随机Heston模型的小时间中度偏差

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英文标题：
《Small-time moderate deviations for the randomised Heston model》
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作者：
Antoine Jacquier and Fangwei Shi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We extend previous large deviations results for the randomised Heston model to the case of moderate deviations. The proofs involve the G\\\"artner-Ellis theorem and sharp large deviations tools.
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中文摘要：
我们将之前随机赫斯顿模型的大偏差结果扩展到中等偏差的情况。证明涉及到G“artner-Ellis定理和尖锐的大偏差工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Small-time_moderate_deviations_for_the_randomised_Heston_model.pdf (173.6 KB)

2022-6-10 09:58:50 上传

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关键词：Est sto Quantitative derivatives QUANTITATIV

随机赫斯顿模型的小时间中度偏差。我们将之前随机赫斯顿模型的大偏差结果扩展到中等偏差的情况。pro ofs涉及G¨artner-Ellis定理和尖锐的大偏差工具。1、引言众所周知，经典随机波动率模型提供了期权价格数据（或所谓的隐含波动率面）的总体良好拟合，但短期到期除外；在这一特定区域，在复杂套期保值的情况下，历史上增加跳跃提供了一个很好的匹配，而最近的粗糙波动模型[2、5、1、1、15、17、18、22]已经显示出在保持样本路径的连续性的同时进行了外射。基于这些因素以某种方式捕获了过程开始时间周围的某种不确定性的直觉，【23，2，6】中提出了赫斯顿模型的随机版本【21】，其中方差过程的开始点被视为红色随机。作者在那里表明，这种额外的随机性来源在很短的时间内产生了隐含波动率的预期行为。从数学上证明，这表明基础股价过程满足一些大偏差原则，具有特定的收敛性。中等偏差虽然在形式上相当于大偏差，但通常提供更有效的方法（从数值角度）来计算极限概率。如【3、8、9、25】所示，它们已成为越来越有用的概率和统计物理工具。

他们最近还研究了数学金融，以提供不同但更有用的渐近观点，这方面的重要结果可在[4、14、24]中研究。在随机Heston模型的小时间行为背景下，本研究建立了[23]的大偏差结果，并证明了其中等偏差对应物；与大偏差相反，中等偏差率函数以闭合形式提供，因此允许更高效、更快的计算。顺便说一下，我们提供了（定理3.2和3.6）不寻常的中等偏差率函数的例子，它不具有二次型。我们在附录中收集了一些技术成果和背景。符号R+：=[0，∞), R*+:= (0, ∞), 和R*:= R \\{0}。对于两个函数f和g，我们写f~ 气体x趋于xif limx→xf（x）/g（x）=1。最后，对于序列（Yt）t≥0满足大偏差原则，t趋向于零，带有特殊的g（t）和良好的速率函数∧，我们使用符号Y~ LDP（g（t），λ）。日期：2018年8月13日。2010年数学学科分类。60F10、91G20、91B70。关键词和短语。随机波动性，中等偏差，赫斯顿，隐含波动性，渐近展开。2安托万·贾奎尔，方伟·施2。给定过滤概率空间上的模型描述(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）支持两个独立的布朗运动W（1）和W（2），我们考虑了对数股价过程（Xt）t的下列动力学≥0：（2.1）dXt=-Vtdt+pVtρdW（1）t+p1- ρdW（2）t, X=0，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdW（1）t，V=V，其中κ、θ、ξ>0和ρ∈ [-1, 1]. 这对应于经典赫斯顿模型的随机版本【21】，正如最近在【23，26】中提出和分析的那样。我们假设V是过滤（Ft）t的连续随机变量≥0，其支架内部显示为（v-, v+） R*+.

进一步假设其矩母函数MV（u）：=E（euV）在包含原点的开放区间上定义良好，并表示m：=sup{u:E（euV）<∞}. 我们将区分随机化V的三种不同行为：有界支持（V+<∞), 细尾（m=∞, v+=∞), 和肥尾（m<∞, v+=∞). 在【23】之后，Weintroducing以下假设描述了细尾和厚尾情况：假设2.1（细尾）。v+=∞ V允许光滑密度f，对数f（V）~ -lvlas v趋向于完整，对于某些（l，l）∈ R*+× (1, ∞).假设2.2（厚尾）。存在（γ，γ，ω）∈ R*×R×{1，2}，使得V as u的累积量母函数（cgf）从下面趋于m的渐近性如下：（2.2）log MV（u）=γ测井（m- u） +γ+o（1），对于ω=1，γ<0，γm- u（1+γ（m- u） 对数（m- u） +O（m- u） ，对于ω=2，γ>0和（2.3）M′V（u）MV（u）=|γ| m- u（1+o（1）），对于ω=1，γ<0，γ（m- u） （1）- γ（m- u） +o（m- u） ，对于ω=2，γ>0，常见的连续分布符合此框架，尤其是均匀分布（有界支持）、折叠高斯分布、γ分布（ω=1的假设2.2）和非中心卡方分布（ω=2的假设2.2）。在陈述本文的主要结果之前，让我们回顾一下关于Xt累积量生成函数的一些信息，这对于后面的分析是必不可少的。

如文献[1]所证明，标准赫斯顿模型中X的力矩g生成函数（其中V是V>0时的狄拉克质量）允许闭合形式表示M（t，u）=exp（C（t，u）+D（t，u）V，对于任何u∈ DtM R、 式中（2.4）C（t，u）：=κθξ(κ - ρξu- d（u））t- 2个日志1.- g（u）e-d（u）t1- g（u）,D（t，u）：=κ- ρξu- d（u）ξ1- 经验值(-d（u）t）1- g（u）膨胀(-d（u）t），d（u）：=(κ - ρξu）+ξu（1- u）1/2和g（u）：=κ- ρξu- d（u）κ- ρξu+d（u）。随机赫斯顿模型3的小时间中度偏差进一步引入实数u-≤ 0和u+≥ 1和函数∧：（u-, u+）→ R： （2.5）u-:=ξρarctanρρ{ρ<0}-πξ{ρ=0}+ξρ阿尔茨坦ρρ- π{ρ>0}，u+：=ξρ阿尔茨坦ρρ+ π{ρ<0}+πξ{ρ=0}+ξρarctanρρ{ρ>0}，∧（u）：=uξ（ρcot（ξρu/2）- ρ).Xtthen（重标度）累积量生成函数的逐点极限读取[12]limt↓0t日志Mt、 ut公司= ∧（u）v，对于任何u∈ （u）-, u+，函数∧定义良好，s光滑，在（u）上严格凸-, u+，以及其他地方。3、中等偏差中等偏差通常会出现重新标度的大偏差；在我们的实验中，它们采用以下形式：对于α6=0，通过X（α）t确定过程X（α）路径：=t-αXt。序列（Xt）t的中度偏差≥0as tEnds为零相当于（X（α）t）t的大偏差≥在我们的框架中，可以使用G¨artner-Ellis定理从有限维工具中导出。对随机变量行为的假设产生了不同的速率函数和中等偏差系统的速度，我们在下面依次分析。3.1. 有界支撑的分布。我们首先从V的随机初始分布有界支撑的情况开始，在这种情况下，以下情况成立：定理3.1。如果v+是有限的，则对于任何γ∈ （0，1），X（α）~ 自民党tγ，x2v+保持α：=（1）- γ).因为v+是有限的，所以m是有限的。

中等偏差的一个显著特征是，与经典的大规模偏差相反，速率函数通常可以通过分析获得，并且通常是二次型的【14、19、20】。证据Letα，γ∈ (0, 1). 注意，（3.1）M（t，u）：=EeuXt公司= EEeuXt | V= EeC（t，u）+D（t，u）V= eC（t，u）MV（D（t，u）），其中函数C和D是（2.4）中标准赫斯顿模型力矩生成函数的组成部分。当t＞0时，X（α）的重组肿瘤基因评级函数为∧（α）γt、 utγ:= tγlog E“expuX（α）ttγ！#=tγlog E经验值uXttγ+α= tγCt、 utγ+α+ tγ对数MVDt、 utγ+α,适用于所有u∈ 使左侧存在。引理A.1意味着（γ+α）必须小于1才能获得非n平凡行为。让我们首先证明以下说法：对于v+<∞, 利木↑∞u-1对数MV（u）=v+。如果fv表示V的累积分布函数，则mv（u）=EeuV公司≤ exp（uv+）Z[v-,v+]FV（dv）=exp（uv+）。对于任何小ε>0，fixδ∈ （0，εv+/2），以便记录MV（u）uv+≥uv+logZv+v+-δeuvFV（dv）！≥uv+日志欧盟（v）+-δ） P（V≥ 五+- δ)= 1.-δv++对数P（v≥ 五+- δ） uv+，4 ANTOINE JACQUIER，FANGWEI SHIsince v+是支持的上限，因此P（v≥ 五+- δ） 是非常有说服力的，声明如下。根据这一主张，当t趋于零时，我们推导出∧（α）γ的渐近行为t、 utγ=O（tγ）+v+∧（u）tγ-1，如果γ+α=1，对于所有u∈ （u）-, u+，o（tγ）+v+ut1-γ-2α，如果γ+α<1，对于所有u∈ R、 由于α6=0，当且仅当1时才得到非退化结果- γ - 2α=0，即α=1-γ、 证明遵循G¨artner-Ellis定理[10，定理2.3.6]。3.2. 细尾分布。

根据假设2.1中的l，l，我们引入以下两种特殊的收敛速度<γ<1<γ，以及两个正常数c，c：（3.2）γ：=l1+l，γ：=ll- 1，c：=（2ll）1+l，c：=（2ll）1-l、 并定义函数∧*: R→ R+乘以（3.3）∧*（x） ：=c2γx2γ，对于R中的任何x。进一步引入∧*（x） ：=supu∈（u）-,u+）用户体验-cγγ-1∧（u）γ, 对于所有x∈ R、 带∧和u±in（2.5）。然后，中等偏差原则采用以下形式：定理3.2。在假设2.1下，当t t结束为零时，以下陈述成立：（i）对于任何γ∈ （0，γ），X（α）~ LDP（tγ，λ*) α=（1- γ/γ);（ii）如果γ=γ，则X（α）~ LDP（tγ，λ*) α=1时- γ.让我们首先陈述并证明以下简短的技术引理。重新计算[6]，对于a>0，函数f：（a，∞) → R*+据说与指数l有规律地变化∈ R（we wr ite f∈ Rl）如果limx↑∞f（λx）/f（x）=λl，对于任何λ>0。当l=0时，该函数称为缓慢变化。引理3.3。如果|记录f |∈ Rl（l>1），然后记录MV（z）~ （l）- 1)zl公司陆上通信线-1ψ（z）完整，带ψ∈ Rde定义为ψ（z）：=z |对数f|←（z）←zl1-l、 其中f←（x） ：=inf{y:f（y）>x}定义了广义逆。证据自| log f |∈ Rl，Bingha m引理【6，定理4.12.10】表示对数P（V≥ x） =对数∞xelog f（y）dy~log f（x），因为x趋于完整，其结果来自Kasahara的Tauberian定理【6，定理4.1 2.7】。定理3.2的证明。根据引理3.3，如果γ+α<1，则∧（α）γt、 utγ~c2γuγtγ+[1-2（α+γ）]γ，当t趋于零时，对于所有u∈ R、 当α=（1）时，得到唯一的非退化结果- γ/γ），γ+α<1的要求意味着γ<γ。其余的直接来自于G¨artner-Ellis定理。如果γ+α=1，则∧（α）γt、 utγ~cγγ-1∧（u）γtγ-γ、 当t趋于零时，对于所有u∈ （u）-, u+，随机HESTON模型5的小时间中度偏差，该模型施加γ=γ。

现在确定函数f（u）：=γ-1c2γ-1∧（u）γ开（u-, u+；thenf′（u）=2γ-1c∧（u）γ-1∧′（u）和f′（u）=2γ-1c级(γ - 1）∧′（u）∧（u）γ-2+λ（u）γ-1∧′（u）.由于γ>1，并且∧是严格凸的，并且在u±处趋于一致，因此doe s f也是如此。因此，对于任何x∈ 方程x=f′（u）允许（u）中的唯一解-, u+，因此函数∧*在R上定义良好，是一个良好的速率函数。大偏差原理源自G¨artner-Ellis定理。在数学金融背景下，γ<γ的情况属于所谓的适度资金不足状态[14，27]，与时间相关的对数走向xt=xtα，对于x∈ R*+和α∈ (0, 1/2). 在细尾随机环境中，重标极限cgf不满足[14，假设6.1]，其中假设极限为二次型。此外，定理3.2暗示，对于原始过程（Xt），t≥0，（3.4）P（Xt≥ xt）=PX（α）t≥ x个= 经验值-Λ*（x） tγ（1+o（1））, 当t趋于零时。尾部概率自然转化为隐含波动率的符号行为，由σt（x）、可原谅到期日t和对数走向x表示。以下推论使这一说法更加精确：推论3.4。考虑以下两种制度：o适度缺钱（MOTM）：（α，x）∈ （0，1/2）×R*;o 小时间大走向：（α，x）∈ (1 -γ、 0）×R*.在假设2.1下，设xt：=xtα，bγ：=（1- 2α)(1 - γ) > 0. 然后限制↓0tbγσt（xt）=c-1γx2（1-γ).证据我们只证明了ca se x>0，其他情况类似。对于γ：=γ（1- 2α）>0，等式（3.4）表明，当t趋于零时，-日志P（Xt≥ xt）~ t型-γΛ*（x） 。

很容易检查序列（tγ，xt）t≥满足[7，假设2.2]，因此推论遵循fr om[7，定理2.3]：σt（xt）~2xtαtsc2γx2γ-1tγ+α-sc2γx2γ-1tγ+α- 1.~2xt1-αsc2γx2γ-1tγ+α+sc2γx2γ-1tγ+α- 1.-2.~γx2（1-γ） ctbγ。这个结果实际上可以稍微改进，如下所示：推论3.5。在假设2.1下，对于任何慢变（零）函数s:R*+→ R*+和γ∈0, γ,设α：=（1）- γ/γ）和xt：=tαs（t）。然后（Xt≥ xt）=exp-Λ*（s（t））tγ（1+o（1））.证据函数q:R*+→ R*+由q（t）定义：=s（t）-2γ在零点缓慢变化，极限↓0tγq（t）=极限↓0tγ2γ/秒（t）2γ= 0. 注意γ+α∈ （1/2，1），因此t=o（tγ+αq（t）s（t）），引理A.1意味着过程的重标度cgf（Xt/（s（t）tα））t≥0由tγq（t）log M给出t、 utγ+αq（t）s（t）= tγq（t）Ct、 utγ+αq（t）s（t）+ tγq（t）log MVDt、 utγ+αq（t）s（t）= Ot1+2γ+αq（t）s（t）+ tγq（t）log MVut（1+o（1））2t2（γ+α）（q（t）s（t））.6 ANTOINE JACQUIER，FANGWEI SHIThen，引理3.3，插入α和函数q的表达式，resca-led cgf readslimt的极限↓0tγq（t）对数Mt、 utα+γq（t）s（t）=c2γuγ极限↓0tγq（t）1+o（1）tγ/γ（q（t）s（t））γ=c2γuγ。G¨artner-Ellis定理暗示（Xt/（s（t）tα））~ LDP（tγq（t），λ*), 带∧*在（3.3）中。因此- infx公司∈(1,∞)Λ*（十）≤ 限制↓0tγq（t）log P（Xt≥ xt）=极限↓0tγq（t）log PXttαs（t）≥ 1.≤ - infx公司∈[1,∞)Λ*（x） 。然后通过注意∧证明*（1） q（t）=c2γs（t）2γ=∧*（s（t））对于所有t>0。3.3. 肥尾分布。厚尾分布的情况产生了一些简并，迫使我们更详细地分析累积量母函数的渐近行为，特别是对重标过程s（Xgt）t使用夏普大偏差技术≥0由Xgt定义：=g（t）-1Xt，对于t>0，其中函数g:R+→ R+满意度g（t）=o（1）和√t=o（g），因为t趋于零。

对于任何重缩放功能h（t）：=√t/g（t）（=o（1）），表示重新标度的累积量生成函数为∧gt（u）：=h（t）log E经验值uh（t）Xgt.我们为欧式看涨期权价格提供了一个完全渐近展开式，其中时间相关的对数删除线：=xg（t），对于任何固定的x 6=0，并将其转化为隐含可用性σt（xt）的小时间渐近行为。我们讨论了初始随机化满足ω=1的假设2.2的情况。ω=2的情况可以用类似的方式处理。定理3.6。对于任意x 6=0，当t趋于零时，一个具有罢工满意度（3.5）E的欧洲看涨期权提取- 提取+= (1 - 外部）++外部-r2mt | xt |+γ+xt|xt | |γ|-1Γ（|γ|）（2m）1-γ/2t1+γ/2g（t）（1+o（1））。此外，隐含波动率满足σt（xt）=xt|√2mt+h（x）+hlog（t）+4mlog（g（t））+o（1），其中h（x）：=8mxt公司- （2γ+1）对数| xt |+对数16πe2γΓ（|γ|）-|γ| +原木（2m）h：=8m- |γ|.此外，根据第2.2节，Xg~ LDP（h（t），√2m | x |）。定理3.6的证明。这个证明与[23，定理4.10]的证明很接近，因此我们只画出亮点。请注意√t=o（h（t））。按照与[23，引理D.1]类似的步骤，很容易证明，对于任何x 6=0且小t>0，等式u∧gt（u）=x允许唯一解u*t（x）满足u*t（x）=sgn（x）√2米-|γ| xh（t）+Oh（t）+√t型. 然后，当t趋于零时，直接计算yieldexp-徐*t（x）+∧gt（u*t（x））h（t）= 经验值(-r2mt | xt |- γ+ γ)|γ|√2mt | xt |！γ（1+o（1））。对于固定x 6=0且小t>0，定义时间相关度量QtbydQtdQ：=expu*t（x）Xgt- ∧gt（u*t（x））h（t）,随机HESTON模型7so that的小时间中度偏差，对于x>0，E提取- 提取+= EQt提取eg（t）（Xgt-x）- 1.+dQdQt（3.6）=经验-徐*t（x）+∧gt（u*t（x））h（t）extEQt经验值-u*t（x）Zth（t）eg（t）Zt- 1.+,带Zt：=Xgt- x。