矩阵的特征值远离零。因此，我们可以遵循Ichiba et al.（2011）定理1的推理，来确定间隙过程log（X（k）/Xk+1）的稳定分布的存在性（另请参见Khasminskii（1980）的定理4.1和5.1）。然后，Ichiba et al.（2011）引理1的证明可以用来证明系统将在三个点花费零本地时间。由于gk都是由相同的函数Д定义的，因此过程xi将是可交换的，因此它们将在每个秩上渐近地花费相等的时间，Banner等人（2005）中的一阶模型就是这样。

因此，所有的XI将渐近共享平均增长率G，这将是宇宙的增长率，因此系统将是一致的。Ichiba等人（2011）对混合Atlas模型的分析在此仍然有效，因此系统（4.1）将是渐近稳定的。现在，对于一些n<n，让我们考虑开放子市场X*n X与市场组合流程u。然后ui（t）={rt（i）≤n} Xi（t）X[n]（t），i=1，N、 和u（k）（t）={k≤n} X（k）（t）X[n]（t），k=1，N、 （4.3）可以方便地将这些重量的定义扩展到ui（t），Xi（t）X【N】（t），i=1，N、 对于rt（i），我们有ui（t）=eui（t）≤ n和u（k）（t）=k的eu（k）（t）≤ n、 使用此符号，子市场X*（4.1）定义的nde将满足（2.3）ifgrt（i）（t）+G=ui（t）srt（i）+S-srt（i）+S, a、 s.，（4.4）对于i=1，n、 因此，如果过程gk由gk（t）定义=eu（k）（t）-sk公司- G+S，（4.5）对于k=1，…，为a.S.负值，N- 1，andgN（t）=-g（t）+…+gN公司-1（t）, （4.6）则（2.3）和（4.2）将得到满足，并且X*N将成为计分市场。因此，我们构建数字市场的策略将是找到正常数s，S和常数G和S≥ （4.5）定义的gk（t）满足条件（4.2）。5模拟计分市场在这里，我们将按照刚才概述的策略构建一个形式（4.1）的计分市场。Letn=500，N=550，sk=0.06，k=1，N、 S=0.04，G=0.051，（5.1），GK（t）=0.06eu（k）（t）-- 0.031 < -0.001，k=1，N- 1，gN（t）=-（g（t）+···+gN-1（t）），（5.2），对应于（4.5）。我们从（5.2）中看到，当k=1时，gk（t）<0，N- 因此，条件（4.2）已满足。该市场的模拟结果如图1和图2所示。模拟运行了200万次迭代，其中前100万次用于收敛，第二100万次记录在图表中。

图1显示了以黑曲线表示的模拟排名市场权重的平均分布，以及以红曲线表示的一阶近似分布曲线。Fernholz（2002）第5.5节中定义的一阶近似值使用估计限值→∞TZTlogX（k）（t）/X（k+1）（t）dt=σk，k+12λk，k+1，a.s.，如果间隙过程log（X（k）/X（k+1））的稳定分布是指数分布，则其保持不变（见Banner et al.（2005））。这两条曲线的接近性表明，间隙过程的稳定分布接近指数分布。λk，k+1通过（3.2）的模拟估算，σk，k+1=sk+sk+1直接通过参数定义估算。图2显示了模拟计价市场的市场投资组合和市场资本的累积对数增长。我们发现，市场资本X【n】的增长速度快于市场投资组合的价值过程Zu，正如我们从（3.2）中所预期的那样。用于此模拟的R代码如下所示。备注2。带参数的模型（5.1）比（4.1）稍微简单一些。实际上，我们可以写日志Xi（t）=gi（t）+G-{rt（i）=N}g（t）dt+σdWi（t）+S dW（t），a.S.，（5.3），对于i=1，N、 其中布朗运动wi和W如（4.1）所示，参数为=500，N=550，σ=0.06，S=0.04，G=0.051，其中gi（t）=eui（t）σ- G级+S- σ< -0.001，其中g（t）=g（t）+····+gN（t）。自进程Dyi（t）=d log Xi（t）- S dW（t），对于i=1，N是独立的，且均具有相同的方差率σ，Girsanov定理（见Karatzasand Shreve（1991））暗示Y，yn将等价于N维布朗运动。因此，过程yi将没有三个点，因此过程Xi也是如此。

让我们也注意到，在基准市场X中，股票xi的参数过程γi和σi*不依赖等级。6结论我们构造了一个渐近稳定的开放计价市场的例子，并考虑了它的一些基本特征。我们已经看到，开放计价市场的渐近行为类似于由顶级一阶模型或混合Atlas模型组成的市场。对于渐近稳定的开放计价市场，从长期来看，没有任何投资组合策略将主导市场投资组合，而市场资本化过程将主导所有投资组合策略。ReferencesBanner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。关于股票市场的Atlas模型。应用可能性年鉴15，2296–2330。Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约：Springer Verlag。Fernholz，R.和I.Karatzas（2009年）。随机投资组合理论：概述。在A.Bensoussan和Q中。张（编辑），《金融学中的数学建模和数值方法：特别卷》，《数值分析手册》，第十五卷，第89-168页。阿姆斯特丹：荷兰北部。Fernholz，R.T.和R.Fernholz（2017年）。含时秩基随机系统Zipf定律的普适性。arXiv:1707.04285v2，1–24。Ichiba，T.、V.Papathanakos、A.Banner、I.Karatzas和R.Fernholz（2011年）。混合Atlas模型。《应用概率年鉴》21609–644。Karatzas，I.和C.Kardaras（2018年）。通过Num’eraires的套利理论。正在准备的书籍。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约：SpringServerLag。Khasminskii，R.Z.（1980年）。微分方程的随机稳定性：固体和流体力学专著和教科书：力学和分析7。马里兰州日尔曼镇：无。Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》第7期，77–91页。Markowitz，H.（1959年）。投资组合选择。