深入学习资产定价

因此，我们采用与Freyberger、Neuhierl和Weber（2020）以及Kelly、Pruitt和Su（2019）相同的方法，仅使用在给定月份具有所有公司特征的股票，这有额外的好处，即去除了市值非常小的主要股票。请注意，我们不要求一只股票在其整个时间序列中都具有特征。如果在这个时间点上，股票i具有所有特征，即股票i不一定有一个完整的时间序列，那么我们只包括股票i的回报时间t，这在我们的方法中是允许的。Kelly、Pruitt和Su（2019）以及Kozak、Nagel和Santosh（2020）以这种方式构建因子。在本文的第一个版本中，我们使用了传统的长短因子。然而，我们的经验结果表明，长短腿在SDF中的权重不同，这种额外的灵活性提高了线性模型的性能。这些发现也符合Lettau和Pelger（2020）的观点，他们从单排序投资组合的极端十分位数中提取线性因子，并表明它们不受长短因子的影响，而长短因子对每个特征的极端十分位数的权重相等。我们从三个来源收集了178个宏观经济时间序列。我们从FRED-MD数据库中提取了124个宏观经济预测因子，详见McCracken和Ng（2016）。接下来，我们为46个企业特征中的每一个添加横截面中值时间序列。每个特征的分位数分布与中值水平相结合，接近于表示与原始特征信息相同的信息，但以规范化形式表示。

第三，我们用Welch和Goyal（2007）的8个宏观经济预测值补充时间序列，这些预测值已被视为股票溢价的预测值，并且尚未包含在FRED MDdatabase中。我们对时间序列数据应用标准转换。我们使用McCracken和Ng（2016）中建议的转换，以及Welch和Goyal（2007）中46个中值和8个时间序列的定义转换，以获得平稳时间序列。互联网附录中收集了宏观经济变量及其相应转换的详细描述。B、 GANWe的一个示例说明了GAN如何使用一个简单的示例，该示例仅使用样本中所有股票的三个特征大小（LME）、账面市盈率（BEME）和投资（投资），但忽略了宏观经济信息。我们表明，SDF权重ω中包含哪些特征，以及由条件函数g构建的测试资产中包含哪些特征，这一点至关重要。UNC表示测试资产中无条件的模型，即测试资产是单个股票收益，目标函数基于非条件矩。我们允许SDF权重取决于由UNC（SV）表示的大小和价值信息，或者还包括对UNC（SVI）的投资。GAN模型允许依赖于特性的测试资产，即g是一个非平凡函数。我们首先列出SDF权重ω中包含的特征，然后列出由g建模的测试资产中包含的特征。例如，GAN（SVI-SV）使用ω中的大小、值和投资，但仅使用g中的大小和值。为了使这个简单的示例具有可解释性，我们将g限制为标量函数。载荷β取决于与SDF权重ω相同的信息。

我们还包括根据所有数据估计的基准模型，并在下一小节中进行更详细的讨论。我们评估了两组著名测试资产的资产定价表现：25个按规模和账面市值双重排序的投资组合（SV 25）和35个包括10个按投资排序的十分之一投资组合（SVI 35）。我们根据单个股票的SDF负荷和投资组合权重推断投资组合的β。图4显示了样本外夏普比率、解释的变化和横截面R。首先，在SDF权重ω中包含更多信息并不奇怪，这会导致更好的资产定价模型。与UNC（SV）相比，UNC（SVI）解释了按投资分类的投资组合的更多变化和平均回报，以及规模和账面市值投资组合。然而，关键的见解是，测试资产中的信息对SDF的恢复至关重要。加纳的测试资产（SVI-SVI）包括投资信息，这使得模型优于加纳（SVI图4：加纳插图）。该图显示了样本外的月度夏普比率（SR）、解释的时间序列变化（EV）和不同SDF模型的横截面RFR。UNC（SV）和UNC（SVI）是关于测试资产的无条件模型，也就是说，它们仅分别使用大小和价值SDF权重的大小、价值和投资，但将g设置为常数。GAN模型使用非平凡g。GAN（SVI-SV）允许SDF权重ω取决于规模、价值和投资，但测试资产函数g仅取决于规模和投资。labeledas-GAN模型是我们的基准模型，根据所有特征和宏观经济信息进行估计。我们评估了25个双排序规模和账面市值投资组合（SV 25）的模型，并添加了10个十分之一的投资组合（SVI 35）。

投资组合是价值加权的-SV）只有测试资产的规模和账面市值信息。根据themetric，GAN（SVI-SVI）大约是UNC（SVI）的两倍。顶栏是完整的基准模型。不足为奇的是，SR越高，通过包含其他特征和宏观经济时间序列，可以提取的信息就越多。然而，如果目标是简单地解释25个Fama-French双排序投资组合，那么GAN（SVI-SVI）已经提供了一个很好的模型。图5解释了我们观察这些发现的原因。上图显示了标度调节函数g的热图。对于GAN（SV-SV），测试资产成为长短组合，在小价值股票和大增长股票中具有极端权重。当我们添加投资信息时，测试资产基本上成为多空投资组合，对小型保守价值股票和大型积极增长股票具有极端权重。GAN以数据驱动的方式发现了Fama French类型测试资产的结构！毫不奇怪，在这些测试资产上训练的资产定价模型将更好地解释根据这些特征排序的投资组合。下图显示了该模型隐含的横截面回归的平均超额收益，以及GAN（SVI-SVI）和UNC（SVI）的25和35个分类投资组合的平均超额收益。在理想模型中，点将在45度线上对齐。UNC（SVI）无法解释小价值股票，而GAN公式很好地捕捉了所有分位数的平均回报。Internet附录包含所有模型和测试资产的详细结果。总之，这个简单的例子说明了评估资产定价模型的问题不能与选择信息性测试资产的问题分开。

在下一节中，我们将进行主要分析，包括所有企业特征和宏观经济信息。请注意，g的符号未识别，我们可以将g乘以-1并获得相同的输出。图5:GAN调节函数g和组合定价（a）GAN调节函数g（SV-SV）（b）GAN调节函数g（SVI-SVI）（c）GAN组合定价（SVI-SVI）（d）UNC组合定价（SVI）该图显示了调节函数g的组成以及分类组合的平均回报与模型隐含平均回报。子图（a）显示g仅基于规模和价值，而子图（b）也包括投资。子图（c）和（d）显示了25个和35个分类投资组合的平均超额回报和模型隐含的横截面回归平均超额回报。调谐参数根据验证数据进行优化选择，与一般基准GAN不同。所有结果都是抽样评估的。C、 个股收益率横截面GAN SDF的样本外夏普比率较高，同时解释了比其他基准模型更多的变化和定价。表V报告了四种型号规格的三个主要性能指标，夏普比率、解释变量和横截面R。GAN的年度样本外夏普比约为2.6，几乎是简单预测法FFN的两倍。GAN能够捕获的非线性和相互作用结构与正则化线性模型相比增加了50%。因此，更灵活的形式很重要，但适当设计的线性模型已经可以实现令人印象深刻的性能。非正则线性模型在解释变量和定价误差方面表现最差。GAN解释了8%的个别股票收益变化，这是其他模型的两倍。

类似地，横截面Rof 23%大大高于其他型号。有趣的是，基于无套利目标函数的正则化线性模型对股票收益的时间序列和横截面的解释至少与无套利条件下的灵活神经网络一样好。这里的每个模型都使用最优的超参数集来最大化验证夏普比率。在LS、EN和FFN的情况下，这意味着省略了宏观经济变量。基准标准与样本外测试和样本内培训数据不同。重要的是要记住，单个股票的风险溢价和风险敞口是随时间变化的。因此，根本没有理由期望不同时间窗口上的基准数字相同。然而，样本内数据中较高的基准数据表明存在一定程度的过度拟合。因此，相关指标是不同模型之间的相对样本外绩效，Martin和Nagel（2020）以及Gu、Kelly和Xiu（2020）也强调了这一点。表一：不同SDF车型的性能SSR EV XS RModel Train Valid Test Train Valid Test Train Valid Test Train Valid Test Train Valid Test Train TestLS 1.80 0.58 0.42 0.09 0.03 0.03 0.15 0.00 0.14EN 1.37 1.15 0.50 0.12 0.05 0.04 0.17 0.02 0.19FFN 0.45 0.42 0.44 0.11 0.04 0.04 0.04 0.14-0.00 0.15GAN 2.68 1.43 0.75 0.20 0.09 0.08 0.12 0.01 0.23此表显示了每月夏普SDF的E比率（SR），解释了GAN、FFN、EN和LS模型的时间序列变化（EV）和横截面平均值。图6总结了条件作用对隐藏的宏观经济状态变量的影响。首先，我们将178个宏观经济变量作为预测因子添加到所有网络中，而不将其还原为隐藏状态变量。LS、EN、FFN和GAN模型的样本外夏普比性能完全崩溃。

首先，仅以宏观经济变量的最后一次规范化观测为条件（通常为增量），不允许检测动态结构，例如商业周期。夏普比率的衰减表明，仅使用过去的宏观经济信息会导致有价值信息的损失。更糟糕的是，与没有宏观经济信息的amodel相比，包括大量无关变量实际上会降低性能。尽管模型使用了一种正则化形式，但大量不相关的变量使得选择那些实际相关的变量变得更加困难。样本内培训数据的结果表明，当包含大量宏观经济变量时，完全过度拟合。没有宏观经济信息的FFN、EN和LS表现更好，这就是我们选择它们作为比较基准模型的原因。如果没有宏观经济，但只有特定的固定变量，则样本外夏普比率比宏观经济隐藏状态低10%左右。这是另一个迹象，表明将SDF权重归一化为kωk=1不会影响结果。解释的变化和定价结果基于每个时间步的横截面投影，该投影与任何缩放无关。Pesaran和Timmermann（1996）以及其他人显示了风险溢价的时间变化。图6：具有不同宏观经济变量的模型的性能该图显示了不同宏观经济信息包含的SDF的夏普比率。GAN（隐藏态）是我们的参考模型。UNC是我们模型的一个特殊版本，它只使用无条件矩（但在FFN网络中包含LSTM宏观经济状态，用于SDF权重）。

GAN（无宏观）、FFN（无宏观）、EN（无宏观）和LS（无宏观）仅使用固定的特定信息作为调节变量，而不使用宏观经济变量。GAN（所有宏）、FFN（所有宏）、EN（所有宏）和LS（所有宏）包括所有178个宏变量作为预测变量（分别是条件变量），而不使用LSTM将它们转换为宏观经济状态。这与包含时间序列的动态相关。UNC模型仅使用非条件矩作为目标函数，即使用常数条件函数g，但在因子权重中包含LSTM隐藏状态。夏普比比具有隐藏态的GaN低20%左右。这些结果证实了上一小节的见解。因此，重要的是不仅要在SDF的权重和负荷中包含所有特征和隐藏状态，还要在条件函数g中包含所有特征和隐藏状态，以确定对定价有影响的资产和时间。D、 预测绩效无套利因子表示法意味着股票的平均回报率与其通过β衡量的SDF风险敞口之间存在联系。基本方程et【Ret+1，i】=βt，iEt【Ft+1】意味着，只要条件风险溢价【Ft+1】为正（无风险要求），风险敞口βt较高的资产应具有较高的预期回报。我们通过根据风险负荷将股票分为十分之一的投资组合来检验模型的预测能力。在图7中，我们绘制了基于风险负荷β的十分位排序投资组合的累积超额回报。基于较高β的投资组合具有较高的后续回报。这清楚地表明，风险负荷预测未来的股票回报。特别是，最高和最低的十分位数显然是分开的。互联网附录收集了其他估算方法的相应结果，这些方法的结果在性质上相似，即。

风险负荷预测未来回报。无套利条件不仅适用于图7之间的单调关系，而且还适用于图7之间的线性关系：十分位排序组合的累积超额收益与甘特图。该图显示了基于风险负荷β的十分位排序组合的累积超额收益。第一个投资组合基于最小的风险负荷十分之一，而最后一个十分之一的投资组合则基于最大的负荷十分之一。在每十分之一范围内，股票的权重相等。图8：β排序投资组合的预期超额收益与β的函数关系（a）5β排序的五分位数（b）10β排序的十分位数（c）20β排序的数量。该图显示了测试样本中GAN的β排序投资组合的预期超额收益。每个月将股票分为5、10或20个分位数。我们根据每个投资组合的β来绘制它们，平均每个投资组合中的单个股票βt、iover股票和时间。线性线表示带截距的线性回归，其Rof为0.98（五分位数）、0.97（十分位数）和0.95（20分位数）。SDF本身的β等于1。股票β和条件预期收益。无条件单因素模型（如CAPMCA）可以通过评估证券市场线的fit进行测试，即预期回报与资产β之间的关系。在我们的例子中，股票特定的βt是时变的，但通过构造，β排序的投资组合相对于SDF应该具有接近恒定的斜率。我们估计的载荷仅与SDFβt成比例。在每次t时，我们缩放载荷，使SDF投资组合的载荷为1。

这相当于在不明确计算SDF的第二个条件矩的情况下获得正确缩放的βt。在图8中，我们绘制了10个β排序的十分位数以及5个和20个β排序的分位数组合相对于其平均β的预期超额回报。没有套利强加了线性关系和零截距。事实上，对于所有三个图，关系几乎完全线性，分别为0.98、0.97和0.95。然而，截距似乎略低于零。这表明了一个非常好但并不完美的fit。表二：β排序投资组合的时间序列定价错误平均回报率市场Rf Fama French 3 Fama French 5全面测试全面测试全面测试十分位数αtαtαtαtαtαtαt1-0.12-0.02-0.19-8.92-0.11-3.43-0.21-12.77-0.13-5.01-0.20-11.99-0.12-4.352-0.00 0.05-0.07-4.99-0.04-1.56-0.09-8.79-0.05-3.22-0.09-8.29-0.05 -2.683 0.04 0.08 -0.02 -2.01 -0.00 -0.16 -0.04 -5.18 -0.02 -1.40 -0.04 -4.87 -0.01 -1.054 0.07 0.09 -0.00 -0.03 0.01 0.68 -0.02 -2.30 -0.00 -0.35 -0.02 -2.86 -0.01 -0.545 0.10 0.12 0.03 2.75 0.04 2.50 0.01 2.08 0.03 2.46 0.01 1.36 0.03 2.176 0.11 0.12 0.04 3.16 0.05 2.77 0.02 2.75 0.03 2.85 0.01 1.51 0.02 2.207 0.14 0.15 0.07 5.62 0.07 3.92 0.05 6.61 0.05 4.39 0.04 5.16 0.04 3.418 0.18 0.18 0.11 7.41 0.10 5.12 0.08 9.32 0.08 5.83 0.07 8.05 0.07 4.869 0.22 0.21 0.15 7.83 0.13 5.37 0.11 9.16 0.11 5.71 0.11 8.58 0.11 5.3910 0.37 0.29 9.22 0.27 6.05 0.24 10.03 0.25 6.27 0.25 10.43 0.27 6.5910-1 0.48 0.39 0.47 18.93 0.38 10.29 0.45 18.50 0.38 10.14 0.46 18.13 0.39 9.96 GRS资产定价测试GRS p GRS p GRS p GRS p GRS p GRS p GRS p GRS p42.23 0.00 11.58 0.00 39.72 0.00 11.25 0.00 37.64 0.0010.75 0.00此表显示了基于GAN的β排序小数组合的平均回报率、时间序列定价错误和相应的t统计数据。