静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

进一步放宽PCS条件，Carr和Lee[29]将其推广到各种非对称动力学，但单向跳跃的性质是不可能的，这意味着这些非对称动力学下障碍期权的半静态复制结果只有在不存在跳跃的情况下才有效。Carr和Lee【29】给出了额外的条件，以确保“in”期权的半静态投资组合的超级复制性；但[29]中推荐的“out”选项的相应组合将复制该选项。静态和半静态套期保值13为了进一步澄清这些问题，在A节中，我们根据特征函数ψ推导了L'evy过程X的广义对称条件：β ∈ Rs.t.ψ（ξ）=ψ(-ξ - iβ）表示ψ域中的所有ξ，并表明该条件意味着X是布朗运动（BM），无风险利率等于股息率，或者在两个方向上都有跳跃，跳跃分量的不对称性由波动率σ和漂移u唯一定义。此外，如果σ=0，则u=0。对于DOWN和带有Payoff G（XT）=G（eXT）和barrier H的期权，我们重新推导了奇异欧式期权的Payoff公式，在存在跳跃的情况下，仅复制barrier期权约：（3.1）Gex（ST）=（G（ST）+（S/H）βG（H/S））1ST≤H、 上面的数值例子表明，如果BM分量为0，则静态投资组合或带付息（3.1）的奇异期权的套期保值误差的方差接近方差最小化投资组合的方差，跳跃密度不会快速下降，并且近似对称；如果BM分量相当大和/或跳跃密度不对称或快速衰减，则静态投资组合的方差显著大于方差最小化投资组合的方差。

因此，当理想化的半静态复制奇异期权与障碍期权的近似值很差时，静态投资组合是一个很好（甚至是最好）的选择。3.2. 方差最小化套期保值的一般方案。我们考虑单因素模型。基础利率为eXt，没有股息，无风险利率r为常数。设V（t，Xt）为EMM Q chosenfor定价下到期日为t的待套期或有权益的价格。设Vj（t，Xt），j=1，2，N、 是用于对冲的期权的价格。我们假设后一种期权不会在τ之前到期∧ T，其中τ=τ-他第一次进入down和in选项的激活区域U（在down和out选项的提前到期区域）。正如关于半静态套期保值的论文中所述，我们假设，在时间τ∧ T，对冲组合被清算。让(-1，n，nN）是对冲组合中证券数量的向量。清算日的投资组合τ∧ T是随机变量p（τ∧ T、 Xτ∧T） =-V（τ∧ T、 Xτ∧T） +NXj=1njVj（τ∧ T、 Xτ∧T） ，且清算日的贴现投资组合为P（τ∧T、 Xτ∧T） =e-rτ∧TP（τ∧T、 Xτ∧T） 。可以考虑P（τ）的方差最小化问题∧ T、 Xτ∧T） 或P（τ∧T、 Xτ∧T） ，我们可以计算用于定价的EMM Q或历史度量P下的方差。我们考虑P（τ）方差的最小化∧ T、 Xτ∧T） 在Q下，设x=x，对于j，k=0，1。

，N，设置Cj`（x）=Vj（0，x）V`（0，x）和（3.2）Cj`（x）=Exhe-2rτ∧TVj（τ∧ T、 Xτ∧T） V`（τ∧ T、 Xτ∧T） i.14 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIUsing E[（U-E[U]]=E[U]-E【U】，我们表示P（τ）的方差∧T、 Xτ∧T） 形式V arP（x）=C（x）- C（x）- 2njNXj=1（C0j（x）- C0j（x））（3.3）+NXj=1wj（Cjj（x）- Cjj（x））+Xj6=`，j，`=1,2，。。。，Nnjn`（Cj`（x）- Cj`（x）），并将最小n=n（x）确定为（3.4）n（x）=A（x）-1B（x），其中B（x）=[C0j（x）- C0j（x）]j=1，。。。，Nis是一个列向量，a=[Cj`（x）- Cj`（x）]j，`=1，。。。，如果随机变量Vj（τ∧ T、 Xτ∧T） ，j=1，2，N、 不相关。要计算Cj`（x），必须计算Vj（0，x）和V`（0，x）。我们将Vj（0，x）分解为第一次接触选项Vjft（x）与支付Vj（τ，xτ）1τ之和≤T、 和无接触选项Vjnt（x），Payoff Vj（T，XT）1τ>T。给定x的模型，我们可以计算无接触和首次接触选项的价格。同样，我们可以将Cj`（x）分解为第一个触摸选项Cft的总和；j`（x）带payoff Vj（τ，xτ）V`（τ，xτ）1τ≤T、 无触摸选项Cnt；j`（x）的payoff Vj（T，XT）V`（T，XT）1τ>T。如果可以显式计算选项Vjand V`的payoff函数gj和GjG`的傅立叶变换，则可以有效地计算无接触选项；然后可以应用几种基于傅立叶反演的方法。首先，可以将[21、10、8、11]中开发的Carr随机化方法应用于L'evy模型中的期权定价。在没有触摸选项的情况下，有必要进行简单的推广，因为在本文的设置中，Payoff函数依赖于（t，Xt），而不是像[21，10，8，11]中那样仅依赖于Xt。除了Wiener-Hopf因子的计算（对于一般的L'evy过程，必须在对偶空间中进行）外，【21、10、8、11】中的其余计算都是在状态空间中进行的。

状态空间[10、8、11]中的计算对于小型t和ν，如果L′evy密度的尾部衰减非常快。在第4.2节中，我们设计了计算维纳-霍普夫系数的新有效程序。这些程序具有普遍意义。第二种方法是卡尔随机化的更有效版本。反向程序条的每一步计算——最后一步——都保留在dualspace中。这些步骤的形式与希尔伯特变换法（Hilbert transform method）[39]中针对具有离散监控的路障选项的形式相同，每个时间步骤使用不同的运算符。在[39]中，运算符为（1- e-rt） （一）- et型(-r+L）），其中L是所用概率测度下X的最小生成元；在Carr的随机化设置中，运算符为q-1（q- 五十） ，其中q=r+1/t、 以及t是时间步长。如果t不小和/或过程的阶数ν接近2，则（1-e-rt） （一）-et型(-可以使用快速希尔伯特变换有效地实现r+L）。否则，可能需要过长的网格。q的有效数值实现-1（q-五十） 在对偶空间中，对于稳定的L'evy过程，需要比有效的数值演算长得多的网格，对于具有指数键合跳跃密度的过程，在[21]中定义的过程顺序是Blumenthal-Getoor指数静态和半静态对冲15实现（1- e-rt） （一）- et型(-如果使用快速希尔伯特变换。因此，这种简单的方案可能非常有效。相反，我们可以应用双螺旋法（Double Spiralmethod）[56]，在每个时间步计算两个等高线上期权价格的傅立叶变换。在【56】中，考虑了离散抽样的亚洲期权，并且在反向归纳过程的每个步骤中产生的复杂函数结构要求使用积分的FL at等值线。

在屏障选项的应用中，双螺旋方法中的轮廓可以有效变形，并应用了[17]中开发的有效sinh加速技术。也就是说，我们可以使用ξ=iω+b sinh（iω+y）形式的变量变化和简化的梯形规则。因此，每个时间步的精确积分数值计算需要在简化的梯形规则中求2-3打的项的和。我们将使用两种版本的Carr随机化来设计明确的套期保值程序。本文直接应用双傅里叶/拉普拉斯反演的一般公式。在无接触选项的情况下，这些公式与[13]中的公式相同，但有以下改进：使用了sinh加速度，而不是变量的分数抛物线变化。在第一次触摸选项的情况下，需要进行额外的推广，因为与[13]中考虑的情况相反，支付取决于（t，Xt）而不是Xtonly。可以使用在状态空间中使用近似的其他方法。任何这样的方法都有几个错误源，不容易控制。即使在欧洲和障碍期权定价的情况下，也可能会导致严重的错误（参见[14、12、54]的示例），并且通常需要在状态空间中使用很长很细的网格。【43、45、44】中关于截断参数选择的建议依赖于一系列论文中使用的截断参数的特别建议【37、38、36】。正如【14，32】中的示例所示，即使只应用一次，该特别建议也可能不可靠。在本文提出的套期保值框架中，对于初始问题的时间离散化，需要多次应用截断，因此，误差控制几乎是不可能的。3.3.

流程和支付功能的条件。我们考虑的是彻底失败的情况；H=EH是障碍，T是到期日，G（XT）是到期付款。如果特征指数允许解析延拓到条锥的并集，并且表现出有效的规律性，则定价/对冲公式的最有效实现是可能的。有关相应类别的列维过程（称为SINHregular）的一般定义，以及列维模型和有效模型中欧式期权定价的应用，请参见【17】。在本文中，为了简单起见，我们假设特征指数对具有两个割点的复平面进行分析延拓。假设（X）。X是一个L'evy过程，其特征指数ψ允许解析延拓到复平面，其切割i(-∞, λ-], i[λ++∞);2、ψ允许表示ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），其中u∈ R、 ψ（ξ）具有如下渐近性，即ξ→ ∞: 对于任何∈ (-π/2，π/2）：（3.5）ψ（ρeiД）=c∞eiννρν+O（ρν），ρ→ +∞,16 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIwhereν∈ （0，2），ν<ν独立于Д和c∞> 0.然后（3.6）Re c∞eiνν>0，|ν|<π/（2ν）。条件（3.6）意味着如果ν∈ （0，1），然后|Д|≥ π/2可以接受。对于金融中使用的L'evy过程的标准类，如果我们考虑适当的黎曼曲面的解析延拓，这是可能的。详见【14，53】。在本文中，我们将不使用黎曼曲面的解析延拓。示例3.1。

（1） 基本上，定量金融中使用的所有L'evy过程都是椭圆正弦L'evy过程：布朗运动（BM）；默顿模型【60】；NIG（正态逆高斯模型）[5]；双曲过程[34]；双指数跳跃扩散模型【57、58、47、48、49】；其推广：超指数跳跃扩散模型，在[51，57]中介绍，并在[51，52]中详细研究；β类的大多数过程[50]；广义Koponen族[19]及其子类KoBoL[21]。KoBoL的一个子类（称为CGMY模型-见[28]）由特征指数（3.7）ψ（ξ）=-iuξ+cΓ(-ν)[λν+- （λ++Ⅰξ）ν+(-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν]，其中ν∈ （0，2），ν6=1（在ν=1的情况下，分析表达式不同：见[19，21]）。[6]中构造的NTS过程的特征指数由（3.8）ψ（ξ）=-iuξ+δ[（α+（ξ+iβ））ν/2- (α- β） ν/2]，其中∈ (0, 2), δ > 0, |β| < α.（2） 对于KoBoL、VG和NTS，ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面。当SINH加速度用于计算维纳-霍普夫系数时，此扩展可能有用，而对于欧式期权的定价则不太有用。（3） 渐近系数c∞（argξ）是（i）如果X是BM，DEJD和HEJD，c∞= σ/2;（ii）如果X由（3.7）给出，c∞= -2cΓ(-ν） cos（πν/2）；（iii）如果X由（3.8）给出，c∞= δ.（4） 在[19]中，我们构造了更一般的L'evy过程类，其特征指数的形式为（3.9）ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν+)[λν++- （λ++Ⅰξ）ν+]+c-Γ(-ν-)[(-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-],其中c±≥ 0，c++c-> 0, λ-< 0 < λ+, ν±∈ （0，2），ν±6=1，修改为ν+=1和/或ν-= 对于这些过程，更涉及分析性和界限的领域。特别是，一般来说，圆锥曲线不是对称的w.r.t。

真正的轴。注意，在KoBoL的强不对称版本中，尤其是在光谱单侧酪蛋白中，条件c∞> 0不成立，应替换为arg c∞∈(-π/2, π/2).假设（G）。1.G是一个可测函数，它有一个界（3.10）| G（x）|≤ C（1+eβx），其中C>0和β∈ [0, -λ-) 独立于x∈ R静态和半静态对冲172。（i）G（x）=eβx，x∈ R、 或（ii）G^G（ξ）=ZRe的傅里叶变换-ixξG（x）dx在半空间{Imξ<-β} ，并允许表示^G（ξ）=e-iaξ^G（ξ），其中a∈ R和^G（ξ）是一个在单位衰减的有理函数。请注意，只有值G（x），x>h才重要，因此，我们可以将G替换为1（h+∞)G、 此外，没有必要单独考虑（i）的情况。示例3.2。（a） G=1(-∞,h] ：无接触选项的Payoff函数和该Payoff的平方；（b） G（x）=ex：到期日T和XT=x的标的价值，以及后者的产品和非接触数字的支付；（c） G（x）=e2x：到期日T时标的物的平方，XT=x；（d） G（x）=（ex- K） +：看涨期权的支付函数。^G（ξ）=e-ikξG（ξ），其中K=ln K，且^G=K/（iξ（iξ- 1） 在0和-i、 （e）G（x）=（ex- Kj）+（ex- K`）+：两个看涨期权的支付函数的乘积。当Kj=K时，我们有一个有动力看涨期权的payoff函数。^Ghas 3 simplepoles at 0，-我和-2i。如果Kj≥ K`，^G（ξ）由（2.12）给出。（f） G（x）=（K- ex）+：看跌期权的支付函数；^G（ξ）=e-ikξ^G（ξ），其中K=ln K，^G=K/（iξ（iξ- 1） 在0和-i、 （g）g（x）=（ex- Kj）+（K`- ex）+：看涨期权和看跌期权的支付函数的乘积。当Kj=K时，我们有一个动力看跌期权的payoff函数。^Ghas三个简单极点位于0，-我和-2i。如果Kj≤ K`，^G（ξ）由（2.12）给出。备注3.1。

在（a）和（f）（乘以1（h+∞)), G满足条件2，β=0，在（b）和（d）中-β=1，在其他情况下-β=2.3.4。更通用的支付功能和嵌入式选项。在嵌入期权的情况下，在假设（G）中形式化的^G的简单结构是不可能的。下面的概括允许我们考虑瓦尼拉和一些奇异选项的价格。对于γ∈ （0，π/2），在复平面C+γ={z）中定义圆锥体∈ C | arg z∈ (-γ、 γ）}，Cγ=C+γ∪ (-C+γ）。对于u-< u+，设置S（u-,u+：={ξ| Imξ∈ (u-, u+)}.假设（Gemb）。1.G是一个可测函数，它允许有界（3.10）；2、存在∈ R、 δ>0和γ∈ （0，π/2），使得^G（ξ）=e-iaξ^G（ξ），其中^G（ξ）在S（λ）中是同构的-,λ+)∪ Cγ具有一定数量的极点，衰减为|ξ|-δ或更快，如ξ→ ∞ 剩余S（λ-,λ+)∪ Cγ。4、维纳-霍普夫分解4.1。维纳-霍普夫分解：在[20，21，10，13，53]中使用和推导的基本事实。【20、21、10、13、53】中根据维纳-霍普夫系数推导了非接触式和首次接触式期权通用定价公式的几个等效版本。在这一小节中，我们列出了本文中使用的符号和事实。18 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKII4.1.1。维纳-霍普夫分解的三种形式。设X是具有特征指数ψ的L'evy过程。上确界和内确界过程由Xt=sup0定义≤s≤tXsandXt=inf0≤s≤tXs。设q>0，且tq是平均值为1/q的指数分布随机变量，与X无关。

引入函数（4.1）φ+q（ξ）=EheiξXTqi，φ-q（ξ）=EheiξXTqi，归一化预解式（分别是X、X和X下的EPV算子）eq（X）=Eu（XTq）= 前任Z+∞量化宽松-qtu（Xt）dt,（4.2）E+qu（x）=Eu（XTq）= 前任Z+∞量化宽松-qtu（Xt）dt,（4.3）E-qu（x）=Eu（XTq）= 前任Z+∞量化宽松-qtu（Xt）dt.（4.4）如果EheβXTqi<+∞ 对于β∈ [β-q、 β+q]，然后是操作符Eq，E+q，E-qare在C限定的可测函数空间中定义良好eβ-qx+eβ+qx, 其中，C依赖于一个函数，但不依赖于x，并且维纳-霍普夫因子被很好地定义并有界于闭合条{Reξ∈[β-, β+]），并在开放条带中进行分析。概率[62，p.98]中使用的维纳-霍普夫分解公式为（4.5）EheXTqi=EheXTqi·EeXTq公司,其操作员模拟Eq=E-qE+q=E+qE-合格中介机构的证明类似于（4.5）（参见，例如，【10，11】）。最后，引入符号φ+q（ξ）=EeiξXTq, φ-q（ξ）=EeiξXTq注意到heixtqξi=qq+ψ（ξ），我们可以将（4.5）写成（4.6）qq+ψ（ξ）=φ+q（ξ）φ的形式-q（ξ）。方程（4.6）是实线上的函数分解为两个函数乘积的特例，两个函数在上下半开平面上进行解析，并允许连续延拓到实线。这是维纳·霍普夫（Wienerand Hopf）[65]在1931年发现的初始因式分解公式，其函数的形式比（4.6）的LHS中的更为一般。4.1.2. 维纳-霍普夫因子的显式公式和性质。设X是特征指数允许解析延拓到条带Imξ的L'evy过程∈ (λ-, λ+), λ-<0<λ+，围绕实轴，且q>0。