静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

微分、马尔可夫过程和鞅。第1卷。基础。约翰·威利父子有限公司，奇切斯特，第二版，1994年。【63】A.Sepp。双指数跳变过程下双障碍期权的分析定价：拉普拉斯变换的应用。《国际理论与应用金融杂志》，7（2）：151–175，2004年3月。【64】R.汤普金斯。奇异期权的静态与动态套期：通过模拟评估套期绩效。《风险金融杂志》，3（2）：6–342002年。【65】N.维纳和E.霍普夫。¨Uber eine Klasse singul¨arer integragleichungen。Sitzungsberichte der PreussischenAkademie der Wissenschaften，Mathematisch Physicalische Klasse，30:696–7061931。附录A.列维过程下的标准半静态套期保值我们考虑向下和向内期权（带价值函数）V（G；H；t，Xt），barrier=eh。设τ：=τhbe为特征指数ψ为的L'evy过程X的首次进入时间(-∞, h] 。如果τ<T，则在时间τ，期权成为欧洲期权，在到期日T支付G（XT）。标准的半静态对冲基于存在β的假设∈ R，对于任何停止时间τ，（A.1）Eτ[G（XT）1XT>h]=Eτheβ（XT-Xτ）G（2Xτ- XT）12Xτ-XT>嗨。如果（A.1）成立，我们考虑到期日为t的欧式期权V（Gex；t，Xt），支付函数（A.2）Gex（x）=（G（x）+eβ（x-h） G（2x- h） ）1(-∞,h] ）（x）。如果τ>T，向下和向内期权以及欧式期权将失效。在时间τ时，如果Xτ=h，则选项值与（A.1）的强度一致，因为τ[G（XT）1XT>h]+Eτ[G（XT）1XT≤h] =Eτ[G（XT）]。但是假设Xτ=h意味着没有跳跃。过一会儿，我们将展示，然后也不会有跳跃。设G（x）=（ex- K） +或更一般地，让^G（ξ）在半平面{Imξ<-1} 衰变为|ξ|-2asξ→ ∞ 留在这个半平面上。

设ψ在条带S（λ）中是解析的-,λ+，其中λ-< -1、取ω∈ (λ-, -1） ，表示X=Xτ，表示（A.1）的LHS，形式为（A.3）Eτ[G（XT）1XT>h]=2πZImξ=ωeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） \\ G1（h+∞)（ξ） dξ。静态和半静态对冲45（A.1）的RHS可以表示为重复积分2πZImξ=ωdξeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） ZRdy e公司-iyξeβ（y-x） G（2x- y） 12倍-y> h.ifω∈ 可以选择R，以便重复积分收敛（这对ψ施加了一个附加条件，该条件将在一瞬间显式）。更改变量2x-y=y，然后-ξ - iβ=ξ，我们得到τheβ（XT-Xτ）G（2Xτ- XT）12Xτ-XT>hi=2πZImξ=ωdξeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） ZRdye公司-i（2x-y） ξeβ（x-y） G（y）1y>h=2πZImξ=ωdξe-（r+ψ（ξ））（T-τ） Zrdeyei（x-y）(-ξ-iβ）G（y）1y>h=2πZImξ=-ω-βdξe-（r+ψ）(-ξ-iβ））（T-τ） Zrdeyei（x-y） ξG（y）1y>h=2πZImξ=-ω-βeixξ-（r+ψ）(-ξ-iβ））（T-τ） \\ G1（h+∞)（ξ） dξ。我们看到ω和β必须满足-ω-β ∈ (λ-, -1） ，并且，与（A.3）相比，我们看到特征指数ψ和β必须满足（A.4）ψ（ξ）=ψ(-ξ - iβ）。给定一类L'evy过程，方程（a.4）对扩散部分施加一个条件，对跳跃部分施加第二个条件；因此，如果同时存在扩散和跳跃分量，则容许参数空间的维数将下降2，如果仅存在其中一个分量，则容许参数空间的维数将下降1。如果X是漂移u和波动率σ的BM，则（A.4）等于β=-u/(2σ).等效地，ψ(-i） =0（股票是鞅），因此δ=r（股息率等于无风险率）。对于嵌入KoBoL分量的BM：ψ（ξ）=σξ- iuξ+c-Γ(-ν+)(λν++- （λ++Ⅰξ）ν++c+Γ(-ν-)((-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-),条件变为：1）c+=c-（因此，要么没有跳跃，要么两个方向都有跳跃），且ν+=ν-; 和2）β=-u/(2σ) = -λ+- λ-. 3) ψ(-i） +r- δ = 0.

我们看到，如果没有扩散成分，则“漂移”u=0，如果有扩散成分，且u>0（分别为u<0），则λ+>-λ-（分别为λ+<-λ-), 这意味着跳跃密度在漂移方向上衰减较慢。在本节结束时，我们讨论了套期保值误差的可能大小，该误差是由假设过程不会通过跳跃跨越障碍而引起的，而事实上它确实会跨越障碍。在向下和向内选项的情况下，当λ+增加时，超调的预期大小减小；对于up和in选项，-λ-绝对值增加。因此，如果差异成分很大：σ>0不小，则条件β=-u/(2σ) = -λ+- λ-表示强对称λ+≈ -λ-正跳跃分量和负跳跃分量。46 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIIfσ很小，则可能存在强烈的不对称性；但u的绝对值必须非常大。综上所述：允许将半静态套期保值程序正式应用于带跳跃的L'evy过程的模型参数条件相当严格。附录B.维纳-霍普夫因子的其他表示在ν<1阶过程（即有限变化过程）具有非零漂移的情况下，维纳-霍普夫因子的公式（4.8）-（4.9）可以更有效地用于计算目的。

设置（B.1）ψ（q，η）=（1+ψ（η）/q）/（1- iuη/q）。（四） 如果ν<1且u>0，则对于与上述相同的ξ和ω±，φ+q（ξ）=（1- iuξ/q）-1exp2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η））η（ξ- η） dη（B.2）φ-q（ξ）=exp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.3）（V）如果ν<1且u<0，则对于与上述相同的ξ和ω±，φ+q（ξ）=exp2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη（B.4）φ-q（ξ）=（1）- iuξ/q）-1exp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.5）公式（B.2）-（B.5）比（4.8）-（4.9）更有效，因为如果q或η（或两者）中的任何一个∞ 使（B.1）中的RHS不交叉(-∞, 0]和（q-iuη）-1=O（（| q |+|η|）-1，则lnψ（q，η））定义良好，并趋向于零，即|η|ν/（| q |+|η|）。因此，积分收敛得更快。（六） 类似地，如果过程具有波动率σ的BM分量，且ν<2是纯跳跃分量的顺序，我们引入（B.6）ψ（q，η）=（1+ψ（η）/q）/（1+ησ/（2q）），设置β±q=±√2q/σ，表示形式为φ+q（ξ）=β+qβ+q的维纳-霍普夫因子- iξ2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη（B.7）φ-q（ξ）=β-qβ-q+iξexp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.8）（VII）最后，如果过程有波动率σ的BM分量，u是漂移，ν<1是纯跳跃分量的阶数，我们引入（B.9）ψ（q，η）=（q+ψ（η））/（q- iuη+ησ/2），β±q=(-u±（u+2qσ）1/2）/σ，表示形式（B.7）（B.8）中的维纳-霍普夫系数。积分的收敛速度进一步提高。静态和半静态套期保值47附录C.拉普拉斯反演公式中的Sinh加速度σ、ω、b>0和σ- bsinω>0。引入函数（C.1）C 3 q=χ（σ，ω，b，y）：=σ+ibsinh（iω+y）∈ C、 用L=L（σ，ω，b）表示R在映射χ（σ，ω，b，·）下的图像。We fixω∈ （0，π/4），kd∈ （0，1），并设置d=kd |ω|，γ±=ω±d。

如果使用ω>0的轮廓L（ω，ω，b）来计算维纳-霍普夫因子，我们设置d=kd |ω|，并选择ω∈ (0, π/4).用S表示条带S的图像(-d、 d）地图下方y 7→ χ（σ，ω，b，y）和条带S的图像(-d、 d）地图下方y 7→ ψ（χ（ω，ω，b，y））。我们选择变形的参数，使S+S={q∈ S、 η∈ S} 不相交(-∞, 0]在两条初始积分线的变形过程中；然后可以应用初始公式（4.8）-（4.9）（前提是ξ低于S）。上述维纳-霍普法系数的其他公式可以在较弱的条件下应用。有关分数抛物线变形的类似情况，请参见[13，53]。ω和ω对上的必要条件，确保S+S与C中的一个大球体的外部的交点不相交(-∞, 0]. 实际上，S稳定到圆锥体C∪其中，z表示复共轭，C：{eiφR++|φ∈ (-ω- d- π/2, -ω+d- π/2)}.Salso稳定为C型圆锥体∪C，但Cis的描述比C更复杂。我们需要考虑3种情况：（1）ν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0；（2）ν=1和u6=0；(3) ν ∈ （0，1）和u6=0。（1） 我们使用（3.5）得出结论C：={eiφR++|φ∈ （ν（ω+d），ν（ω- d） ）}。Letω≥ 0，然后（C∪\'\'C）+（C∪(R)C）不相交(-∞, 0]，当且仅当ν（ω+d）+ω+d∈(0, π/2). ω<0的情况是对称的。在这两种情况下，如果kd<1可以任意选择接近1，那么（ω，ω）上的必要和有效条件∈ （0，π/2）是ω+ν|ω|<π/2。（2） 设Д=arg(-iu+c∞) = -arctan（u/c∞). ThenC：={eiφR++|φ∈ （ω+d+Д，ω- 因此，条件是：|ω|+d+ω+d<π/2- |φ|.（3） 形式上，我们具有与（2）中相同的条件，即|Д|=π/2。显然，对于任何正ω和ω，该条件都失效。

因此，在这种情况下，不可能使用sinh加速度。r、 t.q和η，并应用（4.8）-（4.9）。但是，可以选择变形，使S+S63为0。此外，如果参数的选择使得对于q，η的兴趣，| 1-ψ（q，η）|<1，那么我们可以将（B.2）-（B.5）中的sinh加速度和积分中的sinh加速度用于拉普拉斯反演。48 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIAppendix D.Gaver-Stehfest方法如果f（q）是f:R的拉普拉斯变换+→ R、 然后，Gaver-Stehfest对fis的近似值为（D.1）f（M；T）=ln（2）T2MXk=1ζk（M）~fk ln（2）T,其中M为正整数，（D.2）ζk（M）=(-1） M+kmin{k，M}Xj=b（k+1）/2cjM+1M！Mj公司2jj公司jk公司- jbac表示小于或等于a的最大整数。如果可以高效准确地计算|Μf（q），那么在许多情况下，Gaver-Stehfest近似具有中等数量的项（M≤ 8） 即使使用双精度算术（有时，甚至可以使用M=9），对于实际目的来说，也是非常精确的。然而，可能需要更大的M值，因此高精度算法变得必不可少。要求的系统精度约为2.2* M、 大约0.9* 对于具有良好变换的f（t），生成M个重要数字。“良好”表示f属于C类∞, 变换的奇点位于负实轴上。如果变换不好，那么重要数字的数量可能不会太多，也可能与M不成比例。参见【2】。正如【1】所示，在设置定价障碍期权和CDSs确认的数值实验中【53】，Wynn的rho算法比Gaver-Stehfest方法更稳定。给定一个收敛序列{f，f，…}，Wynn算法估计极限f=limn→∞fnviaρN-1，其中N为偶数，ρjk，k=-1, 0, 1, . . . , N，j=1，2。

N- k+1的计算如下：（i）ρj-1= 0, 1 ≤ j≤ N（ii）ρj=fj，1≤ j≤ N（iii）在双循环中，w.r.t.k=1，2，N、 j=1，2，N- k+1，计算ρjk=ρj+1k-2+k/（ρj+1k）-1.- ρjk-1).我们将Wynn算法应用于Gaver函数Fj（T）=j ln 2T2jj公司jX`=0(-1） jj`~f（（j+`）ln 2/T）。附录E.表E。表1-7：欧洲期权的双重静态与方差最小化套期保值，付息Gex（S）=（S/H）β（H/S- K） 。E、 2。维纳-霍普夫系数（四舍五入）和障碍期权价格表。E、 3。第7节的表格。静态和半静态套期49表1。