最优能源需求响应管理的平均场道德风险

事实上，由于zBuXvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'q'RPvpt，uYtquuX't，uXt'和zBuLvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'q“RPvpt，uYtq，条件（4.4）在这里等效于puXt'vpt，uYtq'dt 1{2` EP"sup0dtdtdvpt，uYtqdp{pp'1qa `8.通过两次应用H"older不等式，我们得到了第一个期望值的以下上界^EP^TˇuuX\'T，uXtdt˙p{2˙1{p^EP"sup0dtdtˇvpt，uYtqˇp{pp'1q˙1'1{p，其中第一个期望值是有限的，因为u满足条件（4.7）。还需要证明第二个期望值是有限的。通过应用H"older不等式，EP'sup0dtdtdvpt，uYtqdp{pp'1q“EP"sup0dtdTepRPp'1'EPt”Lζèt''upt，uXtq'd^EPdsup0dtdTeεpRPp'1EPt“Lζèt‰˙1{ε^EP"sup0dtdTe'qpRPp'1APT，uXtqdt˙1{q，对于q“ε{pε'1q，并回顾ε”appp'1q{p。因此，自u满足条件（4.7）以来的第二个期望值是有限的。此外，由于xXy是有界的，并且再次应用了与ε和q的Holder不等式，因此存在一些正恒量C，使得第一个期望值具有以下上界C^EP'sup0'tdTeεpRPp'1EP'ξζètˇF't'˙ε^EP"sup0dtdTepRPε'1EP'tgpXsqdsˇF't'˙ε'1.通过注意εpp'1“p，我们从（CARA）推断出第一项是有限的。由于g具有线性增长，X具有有界漂移和波动性，第二项也是有限的。为了应用定理4.7，仍需证明v是PDE（4.2）的解，并且ζ媫满足h上的最优性条件。通过计算v在u方面的偏导数，PDE中的函数h（4.2）可重写为：hput，Buv，ByBuv，Buv，vq“RPv'∑pγq'θ'RAz'ux，uX''c'βpγq'c'αpzq'2ρ'z''Amax'uuX''σ'728; pRA“RPq'zu'z'''σ'''''''''''''''''uuX''注意到va0、supvPRhpuYt、Buvpt、uYtq、ByBuvpt、uYtq、Buvpt、uYtq、vq“RPvpt、uYtq infvPRhPpuXt、uuX`t、uXt、ux、uX`t、uXt、vq，HPD由（4.8）定义。

由于hPon zu的最大值是在zu中获得的，所以，uXt“\'\'z`RPRA`RPuuX`t，uXt”，该命题的点piiiq已被证明，点pvq是定义为3.1的简单合同的一个简单计算，具有最佳支付率zu，èt“zu，èt，uXt。此外，我们还获得了infVPRHPPuXt，uuX，ux，uX，vq“``σ"RPRA` RP` uuX'ρ\'uuX'infzPR！Fpqpz，ux，uXqq'ρ\'pz'^ Amaxq` uuX）。因此，函数v是PDE（4.2）if0的解决方案“RPv^'Btu't，uXt'pg'fqpxquXtpdxq'θ'σ't，uXt'σ'R'ρ't，uXt'σ't，uXt''uuX，uX't，uXt'infzPR！F'q'z，ux，uXt`ρ\'pz'^ Amaxq\'uuX\'t，uXt）˙），这个等式是真的，因为u是偏微分方程（4.6）的解。现在考虑以下最小化问题：infzPR！F\'q\'z，ux，uX\'t，uXt`ρ\'pz'^ Amaxq\'uuX\'t，uXt）（A.8）正如在[1，引理4.1]中所注意到的，函数Fis是非递减的，并且达到了γ媫'q的最大值，这证明了命题的点pivq，我们有fpqq“q∑媫p'qq'c'βp'qq“d"yk”1'σk'λk'λkλkq'1'ηk'λkq'ηkq'ηk1'729; k qa1.对于zě0，最小化问题（A.8）等于ρ\'uuX\'t，uXtinfzě0F\'q\'z，ux，uX\'t，uXt（，并且由于Fis是非递减的，对于z“0，其最小值是在q\'z，ux，uX\'t，uXt的最小值上达到的。因此，（A.8）等于ρ\'uPuX\'t，uXtF\'θux，uX\'t，uXt。另一方面，对于zd0，最小化问题（A.8）等于infzd0！F\'q\'z，ux，uX\'t，uXt`ρ\'p\'z ^ Amaxq\'uuX\'t，uXt），则如果uuX\'t，uXt0，则在z“0上达到最大值。

否则，最大值介于uuX\'t、uXt\'amax和0之间。综上所述，确定了t P r0的最佳工艺Z媫，T s乘以Z媫T“Z媫T，uXt，这是（A.8）的最小值Z媫，满足Z媫T，uXt”0，当uuX媫T，uXtě0和Z媫T，uXtP“uuX\'t，uXtΓAmax，0‰，当uuX\'t，uXt271d0时，点piiq已被证明。为了总结证明，有必要注意到由三个pZ媫，Zu，媫，Γ媫q定义的ζ媫满足最佳条件，并将定理4.7应用于消费者的函数v.B保留效用。委托人提供的合同ξ必须满足参与约束VApξqěR，其中定义为无合同消费者的预期效用：R：“SUPPEPP'exp'RAzT'fpXsq'c'νPs'ds'.其基本思想是，如果合同为消费者提供的效用水平低于他们自己在没有任何合同的情况下所能达到的效用水平，消费者就会拒绝合同。然后可以通过标准的HJB方程PDE获得相应的值，当函数f为线性时，我们可以显式求解该方程。除了依赖于公共噪声的项外，还得到了与[1]中相同的结果。尽管如此，我们还是选择在此详述本节各种结果的证明，以突出常见噪声的影响。提案B.1（消费者预订实用程序）。假设f具有线性增长。然后，以下内容成立。piq消费者的保留效用由R“'e'RAψp0，Xq给出，其中相应的确定性等价物ψ是HJB方程$&%0”Btψpt，Xq'fpxq'cèβpγpt，xqq'γpt，Xq∑èpγpt，Xq'γpt，Xq'σ"，pt，Xq p r0，T q^R，ψpt，Xq“0，x p R，（B.1）式中：“BxxψRApBxψq.piiq假设PDE（B.1）具有C1,2解ψ，因此对于任何P P P P P，满足以下条件PzTe'2RAψpt，Xtq'Bxψpt，Xtq'dta `8.

（B.2）定义反馈控制αt：“0和β0，kt：“bk，嫘`γpt，Xtq，k”1，…，d，t P r0，t s.（B.3），然后，通过反馈控制确定消费者的最佳福利（B.3）.证据piq由于函数f是非递减的，消费者没有理由对其消费偏差的漂移进行补偿，因为不会对这种昂贵的补偿进行补偿。更严格地说，具有相同差异系数的SDE的比较理论，参见Peng和Zhu【40，推论3.1】，此外，F是非递减的这一事实立即意味着，Rcan定义的最高值只能在形式为νP“p0.βPq P U.的函数中达到。但是，请注意，由于他的风险厌恶，他可能有兴趣对波动性进行影响。Rpt、Xtq表示保留效用的动态版本，令人满意的RP0、Xq”和Rpt、Xtq“'1；使用标准随机控制理论，我们获得函数R的以下HJB方程：0”BtRpt，xq'RARpt，xqf pxq``σ"'BxxRpt，xq'supbPBRpt，xqRAcβpbq'BxxRpt，xq∑pbq.（因此，无合约波动性的最佳影响为bk，èpγq，其中γpt，xq：'BxxRpt，xqRpt，xqRA。使用与上一小节相同的符号，我们获得0“BtRpt，xq'RARpt，xqf pxq'Rpt，xqRA'cèβpγpt，xqq'γpt，xq∑èpγpt，xqq'γpt，xq'σ"'。前一个PDE的解是非正的，因此可以用Rpt，xq'e'RAψpt，xqi的形式书写，其中函数ψ是确定性等效函数，满足PDE（B.1）。piiq设ψ为PDE的C1,2解（B.1）。

然后我们可以将它的公式应用于函数Rpt，xq：“\'e'RAψpt，xqunder an任意P P PdRps，Xsq”BtRps，Xsqds'αPs'1dBxRps，Xsqds'BxRps，Xsq'σPβPsq'dWs'σ'dW's'BxxRps，Xsq'∑PβPsq''σ'σ'PβPsq''''''''''''''''''''''''''''''''''''''“fpxsqdsrpt，Xtq，tpr0，ts，我们同样通过它的公式MPt获得”“MP`teRAsspcβpβPuq'fpxuqdu^BtRps，Xsq'αPs'1dBxRps，Xsq'BxxRps，Xsq'∑pβPsq'σ"˙ds` tmpsrapppνPsq'fpxsqds` teRAsTpcβpβPsq'fpxqdsbxrps，Xsq'σpβPsq'dWs'dW 3; s。用ψ的导数替换，我们得到了mpt“MP ` tRAMPshψpXs，Bxψ，Bxxψ，αPs，βPsqds'tRAMPsBxψ'σpβsq¨dWs'σ"dW's，其中hψpx，Bxψ，Bxxψ，a，bq“'Btψ\'cpνsq'fpxq\'a–1dBxψ'RA\'Bxψ'Bxxψ''''''''''''pbq'''''''''''''''''''''''''''''pbq''''''''''''''''σ''''''''p''''''''紧集B上的连续函数，andf具有线性增长。因此，特别使用Cauchy–Schwarz不等式，（B.2）确保上述随机积分在HpPq中，因此是P-鞅。我们推导了epmpts“MP`EPztRAMPshψpXs，Bxψ，Bxxψ，αPs，βPsqds.使用ψ的边界条件，并用它们各自的MPA和MPT值替换，我们得到了RP0，Xq“EP”'eRAsTpcβpβPsq'fpxsqdsi'EP'tRAMPshψpXs，Bxψ，Bxxψ，αPs，βPsqds.利用ψ满足的HJB方程，我们得到了hψpx，Bxψ，Bxxψ，a，bq“`cαpaq`2a–1dBxψ``cβpbq`γ∑pbq'cèβpγq`γ∑èpγq，并通过简单计算得出cβpbq'γt∑pbq∑infbPBcβpbq'γ∑pbq（\'Hv'γ“'γβpγq，cαpaq\'2a–1dBxψěinfaPAcαpaq\'2a–1dBxψ（“\'HdpBxψq”0），因为函数Bxψ是非负的。

因此，hψpx，Bxψ，Bxxψ，a，bqě0，与（B.3）定义的最优控制spα，βq相等，从而得出Rp0，XqěEP“\'exp\'RAsTpcβpβPsq'f pxsqds''，最优控制相等。之前的结果表明，即使没有收缩，消费者的最佳行为也会对减少消费偏差过程的波动性产生积极影响。当然，这自然是由于我们的模型假设消费者是风险厌恶型的，因此是消极的受其偏差变化的影响。当f为线性时，我们通过为保留实用程序提供一个闭式表达式来结束本节。命题B.2（f线性）。设fpxq“κx，x P R，带κ0。然后，消费者的保留效用isR”e'RApκT x'ψpT qq，其中ψpT q：“'THpγptqdt，γptq”'RAκpT'tq，和Hpγq：'c'βPγq'γ∑Pγq'γ'σ'σ'。消费者对漂移和每个波动率使用的最佳影响分别为：α：“0”和β0，kt：“1”^`λkRAκpT'tq'1ηk'1\\ubmin，k“1，…，d.由此导出一个最优分布Punder，其中偏差过程遵循动态xt”σè`γptq¨dWt `σ"dW"t"t.证明。通过直接在PDE（B.1）中插入猜测ψpt，xq”Aptqx `ψptq'κx''cèβp'RAAptqq''RAAptq''σ“ψpt q”0。这提供了Aptq“κpt'tq和ψptq“带Hpγq的RAApsq ds：”\'cèβpγq'γ∑èpγq'γ'σ''''''''t''''''''''''''''''''''''pγ''''σ''''''''''''''pγ'q'''γ'''σ''''''a\'8，这是正确的，因为X是一个有界漂移和波动的It'o过程。因此，我们用命题B.1 PIIQ得出结论，它确实是诱导保留效用的值函数。备注B.3。

我们可以注意到，确定性等价物ψ是相关性σ"与常见噪声的递减函数，因为ψpt，xq“κxpT'tq'Tt'cèp'RAApsqq'RAApsq∑èp'RAApsqq'ds'RA'σ"728;zTtApsqds。因此，消费者的保留效用受到常见噪声的负面影响。c关于第一种–最佳情况的详细信息和证据，根据[24]中的推理，我们引入了对初始规范空间上所谓的Morse–Transue空间的轻微修改Ohm, 此处由MPPRQ为任何P P P P定义：“θ：Ohm 'Y~nR，可测量，EPrφpaθqsa\'8，对于所有aě0（，其中φ：R'Y'YR是以下年轻函数φ：x'Y'Y~nexpp | x | q'1。然后，赋予了范数}φ的MPpRq：“infka0:EPrφpθ{kqsd1（是一个Banach空间）。在这种情况下，可容许契约集ΞFB被定义为ΞFB：“ξp MPpRq:FT'可测，因此EPrξ-F-Ts p MPpRq，@p p p（.（C.1）因此，对于任何pξ、uX、Pq pΞFB^PpCTq^p，都可以很好地定义数量JApξ、uX、Pq和JPpξ、Pq。考虑到代表代理的保留效用水平，R，主体的问题是VFB：“infρa0”'ρR'suppP，uXqPP^P pCTqsupξPΞFBJPpξ，Pq'ρJApξ，uX，Pq（*），其中ρ261 0是与参与约束相关的拉格朗日乘数。我们首先对ξ的效用进行最大化。让我们考虑，对于任何概率pP，uXq PPpCTq，以下映射：由926; pPξq：“EP”UP^'EPξ`TgpXsqds`θ`TdxXysˇF"TρUAξT cνPs f Xs ds.回想一下，代表代理人是风险厌恶型的，带有风险厌恶参数RA。我们可以考虑风险规避或风险中性本金的两种情况。为了简化符号，我们定义了KPT：“zTgpXsqds`θzTdxXys，KA，PT：”zT` c`νPs'f` Xsds和KT：“KA，PT` KPT。

（C.2）我们现在通过考虑CARA风险规避本金来证明命题6.1，因为风险中性本金是通过取RP“0”推导出来的。如果本金是风险规避的，则本金的效用定义为UPpxq'e'RPx。因此，我们得到了ΞPpξq：“EP”'exp'RPEP“ξ\'KPTˇF"T‰ρexp `'RAξ'RAKA，PT''。对于任何θPΞfb和εě0，ε\'Ppξ'εq'Ppξq'εEP'exp'RPEP'ξ'εEP''KPT'F'T'''RPEP'ξKPT'''''F"T‰‰`εEP'ρexp'RA'ξ'ε977;''RAKA，PT''''ρexp'RAξRAKA，PT'''εEP'eRPEPrξKPT'F'Ts'1'eRPεEPr''F'Ts''305'εEP'ρe'RAξRAKA，PT'1'e\'RAεθi。因此，让ε~n0，G’teaux导数由dΞPpξqrθs“EP”'RPEPrθF'TseRPEPrξ'KPT'F'Ts'ρRAe'RAξ'RAKA给出，PTi“EP”EP'RPθeRPEPrξ\'KPT'F'TsˇF'T‰`ρ'RAe'RAξ'RAKA，PTi通过F'T调节，我们得到：DΞPpξqrθs“EP”EP'RPθerprξKPT'F'TsˇF'T‰` EP'RAξ拉卡，PTˇˇFˇT|i“EP”'RPθeRPEPrξ\'KPT'F"Ts'ρθRAe'RAξ\'RAKA，PTi。对于任何P P P P，让我们引入ξ23ppq定义的ξ23ppq“\'RA\'RPln^RPρRA˙` KAT\'RPRA\'RPEPrKT | F"Ts.（C.3），以便EPrξ23ppq | F"Ts：\'RA\'RPln^RPρRA˙` RARA\'RPEPrKT | F"Ts，和ξ23211 pPq：“\'RAln^RPρRA˙\'KAT\'RPRA ` EPrξ23ppq | F"Ts ` EPrKPTF"Ts。然后，对于任何θPΞFB，我们有DΞPèpPqrθs“0和Ξ是严格的凹函数，因此ξèpPq达到了Ξ的最小值，因此是最优的。将这些表达式插入到主体中，并回顾R由1{R定义：“1{RA\'1{RP，在第一个最佳情况下主体的值函数重写为：VFB“infρ261 0”ρ^'R\'RA\'rppexp RARA\'RPln RPρRA˙VR˙*，其中VR：“suppress”PPEP扩展EP“KTˇF"T‰”.注意，vr不依赖于ρ。然后直接计算得出最佳拉格朗日乘数和第一个最佳值函数：ρ媫“RPRA^VRR˙1 ` RPRAand VFB”R^VRR˙1 ` RPRA。使用与第4节相同的工具，我们可以很容易地证明命题6.1的点piq、piiq和pivq。

点PIIIQ是（C.3）定义的合同的直接计算。参考文献【1】R.A"id、d.Possama"i和N.Touzi。具有响应性激励的最优电力需求响应合同。arXiv预印本arXiv:1810.0906320018。[2] B.Bartling和F.von Siemens。企业和市场激励的强度：嫉妒代理人的道德风险。劳工经济学，17（3）：598–6072010。[3] E.Bayraktar、A.Cosso和H.Pham。McKean-Vlasov动力学最优控制的随机动态规划原理和Feynman-Kac表示。《美国数学学会学报》，370（3）：2115–2162018。[4] V.E.Benes。一类随机决策问题基于特定信息的最优策略的存在性。《暹罗控制杂志》，8（2）：179–1881970年。[5] V.E.Benes。最优随机控制律的存在性。《暹罗控制杂志》，9（3）：446–4721971年。[6] A.Bensoussan、J.Frehse和S.C.P.Yam。《平均场博弈与平均场类型控制理论》，斯普林格·布里夫辛数学第101卷。Springer–Verlag纽约，2013年。[7] A.Bensoussan、J.Frehse和S.C.P.Yam。平均场理论中的主方程。《数学纯粹应用杂志》，103（6）：1441–14742015。[8] A.Bensoussan、J.Frehse和S.C.P.Yam。关于主方程的解释。《随机过程及其应用》，127（7）：2093–21372017。[9] K.比切特勒。随机积分与半鞅的Lp理论。《概率年鉴》，9（1）：49–891981年。[10] B.Bouchard、D.Possama"i、X.Tan和C.Zhou。对BSDE一般过滤的上解进行先验估计的统一方法。亨利·庞加莱研究所年鉴，概率与统计pBq，54（1）：154–172，2018年。[11] R.Carmona和F.Delarue。

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