深入学习资产定价

Nagel和Singleton（2011）利用这一论点为特定的资产定价模型构建最优的managedportfolios。他们的方法假设候选测试资产集识别SDF的所有参数，因此他们可以关注哪个测试资产提供了最有效的估计量。我们的问题在两个方面不同，排除了使用相同方法的可能性。首先，我们有有限数量的候选矩，而不知道哪些矩可以识别参数。其次，我们的参数集也是有限维的，因此我们不具有协方差矩阵可行估计的渐近正态分布。相反，我们的方法基于鲁棒性选择矩。通过控制可能出现的最严重定价错误，我们旨在选择能够识别SDF所有参数并提供稳健的测试资产。Hansen和Jagannathan（1997）讨论了基于minimax目标函数的SDF估计，并对其进行了更详细的比较，Hansen和Jagannathan（1997）研究了一般（有限维）Hilbert空间中SDF的极大极小估计问题。最小化定价误差相当于最小化经验定价函数和可接受的真未知定价函数之间的距离。Riesz表示定理提供了定价函数和SDF之间的映射，因此最小化最差定价错误意味着收敛到特定范数下可接受的SDF。因此，我们的SDF是Hansen和Jagannathan（1997）中问题1和2的解决方案。

Bakshi和Chen（1997）、Chen和Knez（1995）以及Bansal、Hsieh和Viswanathan（1993）等人也使用了极大极小框架来估计或评估SDF。请参见Blanchet、Kang和Murthy（2019），了解关于采用对抗性方法进行稳健估计的讨论。具有低维参数集的参数模型的常规有效GMM估计。他们得出结论，当模型被误判时，极大极小估计具有令人满意的特性，并且由此产生的SDF与传统的GMM方法相比变化小得多。我们的条件化函数g生成了大量的测试资产来识别复杂的sdf结构。横截面平均值用于计算力矩偏差，即Ret+1，jg（It，It，j）的定价误差，而不是考虑D时间序列NPNi=1Ret+1，jg（It，It，j）的力矩偏差，这将对应于传统的特征管理测试。在第二种情况下，我们只有D个测试资产，而我们的方法产生D·N个测试资产。请注意，仅使用D投资组合没有任何好处，因为所有D·N工具股票的平均平方矩偏差为D投资组合的定价错误提供了上限。然而，事实证明，大量测试资产的使用大大加快了收敛速度，并且极大极小问题在经历三个步骤后，在经验上已经收敛了。方程3中的目标函数仅使用Ross（1976）和Chamberlain and Rothschild（1983）意义上的近似套利条件。我们的矩条件是所有工具化股票样本的平均值，即目标是1/NPNi=1PDd=1αi，d，其中矩偏差αi，d=E[Mt+1Rigd（It，It，i））]可以解释为向量值函数g（.）的元素gd所显示的股票i的定价错误。

请注意，仪器GDARonormalized为[-1, 1]. 在我们的基准模型中，我们考虑了N=10000只股票和D=8种工具，因此平均总计超过80000种工具化资产。因此，我们的SDF将只依赖于影响很大一部分股票的信息，即系统错误定价。这也意味着，对抗性方法只会选择导致大多数股票定价错误的工具。获得SDF因子权重后，荷载与条件动量集成比例【Ft+1Ret+1，i】。我们方法的一个关键要素是避免直接估计股票回报的条件平均数。我们的实证结果表明，与条件一阶矩相比，我们可以更好地利用SDF因子估计股票回报的条件二阶矩。请注意，在无套利单因素模型中，负荷与COVT（Ret+1，i，Ft+1）和[Ft+1 Ret+1，i]成比例，其中最后一个模型的优点是我们避免估计第一个条件矩。C、 备选模型我们考虑两种特殊情况作为备选方案：一种模型可以采用灵活的函数形式，但在估计中不使用无套利约束。另一个模型基于测试资产的数量限制了参数的数量，从而限制了迭代优化每个步骤中确定的SDF的复杂性。我们的方法产生了D·N测试资产，这允许我们用很少的迭代步骤为SDF构建一个复杂的结构。显然，如果产生的投资组合不是多余的，那么用g来工具化每只股票只会导致更多的测试资产。从经验上看，我们观察到，横截面和时间上的特征向量都有很大的变化。

例如，如果g是小盘股的指标函数，Ret+1、jg（It、It、j）的回报率为不同的股票j提供了不同的信息，因为其他特征在大多数情况下并不相同，股票在不同时间t的市值很小。无套利框架，但考虑了线性函数形式。我们可以直接估计条件均值，而不是最小化对无套利条件的违反。注意，条件预期回报ut，i与单因素公式中的负荷成比例：ut，i：=Et[Ret+1，i]=βt，iEt[Ft+1]。因此，在一个时变比例常数下，SDF权重和载荷等于ut，即。这将横截面资产定价问题简化为一个简单的预测问题。因此，我们可以使用Gu、Kelly和Xiu（2020）中的预测方法进行资产定价。第二个基准模型假设因子组合权重ωt为线性结构，i=θ>It，i和测试资产中的线性条件：NNXj=1E“1-NNXi=1θ>It，iRet+1，i！Ret+1，jIt，j#=0<=>呃1.- θ> 英尺+1~F>t+1i=0，其中▄Ft+1=NPNi=1It，iRet+1，是q个特征管理因子。这种基于线性投影到特征分位数的特征管理因子正是PCAin Kelly、Pruitt和Su（2019）或Kozak、Nagel和Santosh（2020）的弹性净平均方差优化的输入。在这些动量条件下，最小化误差平方和的解决方案是对q特征管理因子进行简单的均值-方差优化，即θ=Eh▄英尺+1▄英尺>t+1英寸-1EhFt+1是基于这些因素的相切投资组合的权重。我们选择该模型的特定线性版本，因为它直接映射到文献中已经成功使用的线性方法中。这种线性框架基本上涵盖了一类线性因素模型。

附录C详细概述了有条件SDF的各种模型及其与我们框架的关系。二、估计a。损失函数和模型架构我们模型的经验损失函数使加权样本矩最小化，加权样本矩可解释为加权样本平均定价误差：L（ω| g，It，It，i）=NNXi=1itTiXt公司∈TiMt+1Ret+1，i^g（It，It，i）. （4） Kozak、Nagel和Santosh（2020）也考虑了这些特性的交叉产品。结果表明，这些因素的变化提高了定价绩效。Lettau和Pelger（2020）将这一重要见解扩展到RP-PCA旋转因子。我们在III.J中考虑了基于PCA的因素。我们的主要分析侧重于传统的长短因素，因为这些是文献中最常用的模型。如前所述，我们将全球均值方差有效前沿的投资组合之一定义为相切投资组合。对于给定的调节函数^g（.）和信息集。我们处理的是一个不平衡的面板，其中每个资产的时间序列观测数为Tivaries。在适当条件下，矩的收敛速度为1/√Ti，我们根据条件对每个横截面力矩进行加权√Ti公司/√T，它对更精确估计的力矩赋予更高的权重，对仅在短时间内观察到的资产力矩赋予较低的权重。对于给定的调节函数^g（.）信息集的选择SDF投资组合权重由一个前馈网络估计，该网络将定价误差损失^ω=最小ωL（ω| g，It，It，i）。我们将此网络称为SDF网络。我们通过具有类似神经网络结构的条件网络构造条件函数^g。条件网络充当对手，与SDF网络竞争，以确定最难解释的资产和投资组合策略。

宏观经济信息动态由宏观经济状态变量Ht总结，Ht由具有长-短期记忆单元的递归神经网络（RNN）获得。图1总结了模型架构，下一节详细描述了每个不同的组件。图1:GAN模型架构图显示了GAN（生成性对抗网络）与RNN（复发性神经网络）以及LSTM细胞的模型架构。SDF网络有两部分：（1）LSTM估计少数宏观经济状态。（2） 在FFN中使用这些状态和公司特征来构建给定测试资产集的候选DF。条件网络也有两个网络：（1）它创建自己的宏观经济状态集，（2）它结合FFN中的公司特征，以发现给定SDF M的定价错误的测试资产。这两个网络竞争直至融合，即SDF和测试资产都无法改进。相比之下，类似于Gu、Kelly和Xiu（2020）的预测回报仅使用前馈网络，并标记为FFN。它通过最小化预测误差平方的平均和来估计条件平均值ut，i=u（It，It，i）：u=minuTTXt=1NtNtXi=1Ret+1，i- u（It，It，i）.我们只包括Gu、Kelly和Xiu（2020）的比较研究中表现最好的前馈网络。在他们的框架内，该模型优于树学习方法和其他线性和非线性预测模型。为了使结果与Gu、Kelly和Xiu（2020）更具可比性，我们遵循了他们论文中概述的相同程序。因此，SimpleForecast方法不包括一个对抗性网络或LSTM来浓缩宏观经济动态。B

前馈网络（FFN）前馈网络（FFN）是协变量x和变量y之间一般函数关系y=f（x）的灵活非参数估计量。与核回归或样条曲线等常规非参数估计量相比，FFN不仅可以估计非线性关系，还可以捕获大维度协变量集之间的相互作用。我们将考虑四种不同的FFN：对于协变量x=[It，It，i]我们估计（1）GAN网络中的最佳权重（y=ω），（2）GAN网络中动量条件的最佳工具（y=g），（3）条件平均回报（y=Et[Ret+1，i]）和（4）二阶矩（y=Et[Ret+1，iFt+1]），以获得SDF载荷βt，i、 图2：带有单隐层的前馈网络示意图我们从一层神经网络开始。它结合了原始协变量x=x（0）∈RK（0）FFN是最简单的神经网络之一，在标准机器学习教科书中有详细介绍，例如Goodfello、Bengio和Courville（2016）。线性，并应用非线性变换。这种非线性变换基于元素操作激活函数。我们选择称为RectifiedLinear unit（ReLU）的流行函数，该函数按组件对输入进行阈值设置，并定义为ReLU（xk）=max（xk，0）。结果是隐藏层x（1）=（x（1）。。。，尺寸K（1）的x（1）K（1）），取决于参数W（0）=（W（0）。。。，w（0）K（0））和偏置项w（0）。输出层只是隐藏层输出的线性转换。x（1）=ReLU（W（0）>x（0）+W（0））=ReLUw（0）+K（0）Xk=1w（0）kx（0）Ky=W（1）>x（1）+W（1）和x（1）∈RK（1），W（0）∈RK（1）×K（0），W（1）∈RK（1）。请注意，如果隐藏层中没有非线性，单层网络将简化为一般化的线性模型。

深层神经网络通过使用一个隐藏层的输出作为下一个隐藏层的输入来组合多个层。附录A.A中对细节进行了解释。多层结构使网络能够以更简洁的方式捕捉非线性和交互效应。C、 递归神经网络（RNN）和LSTMA递归神经网络（RNN）具有长-短期记忆（LSTM）来估计隐藏的宏观经济状态变量。我们没有直接将宏观经济变量ITAS变量传递给前馈网络，而是使用特定RNN提取它们的动态模式，只传递少量捕捉这些动态的隐藏状态。许多宏观经济变量本身并不是固定不变的。因此，我们需要首先按照McCracken和Ng（2016）的建议进行转换，转换通常采用时间序列的某种差异形式。没有理由假设定价核对于宏观经济信息具有马尔可夫结构，尤其是在将宏观经济信息转换为固定增量之后。例如，商业周期可能会影响定价，但上一阶段的GDP增长不足以了解模型是处于繁荣还是衰退。因此，我们需要包括宏观经济变量的滞后值，并找到一种从潜在的大量滞后值中提取相关信息的方法。作为一个例子，我们在图3中展示了我们在实证分析中包含的宏观经济时间序列中复杂动态的三个示例。我们绘制了美国失业率、标准普尔500指数和油价的时间序列，以及标准转换函数。其他激活函数包括S形函数、双曲正切函数和泄漏ReLU。

ReLU激活函数具有许多优点，包括其梯度的非饱和性，与sigmoid/双曲函数相比，这大大加快了随机梯度下降的收敛速度（Krizhevsky et al.（2012）和昂贵运算的快速计算。图3：宏观经济变量的示例1970 1980 1990 2000 201024681012失业率1970 1980 1990 2000 20100500150020002500S&P 5001970 1980 1990 2000 201002040608010010201201 140油价1970 1980 1980 2000 2010-1-0.500.51失业率1970 1980 1990 2000 2010-0.3-0.2-0.100.1 log（标准普尔500）1970 1980 1990 2000 2010-1-0.500.512 log（油价）该图显示了宏观经济的示例McCracknand Ng（2016）提出的带标准变换的时间序列。McCracken和Ng（2016）提出的消除明显非平稳性的建议。仅使用差异数据的最后一次观察显然会导致信息丢失，无法识别周期性动态模式。形式上，我们有一个平稳的向量值过程序列{x，…，xt}，其中我们将xt设置为Itat时间t的平稳变换，即通常为增量。我们的目标是估计一个函数映射h，它将时间序列xt转换为t=1，…，的“状态过程”ht=h（x，…，xt）。。。，T最简单的转换就是简单地取最后一个增量，即ht=h（x，…，xt）=xt。包括Gu、Kelly和Xiu（2020）在内的大多数论文都使用了这种方法，但忽略了xt中的串行依赖结构。宏观经济时间序列变量具有很强的横截面依赖性，也就是说，存在一些可以通过某种形式的因子模型捕获的信息。横截面降维是必要的，因为我们的宏观经济面板中的时间序列观测值的数量与横截面观测值的数量相似。

Ludvigson和Ng（2007）主张使用PCA提取少量的Khof因子，这是函数hPCA（x，…，xt）=Wxxt的一个特例∈Rp×Kh。这将时间序列聚合为少量潜在因素，这些因素解释了时间序列中创新的相关性，但PCA无法确定依赖于动态的经济系统的当前状态。RNN是一类用于处理数据序列的神经网络。它们以递归形式估计向量值序列的非线性时间序列依赖关系。普通RNNmodel采用当前输入变量XT和以前的隐藏状态hRNNt-1并执行非线性变换以获得当前状态hRNNt。hRNNt=hRNN（x，…，xt）=σ（WhhRNNt-1+Wxxt+w），其中σ是非线性激活函数。直观地说，普通RNN结合了两个步骤：首先，它通过将大向量XT线性组合为低维向量来总结横截面信息。其次，它是自回归过程的非线性推广，其中滞后变量是滞后观测变量的变换。如果只有最近的过去是相关的，那么这种类型的结构是强大的，但是如果时间序列动态是由更久远的过去事件驱动的，那么这种结构是不合适的。传统RNN在考虑较长的时滞时，可能会遇到梯度爆炸和消失的问题。这就是为什么我们使用更复杂的长短期记忆细胞。LSTM旨在处理时间序列中未知且可能持续时间较长的滞后，这使得它非常适合检测商业周期。我们的LSTM方法可以处理系统的大维度和状态的一般函数形式，同时考虑到长期依赖性。附录A.B提供了估算方法的详细说明。