静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

在案例x中≥ a、 （5.14）的RHS上的最后两项出现在我们推高RHSof（5.12）上最后一个积分中的积分线时。现在x≥ a、 因此，我们将这条线向下变形，并通过以下修改获得（5.14）：RHS上的最后三项替换为总和（5.16）2πZL--dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）-ieβ+q（x-a） ^G(-iβ+q）ψ(-iβ+q）5.3.3。宽条解析性情况下的近似公式。如果-λ-, λ+较大，qis不较大，因此-iβ±qare的绝对值不大，x-h和x-a的绝对值也不是很小，那么我们可以选择变形L++和L--所以积分覆盖了L++和L--都很小，可以省略（我们不复制粘贴结果以节省空间）；结果出现一个小错误。由此得出的公式由简单的分析表达式静态和半静态套期保值27以β±qandφ表示-q(-iβ+q），φ+q(-iβ-q） ，ψ(-iβ±q）（见【53】）。E、 g.，如果h<x<a，则V（g；q，x）（5.17）=-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） e类-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）（β+q- β-q）-ieβ+q（x-a） ^G(-iβ+q）ψ(-iβ+q）5.4。G的情况是嵌入看跌期权的价值函数，其行使低于障碍。设a<h；然后是x- a>0。我们在（5.10）以上的RHS上变形两个轮廓。首先，我们将外轮廓变形为L+=L（ω，ω，b），然后将内轮廓变形为L+=L（ω，ω，b）。我们选择后者的参数（ω，ω，b），使L+严格低于L+，而且，使两个轮廓的渐近线之间的角度为正：0<ω<ω。与（5.12）相反，我们有▄V（G；q，x）（5.18）=2πqZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL+dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） +2πZL+dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）。可能的极点交叉可以类似于案例a≥ h、 5.5。数值示例。5.5.1. 无触摸选项和首次触摸数码产品的定价，down case（表9）。

让Vnt（T，x）和VFT（T，x）分别为无触摸和首次触摸数字选项的价格。那么，对于任何ω∈ (σ-（q） ，0）和ω+∈ （0，σ+（q）），~Vnt（G；q，x）由~Vnt（G；q，x）=e给出-rT2πqZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ=e-rTq+e-rT2πqZImξ=ω+ei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ。（5.19）Vft（T，x）的类似公式为（5.20）~Vft（G；q，x）=-e-rT2π（q- r） ZImξ=ω+ei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ，其中ω+∈ （0，σ+（q- r） ）。（5.19）和（5.20）RHSs上的积分与积分前面的标度因子不同，因此，可以同时评估这两个选项。如果-β-qexists与λ++β-q> 0不小，将积分线向上移动并穿过-iβ-q、 在这两种情况下，积分线在上半平面内变形为轮廓L+：=L（ω1+，ω+，b+），机翼朝上。评估φ-q（ξ），ξ∈ L+，我们使用（4.8）计算φ+q（ξ）（积分线变形为下半平面的轮廓，机翼向下），然后（4.11）。我们在与表2相同的KoBoL模型中计算非接触式选项和接触式数码产品的价格。我们的数值实验表明，对于维纳-霍普夫因子积分和傅立叶反演，使用[17]中关于误差容限的一般建议，可以满足E-8阶和更好阶（价格）的相对误差 = 10-10; 如果 = 10-如果使用15，定价错误将显著减少。因此，在本例中，GWR方法的误差约为10-10-10-8、CPU28 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIItime（7个点）的容错时间小于10毫秒 = 10-6，且误差公差小于25 ms = 10-10

大部分CPU时间用于计算选定网格点处的维纳-霍普夫系数；这种计算可以很容易地并行化，总CPU时间显著减少。使用更有效的维纳-霍普夫因子表示，可以进一步减少CPU时间。5.5.2. 向下和向外看涨期权定价（表10-11）。我们考虑相同的模型，在这两种情况下，调用选项的罢工K=1.04，1.1，屏障H=1，T=0.1，0.5。在（5.15）中，我们对变量进行相应的更改，并应用简化的梯形规则。在表10中，我们可以看到，即使在点接近屏障的情况下，也可以在中等的CPU时间成本下满足E-05级及以下的容错性：7点的计算约为0.1毫秒。在表11中，我们显示了非常接近势垒H（x：=ln（S/H））的S的价格Vcall（H，K；T，S）∈ [0.0005，0.0035]和价格除以xν/2。我们看到该比率近似为常数，这与向下和向外期权vCall（H，K；T，S）价格的渐近性一致~ c（K，T）xν/2，x↓ 0.6. first touch选项的定价和first touch产品的期望流程和支付功能的条件与第3.3节中的相同。我们考虑了下一步和以防万一；H=EH是障碍，T是到期日，G（τ，Xτ）是首次进入时间τ的支付(-∞, h] 。我们需要计算V（G；T；x）=Ex[G（τ，xτ）1τ<T]。6.1. 最简单的情况。设G（τ，Xτ）=e-rτ+βXτ，其中β∈ [0, -λ-). 对于β=0，V（G；T；x）是首次触摸数字的时间-0价格，对于β=1的股票，如果τ<T，则为时间τ。向下和向内向前的情况通过线性获得。

如果我们需要计算这种形式的两种支付的乘积的期望值，β可以假定值β=2；在这种情况下，我们需要用2r替换r。自β∈ [0, -λ-), φ-q(-iβ）=对于右半平面中的任何q，βxtqi是有限的。此外，对于任意σ>0，存在ω>0，因此，对于半平面Re q中的任意q≥ σ,φ-q（ξ）允许半平面{Imξ<ω}的解析延拓。对于这种σ和ω，在[20，10]中导出的向下和向外选项的一般公式（另见[13，53]）适用：forx>h，（6.1）V（G；T；x）=eβh-rT2πiZRe q=σdq eqTφ-q(-iβ）-12πZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ。假设我们使用Gaver Stehfest方法来计算Bromwich积分（RHS上的外积分（6.1）），我们需要计算q>0的内积分。在没有触摸选项的情况下，我们向上变形轮廓，并在-iβ-qifβ-qexists和-β-qis不接近λ+：2πZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ=2πZL++ei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ-qeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） 。静态和半静态对冲29If x- h>0不是很小，q不是太大，λ+和-λ-如果较大，则可以使用上面RHS上的最后一项并忽略L++上的积分来获得良好的近似值。6.2. 一般情况。即使在一个简单的向下和向内期权的情况下，在时间τ变成了具有行使K和时间T的看涨期权- τ至到期日，G（τ，Xτ）=e-rτVcall（K；T- τ、 由于[20，10]中的定价公式是在假设G（τ，Xτ）对τ的依赖关系为最简单形式e的情况下推导出来的，因此，时间τ的payoff比[20，10]中的payoff函数更复杂-rτG（Xτ）。如果我们计算买入期权e中的A向下和A向下的产品的期望值-rτVcall（K；T- τ、 Xτ）和e-rτ+βXτ，然后G（τ，Xτ）=e-2rτ+βXτVcall（K；T-τ、 Xτ）。

在欧洲期权贴现价格产品的预期情况下，G（τ，Xτ）的结构更为复杂。首先，我们以一般形式计算期望V（G；T；x）=Ex[1τ<TG（τ，xτ）]，然后针对上述特殊情况采取进一步的步骤。我们重复了[20]中初始证明的主要步骤，省略了Fubini定理应用的技术细节；它们与[20，9]中的相同。设L=-ψ（D）是X的整数生成器。回想一下，带符号ψ的伪微分算子ψ（D）是傅里叶变换、函数ψ的乘法算子和逆傅里叶变换的组合。如果^u在条带中定义良好且具有解析性，则ψ允许解析连续到同一条带，并且乘积ψ（ξ）^u（ξ）的衰减速度与ξ一样快→ ∞ 对于条带中的ξ，条带中的等效定义为\\（ψ（D）u）（ξ）=ψ（ξ）^u（ξ）。有关详细信息，请参见[35、21、20]。函数V（G；t，x）：=V（G；t- t；x） 是边值问题的有界充分正则解(t+ψ（D））V（G；t，x）=0，t>0，x>h；（6.2）V（G；t，x）=G（t，x），t>0，x≤ h；（6.3）V（G；0，x）=0，x∈ R、 （6.4）通过拉普拉斯变换w.R.t.t，我们得出，如果σ>0足够大，那么，对于半平面{Re q中的所有q≥ σ} ，V（G；q，x）解边界问题（q+ψ（D））~V（G；q，x）=0，x>h；（6.5）~V（G；q，x）=~G（q，x），x≤ h、 （6.6）在充分正则有界函数类中。如果{V（G；q，·）}Re q≥σ是R上边界问题族（6.5）-（6.6）的（有效正则）解，那么可以使用拉普拉斯反演公式求出V（G；t，x）。最后，V（G；t，x）=V（G；t- t、 x）。问题族（6.5）-（6.6）与[20]中的问题类似；唯一的区别是▄G对q的依赖性更为复杂（在[20]中，▄G（q，x）=G（x）/（q- r） ）。

因此，我们可以应用[20]中的维纳-霍普夫分解技术，得到（6.7）~V（G；q，·）=E-q(-∞,h] （E）-q）-1G（q，·）。Letω∈ (0, λ+). 如果σ>0足够大，那么对于半平面中的q{Re q≥ σ}, φ-q（ξ）在半平面{Imξ）上是解析的≤ ω}. 对于该半平面中的ξ，V（G；t，x）w.r.t.（q，x）的双Laplace-Fourier30 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIItransform由（6.8）V（G；q，ξ）=φ给出-q（ξ）\\(-∞,h] W（q，·）（ξ），其中\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）是1的傅里叶变换(-∞,h] W（q，·），W（q，·）=（E-q）-1G（q，·）。我们取ω<-β、 与引理5.1的证明类似，计算\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）=Zh-∞dx e-ixξ（2π）-1ZImη=ωdηeixηφ-q（η）-1^G（q，η）=ZImη=ωφ-q（η）-1^G（q，η）（2π）-1Zh-∞ei（η-ξ） xdxdη。结果是：对于（q，ξ）s.t.Re q≥ σ和Imξ>ω，（6.9）\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）=2πiZImη=ωeih（η-ξ)φ-q（η）-1^G（q，η）η- ξdη。应用傅里叶逆变换，我们得到▄V（G；q，x）=2πZImξ=ωdξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη。（6.10）自x起- h>0时，我们将外轮廓向上变形，新轮廓为L+（意思：形式为L（ω，ω，b），其中ω>0）：~V（G；q，x）=2πZL+dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη。（6.11）如果-iβ-qexists和-β-qis不接近λ+，我们将轮廓向上推，在ξ=-iβ-q、 并得到V（G；q，x）=2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη（6.12）+qeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） 2πZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η+iβ-q） 。（6.13）（6.12）的RHS上的内积分的容许变形类型和（6.13）的RHS上的积分取决于eihη^G（q，η）的性质。如果G是avanilla期权的价格或两个普通期权价格的乘积，则可容许变形由障碍的相对位置和所涉及期权的行使决定。因此，我们不得不考虑几个案例。6.3.

看跌期权和看跌期权。静态和半静态套期316.3.1。看涨期权，罢工是在或以上的障碍。首先考虑向下和向内调用选项。由于走向位于或高于屏障，a：=ln K≥ h=ln h。我们必须有λ-< -1、设ω∈ (λ-, -1） σ>0，如果Re q，则Re（q+ψ（ξ））>0≥ σandImξ∈ [ω, -1). 然后贴现价格g（t，x）=e的双拉普拉斯傅立叶变换w.r.t.（t，x）-r（T-t） Vcall（t，K；t- t、 x）在{（q，η）| Re q区域内定义良好≥ σ、 Imη∈[ω, -1） }，由^G（q，η）=e给出-rTZ公司+∞e-qtK1-iηe-tψ（η）iη（iη- 1） dt。积分得到^G（q，ξ）=e-iaξ^G（q，ξ），其中a=ln K，（6.14）^G（q，η）=Ke-rT（q+ψ（η））iη（iη）- 1)= -Ke公司-rT（q+ψ（η））η（η+i）。在条件（X）下，对于每一个q＞0，^G（q，·）是复平面上具有两个割i的亚纯函数(-∞, λ-], i[λ++∞) 和0的简单极点，-i（和-iβ±q，如果后者存在）。由于h<a，我们可能会使（6.12）RHS上的积分内轮廓变形，使（6.13）RHS上的积分轮廓变形。关于（4.6）的强度，^G（q，η）φ-q（η）=-Ke公司-rTφ-q（η）（q+ψ（η））η（η+i）=-Ke公司-rTφ+q（η）qη（η+i）。因此，（6.11）变为▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πqZL+dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η- ξ） dη，（6.15）和（6.12）-（6.13）可以重写为▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πqZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η- ξ） dη（6.16）-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） Ke公司-rT2πZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η+iβ-q） dη。如果-如果存在，我们可以在-iβ+q，并获得▄V（G；q，x）=Ke-rT2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）-2πiZL--ei（h-a） ηφ+q（η）qη（η+i）（η- ξ） dη（6.17）+eβ+q（h-a） φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）β+q（β+q- 1） （iβ+q+ξ）！-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） Ke公司-rT2πZL--ei（h-a） ηφ+q（η）qη（η+i）（η+iβ+q）dη+eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） Ke公司-rTeβ+q（h-a） φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）β+q（β+q- 1） （β+q- β-q） 32 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKII6.3.2。

看跌期权，行权处于或高于障碍。在看跌期权的情况下，我们有（6.16）和ω∈ (0, ω). 因此，将积分w.r.t.η的轮廓变形为L--,我们不仅在-iβ+qbut简单极点0，-我也是。因此，对于（6.17）的RHS，我们需要添加▄V1，添加（G；q，x）=-Ke公司-rT2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）iqξ+eh-aφ+q(-i） q（1- 我ξ）！(6.18)-Ke公司-rTqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） qβ-q+eh-aφ+q(-i） q（1- β-q） 哦！6.3.3. 看涨期权，罢工是低于障碍。我们从轮廓{Imη=ω}开始，其中ω∈ (-β+q，-1). 由于a<h，我们需要对RHSof（6.12）上的积分内轮廓和（6.13）上的积分轮廓进行变形。因为φ+q（η）是解析的，并且有界于半平面{Imη≥ ω} ，在（6.16）的RHS上的内被积函数在η=-i、 0，ξ和（6.16）的RHS上的1D被积函数在-i、 0，-iβ-q极点交叉后，我们可以将积分线向上移动到整数，并显示交叉后的积分为零。因此，我们得到▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πZL++ei（x-a） ξdξ（q+ψ（ξ））ξ（ξ+i）（6.19）+Ke-rTeβ-q（x）-a） ψ(-iφ-q） qβ-q（β-q- 1)-V1，添加（G；q，x）。备注6.1。如果-iβ±Q不存在或不交叉，在所有情况下，均使用L±型轮廓，并且在上述所有公式中，应省略包含β±Q的所有术语。6.3.4. 看跌期权，行权低于屏障。显然，价格与欧洲看跌期权的价格相同。6.3.5. 欧洲看涨期权或看跌期权的贴现产品和eXτ的情况。对于看涨期权，我们有G（t，x）=e-2rTex+2rtVcall（T，K；T- t、 x）。

假设λ-< -2，我们取ω∈ (λ-+ 1.-1） ，和writeG（t，x）=e-2rTex+rt2πZImξ=ωeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） dη=e-2rtt2πZImξ=ωeix（η-（一）-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） dη=e-2rtt2πZImξ=ω-1eixη-tψ（η+i）K2-iη（iη- 2） （iη- 1） dη。Letλ-< -2并选择ω∈ (λ-, -2） σ>0，因此Re（q-如果Re q，r+ψ（ξ））>0≥ σandImξ∈ [ω, -2). 然后，G（t，x）w.r.t.（t，x）的双拉普拉斯傅立叶变换在{（q，η）| Re q区域中得到了很好的定义≥ σ、 Imη∈ [ω, -2） }，由^G（q，η）=e给出-2rTZ公司+∞e-（q）-r） tK2-iηe-tψ（η+i）（iη）- 2） （iη- 1） dt。静态和半静态套期33因此，^G（q，η）=e-iaη^G（q，η），其中a=ln K，且^G（q，η）=Ke-2rT（q- r+ψ（η+i））（iη- 2） （iη- 1).如果走向位于屏障或屏障上方，其余步骤基本上与第6.3.1-6.3.2节相同。被积函数的极点位于-2i和-我宁愿-i和0，以及轮廓L-必须低于-2i而不是-i、 此外，由于不同的因素q-r+ψ（η+i）在分母中，我们对σ和L有一个额外的限制--. 此外，不是等式φ-q（η）（q+ψ（η））=q/φ+q（η）我们有一个更复杂的等式φ-q（η）（q- r+ψ（η））=q（q- r+ψ（η））/（φ+q（η）（q+ψ（η）），因此，一些极点和相应的剩余项是不同的。在put的情况下，计算结果仅相同ω∈ （0，ω）必须在第一步选择，并且在积分等值线的变形过程中w.r.t.ηdown，η=-我，-2i交叉，而不是η=0，-i、 如果罢工低于屏障，则上述论点的修改与第6.3.3.6.4小节中的修改类似。两个欧洲看涨期权或看跌期权的乘积。6.4.1. 一般公式。在调用的情况下，g（t，x）=e-2rTe2rtVcall（T，K；T- t、 x）Vcall（t，K；t- t、 x），其中Kj≥ H、 设置aj=ln Kj。

假设λ-< -我们取ω，ω∈ (λ-+ 1.-1） ，并首先计算G（t，x）的拉普拉斯变换：=e2rtVcall（t，K；t- t、 x）Vcall（t，K；t- t、 x）=（2π）ZImη=ωdηeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） ZImη=ωdηeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1).利用Fubini定理，我们得到▄G（q，x）=KK（2π）ZImη=ωZImη=ωei（η+η）xe-iaη-iaηdηdη（q+ψ（η）+ψ（η））iη（iη）- 1） iη（iη- 1).自（E）起-q）-1ei（η+η）x=φ-q（η+η）-1ei（η+η）x，我们导出（E-q）-1G（q，x）=KK（2π）ZImη=ωZImη=ωei（η+η）xe-iaη-iaηdηdηφ-q（η+η）（q+ψ（η）+ψ（η））η（η+i）η（η+i）。接下来，1的傅里叶变换(-∞,h] （x）半平面Imξ中的eiβxis定义良好>-β再见（β-iξ）/（β- iξ），因此取ω∈ (0, -β-q） ，我们可以表示V（G；q，x）：=E-q(-∞,h] （E）-q）-1▄G（q，x），形式为▄V（G；q，x）=KK（2π）ZImξ=ωdξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），其中Φ（q，ξ；η，η）=φ-q（η+η）i（η+η）- ξ） （q+ψ（η）+ψ（η））。34 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIISince x- h>0时，我们将外轮廓变形为L++形式的轮廓，在ξ=-iβ-如果它存在：△V（G；q，x）（6.20）=KK（2π）ZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），+KK（2π）iqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，-iβ-qη、 η）η（η+i）η（η+i）。如果第一个选项是看涨期权，另一个是看跌期权，那么ω∈ (-β+q，-1） 和ω∈(0, -β-q） 应满足ω1+-b+sin（ω+）-（ω+ω）>0，其中ω1+、ω+、b+是确定曲线L++的参数（回想一下，后者的最低点是i（ω1+- b+sin（ω+））。在两个看跌期权的情况下，计算是相同的，但我们取ω，ω∈(0, -β-q） ，和（6.20），如果ω1+- b+sin（ω+）- (ω+ ω) > 0.6.4.2. 减少。这三种情况都可以相互简化。我们从两个看涨期权的乘积开始。我们移动积分线{Imηj=ωj}，ωj∈ (-β+q，-1） ，j=1，2，向上，在穿过极点时，应用留数定理。