深入学习资产定价

我们使用1967年至1986年的数据估计了SDF的函数形式，对于1992年至2016年的测试数据，SDF具有极好的样本外性能。单个股票的SDF风险敞口随时间变化，因为公司特定特征和宏观经济变量是时变的，但SDF的功能形式和这些协变量的风险敞口没有变化。当通过在滚动窗口上估计SDF来考虑时变函数形式时，我们发现它与基准SDF高度相关，只会带来微小的改进。该估计对调谐参数的选择具有鲁棒性。在验证数据上选择的所有性能最佳的模型基本上都捕获相同的资产定价模型。我们的资产定价模型在将小型和非流动性股票从测试资产或SDF中排除后也表现良好。相关文献我们的论文致力于一个新兴的文献，该文献使用机器学习方法进行资产定价。在他们的开创性工作中，Gu、Kelly和Xiu（2020年）对预测单个美国股票收益率的机器学习方法进行了比较，并展示了灵活方法的好处。他们对股票预期风险溢价的估计映射到跨部门资产定价模型中。在我们的分析中，我们使用他们基于深层神经网络的最佳预测模型作为基准模型。我们表明，与简单的预测方法相比，包含无套利约束的资产定价和解释变化的结果更好。此外，我们澄清，在将宏观经济时间序列输入机器学习模型之前，识别其动态模式至关重要，我们是第一个在Anaset定价环境中这样做的人。

Messmer（2017）和Feng、He和Polson（2018）采用了与Gu、Kelly和Xiu（2020）类似的方法，用神经网络预测股票回报。Bianchi、B¨uchner和Tamoni（2019）根据Gu、Kelly和Xiu（2020）的精神，对预测债券回报的机器学习方法进行了比较。Freyberger、Neuhierl和Weber（2020）使用Lassoselection方法估计股票收益的风险溢价，作为特征的非线性加性函数。Feng、Polson和Xu（2019）通过使用一组预先规定的线性资产定价因子施加无套利约束，并使用深度神经网络估计风险负荷。Rossi（2018）基于市场投资组合和无风险资产，使用增强回归树形成条件均值方差有效组合。我们的方法也会产生条件平均方差有效投资组合，但基于所有股票。Gu、Kelly和Xiu（2019）使用自动编码器神经网络将Kelly、Pruitt和Su（2019）的线性条件因子模型扩展为非线性因子模型。我们证实了他们的重要见解，即实施经济结构其他相关工作包括Sirignano、Sadhwani和Giesecke（2020），他们使用深度神经网络估计抵押贷款预付款、拖欠和止赎，Moritz和Zimmerman（2016），他们将树基模型应用于投资组合排序和Heaton，Polson，以及Witte（2017），他使用深度神经网络自动进行投资组合选择。

Horel和Giesecke（2020）提出了神经网络的显著性检验，并将其应用于房价评估。在考虑线性特例时，可以最好地理解他们和我们方法背后的直觉。我们的方法可以被视为Kozak、Nagel和Santosh（2020）的有条件、非线性推广，以及发现宏观经济状态和确定最稳健的调节工具的附加元素。从根本上讲，我们感兴趣的对象是定价核心。Kelly、Pruitt和Su（2019）获得了一个多因素因子模型，该模型最大化了解释的变化。线性特例将PCA应用于一组基于特征的因子，以获得线性低维因子模型，而其更通用的自动编码器则获得对基于特征的因子的加载，这些因子可以非线性地依赖于特征。我们在第三节J中展示了如何将我们的SDF框架及其条件多因素框架结合起来，以获得更好的资产定价模型。对机器学习算法的估计可以大大提高。Bryzgalova、Pelger和Zhu（2020）使用决策树构建资产回报的横截面，即一小组基础资产，这些资产捕获了给定股票特征集合中包含的复杂信息。他们的资产定价树概括了传统排序的概念，并通过基于无套利参数的新降维方法进行修剪。Avramov、Cheng和Metzker（2020）提出了一种担忧，即在存在交易摩擦的情况下，机器学习投资组合的性能可能会恶化。我们将讨论在构建机器学习投资组合时如何考虑他们的重要见解。

Brezgalova、Pelger和Zhu（2020）以及Cong、Tang、Wang和Zhang（2020）提出了一个有希望的方向，他们估计了受交易摩擦约束的最佳机器学习投资组合。权益资产定价中的主力模型基于Fama和French（1993年、2015年）的线性因素模型。最近，人们开发了新的方法来研究线性框架中的收益横截面，但要考虑大量的条件信息。Lettau和Pelger（2020）扩展了主成分分析（PCA），以解释无套利。他们表明，无套利惩罚项可以克服金融数据中的低信噪比问题，并找到与定价核心相关的信息。我们的论文基于一个类似的直觉，我们证明了这个结果扩展到了一个非线性框架。Kozak、Nagel和Santosh（2020年）基于特征分类因子和修正弹性净回归估计SDF。Kelly、Pruitt和Su（2019）应用PCAto股票收益率预测特征，以获得一个条件多因素模型，其中载荷在特征中是线性的。Pelger（2020）将高频数据与PCAto相结合，以非参数方式捕捉因素风险的时间变化。Pelger和Xiong（2021）表明，宏观经济状态与基于PCA的因素的时间变化相关。我们的方法使用了与Bansal和Viswanathan（1993年）以及Chen和Ludvigson（2009年）相似的见解，他们提出使用一组给定的条件GMM方程来估计SDF和神经网络，但仅限于少量的条件变量。

为了应对有限数量的力矩条件，我们通过对抗网络扩展了Hansen（1982）和Chamberlain（1987）的经典GMM设置，以选择最佳力矩条件。Lewis和Syrgkanis（2018）针对非参数工具变量回归提出了类似的想法。我们的问题在精神上也类似于Arjosvky、Chintala和Leon（2017）中的Wasserstein GAN，它为瞬间提供了强大的功能。Goodfello等人（2014）首次提出了生成性对抗网络（GAN）方法用于图像识别。为了发现宏观经济时间序列中的隐藏状态，我们建议使用具有长-短期记忆（LSTM）的递归神经网络。LSTM旨在发现模式。我们与Avramov、Cheng和Metzker（2020）分享了我们的数据和估计模型。在他们的比较研究中，Avramov、Cheng和Metzker（2020）也包括了从我们的GAN模型衍生的投资组合。然而，他们没有考虑我们基于ω的SDF投资组合，而是使用SDF载荷β来构建基于预测分位数的长短组合。类似地，他们使用神经网络预测方法的极端分位数来构建多空投资组合，这与我们的SDF框架再次不同。因此，他们研究不同的投资组合。我们表明，我们模型的线性公式的特例本质上是他们模型的一个版本，并将其作为我们分析中的线性基准案例。Hochreiter和Schmidhuber（1997）首次提出了时间序列数据。它们是最成功的商业人工智能之一，大量用于语音等数据序列（例如，谷歌支持Android语音识别，苹果支持Siri，iPhone上的“QuickType”功能，亚马逊支持Alexa）。论文的其余部分组织如下。

第一节介绍了模型框架，第二节阐述了估算方法。第三节收集了实证结果。第四节结束。仿真结果和实现细节委托给附录，而互联网附录收集了额外的实证稳健性结果。一、 模型A。无套利资产定价的目的是解释个别股票收益率R横截面的差异。让Rt+1，ide记录t+1时资产i的返回。基本无套利假设等价于存在一个严格正的随机贴现因子（SDF）Mt+1，对于任何超过无风险利率Ret+1的回报，i=Rt+1，i- Rft+1，it保持集Mt+1 ET+1，i= 0<=>Et[Ret+1，i]=-Covt（Ret+1，i，Mt+1）Vart（Mt+1）| {z}βt，i·Vart（Mt+1）Et[Mt+1]|{z}λt，其中βt，是系统风险敞口，λ是风险价格。Et[.]表示在时间t的信息上的期望条件。SDF是tangencyportfolio的一种有效转换。在不丧失一般性的情况下，我们考虑SDF公式mt+1=1-NXi=1ωt，iRet+1，i=1- ω> tRet+1。基本定价方程Et[Ret+1Mt+1]=0意味着SDF权重ωt=Et[Ret+1Ret+1>]-1Et【Ret+1】，（1）是条件平均方差有效投资组合的投资组合权重。我们将交易组合定义为Ft+1=ω>tRet+1，并将此交易因子称为SDF。有关更多详细信息，请参阅资产回顾（2010年）。当我们处理超额回报时，我们有额外的自由度。继Cochrane（2003）之后，我们使用SDF和平均方差组合之间的上述归一化关系。我们考虑基于资产空间投影的SDF。全球效率前沿的任何投资组合都能达到最大夏普比率。

这些投资组合权重表示一个可能有效的投资组合。定价方程现在可以表示为：Et[Ret+1，i]=Covt（Ret+1，i，Ft+1）Vart（Ft+1）·Et[Ft+1]=βt，iEt[Ft+1]。因此，无套利意味着单因素模型RET+1，i=βt，iFt+1+t+1，iwithEt[t+1，i]=0和Covt（Ft+1，t+1，i）=0。相反，因子模型公式简化了上述随机贴现因子公式。此外，如果特殊风险t+1，IIS可分散，且因子F是系统的，则风险负荷的知识有助于构建SDF：β> tβt-1β>tRet+1=Ft+1+β> tβt-1β>tt+1=英尺+1+op（1）。基本问题是确定SDF投资组合权重ω和风险负荷βt。时间t时信息集的时变函数和一般函数。ω和βt的知识解决了三个问题：（1）我们可以解释单个股票收益的横截面。（2） 我们可以构造条件均值方差有效相切投资组合。（3） 我们可以将股票收益分解为可预测的系统成分和非系统的不可预测成分。虽然方程式1给出了SDF权重的显式解，即股票回报的条件二阶和第一阶矩，但如果不强加强有力的假设，则无法进行估计。如果没有限制性的参数假设，几乎不可能可靠地估计数千只股票的高维条件协方差矩阵的逆。即使在无条件设置中，估计大维度方差矩阵的逆矩阵也已经具有挑战性。在下一节中，我们将介绍一个对抗性的问题公式，它允许我们分步明确地解决不可行的条件均值方差优化。用∑表示条件残差协方差矩阵t=Vart(t） 。那么，有效条件是k∑tk公司<∞ 对于N，β>βN>0→ ∞, 即

Σthas有界特征值和βthas足够多的非零元素。重要的是，残差的相关性与我们的SDF估计无关。对于我们的估计器，我们获得了DF权重ωt，i和股票载荷βt，i。这两个步骤都不需要残差的弱依赖性。在资产定价分析中，我们将收益空间分为载荷及其正交补所跨越的部分，这不会对残差的协方差矩阵施加假设。B、 生成对抗性动量法确定SDF权重相当于求解一个矩问题的方法。条件无套利矩条件意味着对于任何函数g（.），有许多无条件矩条件se[Mt+1Ret+1，ig（It，It，i）]=0（2）：Rp×Rq→RD，where It×It，i∈Rp×Rqdenotes时间t时信息集中的所有变量，D是力矩条件的数目。我们用所有非资产特定的P宏观经济条件变量来表示，例如通货膨胀率或市场回报率，而它是企业特定的特征，例如时间t时的规模或账面市值比率。无条件时刻条件可以解释为g（.）确定的投资组合和时间的每一次定价错误。挑战在于找到相关的动量条件以确定SDF。一个著名的公式包括25个矩，对应于Fama和French（1992）的25个大小和价值双重排序投资组合的定价。对于这种特殊情况，如果公司的规模和账面市值在特定的分位数内，则每个g对应一个指标函数。另一种特殊情况是只考虑无条件力矩，即将g设置为常数。

这相当于最小化每种股票的无条件定价错误。SDF投资组合权重ωt，i=ω（It，It，i）和风险负荷βt，i=β（It，It，i）是信息集的一般函数，即ω：Rp×Rq→Randβ：Rp×Rq→R、 例如，Fama-French三因素模型中的SDF权重和负荷是一种特例，其中两个函数都由一个二维核函数近似，该函数取决于公司的规模和账面市值比。Fama-French三因素模型仅使用固定的特定信息，而不使用宏观经济信息，例如，负荷不能根据商业周期的状态而变化。我们使用对抗性方法选择导致最大错误定价的力矩条件：minωmaxgNNXj=1E“1-NXi=1ω（It，It，i）Ret+1，i！Ret+1，jg（It，It，j）#, （3） 其中，函数ω和g是从特定函数类中选择的归一化函数。这是一个极大极小优化问题。这些类型的问题可以建模为零和博弈，其中一个参与者，即资产定价建模者，想要选择资产定价模型，而对手想要选择资产定价模型表现不佳的条件。这可以解释为首次发现定价错误最严重的投资组合或时间，因此无套利需要一个价格定律和严格正DF所隐含的条件矩方程。我们的估计基于条件矩，没有直接强制SDF的正性。请注意，在我们的实证分析中，我们估计的SDF对样本数据总是正的，因此不需要额外的正约束。修正资产定价模型，以对这些资产进行定价。重复该过程，直到考虑到所有定价信息，即对手无法找到定价错误较大的投资组合。

请注意，这是对过去几十年在资产定价中进行的研究协议的数据驱动的概括。假设资产定价建模师使用Fama-French 5 factormodel，即M由这五个因素构成。对手可能会提出动量排序测试资产，即g是过去收益不同分位数的指标函数向量。由于这些测试资产在Fama French 5因子方面存在重大定价错误，资产定价建模师需要修改其候选SDF，例如，通过添加动量因子toM。接下来，对手将搜索其他定价错误的异常现象或经济状态，资产定价建模师将在其SDF模型中利用这些异常或经济状态。我们使用极大极小目标函数进行对抗性估计是出于经济动机，并基于Hansen和Jagannathan（1997）的见解。他们表明，如果资产定价模型所隐含的SDF只是一个代理，不能对经济体中所有可能的资产进行定价，那么最小化最大可能的定价误差对应于在最小二乘距离内估计最接近可接受的真实SDF的SDF。在我们的案例中，SDF隐含地受到以下事实的约束：它只能取决于股票特定特征Ii，而不是股票本身的特性，以及第Ii节中规定的估计中的正则化。E、 因此，即使在样本中，SDF对一些股票及其特征管理投资组合也会有非零定价错误，这将我们纳入Hansen和Jagannathan（1997）的设置中。选择调节函数g对应于在g估计中找到最佳仪器。传统的GMM方法假设有一定数量的矩来识别有限维的参数集。选择这些时刻是为了在这一类中实现最高效的测试。