深入学习资产定价

例如，如果没有最小股票的40%，GAN的年SR仍为1.73，如果没有最高买卖价差的40%，则SR仍为2.07，如果没有以成交量衡量的交易活动最少的股票的40%，则SR为1.87。请注意，这些都是下限，因为在没有这些股票的情况下，GAN没有被重新估计，但我们刚刚设置了投资组合权重。最大提取被定义为连续几个月出现负回报的最大数量。最大1个月损失通过资产的标准差标准化。Gu、Kelly和Xiu（2020）根据FFN预测的收益极值，报告了长短组合的高样本外夏普比率。互联网附录比较了具有FFN的等额和价值加权长短组合的不同极值的夏普比率。当使用10%或更少的极端十分位数和同等权重的投资组合时，我们可以复制样本外的高比率。然而，对于价值加权投资组合，夏普比率下降了50%左右。这清楚地表明，这些投资组合的表现严重依赖于小型股。在他们的比较研究中，Avramov、Cheng和Metzker（2020）还包括了一个来自GAN的投资组合。然而，他们没有考虑我们基于ω的SDF投资组合，而是使用SDF载荷β来构建基于预测分位数的多空投资组合。图16:SDF的累计超额收益图显示了GAN、FFN、EN和LS的SDF的累计超额收益。每个因素通过其所考虑时间间隔的标准偏差进行归一化。低于零下限的股票。到目前为止，大多数论文已经将可定制机器学习组合的构建分为两个步骤。

在第一步中，机器学习方法提取信号以预测未来回报。在第二步中，这些信号用于形成有利的投资组合，通常是基于预测的长短期投资。然而，我们认为这两个步骤应该合并在一起，即机器学习技术应该提取与总体投资组合设计最相关的信号。这正是我们在目标是SDF估计时所实现的，SDF是条件均值方差有效投资组合。进一步的一步是将摩擦直接包含在这个估计中，也就是说，机器学习技术应该提取与约束下的投资组合设计最相关的信号。Bryzgalova、Pelger和Zhu（2020）提出了朝着这一方向迈出的有希望的一步，他们使用能够轻松纳入约束的决策树来估计均值-方差效率，Cong、Tang、Wang和Zhang（2020）提出了强化学习方法，Guijarro Ordonez、Pelger、，和Zanotti（2021），他利用专门处理时间序列数据的神经网络，估计了交易摩擦约束下的最优统计套利策略。J、 多因素模型的SDF SOUR GAN框架是对条件和无条件多因素模型的补充。多因素模型基于SDF是多因素线性组合的假设。在具有恒定因子负荷和优先级误差的无条件多因子模型中，SDF可以很容易地构造为因子的无条件均值-方差有效组合。这种多因素模型中的时间序列回归定价误差与SDF上的单因素回归相同。

然而这种关系不适用于样本图17：交易摩擦系数0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6LME0.00.10.20.30.40.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（a）规模系数0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6展布0.10.20.30.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（b）展布系数0.0.1 0.2 0.3 0.5 0.6.10.20.30.40.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（c）营业额削减该图显示了样本外夏普比率如果投资时的市值（LME）、买卖价差（价差）或营业额（LTover）低于规定的横截面分位数，则在我们将投资组合权重ω设置为零后，GAN、FFN、EN和LS的SDF。对于无条件模型和条件多因素模型的样本内和样本外细分。到目前为止，因子文献主要集中于提取因子及其载荷，但对于基于条件因子结构的连贯条件SDF框架的构建基本上保持沉默。我们的GAN框架可以帮助缩小这一差距。公式3是构建SDF的基本条件，可以包含SDF是多个因素线性组合的限制。我们使用一个最重要的条件多因素模型，并将其与GANframework相结合来估计其SDF。Kelly、Pruitt和Su（2019）开发的仪器化主成分分析（IPCA）考虑了潜在因素和时变载荷。这两个要素都很关键，因为我们需要一个具有时变负荷的条件因子模型来解释单个股票回报，并希望在不事先确定因子是什么的情况下估计最佳表现因子。

请注意，作为特例，此模型包括简单的无条件因子模型。正如大多数文献Kelly、Pruitt和Su（2019）使用多因素框架来计算定价误差，并报告因子无条件均值方差有效组合的夏普比率，但他们没有估计SDF同一单因素模型的定价误差和夏普比率。在此，我们表明，使用额外的经济结构，即跨越SDFW和IPCA因素，并将其与GAN框架相结合，可以产生更好的资产定价模型。我们仅以公司特征为条件，以使结果与原始IPCA框架更具可比性。IPCA假设K因子模型，其中载荷是特性的线性函数：Ret+1，i=at，i+b>t，ifIPCAt+1+t+1、ibt、i=i>i、tΓb.Kelly、Pruitt和Su（2019）也考虑了荷载方程中的误差项。然而，这并不影响估计程序和我们的讨论，只影响置信区间。为了简化符号，我们省略了它。任何多因素模型都假设SDF由这些因素跨越，即F=KXk=1ωF（Ik，t，It）fIPCAt+1，k。（5）附录C提供了更多详细信息。在弱假设下，SDF权重由基于因子ωf（Ik，t，It）=Covt的条件相切组合给出fIPCAt+1，fIPCA>t+1-1台fIPCAt+1.然而，大多数论文中常用的方法是使用固定权重，将其设置为无条件均值-方差系数投资组合权重，即ωI-SR=CovfIPCAt+1，fIPCA>t+1-1E级fIPCAt+1.获得具有恒定权重的单因素表示法的另一种方法是找到IPCA因素和荷载的线性组合，以最小化横截面定价误差或无法解释的变化量。

这意味着我们得到了SDFweightsωI-XS∈Rk和相应的装载重量vI XS∈RKsuch使得剩余剩余时间+1，i-b> t，ivI XSωI-XS>fIPCAt+1=^eI XSt+1，最大化XS-R。同样，我们得到ωI-EVand vI EV以最大化EV。如果正确的单因素表示法对IPCA因素及其负荷具有恒定的权重，则所有三个标准都将代表恢复这些权重的有效识别条件。请注意，与Kelly、Pruitt和Su（2019）相比，我们估计的是总的价格误差，而不仅仅是由特征跨越的组件。在ωI-evall的情况下，权重将放在第一个IPCA因子上，该因子通过构造最大化了说明的变化量。使夏普比率最大化的单因素组合的SDF荷载并非简单的IPCA荷载的相同组合，即在上述符号中，ωI-SR不需要与vI-SR相等。估算FI-SR=ωI-SRfIPCAis荷载的内部一致方法，以运行IPCA荷载回归：Γβ=T-1Xt=1ti>tFI SRt+1!-1吨-1Xt=1它 FI SRt+1>Ret+1！，βI-SRt，I=I>I，tΓβ，其中通过滥用符号∈Rq×Nt在此表示公司特定特征。这个IPCAregression将简单地返回多因素模型中的IPCA加载。为了评估特性和负荷之间的线性效应，我们还使用前馈神经网络估计IPCA SDF负荷βI-FFNi，即估计EThret+1，iFI SRt+1i。

GAN和IPCA的组合使用公式3估计ωI-GAN，但将SDF限制为基于方程式a.5的IPCA因子的线性组合，然后使用预测βI-GANi中的FFN估计负荷，t=EthRet+1，iFI GANt+1i。表六总结了样本外资产定价结果。我们可以通过形成IPCA因子的无条件均值-方差有效组合来复制Kelly、Pruitt和Su（2019）的高清晰度。请注意，IPCA因子使用的信息比正文中的模型更多，这可能解释了夏普比率高的原因。IPCA回归使用依赖性。其他结果见互联网附录。表六：不同SDFsModel基准的IPCA资产定价3 4 5 6 7 8 9 10SR 0.61 0.71 0.77 0.70 0.79 0.82 0.72 0.81IPCA GAN EV 0.05 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.05（ωI-GAN，βI-GAN）XS-R0.20 0.19 0.17 0.20 0.18 0.20 0.17 0.21SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.94IPCA最大SR FFNβEV 0.04 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.06 0.03（ωI-SR，βI-FFN）XS-R0.14 0.13 0.11 0.14 0.14 0.15 0.190.14SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.94IPCA最大SR EV 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01（ωI-SR，βI-SR）XS-R-0.05-0.04-0.04-0.04-0.04-0.04-0.04SR 0.11 0.15 0.17 0.15 0.14 0.16IPCA最大EV 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 04 0.04 0.04 0.04（ωI-EV，βI-EV）XS-R-0.02-0.03-0.03-0.03-0.03-0.03-0.03SR-0.06 0.15 0.12 0.41 0.33 0.37 0.34 0.41IPCA最大XS-REV-0.02-0.01-0.02-0.02-0.02-0.01-0.02-0.02（ωI-XS，βI-XS）XS-R-0.03 0.07 0.06 0.12 0.12 0.13 0.13 0.14SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.86 0.94IPCA多因子EV 0.05 0.05 0.06 0.06 0.06 0.07（bt，I∈RK）XS-R-0.04-0.03-0.02-0.01-0.02-0.01-0.02-0.02此表显示了基于IPCA的不同SDF的样本外资产定价结果。我们考虑K=3到10个IPCA因素。

（ωI-GAN，βI-GAN）使用GAN框架估计IPCA因子的SDF权重和SDF负荷。（ωI-SR，βI-FFN）是IPCA因子与可变SDF权重的无条件平均方差有效组合。（ωI-SR，βI-SR）将这些权重限制为线性。（ωI-XS，βI-EV）结合IPCA因子使EV最大化，而（ωI-XS，βI-XS）使XS-R最大化。多因子表示法通过对多个载荷的横截面回归获得残差。根据训练数据估计SDF权重和载荷，并在验证数据集上优化选择调谐参数。特征变量随时间变化的结构，使每个时间点的因子权重和载荷成为所有过去特征的函数。最后一个子表显示了多因素框架下的IPCA结果，也就是说，我们使用具有多重负荷的横截面回归来获得残差。和PCA方法类似，IPCA捕获了大量的回报变化，但并没有捕获它们的平均值。事实上，横截面Rcan变为负值。如果我们构建一个使夏普比率最大化的单因素模型，IPCA的解释变化将下降到大约1%，而不解释更多的平均回报。解释变量最多的一个因素就是第一个IPCA因素。与PCA方法类似，第一个因素不能解释平均回报。请注意，IPCA因素不一定相互正交，因此，当包含更多因素时，估计EV最大化的因素可能会导致略有不同的结果。预计，解释平均回报的最佳组合会导致显著更高的XS-R，但以SR和EV为代价。估计非线性负荷βI-ffn会带来更多的变化，并导致较小的定价误差。然而，在所有三个维度中表现最好的模型是IPCA与GAN的结合。

夏普比率接近平均方差组合的比率，实际上高于K的基准GAN≥ 7，而XS Ralmost达到了我们的基准GAN水平。所解释的变化是所有模型中最高的，并且对于我们的完全灵活的基准GAN来说更好。总之，GAN框架是对多因素模型的补充，可以最佳地利用SDF上的附加结构和纳入因素中的附加信息。四、 结论我们提出了一种新的方法来估计单个股票收益的资产定价模型，该方法可以利用大量的条件信息，同时保持充分的灵活性并考虑时间变化。为此，我们以一种新颖的方式将三种不同的深层神经网络结构结合起来：一种用于捕捉非线性的前馈网络，一种用于发现一小部分经济状态过程的递归（LSTM）网络，以及一种用于识别具有最无法解释的定价信息的投资组合策略的生成性对抗网络。我们的关键创新是使用无套利条件作为神经网络算法的一部分。我们估计随机贴现因子，该因子解释了无套利隐含的条件动量约束下的所有股票回报。我们的SDF是一个包含所有交易资产的投资组合，具有随时间变化的投资组合权重，这些权重是可观察特定企业和宏观经济变量的一般函数。我们的模型使我们能够了解驱动资产价格的关键因素，识别股票的错误定价，并生成条件均值方差有效的投资组合。我们的主要结论有四个方面。首先，我们展示了机器学习方法在资产定价中的潜力。

我们能够确定驱动资产价格的关键因素以及这种关系的函数形式，其一般性和准确性是传统计量经济学方法所无法达到的。其次，我们展示并量化了在机器学习资产定价模型估计中包含无套利条件的重要性。深度学习的“厨房水槽”预测方法并不优于无轨道约束的线性模型。这说明，在金融领域成功使用机器学习方法既需要特定学科领域的知识，也需要最先进的技术实现。第三，财务数据有一个时间维度，必须相应地加以考虑。即使最灵活的模型无法弥补这样一个问题，即如果仅使用最后的增量作为输入，宏观经济数据似乎对资产定价没有信息。我们表明，宏观经济条件对资产定价很重要，可以用少量的经济状态变量来概括，这些变量依赖于所有时间序列的完整动态。第四，资产定价实际上惊人地“线性”。只要我们孤立地考虑异常，线性因子模型就能提供很好的近似值。然而，资产定价的多维挑战无法用线性模型解决，需要一套不同的工具。我们的结果为资产定价研究人员带来了直接的实际益处，超出了我们的经验发现。首先，我们提供了一组新的基准测试资产。可以测试新的资产定价模型，以分别解释我们的SDF投资组合——根据我们模型中的风险敞口分类的投资组合。这些测试资产将所有特征的信息和宏观经济信息合并到少量资产中。

解释按单一特征分类的投资组合并不是一个很难通过的障碍。其次，我们提供了一组隐藏状态的宏观经济时间序列，封装了资产定价的相关宏观经济信息。这些时间序列还可以用作新资产定价模型的输入。最后但并非最不重要的一点是，我们的模型对投资者和投资组合经理具有直接价值。我们模型的主要输出是作为特征和宏观经济变量函数的风险度量β和SDF权重ω。根据我们的估计，我们模型的用户可以将风险度量及其投资组合权重分配给资产，即使资产没有长时间序列可用。参考文献Arjosvky，M.、S.Chintala和B.Leon（2017）：“Wasserstein GAN”，第34届机器学习国际会议记录。Avramov，D.、S.Cheng和L.Metzker（2020）：“机器学习与经济限制：来自股票回报可预测性的证据”，工作论文。Bakshi，G.S.和Z.Chen（1997）：“资本主义精神与股市价格”，《美国经济评论》，86（1），133–157。Bansal，R.、D.A.Hsieh和S.Viswanathan（1993）：“国际套利定价的新方法”，《金融杂志》，48（5），1719-1747。Bansal，R.和S.Viswanathan（1993）：“无套利和套利定价：一种新方法”，《金融杂志》，48（4），1231-1262。Bianchi，D.、M.B¨uchner和A.Tamoni（2019）：“机器学习的债券风险溢价”，工作论文。Blanchet，J.、Y.Kang和K.Murthy（2019）：“稳健的Wasserstein专家推理和机器学习应用”，《应用概率杂志》，56（3），830–857。Bryzgalova，S.、M.Pelger和J.Zhu（2020）：“穿过树木的森林：构建股票回报的横截面”，工作文件。张伯伦，G。