深度学习波动性

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英文标题：
《Deep Learning Volatility》
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作者：
Blanka Horvath, Aitor Muguruza, and Mehdi Tomas
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a neural network based calibration method that performs the calibration task within a few milliseconds for the full implied volatility surface. The framework is consistently applicable throughout a range of volatility models -including the rough volatility family- and a range of derivative contracts. The aim of neural networks in this work is an off-line approximation of complex pricing functions, which are difficult to represent or time-consuming to evaluate by other means. We highlight how this perspective opens new horizons for quantitative modelling: The calibration bottleneck posed by a slow pricing of derivative contracts is lifted. This brings several numerical pricers and model families (such as rough volatility models) within the scope of applicability in industry practice. The form in which information from available data is extracted and stored influences network performance: This approach is inspired by representing the implied volatility and option prices as a collection of pixels. In a number of applications we demonstrate the prowess of this modelling approach regarding accuracy, speed, robustness and generality and also its potentials towards model recognition.
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中文摘要：
我们提出了一种基于神经网络的标定方法，该方法可以在几毫秒内完成整个隐含波动率曲面的标定任务。该框架始终适用于一系列波动率模型（包括粗略波动率系列）和一系列衍生品合约。神经网络在这项工作中的目的是离线逼近复杂的定价函数，这些函数很难用其他方法表示或评估很耗时。我们强调了这一观点如何为定量建模打开了新的视野：解除了衍生品合约定价缓慢造成的校准瓶颈。这将几个数值定价者和模型系列（如粗糙波动率模型）纳入了行业实践的适用范围。从可用数据中提取和存储信息的形式会影响网络性能：这种方法的灵感来自于将隐含波动率和期权价格表示为像素集合。在许多应用中，我们展示了这种建模方法在准确性、速度、鲁棒性和通用性方面的强大能力，以及它在模型识别方面的潜力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：深度学习 波动性 Quantitative Mathematical Applications

深度学习波动率（粗糙）波动率模型定价和校准的深度神经网络视角*布兰卡伦敦大学国王学院数学系。horvath@kcl.ac.uk, bhorvath@turing.ac.ukAitorMuguruzaLondon帝国理工学院数学系和NATIXISaitor。穆古鲁扎-gonzalez15@imperial.ac.ukMehdiTomasCMAP&LadHyx，Ecole Polytechniquemehdi。tomas@polytechnique.eduAugust2019年6月26日摘要我们提出了一种基于神经网络的校准方法，该方法可以在几毫秒内完成整个隐含波动率表面的校准任务。该框架始终适用于一系列波动率模型，包括粗略波动率系列和一系列衍生品合约。神经网络在这项工作中的目的是对复杂的定价函数进行有效的近似，这些函数很难表示或通过其他方法进行评估很耗时。我们强调了这一观点如何为定量建模打开了新的视野：解除了衍生品合约定价缓慢造成的校准瓶颈。这将几个数字价格和模型系列（如粗糙波动率模型）纳入了行业实践的适用范围。从可用数据中提取和存储信息的形式影响网络性能。这种方法的灵感来自于将隐含波动率和期权价格表示为像素集合。

在许多应用中，我们展示了这种建模方法在准确性、速度、鲁棒性和通用性方面的强大能力，以及它在模型识别方面的潜力。2010年数学学科分类：60G15、60G22、91G20、91G60、91B25关键词：粗略波动率、波动率建模、Volterra过程、机器学习、准确价格近似、校准、模型评估、蒙特卡罗*作者感谢Jim Gatherel、Ben Wood、Antoine Savine和Ryan McCrickerd的激励性讨论。MT在Risque基金会的支持下，在Econophysique et System ` emes Complex内进行了研究，该基金会是由CapitalFund Management的Ecole Polytechnique基金会和Ecole Polytechnique基金会联合发起的。MT还感谢ERC 679836 Staqamof和theChair Analytics and Models for Regulation的财政支持。内容1简介32模型校准的神经网络观点52.1对所考虑的一些（粗略）模型的简要提醒。52.2波动率建模和深度校准中的校准瓶颈。72.3定价函数的神经网络近似面临的挑战。82.4我们选择训练设置的动机和作为定价函数近似器的神经网络的特征。92.4.1选择基于网格的内隐训练的原因。102.4.2深度神经网络作为函数逼近器的一些相关特性103神经网络定价和校准：优化网络和训练123.1目标函数。133.1.1对于vanillas。133.1.2一些异国情调的薪酬。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2网络架构和培训。143.2.1隐含波动率图近似的网络架构。153.2.2近似网络的培训。163.3校准步骤。164数值实验174.1 vanillas价格近似的数值精度和速度。184.1.1具有分段常数前向方差曲线的（粗糙）Bergomi模型中的神经网络价格近似。194.2隐含挥发性表面的校准速度和精度。214.2.1（粗略）Bergomi模型中模拟数据的校准实验，具有分段常数正向方差。224.2.2使用历史数据在粗略Bergomi模型中进行校准。234.3粗糙Bergomi模型中屏障选项的数值实验。265结论与展望：“最佳”模型261介绍期权价格的近似方法在过去几十年中以各种形式出现，这些方法在文献中得到了广泛的研究，并为风险经理所充分理解。显然，任何给定期权定价方法（傅立叶定价、偏微分方程方法、渐近方法、蒙特卡罗等）的适用性取决于手头特定随机模型的正则性。因此，随机模型的可处理性是决定其受欢迎程度的最决定性因素之一。

事实上，它往往比建模精度本身更重要：正是（几乎瞬时的）SABR渐近公式帮助SABR成为固定收入部门的基准模型，同样，傅立叶定价的便利性在很大程度上决定了赫斯顿模型的流行，尽管这些模型存在众所周知的问题。毋庸置疑，正是同一个原因（简明的布莱克-斯科尔斯公式）使得布莱克-斯科尔斯模型仍然具有计算吸引力，即使在发展了许多代更现实、更精确的随机市场模型之后。另一方面是粗糙波动率模型，对于粗糙波动率模型（尽管有过多的建模优势，请参见[7、23、28]等），依赖相对较慢的基于蒙特卡罗的定价方法的必要性造成了校准的主要瓶颈，这已被证明是工业应用的主要限制因素。当我们在选择定价模型时必须权衡准确定价与快速校准的目标时，这种二分法可能会成为令人头痛的问题。在这项工作中，我们探索了一种算法的可用性所提供的可能性，对于模型参数的选择，该算法可以直接为agiven模型的大量到期日和行权日输出相应的Vanilla期权价格（正如Black-Scholes公式所做的那样）。事实上，将模型参数直接映射到隐含波动率曲面形状的想法并不新鲜。受随机波动性启发的SSVI、eSSVI曲面（见[27、29、35]）正是这样做的：Agiven参数集直接转换为不同形状的（无套利）隐含波动率曲面，绕过了为基础资产指定任何随机动力学的步骤。

对于允许渐近展开的tochastic模型，可以得到在某些渐近区域内从模型参数到隐含波动率曲面（近似值）的直接映射（著名的SABR公式就是一个例子）。这种渐近公式由于其本身的性质，通常仅限于沿曲面的某些渐近区域。作为渐近展开的补充，我们在此探讨了从随机模型的不同参数组合到中间制度的隐含波动率曲面的不同形状的直接（近似）映射。它的真正意义在于，它结合了（SSVI系列）直接参数波动率曲面的优点，以及将波动率曲面与基础资产的随机动力学联系起来的可能性。在本文中，我们应用深度神经网络（仅）作为强大的高维函数逼近器来逼近从模型参数到期权价格的多维定价函数。与标准（固定基）函数近似相比，通过深度神经网络进行此操作的优势在于深度神经网络对近似基不可知[32]。这使得它们能够稳定地适用于多个随机模型。我们的目标是将定价功能的数值近似（通常耗时）转移到一个有效的预处理步骤。

这种预处理相当于在有监督的训练过程之后，以网络权重的形式存储近似的直接定价函数：使用期权价格的可用数值近似值作为基本事实（在我们选择的随机模型中），我们训练神经网络来学习定价函数的精确近似值。训练后，网络在毫秒内输出（对于任何模型参数的选择）相应的隐含可用性，用于整个表面的大范围成熟度和打击。此外，我们还表明，该程序对未知参数组合具有良好的泛化能力：我们的神经网络定价函数对样本外数据的价格近似精度与用于训练的原始数值近似精度在相同范围内。我们的数值实验证明了这种直接定价映射的准确性。这种方法的一个显著优点是，它可以将（在线）标定粗糙波动率模型的速度提高到几毫秒。最近，在随机模型的神经网络校准方面有一些贡献[9、13、36、49、17]。很明显，这主要取决于特定网络设计对这些网络性能的重要性。本文的一个贡献是用一条通用的前向方差曲线（用分段恒常函数近似）实现[7]的roughBergomi模型的快速准确校准。为了证明这一点，我们首先对模拟数据进行校准实验，并在受控实验中显示校准精度。

为了证明该方法的速度和威力，我们随后根据历史数据校准粗略的Bergomi模型，并在一个由10年SPX数据组成的数据集上显示参数的演变。我们的建模选择的另一个优点是，通过其设计，它可以应用于同时包含多个行权和到期日的投资组合，这是将其应用为对冲工具的第一步。例如，参见Buehler等人【13】a动机。本文组织如下：在第2节中，我们从神经网络的角度介绍了模型校准和召回随机模型，这些将在后面的章节中讨论。在本节中，我们还将规范化我们关于Pricingfunctions神经网络近似的准确性和速度的目标，以及我们的培训基本思想。第2.4.2节回顾了神经网络作为功能近似器的一些背景，以及影响我们网络架构和训练设计设置的神经网络训练的一些方面。在第3.2节中，我们描述了网络架构和价格近似网络的培训，如我们考虑的校准方法。在第4节中，我们对香草和一些奇异期权的价格近似值进行了数值实验，并对合成数据和历史数据进行了校准。第5节指出了进一步的潜在应用和对未来工作的展望。数值实验和代码在GitHub:NN StochVol Calibrations上提供，可以下载我们结果的可访问代码演示。我们还创建了一个随机模型库，在这里，这种方法被证明是行之有效的。2模型校准的神经网络视角简单地说，任何校准程序都是为了确定模型参数，使模型尽可能接近观察到的实际情况。

在金融背景下，我们的模型代表了基础（股票、指数、波动性等），我们有兴趣根据该基础对模型进行校准，以确定金融合同的可用市场价格。让我们首先通过设置符号M：=M（θ）θ来将其形式化∈表示集合Θ中参数θ的抽象模型 Rn，对于某些n∈ N、 因此，通过选择参数组合θ，模型M（θ）（随机或参数）和金融合同的相应价格得到了充分规定∈ Θ. 此外，我们引入了一个定价图P:M（θ，ζ）→ Rm，式中ζ：（C（R）→ Rm），m∈ N表示我们旨在定价的金融产品，例如针对（一组）给定到期日和罢工的Vanilla期权。

让我们用PMKT（ζ）表示与合同相对应的观察市场数据∈ Rm，m∈ N、 参数校准：参数配置^θ解决了模型M（Θ）在PMKT（ζ）条件下的（理想）δ校准问题，如果^θ=argminθ∈δ（P（M（θ），ζ），PMKT（ζ））（1），其中δ（·，·）是当前财务合同ζ的合适度量选择。然而，对于大多数金融模型，（1）代表了校准问题的理想化形式，因为在实践中很少存在期权价格P（M（θ），ζ）的分析公式，对于绝大多数金融模型，它需要通过一些数值近似方案来计算。近似参数校准我们说参数配置^θ∈ Θ如果^θ=argminθ，则在PMKT（ζ）条件下，解决模型M（Θ）的近似δ-校准问题∈δ（eP（M（θ），ζ），PMKT（ζ））（2），其中δ（·，·）是适当选择的度量，而P是定价图P的数值近似值。在本文的其余部分，我们将关注第二类校准问题：在我们的数值实验（第4节）中，我们将定价图P的数值近似值P作为基准（可用真值），用于在训练神经网络以近似定价图的过程中生成合成训练样本。显然，原始的数值近似值越好，网络近似值就越好。在另一项工作中，我们将通过校准程序的贝叶斯分析来阐明这一观点。2.1简要回顾所考虑的一些（粗略）模型，我们想强调的是，我们的方法原则上可以应用于任何（经典或粗略）波动率模型。从经典的Black-Scholes或Heston模型到[7]的粗糙Bergomimodel，再到一大类粗糙波动率模型（一般设置见Horvath、Jacquier和Muguruza[41]）。