样本峰度行为的实证研究

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英文标题：
《An Empirical Study of the Behaviour of the Sample Kurtosis in Samples
  from Symmetric Stable Distributions》
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作者：
J. Martin van Zyl
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Kurtosis is seen as a measure of the discrepancy between the observed data and a Gaussian distribution and is defined when the 4th moment is finite. In this work an empirical study is conducted to investigate the behaviour of the sample estimate of kurtosis with respect to sample size and the tail index when applied to heavy-tailed data where the 4th moment does not exist. The study will focus on samples from the symmetric stable distributions. It was found that the expected value of excess kurtosis divided by the sample size is finite for any value of the tail index and the sample estimate of kurtosis increases as a linear function of sample size and tail index. It is very sensitive to changes in the tail-index.
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中文摘要：
峰度被视为观测数据与高斯分布之间差异的度量，并在第四矩有限时定义。在这项工作中，进行了一项实证研究，以调查当应用于不存在四阶矩的重尾数据时，峰度样本估计相对于样本量和尾部指数的行为。这项研究将集中于对称稳定分布的样本。研究发现，对于尾指数的任何值，剩余峰度的期望值除以样本量都是有限的，并且峰度的样本估计随着样本量和尾指数的线性函数而增加。它对尾部指数的变化非常敏感。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：实证研究 distribution Applications Quantitative Econophysics

南非布隆方丹自由州大学精算科学和数理统计系电子邮件：wwjvz@ufs.ac.zaKurtosis被视为测量观测数据与阿高斯分布之间的差异，并在第四时刻有限时定义。在这项工作中，进行了一项实证研究，以调查当应用于不存在第四时刻的重尾数据时，样本峰度估计相对于样本量和尾部指数的行为。这项研究将集中于对称稳定分布的样本。研究发现，对于任何尾指数值，剩余峰度的期望值除以样本量都是有限的，峰度的样本估计值作为样本量的线性函数增加，大约等于（1/2）nα-.关键词：峰度，稳定分布，尾部指数数学学科分类：62F12；对于重尾分布，当4thmoment是有限的或根据尾部指数α，其中α>时，理论峰度是定义的和有限的。在实践中，数据具有未知分布，峰度用于测量样本的轻量级。在金融数据中，经常可以观察到α<和估计的峰度用于指示数据的轻量级。资产回报率的峰度估计值在4到50之间（Engle和Patton，2001）。

α<的重尾分布适合于对数回报，例如Xu、Wu和Xiao（2011）。在这项工作中，进行了一项实证研究，以检验α对称稳定分布的样本峰度的行为和有用性≤, 尤其是α≥这在应用于实际数据时最为常见。主要结果是，样本峰度的期望值随着样本大小的线性函数而增加，并且发现对于来自稳定分布的对称样本，样本大小和尾部指数α的峰度的近似样本估计为（1/2）nα-.建议使用多种方法来估计峰度，但本研究中使用了Fiori和Zenga（2009）讨论的Pearsonkurtosis，该方法用于金融和风险分析。峰度定义为4 2（）（）/（（））x E x E xβu=- -=/uσ，（1），其中u为第四中心矩，σ为x的方差。（）xβ是位置标度变量，所有模拟数据将针对位置参数u=和标度参数σ=。对于规则分布，4 2uu≥, 除非分布仅集中在两个点（Kendall、Stuart和Ord（1987年，第107页））。超额峰度为2 2γβ=-,                                                                             （2） 当用累积量表示时，也等于2 4 2/γκκ=。对于正态分布，多余峰度为零。样本峰度用频带表示，多余峰度用2g b=-.

对于样本峰度，导出了不依赖于分布性质的代数性质，结果表明，对于大小为n的样本，，。。。，nx x，峰度的样本估计值小于样本大小（Johnson，Lowe（1979），Cox（2010）），thus4 2 21 11 1（）/（（））n nj jj jb x x xn===- -∑ ∑（3） =4 2 21 1（）/（（））n nj jj jn x x x x==- -∑ ∑=（，…，）nnc x xn≤.这个不等式表明函数（，…，）1nc x x≤期望值为1 2（，…，）（/）1nE c x E b n=≤, 对于所有分布都是有限的，这意味着样本峰度的发散是因为样本大小的增加。样本峰度的行为将类似于比率的行为，而不是像理论定义中那样单独考虑算数和分母。使用模拟研究，检查（，…，）nc x x x是否可以近似为α的函数。还可以看到，并通过模拟证实，样本峰度的方差为形式Var（，…，）nn c x x。这项工作将集中于对称稳定分布数据。例如，可以在Cizek，H"ardle和Weron，eds.（2011）的工作中找到它的特性和应用。稳定分布族的特征函数用（）tφ表示，其中log（）|{1（）tan（/2）}，1，t i符号t i tαφσβπαuα=- - + ≠andlog（）| |{1（）（2/）log（| |））}，1。t t i符号t t i tφσβπuα=- + + =参数为尾部指数，（0，2）α∈, 尺度参数σ>，陡度系数[1,1]β∈ -和位置参数u。本文将考虑β=的对称情况。在下图中，em=模拟随机样本，\'sα为区间[1,2]上的随机CHOSEN，m=n=200到n=1500之间的随机样本大小，并绘制估计的超额峰度。

这项研究的重点是在金融领域的应用，在处理日常数据时，这些样本量覆盖了1到5年。为了了解相关关系，进行了多元回归，发现关系约为/2g n≈ - . 重复模拟时，回归系数变化很小，将使用模拟研究进一步研究这种关系。假设（，）（1/2）g n n=- , 注意到1/2nαα/ 2nαα[1, 2]α∈n介于200和1500之间。来自SymmetricTable分布的样本。还使用模拟样本检查了样本偏度的行为，发现对称数据的样本偏度预期值为零，但方差是样本大小的线性函数，并且随着较小α的增大而增大。这不是工作的重点，但如果考虑到较大的方差，则大样本中的偏度估计可能不是偏度的重要指示。van Zwet（1964）、Groeneveld和Meeden（1984）推导出了根据所用术语“重尾度”排序不同对称分布的度量。事实证明，如果一个分布比另一个分布更重尾，那么重尾分布的峰度也会更大。2、模拟研究表明，可以获得尺寸为n的样本，并且。。。rn k k=++。样本峭度将随着样本大小的增加而计算，如1 1 2 1 2 3，。。。，k k k k k n++，以及α的不同值。下图显示了estimatedexcess峰度的预期值相对于用于计算它的观测数的增长率。斜率α=对于0.4917b=，对于1.5α=它是0.2447b=如果α=，则近似为零。使用M=样本计算每个样本量的平均值。

这种关系可以看作是一种近似关系。一个类似的图，其中数据来自自由度为3,4ν=的学生t分布，表明t分布的关系不是线性的。图2：。使用非对称稳定分布的模拟样本绘制过剩样本峰度的平均值。使用5000个样本计算平均值，使用50100个样本计算平均值，。。。，500n=。实线表示α=、虚线1.5α=和虚线点线α=。下图显示了3,4,5ν=自由度的t分布模拟数据的累积计算超额峰度。可以看出，对于小自由度，峰度与样本量之间的关系不是线性的。因此，对于来自稳定分布的样本，峰度相对于样本大小的线性趋势增加可以是一个有用的特性。它可能不是唯一的，但如果在实际问题中观察到，这意味着一个可能适合的候选可能是一个稳定的分布。图3：。使用tdistribution中的模拟样本绘制多余样本峰度的平均值。使用5000个样本计算平均值，使用SampleSizes50100计算平均值，。。。，500n=。实线表示ν=、虚线ν=和虚线点线ν=自由度。对于给定的α值，用b相对于样本量的增加斜率表示。如果假设α=的峰度为零，则可以通过原点进行回归，以找到给定α相对于样本大小的增加斜率（b）与尾部指数变化之间的关系。随着样本量的增加，估计的斜率更接近2，导致近似关系，1/2bα≈ -.

如果应用此方法并考虑样本大小和样本峰度之间的线性关系，我们会发现（1/2）g nα≈ -.下面的图3基于在每个1,1.1，…，处计算的5000个坡度的平均值，。。。，2α=和固定样品尺寸=。图4：。峰度随样本量增加的估计斜率与2α之间的关系-. 每个点计算为5000个估计值的平均值，n=。样本剩余峰度的期望值随着用于计算样本峰度的观测次数的线性函数而增加，因此，大样本中的近似预期剩余峰度为（）（1/2）E g nα≈ -.                                                            （5） 在上述模拟中，使用了固定的样本量。为了确认结果，将使用随机样本量进行检查。还将考虑峰度排序与尾部指数的一致性。例如，从指数为1.25α=的稳定分布中生成5000个随机样本，其中n=200和n=1500之间的样本，估计的剩余峰度除以样本大小，样本平均值为0.1236，而1/2 0.1250α- =.  同样，生成了5000个随机样本大小为1.75α=的样本。1.75α=的样本平均值为0.3668，而1/2的样本平均值为0.3750α- =. 这证实了近似关系，（）（1/2）E g nα≈ -.两个样本的样本峰度成对进行比较。当数据具有更大的厚尾时，这导致了大约82%的超额峰度值的正确率。如果样本峰度除以样本量，百分比增加约2%。模拟了一些这样的例子，当比较正常样本（2）α=和α<的样本时，尾部指数相对于峰度的校正排序百分比非常高，通常高达100%。

可以得出这样的结论：对于对称稳定分布，峰度是比较两个不同参数分布样本尾重的有效度量。样本估计值的变化是α的函数，如图5所示，所用n点的方差与α的所有值成正比，α=。图5：。基于每个α的5000个模拟样本，样本峰度的估计方差除以sizen=的NOF样本作为α的函数。3、记录回报的应用当应用于纽约证券交易所（NYSE）的记录回报时，研究了与用于计算样本峰度的观测次数有关的峰度变化。使用了从2013年5月至2018年5月的5年每日收盘值。对数回归近似对称分布，样本均值为零，稳定分布被视为对数回归的可能分布。日志返回也大致独立分布。索引如图6所示。有初始期、重大修正期和修正后期。图6：。纽约证券交易所指数，5年每日数据。图7绘制了使用增加样本大小的对数返回的样本剩余峰度。可以看出，如果将斜率变化视为分布变化的迹象，则对数收益的分布似乎会发生变化，然后在一段时间内保持不变。图7：。作为用于计算样本峰度的点数的函数计算的对数返回的剩余峰度。峰度对指数的变化非常敏感，即使使用对数返回计算的峰度以及样本峰度随时间和校正前后的行为差异非常明显。

Borak、Misiorek和Weron为《Cizek，H"ardle and Weron，eds》（2011）一书开发的Matlab程序Stableregkw。根据Kogon-Williams（Kogon，Williams（1998））的估计方法，对100-400和800-1100两个观测系列进行了评估，以确定样本峰度的变化是否表明尾部指数发生了变化。第一阶段的估计尾部指数为^1.8554α=第二阶段的估计尾部指数为^1.7165α=第二阶段的估计尾部指数为^1.8554α=和^1.7165α=第二阶段的估计尾部指数。使用所有1257个测井曲线时的估计参数为^^1.7532，=0.1184，0.0044αβσ==。这与峰度的变化是一致的，表明第二个周期可能更加不稳定和重尾。这是美国大选期间和之后的一段时间。结论对于稳定分布的样本，峰度与尾部指数之间存在一定的关系。对于大小为n的样本，即使分子或分母的期望值不存在，样本峰度也可以被视为两个多项式的整数，这两个多项式都是4次多项式，并且比率的期望值是有限的。如果不考虑比例音调，这个特性使得峰度在重尾数据中很有用。因此，对于α>，4 2 21 1lim（）/（（））1/2n nj jnj jx x x x x→∞= =- - ≈ -∑ ∑.该特性可用于通过使用来自稳定分布的两个样本的峰度来比较“尾重”。当使用更多点来计算荨麻疹时，增加量之间的线性关系可用作排除或包括稳定分布作为可能分布的属性，该分布可以拟合到例如日志返回。对于Garch模型，当拟合到日志回报时，第4个矩应该是有限的。

通过将估计的峰度绘制为观测次数不断增加的函数，样本峰度的增加可能表明4阶矩不是有限的。使用bootstrap方法估计方差，关系为/1/2g nα≈ -   可用于大样本测试关于α的假设，尤其是测试α是否<。参考Cox，N.J.（2010）。讲Stata：样本偏度和峰度的极限。《国家杂志》，3。482 – 495.zizek，P.，H"ardle，W.G.，Weron，R.（2011）。金融和保险统计工具。施普林格，海德堡。Engle，R.F.，巴顿，A.J.（2001年）。波动率模型的好处是什么，《定量金融》，1237-245。Fiori，A.M.，Zenga，M.（2009年）。卡尔·皮尔逊和峰度的起源。《国际统计评论》，77，40-50。Groeneveld，R.A.，Meeden，G.（1984年）。测量偏度和峰度。J、 皇家学会，D辑，33（4），391-399。Johnson，M.E.，Lowe，V.W.（1979年）。样本偏度和峰度的界限。《技术计量学》，21377-378。M、 Kendall，A.Stuart和J.K.Ord，Kendall的高级统计理论。第I卷。查尔斯·格里芬公司，伦敦，1987年。S、 M.Kogon，D.B.Williams（1998）“基于特征函数的稳定分布参数估计”，在“厚尾的实用指南：统计技术和应用”中，R.J.Adler，R.E.Feldman，M.Taqqu eds.，Birkhauser，Boston，311335。Van Zwet，W.R.（1964年）。随机变量的凸变换。数学阿姆斯特丹Centrum。Xu，W.，Wu，C.，Dong，W.（2011）。用稳定分布对中国股票收益率进行建模。数学和计算机建模，54610–617。