静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

这一（稍微令人惊讶的）事实可以通过put调用奇偶校验和以下计算z进行验证+∞（S）- K） G（K）dK=G（K）（S- K）|+∞+Z+∞G（K）dk=（G（K）（S- K） +克（K））|+∞= 0- 0 = 0.示例2.2。在打击KisG=（（S）的情况下，指令β>1的有电呼叫的支付函数- K） +）β。由于β>1，因此没有扭结，dG（K）没有原子，并且（（S- K） +）β=β（β- 1） Z+∞KdK（K- K） β-2（S）- K） +。示例2.3。power call的Payoff函数为G（S）=（Sβ- K） +，其中β>0，K>0。量度d（G）（K）有一个原子βδK，在（K）上+∞), GKK（K）=β（β-1） Kβ-因此，（Sβ- K） +=β（S- K） ++β（β- 1） Z+∞KdK Kβ-2（S）- K） +。示例2.4。考虑障碍为H且走向为K>H的向下和向内看涨期权。该期权的Apopular半静态复制投资组合是一种欧洲期权，其收益率（S）=（（S-K） ++（S/H）β（H/S-K） +）1（0，H）（见（3.1）和A节）。由于K>H，静态和半静态套期保值7payoff简化了Gex（S）=（S/H）β（H/S- K） +）1（0，H）（x）=H-βKGex，1（S），其中G（S）=Sβ-1（K- S） +，且K=H/K<H。显然，有必要构建带有支付函数G的期权的对冲组合，该函数在K以上消失。在K处，GHA是一个扭结，而G（K-0) = -Kβ-1、在（0，K）上，Gis完全光滑，G（S）=K（β-1） Sβ-2.-βSβ-1，G（S）=K（β- 1)(β - 2） Sβ-3.- β(β - 1） Sβ-2= (β - 1） Sβ-2((β - 2） K/S- β). 因此，Gex（S）=H-βKKβ-1（K- S） ++（β- 1） ZKdK Kβ-2((β - 2） K/K- β） （K）- S）+.2.2. 近似静态对冲。在现实世界中，只有有限数量的选项可用，因此，必须使用原子度量来近似测量dG（K），通常，原子数量不是很大。例如，文献[31]中记载，使用3-5个期权的静态套期保值可以产生良好的结果。因此，静态套期保值将是近似值。

此外，从时间0来看，套期保值误差将取决于所用模型的选择；虽然理想化静态对冲与模型无关，但近似对冲与模型相关，近似对冲的质量（自然）取决于近似程序的选择。我们将通过vanillas支付函数的线性组合，在指数权重的Sobolev空间的范数中，近似奇异期权的支付函数。更具体地说，我们在Sobolev空间Hs，ω（R）阶的范数中最小化了奇异期权的支付与投资组合支付G（x）：=G（ex），具有适当的指数权重eωx（又称阻尼因子）。普朗谢尔定理允许我们在对偶空间中进行计算。使用sinh加速技术精确快速地计算积分【17】。如果s>1/2，则Hs（R）连续嵌入到C（R）中，因此，我们可以估计C-范数中的误差（具有相应的权重），这对于近似静态对冲来说是很自然的：如果误差0无法实现，我们控制最大误差。我们研究了套期保值误差方差对模型和sω的依赖性，并证明了在s=1/2和s>1/2接近1/2的情况下，误差方差是可比较的（并且在合理范围内基本上独立于ω），这种差异小于近似静态混合投资组合和方差最小化投资组合误差方差之间的差异。设ω，s∈ R、 s阶Sobolev空间Hs，ω（R），权重为eωx，是广义函数u的空间，使得uω：=eω·u∈ Hs（R）。Hs中的标量积ω（R）由（u，v）s定义；ω=（uω，vω）Hs（R）。

因此，（u，v）Hs，ω（R）=ZImξ=ω（1+（ξ- iω）s^u（ξ）v（ξ）dξ。根据其中一个Sobolev嵌入定理（例如，参见Eskin（1973）中的定理4.3），如果s>1/2，则Hs（R）连续嵌入到C（R）中，一致有界连续函数的空间在完整时消失，其中∞-标准因此，对于任何ω∈ R和s>1/2，Hs中的近似，ω-拓扑给出了对任何固定紧K的一致近似。考虑一个特殊选项，其payoff在K以下消失，我们将其归一化为1。出于实际目的，我们可以假设用于对冲的欧洲期权的行权接近1，而现货接近1；因此，对数点x接近于0，如果ω在模量中不大，不同omegas的套期保值权重之间的差异也不大。同样，如果^u（ξ）在单位时间内衰减得相当快，那么如果s∈ [1/2，s]和接近1/2.8的SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI认为β<-因此，我们有一个类看涨期权，使用看涨期权组合进行套期保值。We fixω≤ β如上所述，s≥ 1/2，以及支付函数Gj=G（Kj；·）的看涨期权集。集合G=G。我们寻找权重集合n=（n，…，nN）（投资组合中的看涨期权数量），该集合使StHG（n）：=-G+PNj=1Njjj英寸Hs；ω（R）范数。表示Gs；ωjk=（Gj，Gk）s；ω; 由于Gs公式中的被积函数，这些标量积可以很容易地以非常高的精度进行计算；ωjk衰减为|ξ|-此外，如果^G（ξ）的形式为e-ikξ^G（ξ），其中ΓG（ξ）是有理函数，和k∈ R、 （Gj，Gk）s公式中的被积函数；ω的形式为e-ikjkξ^Gjk，0（ξ）（1+（ξ-iω））s，其中kjk∈ R和^Gjk，0（ξ）是有理函数。因此，可以使用sinh加速技术以几乎机器精度和非常快的速度计算标量积[17]。

在适当改变ξ=iω+b sinh（iω+y）形式的变量后，具有十几个项的简单类曲规则通常能够满足10阶的误差容限-10及以下。最小ns；ωofFs；ω（n）：=kStHG（n）k=Gs；ω-NXj=1njsGs；ω0j+NXj=1njGs；ωjj+NXj6=k，1≤j、 k级≤NnjnkGs；ωjk是方程的解Fs；ω（n）=0，相当于，（2.5）ns；ω=A（G；s，ω）-1Gs；ω、 其中Gs；ω=[Gs；ω，…，Gs；ω0N]是向量列，a（G；s，ω）=[Gs；ωjk]j，k=1，。。。，N、 2.3。方差最小化对冲组合。对冲误差是随机变量err（n；x，XT）=e-rT公司-G（XT | X=X）+NXj=1njGj（XT | X=X）.设置Vj（T，x）=e-rTEx【Gj（XT）】（期望值在为定价选择的EMM Q下）。假设^Gj，j=0，1，N，计算平均套期保值误差[误差（N；x，XT）]=-V（T，x）+NXj=1njVj（T，x）可简化为傅里叶反演。如【14、54、17】所述，如果（1）^Gjis的形式为^Gj（ξ）=e-ikjξ^Gj0（ξ），其中kj∈ R和^gjo是有理函数，（2）ψ的形式为ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），其中u∈ R和Reψ（ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 保持在围绕实轴的圆锥体中，则以（2.6）形式表示Vj（T，x）=2πZImξ=ωeixjξ是有利的-T（r+ψ（ξ））^Gj0（ξ）dξ，其中容许ω的集合∈ R取决于^Gj0，且xj=x+uT- 千焦。然后，我们使用（2.6）中积分轮廓的形式化变形和相应的变量变化，并应用简化的梯形规则。[17]中建议的变量（静态和半静态对冲9sinh加速度）的最有效变化形式为ξ=iω+b sinh（iω+y），其中ω与x的符号相同；容许|ω|的上界取决于ψ和^Gj0。可以使用等式E计算方差-2rTE[（G- E[G]]=E-2rT（E[G]- 例如。计算Ex错误（n；x，XT）, 我们需要计算Vj`（T，x）：=e-2rTEx[Gj（ST）G`（ST）]，j，`=0，1。

. . , N，这是欧洲期权的“价格”，到期日为T，支付额为Gj（ST）Gk（ST）。我们计算乘积GjG的傅里叶变换，乘以特征函数e-Tψ（ξ），并应用傅里叶逆变换。对于典型的奇异选项和Vanilla，GjG`（ξ）的形式为e-ikj`ξ^Gj\'；0（ξ），其中^Gj`；0（ξ）是有理函数，kj`∈ R、 因此，（2.7）Vj`（T；X）=2πZImξ=ωeixj`ξ-T（2r+ψ（ξ））^Gj`；0（ξ）dξ，其中x=x+uT-kj`。使用sinh加速度技术可以准确快速地计算（2.7）RHS上的积分[17]。方差最小化投资组合中的期权数量由（2.8）n（T；x）=A（T；x）给出-1V（T；x），其中V（T；x）=（[V0j（T；x））-V（T，x）Vj（T，x）]Nj=1）是向量列，a（T；x）=[Vj`（T；x）-V`（T；x）V`（T；x）]j，`=1，。。。，N、 是一个矩阵。2.4. 例如：exoticoption的静态套期保值和方差最小化套期保值，Payoff函数Gex由（3.1）给出。案例G（S）=（S- K） +。Letk：=ln K>h：=ln h.然后G（x）1(-∞,h] （x）=0和2h- k=h- （k）- h） 直接计算表明，G（x）=Gex（ex）的傅里叶变换在半平面{Imξ>1中定义良好- β} by（2.9）^G（ξ）=H-βK1-βe-iξ（2h-k）(-iξ+β- 1)(-iξ+β）。在对冲投资组合中，我们使用了带有罢工Kj的看跌期权≤ K=H/K，j=1，2，N、 设置Gj（x）=（Kj- ex）+；则^Gj（ξ）=K1-iξj/（iξ（iξ- 1） ）在半平面{Imξ>0}中定义良好。2.4.1. 构建近似静态对冲组合。我们取ω>（1- β)+. 通常，β<0，因此ω>1。我们有（G，G）s，ω=H-2βK2-2βZRe(-iξ+ω）（2h-k）(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）×e（iξ+ω）（2h-k） （iξ+ω+β- 1） （iξ+ω+β）（1+ξ）sdξ=H4ω-2βK2（1-β-ω） ZR（1+ξ）sdξ（ξ+（ω+β- 1))(ξ+ (ω + β)).10 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIwhere k=ln k。

我们可以准确快速地计算积分，使变量ξ=b sinh y的变化最简单，并应用简化的梯形规则。关于b的选择以及简化梯形规则的参数ζ、N的明确建议，请参见【17】。接下来，对于j=1，2，N、 我们设置kj=ln Kjand计算（G，Gj）s，ω=H-βK1-βKjZRe(-iξ+ω）（2h-k）(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）e（iξ+ω）kj(-iξ- ω - 1)(-iξ- ω） （1+ξ）sdξ=H2ω-βK1-β-ωK1+ωjZRe-iξ（2h-k-kj）（1+ξ）sdξ(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）（iξ+ω+1）（iξ+ω）。如果kj=2h- k、 我们对上述相同形式的变量进行正弦变化（参数b、ζ、N的选择略有不同）。如果2h- k- kj<0（分别>0），则有利于使积分轮廓变形，使变形轮廓的翅膀指向上（分别向下）。因此，我们改变变量ξ=iω+b sinh（iω+y），其中ω∈ （0，π/2）（分别为ω∈ (-π/2，0）），并设置ω=-b sinω。参数b、ζ、N的选择如【17】所述。最后，对于j，`=1，2，N、 ω>0，（Gj，G`）s，ω=（KjKk）1+ωZRe-iξ（kj-k`）（1+ξ）sdξ（ξ+ω）（ξ+（ω+1））。如果kj>k\'，我们将轮廓的机翼向下变形，等效地，使用sinh加速度ω∈ (-π/2, 0). 如果kj<k\'，我们使用ω∈ (0, π/2). 最后，如果kj=k\'，我们可以使用任何ω∈ [-π/2, π/2]; ω=0是最佳选择。计算出标量积后，我们应用（2.5）找到近似的静态hedgingportfolio。下面，当对冲组合的金额为固定金额H时，我们将使用该方案的修改-βKKβ-1=（H/K）β-2计算行使K的看跌期权，以及对冲组合中其他看跌期权的权重，以最小化对冲误差。2.4.2. 构建方差最小化的套期保值组合。计算（2.6）RHS上的积分，我们使用（2.9）表示j=0；对于j=1，2，N、 ^Gj（ξ）=K1-iξj/（iξ（iξ- 1).

为了计算（2.7）的RHS上的积分，我们需要计算Payoff函数乘积的傅里叶变换。直接计算得出（1）\\（G）（ξ）=e-iξ（2h-k） ^G（ξ），对于半平面中的ξ{Imξ>2（1- β） +，式中（2.10）^G（ξ）=2H2βK2（1-β)(-iξ+2β- 2)(-iξ+2β- 1)(-iξ+2β）；（2） 对于j=1，2，半平面Imξ>（1）中的N和ξ- β） +，\\GGj（ξ）=e-ikjξ^G0j（ξ），其中（2.11）^G0j（ξ）=（Kj/H）β（H/K）-iξ+β香港-iξ+β- 1.-千焦-iξ+β+1.静态和半静态套期保值11（3）如果Kj≤ K`，则Gjk（x）=（Kj）的傅里叶变换- ex）+（K`- ex）+（2.12）^Gj`（ξ）=Kje-ikjξiξ- 1.K`iξ-Kjiξ- 2.在半平面{Imξ>0}中定义良好。2.4.3. 数值实验。在E.1节收集的表格中，我们研究了静态套期保值和方差最小化套期保值的相对性能。我们考虑支付系数=（S/H）β（H/S）的奇异欧洲期权- K） +；对冲投资组合包括行使Kj=hk的看跌期权-（j）-1） 0.02，j=1#K、 式中#K=3，5。对于套期保值的不同变量，我们列出了套期保值投资组合中的期权数量。构建静态投资组合，使Hs中的套期保值误差最小化；ω范数；ω=2（1）的结果基本相同- β)++ 0.1, ω = 2(1 - β） ++0.2，弱依赖于s=0.5，0.55。静态投资组合独立于到期时间T和过程，但nStd确实依赖于两者以及现场S。我们研究了静态对冲投资组合和方差最小化投资组合的标准偏差nStd（通过奇异期权的价格Vex（T，x）归一化）对过程的依赖性，到期时间T和x：=log（S/K）∈ [-0.03, 0.03]. 对于静态套期保值组合，对于每个过程和成熟时间，我们将nStd的范围显示为x的函数∈ [-0.03, 0.03].

在方差最小化套期保值的情况下，NJ通过构造依赖于x，我们在表格中显示了NJ和nStd foreach x。我们考虑方差最小化投资组合的两种变体：V M1表示n（与静态投资组合相同）是固定的，V M2表示所有nj可能会变化。在所有情况下，H=1，K=1.02，基本St=ext不支付股息，X是KoBoL；在两个表中，BM带有嵌入式KoBoL组件。第二瞬时动量m=0.1或0.15，c由m，λ+，λ确定-和σ。无风险率可从EMM条件ψ中找到(-i） +r=0；由ψ（ξ）=ψ得出的β(-ξ - iβ）。如果X是KoBoL，则β仅在u=0时存在，然后β=-λ--λ+. 如果存在BM成分，则我们选择σ和u，以便β=-λ+-λ-= -u/(2σ). 表1-5给出了两种情况下存在此类β的结果；在表3和表5中，KoBoL接近BM（ν=1.95），在表1、2、4中，接近NIG（ν=1.2）。BM部分在表4和表5中是非常重要的。读者可能会注意到，参数集不是很自然；原因是很难找到确保（1）β满足ψ（ξ）=ψ的自然参数集(-ξ - iβ）， ξ ∈ R、 存在；（2） EMM状态保持不变。在表6和表7中，我们给出了u6=0的相当不对称的三次Kobol的结果，并考虑了β=-λ-- λ+. 当然，这种奇异期权甚至不能正式用于对冲障碍期权，但可以用于比较奇异欧洲期权的两种对冲变体。表格说明了以下一般性意见。（1） 如果静态对冲投资组合中的Vanilla数量足够大，则该投资组合在广泛的现货和行权范围内提供统一（近似）对冲。

因此，如果跳跃密度缓慢衰减，人们预计，在远离现场的地方，静态hedgingportfolio将优于方差最小化投资组合。表1表明，即使跳跃密度的衰减率只是中等程度的小，并且过程离BM不远，静态投资组合的方差与最小方差投资组合的方差不同（在中等范围内分别为每个点构建，并使用有关过程特征的信息），由12 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI（仅为平均百分比）；如果跳跃密度衰减较慢和/或过程距离BM较远，则相对差异较小。因此，如果跳跃密度的衰减率不大，且密度近似对称，则静态投资组合在对冲小波动风险方面具有竞争力。很明显，尾部静态投资组合的套期保值性能必须更好。（2） 然而，如果跳跃密度衰减速度适中，则静态投资组合的方差可以大大大于方差最小化投资组合的方差（表2-3），并且添加了ifa中等BM成分，则相对差异变大（表4-5）。（3） 在表1-5中，跳跃密度近似对称。在表6-7中，我们考虑了跳跃密度适度不对称的纯跳跃过程。在这种情况下，静态投资组合的方差远大于方差最小化投资组合的方差。（4） 当使用5个Vanilla时，方差最小化投资组合VM1和VM2的质量在大多数情况下基本相同，尽管投资组合权重可能会有所不同。

因此，根据经验，可以建议在理想静态投资组合的整体表示中使用与度量的原子部分相关的Vanilla，前提是这些Vanilla在市场上可用。观察结果（1）-（2）对障碍期权半静态对冲的含义如下。如果BM成分的方差对过程的瞬时方差做出了不可忽视的贡献，则使用连续期权的理想半静态套期保值会提高，但用有限和近似期权积分的质量会降低。因此，人们应该预计，在所有情况下，障碍期权的方差最小化对冲将明显优于近似的半静态对冲。3、对冲向下和向内、向下和向外期权3.1。半静态对冲。Carr和Lee[29]在参考测度P下对正鞅M给出了几个等价条件，将这些鞅的类称为PCSprocesses，并为各种类型的障碍选项设计了半静态复制策略。由于[29]中定理5.10的证明强烈依赖于这样一个假设，即在随机时间τ，当势垒H被突破时，基础恰好位于势垒处，在[29]中的Remark5.11中，作者指出，这些策略复制了所有PCS过程（包括有跳跃的过程）的有问题选项，前提是跳跃不能跨越势垒。然而，定义PCS过程的一个等效条件是M下MT/Munder P和M/MT的分布相等，其中dM/dP=MT/M。该条件意味着M具有正跳跃当且仅当M具有负跳跃时。因此，如果跳跃inM没有穿过障碍物，等效地，在障碍物的方向上没有跳跃，那么在相反的方向上没有跳跃，因此，M没有跳跃。