夏普比率是多少？每个人怎么会弄错呢？

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英文标题：
《What is the Sharpe Ratio, and how can everyone get it wrong?》
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作者：
Igor Rivin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The Sharpe ratio is the most widely used risk metric in the quantitative finance community - amazingly, essentially everyone gets it wrong. In this note, we will make a quixotic effort to rectify the situation.
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中文摘要：
夏普比率是量化金融界使用最广泛的风险衡量标准——令人惊讶的是，基本上每个人都错了。在这篇笔记中，我们将做出堂吉诃德式的努力来纠正这种情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：夏普比率 是多少 Quantitative Optimization Applications

夏普比率是多少？每个人怎么能把它搞错呢？IGOR RIVINAbstract。夏普比率是定量金融界使用最广泛的风险度量标准——令人惊讶的是，基本上每个人都错了。在这篇笔记中，我们将做出堂吉诃德式的努力来纠正这种情况。1、简介五年前，William F.Sharpe在[Sha66]中引入了夏普e比率（夏普在[Sha94]中近三十年后略微修改了定义）。夏普比率是风险调整后回报的一种衡量标准，最初的目的是将真正优秀的策略与投资组合经理简单地制定的平庸策略相区别。这样的杠杆化将在好的时候超过市场，然后在情况变糟的时候，就会燃烧起来。夏普大鼠io（在其最新版本中）定义为：（1）Sa=E（Ra- Rb）σa，其中Rais为资产的预期回报，Rbis为无风险回报率，σa为资产回报的标准偏差。有统计倾向的读者一定会注意到夏普比率与t统计的相似性，因此量化了投资策略优于prover bialmonkeys在（目前虚拟的）股票表上投掷飞镖的证据。虽然夏普e比率被投资者广泛使用（用于决定哪种投资工具更可取），但作为定量金融界的一项内部衡量指标，夏普e比率也非常重要——高夏普比率表明，该战略在任何一年都极不可能亏损，这样，投资组合经理就可以在没有太多破产风险的情况下提高投资组合的杠杆率。2、夏普比率是如何计算的？公式（1）中的数量是年数量，因此，原则上，为了对所有变量进行合理估计，我们应该检查投资组合经理几十年的回报率。

这显然是不切实际的-当获得合理的价值时，投资组合经理很可能已经死亡（或死亡），而价值在任何情况下都是毫无意义的，因为在如此长的时间尺度内，市场的特征发生了很大的变化。因此，在实践中，夏普比率是使用每日（有时每月）回报流计算的。为了使这种计算可行，我们做了一个基本假设：2 IGOR Rivinn每日收益率是独立的同分布（i.i.d）随机变量。虽然这一假设在许多方面显然是错误的（市场中存在季节性，因此收益率分布不一致，存在动量和反转现象，这意味着它们不是独立的），但这些假设离现实并不太远，我们在这里不会与之争论，因为真正的混乱才刚刚开始：我们假设（由于回报率很小）数天的回报率等于各天回报率之和，o rnYi=1（1+ri）=1+nXi=1ri。然后按以下方式使用：年回报率是25 2（一年中传统上接受的交易天数）日回报率的总和。由于均值和方差都是期望值，因此两者都随样本大小呈线性增长。标准偏差是方差的平方根，因此，当烟雾消散时，普遍使用的公式是：（2）Sa=√E（Ra（d）- Rb（d）σa（d），其中d现在表示每日收益。3.

正确的方法现在让我们看看真相是什么。如上所述，n个时期的实际年回报率为xn=nYi=1（1+ri）。由于每日收益率为i.i.d，因此产品的期望值为经验的乘积，soE（Xn）=（1+u（d））n。方差如何？Var（Xn）=E（Xn）- E（Xn）=E（Yi=1n（1+ri）]- （1+u（d））2n=nYi=1E（1+ri））- （1+u（d））2n=nYi=1（（1+u））+σ）-nYi=1（1+u）=nXi=1镍σ2i（1+u）2n-2夏普比率是多少？每个人怎么会弄错呢？3因此，在相同的依赖日收益率假设下，我们有以下夏普风险指数公式：Ia=（1+u）n- 1qPni=1镍σ2i（1+u）2n-2i，其中u，σ分别是每日收益的平均值和标准偏差。第一个问题是：问题3.1。我会放弃小回报的假设吗？答案是：不。事实上，如果回报率很小，那么估算Iaby nu的分子并非不合理。如果波动率也很低，那么可以很合理地说，只有分母贡献总额中的第一项才有显著贡献。当烟雾消散时，我们得到以下近似值：对于u，σ<< 1，Ia≈√nu（1+（n- 1)u)σ.请注意，这与Saby的系数（1+（n）不同- 1)u). 自（n- 1） u大约是一年的回报率（在我们的假设下），即使在小回报率和波动率假设下，误差也是非常大的。这些错误在离“热死亡”极限稍远一点的地方更为严重。例如，考虑加密货币的性能。比特币在过去几年中大幅增长，如果使用常见的mula Sai，比特币的（一年回顾）Sha rpe（在撰写本文时）约为2.5（例如，参见mplehttps://www.sifrdata.com/cryptocurrency-sharpe-ratios/.

相比之下，正确的Sha rpe比率onhttp://cci30.com)为0.83，与同期的标准普尔500指数相比差异不大。4.为什么标准计算如此错误？就这一点而言，原因更多的是社会学而非数学。记住，夏普的主要受众是投资经理，他们可能是关系良好的优秀推销员，但不懂数学。尤其是，对对数没有任何了解。因此，对于他们来说，如果log（1+x）=x，则lifebecame简单得多，直接结果是，returns的乘积大约是r eturns的和。在我们嘲笑这些人之前，我们应该注意到，从Kelly Botting的角度来看（参见规范参考文献[MTZ11]），我们想要处理日志，因此一个非常合理的使用量是日志空间中的Sharperatio，计算如下：=√nE（对数Ra（d）- log（Rb（d）））σ（log Ra（d）。现在，Lai更接近Sathan到Ia，可以说这是一个更合理的风险度量：假设你有一项投资（概率相等）乘以8或一半乘以2。平均收益率为3.25，收益方差为38.6875。IAS计算的“正确夏普比率”为1.34810-所以它认为这是一项相当糟糕的投资。相比之下，sharpe Laratio的对数为5.29，表明这是一项非常好的投资。常规夏普比率为8。29、很明显，最后两个4 IGOR RIVINN数字比第一个更具指示性。为什么会这样？因为年末的波动（到那时，账户持有人几乎肯定拥有这个和所有其他宇宙）使一年中大部分时间的回报相形见绌。结论作者强烈认为对数夏普比是正确的衡量标准。

然而，如果你确实想计算实际的夏普比率（投资者要求许多投资组合经理这样做），那么就使用Ia。参考文献[MTZ11]Leonard C MacLean、Edward O Thorp和William T Ziemba。凯利资本增长投资标准：理论与实践，第3卷。《世界科学》，2011年。威廉·夏普。共同基金业绩。《商业杂志》，39（1）：119–1381966。威廉·夏普。夏普比率。《投资组合管理杂志》，21（1）：49–581994年。天普大学数学系和加密基金电子邮件地址：rivin@temple.eduThis图“frog.jpg”在“jpg”中可用 格式来源：http://arxiv.org/ps/1802.04413v1