静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

然后（参见，例如，【22，21】）（I）存在σ-（q） <0<σ+（q），使得（4.7）q+ψ（η）6∈ (-∞, 0），Imη∈ (σ-（q） ，σ+（q））；（二） Wiener-Hopf因子φ+q（ξ）允许半平面Imξ>σ的解析延拓-（q） ，并可计算如下：对于任何ω-∈ (σ-（q） ，Imξ），（4.8）φ+q（ξ）=exp2πiZImη=ω-ξln（q+ψ（η））η（ξ- η） dη;静态和半静态套期保值19（III）维纳-霍普夫系数φ-q（ξ）允许半平面Imξ<σ+（q）的解析延拓，并且可以计算如下：对于任何ω+∈ （Imξ，σ+（q）），（4.9）φ-q（ξ）=exp-2πiZImη=ω+ξln（q+ψ（η））η（ξ- η） dη.注意，可以使用1+ψ（η）/q代替q+ψ（η）；积分（4.8）-（4.9）不变。当然，在这种情况下，我们需要（4.10）1+ψ（η）/q 6∈ (-∞, 0），Imη∈ (σ-（q） ，σ+（q））。在ψ的附加条件下，Wiener-Hopffactors存在更有效的公式。见第B.4.1.3节。q固定的维纳-霍普夫系数w.r.t.ξ的解析延拓。在假设（X）下，ψ（η）在具有两个切口i的复平面上是解析的(-∞, λ-] 和i[λ++∞), 对于任何ω-, ω+]  (λ-, λ+，Reψ（η）→ +∞ asη→ ∞ 保留在条带中。因此，对于[ω-, ω+]  (λ-, λ+，存在σ>0 s.t.如果Re q≥ σ、 然后（4.7）保持不变。因此，对于秦，半平面{Re q≥ σ} ，（1）（4.8）在半平面{Imξ>ω上定义φ+q（ξ）-}, φ的解析延拓-q（ξ）到条带S（ω-,ω+）可由（4.11）φ定义-q（ξ）=q（q+ψ（ξ））φ+q（ξ）；（2） （4.9）定义φ-半平面{Imξ<ω+}上的q（ξ），以及φ+q（ξ）到条带S（ω）的解析延拓-,ω+）可由（4.12）φ+q（ξ）=q（q+ψ（ξ））φ定义-q（ξ）。备注4.1。因此，φ+q（ξ）（分别为φ-q（ξ））允许解析延拓w.r.t.ξtoC\\i(-∞, ω-] （分别为C\\i[ω++∞)).对于ω，ω∈ R和b>0，引入函数C 3 y 7→ χ（ω，ω，b；y）=iω+b sinh（iω+b）∈ C、 曲线L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），是χ（ω，ω，b；·）下实线的图像。

如果ω=0（>0，<0），则曲线为FL（机翼分别向上和向下）。为了简单起见，我们将使用ω∈ [-仅π/2，π/2]；如果ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面，则ω6∈ [-可以使用π/2，π/2]，然后曲线位于该曲面上。详见【14、13、53、17】，图示见图2。根据情况，我们需要Wiener-Hopf因子，要么在机翼朝上（ω>0）的曲线L（ω，ω，b）上，要么在机翼朝下（ω<0）的曲线L（ω，ω，b）上。在前一种情况下，我们变形积分轮廓（在我们使用的维纳-霍普夫因子公式中），使变形轮廓L（ω，ω，b）的翅膀向下（ω<0），在后一种情况下，向上（ω>0）。这一简单的要求很容易满足，第二个要求也很容易满足：曲线不相交。的确，如果ω∈ （0，π/2）和ω∈ [-π、 2，0），当且仅当20 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIifmer与虚轴的交点位于后者与同轴的交点上方时，曲线不相交：（4.13）ω+b sinω>ω+bsinω。关于L（ω，ω，b）的最后一个条件是，对于感兴趣的q，函数L（ω，ω，b）3η7→1+ψ（η）/q∈ C（或η7→ q+ψ（η））定义良好，在积分初始线变形为L（ω，ω，b）的过程中，图像不相交(-∞, 0]. 如果曲线参数固定，则如果重新q≥ σ和σ>0非常大。有关详细信息，请参见[53]，其中使用了不同的变形族（方向抛物线变形族）。

在sinh加速度和分数抛物线变形的情况下，实际上，曲线稳定为射线，因此，如果q>0，可以使用[53]中的分析推导变形参数的条件。如果应用Gaver-Stehfest方法，那么我们只需要对q>0使用维纳-霍普夫分解技术，并在[53]中进行分析。[13]中使用的另一种方法是变形Bromwich积分中的积分轮廓；在这种情况下，维纳-霍普夫因子公式中后者的变形和轮廓的变形必须在某种程度上一致。我们概述了C节中对变形参数的限制。对于正q，对于金融中使用的所有流行的l'evy过程，很容易找到最大（绝对值）σ±（q）。正如文献[21]所证明的那样（另见文献[53]），方程q+ψ（ξ）=0在具有两个切口i的复平面中具有0或1或两个根(-∞, λ-] 和i[λ++∞).每个根都是纯粹虚构的-iβ±q，其中-β-q∈ （0，λ+）和-β+q∈ (λ-, 0).如果根-iβ±qexists，然后σ（q） =-β±q顺σ±（q）=λ±。4.2. 使用sinh加速度计算维纳-霍普夫系数。如果对于平面反演，使用Gaver Stehfest方法或其他仅使用正q的方法，那么我们可以取任意ω∈ [-π/2，π/2]和ω=-ω. 如果ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面（就像某些类的L'evy过程一样），那么ω6∈ [-可以使用π/2，π/2]。曲线位于复杂平面中，但在y坐标系中，曲线周围的“锥形”区域是黎曼曲面的子集。详见【14、13、53、17】。

在[14，13，53]中，与两个切口的复杂平面变形相比，黎曼曲面积分轮廓的分数抛物线变形显著增加了被积函数的衰减速率；simpli fiedTrapezoid规则中的术语数量减少了10-1000倍甚至更多（详细分析见[54]）。如果使用sinh加速度，则增益不会太大（如果有的话）：simpli fiedTrapezoid规则中的项数最多会减少1.5-2倍，但需要计算的解析表达式会变得更加复杂。因此，在本文中，我们使用ω，ω∈ [-π/2，π/2]，符号相反。与分馏抛物线变形相比，sinh加速度还有另一个优点。如【53】所示，如果q>0很小（如果T很大，则Gaver Stehfest公式中的某些项也是如此），则第4.1.2小节中的σ±（q）之一或两者的绝对值都很小，则被积函数的分析性条带太窄。因此，如果应用变量的分数抛物线变化，则简化梯形规则中的网格大小ζ必须满足所需的误差容限 太小，且项数N太大。双重空间中的重缩放可以增加分析性条带的宽度，但乘积∧：=Nζ必须增加，N的减少是静态和半静态对冲21-40-30-20-10 0 10 20 30 40-30-20-100102030图2。KoBoL模型的等高线示例。参数：ν=1.4，c=0.1466，λ-= -30, λ+= 25. 十字和圆形：-iβq、 破折号：L（15.0、0.71、8.1）。点划线：L（0，0.76，12.2）。圆点：L(-1.-0.35, 8.6). 实线：L(-15, -0.71，12.1）22斯维特拉娜·博亚琴科和谢尔盖·列文多斯基IInsignic。如果使用sinh加速度，则重缩放（使用适当的小B）不会显著增加∧。

粗略地说，在选择∧的建议中，1/ 应替换为1/ + a ln（1/b），其中a是一个中等常数，与, b和其他参数。如【16】中的数值示例所示，即使初始解析性条带宽度为10，这种重新校准效率也是有效的-6及以下。因此，在本文中，我们将使用带有Rho-Wynn加速度的Gaver Stehfest方法。对于每个q，我们使用以下版本的（4.8）-（4.9）：（i）对于ξ∈ L（ω，ω，b），（4.14）φ+q（ξ）=expb2πiZRξln（q+ψ（χ（ω，ω，b，y））η（ξ- χ（ω，ω，b，y））bcosh（iω+y）dy;（ii）对于ξ∈ L（ω，ω，b），（4.15）φ-q（ξ）=exp-b2πiZRξln（q+ψ（χ（ω，ω，b，y））η（ξ- χ（ω，ω，b，y））bcosh（iω+y）dy.应用简化梯形规则对每个积分进行评估。4.3. 数值示例。在表8中，我们应用上述方案计算ν=1.2阶的φ±q（ξ）inKoBoL模型。如果在30点处计算系数，则需要大约1.5毫秒才能满足误差容限 = 10-15和1.0-1.2毫秒，以满足误差容限 = 10-10、第一种情况下，术语数量在350-385之间，第二种情况下，术语数量在159-175之间。满足10级误差容限-20，大约500个术语就足够了，但自然需要高精度的算术运算。无接触选项的计算和无接触产品的期望5.1。无接触选项的通用公式。在[10，13，53]中，证明了V（G；T，x）=erTV（G；T，x）w.r.T.T的Laplacetransform▄V（G；T，x）由（5.1）▄V（G；q，x）=q给出-1（E）-q（h+∞)E+qG）（x）。结果在比假设（X）和（Gemb）更一般的条件下得到证明。设F表示傅里叶变换的算子，并设∏+h：=F1（h+∞)F-算子∏+系统地出现在维纳-霍普夫分解理论和边值问题中。

有关多维问题应用中的一般设置，请参见[35]。考虑到E±q=F，使用F和∏+手-1φ±qF，我们将（5.1）改写为（5.2）~V（G；q，x）=q-1（F-1φ-q∏+hφ+qFG）（x）。引理5.1。设f是条带S（σ）中的解析函数-,σ+，其中σ-< σ+，衰减为|ξ|-s、 s>1，如ξ→ ∞ 保留在条带中。那么（π+hf）（ξ）在半平面{ξ| Imξ<σ+}上是解析的，并且可以通过以下三个公式中的任何一个来定义：a）对于任何ω+∈ （Imξ，σ+）（5.3）π+hf（ξ）=2πiZImη=ω+eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη；任何ω的静态和半静态对冲23b）-∈ (-∞, Imξ，（5.4）π+hf（ξ）=f（ξ）+2πiZImη=ω-eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη；c） （5.5）π+hf（ξ）=f（ξ）+2πiv.p.ZImη=Imξeih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη，其中v.p.表示积分的Cauchy主值。证据a） 应用∏+hand-Fubini定理的定义，我们得到∏+hf（ξ）=（F1（h+∞)F-1f）（ξ）=Z+∞他-ixξ（2π）-1ZImη=ω+eixηf（η）dηdx=ZImη=ω+f（η）（2π）-1Z+∞hei（η-ξ） xdxdη=2πiZImη=ω+eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη，（5.6），证明了（5.3）。b） 我们将（5.6）中的集成线向下推。在η=ξ处通过简单极点时，应用柯西剩余定理，得到（5.4）。c） 设ω：=Imξ，a=Reξ。我们使轮廓Imξ=ωintoL变形= iω+((-∞, 一- ) ∪ （a+, +∞)) ∪ {ei| 0≤ φ ≤ π} 然后到达极限 ↓ 0。结果为（5.5）。备注5.1。a） 设ω=h=0。那么（5.5）可以写成∏+=I+2iH的形式，其中I是单位算子，H是希尔伯特变换。因此，∏+的实现本质上等同于H.b）的实现。类似公式在多维情况下有效，对于∏+hacting在适当的广义函数空间中有效。特别是，可以放宽关于衰减速率的条件。

在f上适当的正则条件下，可以证明方程（5.5）在iω+R线上定义的f，其结果是同一条线上的函数，允许解析延拓到该线下的半平面。见【35】。以下定理是[20，21]中无接触期权定价一般定理证明的一部分；我们将根据（5.2）概述证明。定理5.2。假设（X）和（Gemb）成立，假设ω-∈ (λ-, -β） 和ω+∈(ω-, -β). 然后存在σ>0，使得对于半平面中的所有q{Re q≥ σ} ，且所有x>h，~V（G；q，x）=2πqZImξ=ω+dξeixξφ-q（ξ）2πZη=ω-dηeih（η-ξ） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） （5.7）+2πZImξ=ω+dξeixξ^G（ξ）q+ψ（ξ）。（5.8）24 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIProof。我们可以选择σ，这样，对于半平面{Re q中的固定q≥ σ} ，φ±q（η）和^G（η）区域分析带η∈ S[ω-,ω+]. 因此，乘积φ+q（η）^G（η）在同一条带中是解析的，并且通过引理5.1，函数（πhφ+q^G）（ξ）在半平面{Imξ）中是解析的∈ (-∞, ω+)}.应用（5.4），我们得到（5.7）-（5.8）。更详细地说，在（5.8）的RHS上，我们首先得到2πqZImξ=ω+dξeixξφ-q（ξ）φ+q（ξ）^G（ξ），然后应用维纳-霍普夫分解公式（4.6）。（5.7）（5.8）的RHS上的积分绝对收敛（或在振荡积分w.r.t.ξ中按部分积分后绝对收敛），其和等于V（G；q，x）。参见【20、21、9】。用M表示Gaver Stehfest公式中的q集，用q（q）表示权重。我们有一个近似值（5.9）V（G，T；x）=e-rTXq公司∈MQ（q）eqTV（G；q，x）。仍然需要设计一个有效的数值程序来评估￠V（G；q，x），q>0.5.2。（5.7）-（5.8）RHS上积分的Sinh加速度。

首先，我们将（5.7）-（5.8）改写如下：对于x>h，V（G；q，x）=2πqZImξ=ω+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZImη=ω-dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） （5.10）+2πZImξ=ω+dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ），（5.11），其中a≥ h和^g满足假设条件（Gemb）。Asη→ ∞,^G（η）→ 如果顺序ν∈ [1，2]或u=0，然后φ±q（ξ）→ 0为ξ→ ∞ 在分析性领域；如果ν<1且u6=0，则其中一个维纳-霍普夫因子稳定不变，另一个因子衰减为1/|ξ|。自x起- h>0时，有利于在（5.10）的RHS上变形外轮廓，使变形轮廓的机翼指向上：L+：=L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），其中ω>0。在这个阶段，我们对轮廓进行变形，使被积函数的极点（如果存在的话）不交叉，然后考虑交叉的情况。在所有情况下，在变形过程中，曲线必须保持在S（λ）内-,λ+)∪ Cγ，其中Cγ是假设中的圆锥体（Gemb），S（λ-,λ+={ξ| Imξ∈ (λ-, λ+)}. 如果假设（G）成立，那么我们可以取任意γ∈ (0, π/2); 在我们的数值实验中，我们将取γ=π/4。内轮廓的变形类型取决于- h、 如果a≥ h、 在看跌期权和看涨期权的情况下，这意味着走向在障碍上方或障碍处，然后我们可能会使轮廓向下变形。变形轮廓的形状为L-:= L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），其中ω<0；与外轮廓变形的情况一样，我们选择变形的参数，以便在变形过程中，内被积函数的极点不交叉，并在以后考虑交叉的情况。选择两个指针的参数，使L+严格高于L-. 当a<h（走向低于屏障）时，可简化为G（x）=1[h+∞)eβx。我们有^G（ξ）=eβh-ihξφ+q(-iβ）/（iξ-β） ，静态和半静态套期保值25因此，假设（G）在a=h时有效。

如果G是嵌入期权的价值函数，则a<h是可能的（例如，嵌入欧洲看跌期权或看涨期权的行权低于屏障）。我们在第5.4节中单独考虑了这种情况。（5.11）RHS上积分轮廓的变形类型取决于x的符号- a、 如果x- a>0，我们使用L+，如果x- a<0，则L-. 如果x- a=0，则可以使用其他变形。我们的结论是，对于大多数不涉及嵌入选项的应用程序，我们可以在外积分中使用形式L+的变形轮廓和形式L-在内积分中，当x>h时，写▄V（G；q，x）（5.12）=2πqZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL-dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） +2πZLdξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ），其中变形轮廓的类型取决于x的符号-a： L=L+如果x-一≥ 0，L=L-如果x- 一≤ 为了对积分进行数值计算，我们对变量ξ=iω+b sinh（iω+y）和η=iω+bsinh（iω+y）进行了更改，并应用简化的类曲律w.r.t.y和y.5.3。交叉杆。为简单起见，我们考虑q>0的情况。因此，只有在应用Gaver Stehfest方法或其他类似方法的情况下，才能应用本小节中的结果。假设两种解决方案-iβ±qexist。5.3.1. 案例h≤ 一≤ x、 x>h。如果G（x）=（ex-ea）+或G（x）=（ea-ex）+，条件x≥ AME表示对应的欧洲呼叫是ITM或ATM，而put是OTM或ATM。重新调用初始积分线和变形轮廓位于被积函数的解析带中，围绕实轴。因此，L+（分别为L-) 虚线iR在下面-iβ-q（分别如上-iβ-q） 。在（5.12）的RHS上，我们将L+向上移动（分别为L-向下），在-iβ-q（分别位于-iβ+q），并在CUI[λ+]之前停止+∞) （分别为i(-∞, λ-]) 已到达。

在穿越极点时，我们应用留数定理和等式（5.13）limξ→-iβ±qq-1φ±q（ξ）（ξ+iβ±q）=ψ(-iβ±q）φq(-iβ±q），从（4.11）-（4.12）开始。表示新轮廓L++和L--. 在（5.12）的RHS上的最后一个积分中，我们将Linto L++（或具有L++特性的轮廓）变形。在变形过程中，我们可能必须穿过{Imξ=ω线上方的^g的极点-} 但低于轮廓线L++。设Z（^G；ω）-, L++）这些极点的集合，并且在过程的其他假设下，如果应用Bromwich积分中的轮廓变形，则可以应用类似的构造。例如，参见[55]，其中应用了分数抛物线变形。26斯维特拉娜·博亚琴科（SvetlanaBoyarchenko）和谢尔盖·列文多尔斯基（SergeiLevendorski）波兰人很简单，不同于-iβ-q那么▄V（G；q，x）=2πqZL++dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL--dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η)(5.14)-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） 2πZL--dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）η+iβ-q-e-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）2πZL++dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）ξ+iβ+q-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） e类-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）（β+q- β-q） +2πZL++dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）+ieβ-q（x）-a） ^G(-iβ-q） ψ(-iβ-q） +Xz∈Z（^G；ω）-,L++）ie-iz（x-a） q+ψ（z）limz→z^G（z）（z- z） 。请注意，如果-iβ±qdo在变形过程中不存在或不交叉，在移除所有β±qa项后，大于（5.14）的值有效。在认购期权定价的应用中，^G（η）=e-iaη^G（η），其中a=ln K，且^G（η）=-Ke公司-rTη（η+i）在-i、 0，即使两极-iβ±qare未交叉：~Vcall（q，x）=-Ke公司-rT（2π）qZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）ZL-dηe-iη（a-h） φ+q（η）η（η+i）i（ξ- η)(5.15)-Ke公司-rT2πZL+dξei（x-a） ξ（q+ψ（ξ））ξ（ξ+i）+Ke-rT公司前任-aq+ψ(-（一）-q.5.3.2. 情况h<x<a。在典型示例中，G（x）=（ex- ea）+或G（x）=（ea- ex）+，对应的欧洲电话是OTM，并输入ITM。