静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

设ω，ω>0，ω+ω<Imξ。然后，将积分的最内线向上移动，我们得到（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）（6.21）=（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，0）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，-i） η（η+i）RHS上的第一项是看涨期权和看跌期权的积分，其余两项的计算方法与看跌期权公式中的积分类似。如果a- h类≤ 0时，线{Imη=ω}变形为形式为L的轮廓-, 若a<h，则表示L+或L++。新轮廓必须严格低于积分轮廓L++w.r.t.ξ，并且两个轮廓的渐近线之间的角度必须非零。将积分线w.r.t.η向上推，我们得到了一个重复积分，当考虑puts的乘积时（加上4个一维积分）：（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）（6.22）=（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，0）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，-i） η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；0，η）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；-i、 η）η（η+i）。静态和半静态对冲35下面，我们考虑上述重复积分的计算，表示它们J（ξ；ω，ω），用于低于或高于屏障的打击。根据具体情况，可以方便地计算J（ξ；ω，ω）或J（ξ；ω，ω）或J（ξ；ω，ω），然后在必要时使用（6.21）和（6.22）。由于如果积分等值线w.r.t.η，η在下半平面内，则积分等值线参数的选择更简单，因此我们建议减少两次调用的情况，除非β+q- 1比-β-q、 6.4.3。两次打击都在屏障处或以上。

自aj起≥ h、 积分等值线w.r.t.η和η向下变形，形成L型等值线-= L（ω1j，ωj，bj），其中ωj<0与（6.20）中的不同。在变形过程中，这两个轮廓都不会穿过切口i(-∞, λ-]. 此外，对于等高线上的所有η，因子q+ψ（η）+ψ（η）必须与0分离。一个简单的一般要求（适用于较大的Re q；如果Re q>0不是很大，则需要对变形过程中轮廓的行为进行额外控制）如下所示。根据假设（X），ψ的形式为ψ（η）=-iuη+ψ（η），其中u∈ R和ψ（η）~ c∞|η|νeiνγ，其中γ=argη∈ (-π/2、π/2）和c∞> 因此，如果ν∈ （1、2）或u≤ 0然后0>ωj>-min{π/2，π/（2ν）}；（2） 如果ν=1且u>0，则0>ωj>-arctan（c∞/u).如果ν∈ （0，1）和u>0，则只可能出现不太有效的共形变形和变量变化（在[15]中标记为子多项式，其中开发了评估稳定分布的有效方法）。保留符号L-对于这种情况，我们也得到了∧V（G；q，x）（6.23）=KK（2π）ZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZL-ZL公司-e-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），+KK（2π）iqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） ZL公司-ZL公司-e-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，-iβ-qη、 η）η（η+i）η（η+i）。如果特征指数是有理函数，那么我们可以将轮廓L++向上推，然后L-向下。在所有极点交叉后，我们将得到一个可表示为a、a、h、特征指数参数及其根和极点的三重和，而不是三重积分。贝塔模型也可以这样做【50】；然而，最终的总和将是有限的，我们必须解决一个非常重要的问题，即对这些有限的总和进行精确的截断。6.4.4.

其中一次打击低于屏障的情况。设K<H≤ K、 然后a-h<0≤ a、 积分线w.r.t.η的sinh变形是不可能的，因此，我们将简化的梯形规则应用于初始积分w.r.t.η（fl iFT）。被积函数的计算速度非常慢，因此，简化梯形规则中的项数太大。使用完整类人猿规则i=ζXj中各部分的总和，可以显著减少NCA的数量∈Ze公司-iaζjfj。36 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIif f（y）的下降速度比f（y）的下降速度快→ ±∞ （与当前纸张的设置一样）。事实上，那么最终的差异fj=fj+1-fjdecay比fjas j更快→ ±∞ 还有。分部求和公式如下。我们选择ζ>0，以便1- e-iaζ不接近0。然后ζXj∈Ze公司-iaζjfj=ζ1- e-iaζXj∈Ze公司-iaζj福建。如果每次差异都会增加衰减率，那么可以迭代部分求和。在本论文的背景下，衰变率随着每次差异的增加大约增加1。在数值算例中，我们采用了分3次求和的方法，使项数减少了许多倍，并且使项数与可以应用sinh加速度时的项数相似。6.4.5. 两次打击均低于屏障的情况。在这种情况下，积分w.r.t.η和η中的sinh加速度是不可能的，因此，我们将简化的梯形规则应用于初始积分w.r.t.η和η。使用有限梯形规则中的各部分求和，可显著减少N，nca的数量，以评估（6.23）RHS上的重复积分。7.

半静态对冲与方差最小化的下跌期权和买入期权对冲：一个数值示例和定性分析在本节中，我们以下跌期权和买入期权为例，详细介绍和讨论了几个重要的观察结果和实际重要的结论。该过程（KoBoL）与表2相同，成熟度为T=0.1，但走向K=1.04比表2中距离屏障更远。原因有两个：1）表明如果半静态套期保值的限制性正式条件得到满足，那么半静态程序对于跳跃成分衰减相当缓慢的跳跃过程来说相当有效，即使从障碍到支持艺术性外来支付的距离相当大（约40%）；2） 如果这种支持过于接近屏障，则除非使用高精度算法，否则部分过程的求和可能不够精确。本文采用双精度计算。我们考虑的是标准情况：代理人出售看跌期权，并将收益投资于无风险债券。我们假设点S=e0.04几乎在走向上。也就是说，代理人打赌在期权有效期内不会突破该障碍。图3显示，这种幸福结果的概率不是很大；甚至在τ=0.05之前突破屏障的概率也约为42%。然而，当投资组合违约时，其概率约为50%，投资组合价值为正。这部分是因为投资组合中的债券部分增长非常快。然而，如果在接近0的时间突破了屏障，则portfoliovalue的损失可能相当大（见图4）。因此，经纪人对赌注进行对冲是很自然的。假设代理人使用本文构造的半静态套期保值。

标准静态和半静态参数构建了模型和现货不变的投资组合，这使得即使跳跃成分的小不对称也要求无风险利率相当大，以便正式调整半静态程序。静态和半静态对冲37不可能考虑对冲组合需要融资。如果我们考虑3个看跌期权的投资组合，并忽略为头寸融资而借入的无风险债券，那么，在任何时候τ都会突破障碍，在任何级别Sτ≤ H、 投资组合价值为正或非常接近零（图5）。因此，即使投资组合只有3个选项，半静态对冲似乎也能很好地工作。此外，如果只使用一种期权，则投资组合价值会下降，除了远离障碍和接近到期的相对较小区域（图6）。由于期权在该地区到期的可能性很小，一个天真的论点可能会表明，增加对冲组合中的期权数量将提高投资组合的整体对冲绩效。然而，回想一下，该机构借入无风险债券为看跌期权头寸融资。如果突破了这一障碍，无风险债券中的这一空头头寸必须与投资组合中的其他头寸一起清算，使整体情况变得复杂。图7表明，当Sτ接近屏障（以突破屏障为条件的高概率事件）时，对冲组合的价值为负值且较大。因此，对冲远不是完美的。此外，inFig。8我们可以看到，如果τ>0.037且Sτ离障碍不太远，则仅由一个行使在奇异期权转折处的看跌期权组成的半静态投资组合的价值大于由3个看跌期权组成的半静态投资组合的价值。

图9显示了带有一个看跌期权的对冲组合的价值。表12显示，如果在期权有效期内未突破该障碍，两个投资组合的价值都为负值，但有3个期权的投资组合的损失是有3个期权的投资组合的两倍。因此，最好使用较少的期权，除非代理人押注于概率非常低的事件实现：如果在期权中投资更大的财富份额，这些期权的成本更高，侵蚀了更精确的半静态对冲的优势。图10表明，相同三个认沽期权的方差最小化组合对冲了下跌期权和买入期权的风险，但仅部分对冲：如果τ<0.06（大约），且τ离障碍不远，则组合的价值为负值；对于接近到期的τ，投资组合价值变得相当积极。对比图12和图10，我们观察到，首次接触数字的加入在一定程度上提高了投资组合的套期保值绩效。图11、13和14显示，具有一个看跌期权或一个一键数字的投资组合的表现与具有三个选项的投资组合大致相同，并且具有一键数字作为唯一享乐工具的投资组合优于具有一个看跌期权的投资组合（无论是在障碍处还是在扭结处）。我们再次强调，由于对冲组合并非无成本的，因此对对冲效率的适当分析应包括无风险债券空头头寸的支付和对冲组合在到期时的价值，以防突破障碍。在3个看跌期权的形式上完美的半静态对冲的情况下，在未突破障碍的情况下，投资组合的损失相当大（约为0.6倍于0时对冲期权的价值）；相反，如果只使用一个期权，那么损失大约是对冲期权价值的0.3。

相反，如果我们使用具有3个或1个看跌期权的方差最小化投资组合，则在未突破障碍时的收益是相当大的（大约是对冲期权的价值）；如果使用第一触数字，则增益接近0（如果除第一触数字外，还使用了两个看跌期权，则增益为正值，如果仅使用第一触数字，则增益为负值）。综上所述：一旦我们考虑到对无风险的SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIbond的投资，任何现实的对冲投资组合都会用另一个替代最初的非对冲押注，这可能比最初的押注更具风险。特别是，具有3个看跌期权的半静态对冲投资组合，从复制看跌期权和看涨期权的支付角度来看，这似乎是完美的，忽略了对冲工具的预付款，事实上，这是另一个风险更大的赌注：只有当障碍被打破，且标的在当时大大低于障碍时，对冲投资组合为黑色；否则，它就是红色的，而且很有可能是红色的。因此，半静态对冲投资组合可以被视为反向押注：如果基础的变现非常糟糕（发生概率很小），投资组合会获得很多收益，但在其他情况下会失去很多。具有首次接触数字产品的投资组合的收益最为集中。表12说明了不同对冲投资组合中隐含的赌注结构，显示了突破障碍时障碍附近的近似收益，以及未突破障碍时的到期收益。我们看到，用基于半静态论证的投资组合替换初始押注（即做空和买入期权），可能会导致相当大的损失，概率超过90%。

同时，如果跳远突破了障碍，则获得显著收益的可能性很小。我们认为，表12表明，最有效的套期保值是使用First touch digital。在表13中，我们显示了不同投资组合的标准化标准差，计算值为障碍的1%~7%。半静态hedgingportfolio支付的不规则结构意味着投资组合的波动性必须很高，如表13所示。其他投资组合的波动率都是相同的数量级，尽管包含首触式数字的投资组合的波动率要小得多，这是首触式数字优势的额外体现。在表14中，我们展示了用于构建多个边缘投资组合的方差-协方差矩阵；读者可以检查矩阵是否非常接近秩为2-3而不是5的矩阵。这解释了为什么我们构建的不同投资组合的差异非常接近，以及为什么就小波动的对冲而言，使用几种期权没有收益；而且使用多个选项的成本可能会非常高。8、结论8.1。对冲：结果和扩展。我们开发了新方法，用于构建欧式exotics的静态套期保值组合，以及欧式exotics和L'evy模型中障碍期权的方差最小化套期保值组合；在这两种情况下，计算都是在双空间中进行的。特别是，我们构建了近似奇异期权的近似静态投资组合，该投资组合近似于具有适当权重的H¨olderspace范数中Vanilla的线性组合的奇异支付；选择H¨older空间的阶，使得具有相同权重的连续函数空间连续嵌入到加权H¨older空间中，因此，我们得到了C范数的近似值。

权重很容易计算，因为加权H'older空间是Hilbert空间，该空间元素的标量积可以通过计算对偶空间中的积分来轻松计算。当障碍物被突破时，障碍物附近的付款会显示几个小的时间间隔。对于省略的时间间隔，可以使用插值重建近似概率和收益；Sτ在离势垒较远的地方实现的概率较小，因为L′evy密度的尾部呈指数衰减，且衰减速率不小。静态和半静态对冲39我们讨论了障碍期权静态对冲/复制的局限性，以及在应用于列维模型时，列出了对模型参数的相当严格的限制，在这种限制下，障碍期权与适当的欧洲奇异期权的近似复制是合理的。我们解释了为什么在存在跳跃的情况下，完美的半静态套期保值是不可能的，并使用Bobol模型中的向下和向内看涨期权的示例，证明了（a）基于后者与奇异欧式期权近似的形式半静态对冲障碍期权程序和本文的静态对冲算法，即使仅使用3个看跌期权，也能产生良好的超复制投资组合；（b） 然而，如果考虑到为对冲组合融资所需的借入无风险债券，则短期和买入期权、3看跌期权和无风险债券的对冲组合具有类似反向押注的支付结构。投资组合很有可能承受相当大的损失（初始时下跌期权和买入期权价值的几十%甚至更多）。

如果在期权有效期内未突破障碍，或者在突破障碍时，该点未跳到障碍下方太远，则会发生这种情况。只有当跳降幅度较大时，对冲投资组合才会出现收益，收益可能非常大；（c） 如果只有一个看跌期权用于对冲，那么投资组合的绩效会显著提高，尽管超级复制资产自然会变得不完美。这种观察破坏了半静态对冲/复制背后的一般想法。准确复制需要在对冲/复制投资组合中有更多的选择，但相关成本可能超过无模型复制/对冲的形式优势；（d） 在我们考虑的示例中，方差最小化对冲组合的风险低于半静态对冲组合，而具有首次接触数字的对冲组合是最好的。这一观察结果表明，令人惊讶的是，对于障碍期权而言，方差最小化目标即使在预计不会被方差表征的规模下，也会导致较小的损失；（e） 在做空和卖出看涨期权的情况下，自然对冲组合是欧洲看涨期权中的空头头寸；类似地，下跌和不动的自然对冲组合是欧洲看涨期权中的多头头寸。图15、图16、图17显示了裸下和裸出期权、不考虑债券成分的半静态对冲组合以及考虑债券成分的半静态对冲组合的（标准化）收益。虽然前者会亏损，除非违约正好发生在屏障上，但后者的收益在到期时为0.3（如果没有违约发生），如果违约发生，则在屏障附近的一个小区域为正。